prova resolvida eam 2013

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Concurso Aprendizes-Marinheiros 2013

Prova de Matemtica Prova Azul

Resolvida por Thieres Machado

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Enunciados das Questes 1. Qual o conjunto-soluo da equao 7x + p = 3x + 7p, sendo x a incgnita? A) {2p} B) {3p/5} C) {6p} D) {2p/3} E) {3p/2} 2. Caso uma televiso de R$ 915,00 esteja sendo vendida com um desconto de 28%, quanto se pagar por ela? A) R$2 56, 20 B) R$ 649, 80 C) R$ 658, 80 D) R$ 769, 80 E) R$ 889, 80 3. Qual a representao do nmero 745 em algarismos romanos? A) CDXLV B) DCCXLV C) DCCXV D) CDXV E) DCCCXXV 4. O valor de X = (20 - 4 : 2) + (8.4 - 2) igual a A) 24 B) 38 C) 40 D) 46 E) 48 5. Sabendo que um determinado servio feito, por trs marinheiros, em duas horas, em quantos minutos o mesmo servio ser feito por quatro marinheiros? A) 90 B) 95 C) 100 D) 110 E) 120

6. Se A = 124

e B = 5 + 12

, o valor de A : B igual a:

A) 7/44 B) 22/7 C) 7/11 D) 7/22 E) 77/8


7. Supondo que um prato, de forma circular, possua um raio igual a 12 cm, qual o comprimento, em centmetros, da circunferncia desse prato? A) 37,20 Dado: 3,1. B) 44,64 C) 64,40 D) 74,40 E) 80,40 8. Entre os nmeros naturais 25 e 42, h quantos nmeros primos? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 9. Qual o valor de k, para que a equao 3x2 - 2x + k = 0 possua razes reais e iguais? A) 1/3 B) 2/3 C) 3 D) 1/3 E) 3 10. Se A = 10 20' 30" e B = 30 50' 10", correto afirmar que o valor de A + B igual a A) 20 30' 20" B) 40 59' 40" C) 41 30' 40" D) 41 10' 40" E) 51 10' 40" 11. Em relao ao conjunto dos nmeros inteiros, qual o conjunto-soluo da equao 3x - 4 = 2? A) { 0 } B) { 1 } C) { 2 } D) { 3 } E) { 4 } 12. Caso se vendam 105 picols num primeiro dia de trabalho, no segundo, 109 e no terceiro, 118, quantos picols ainda precisam ser vendidos para se chegar a um total de 400? A) 48 B) 58 C) 68 D) 78 E) 88 13. Qual o valor de Y = 32 8 ?


A) 1 B) 2 C) 6 2 D) 2 6 E) 2 2 14. Observe a figura abaixo.

Sabendo que a reta a paralela reta b, pode-se afirmar que, a partir dos dados da figura acima, o valor do ngulo x igual a A) 10 B) 30 C) 50 D) 70 E) 100 15. Considere que o tringulo ABC retngulo. Sabendo que = 90, AB = 12 cm e AC = 5 cm, qual o permetro, em centmetros, desse tringulo? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 140


Solues das Questes Questo 1. Como a incgnita da equao o x, temos uma equao do primeiro grau, comumente chamada de equao literal, pois seu conjunto-soluo ser dado em funo de p. Se voc no sabe resolver uma equao do primeiro, veja o artigo: Exerccios de equaes do primeiro grau. Nele apresentamos um resumo sobre equao do primeiro grau, definimos o que vem a ser o conjunto-soluo e resolvemos vrias questes de concursos. Vejamos a resoluo. 7x + p = 3x + 7p (isolando o x no primeiro membro direita) 7x - 3x = 7p - p (fazendo as operaes) 4x = 6p, ento x = 6p/4 (simplificando a frao 6/4)

2

2

6 34 2

Temos, x = 3p/2. Portanto, o conjunto-soluo da equao dada {3p/2}. Questo 2. Esta questo envolve o bsico sobre porcentagem. Para saber mais sobre este tema, acesse os seguintes artigos, na ordem em que se encontram abaixo: Porcentagem: teoria e exemplos Exerccios de porcentagem para concursos. A partir dos artigos acima, voc poder desenvolver sua aprendizagem neste assunto. Vejamos a resoluo do problema, que bem simples. A questo pede o valor da televiso aps um desconto de 28% sobre seu preo inicial que de R$ 915,00. Logo, o preo final (valor final) ser dado por: Preo Final = (preo inicial) - [ 28% do (preo inicial) ]. Fazemos a operao de subtrao pelo fato de haver um desconto (subtrair). Preo Final = 915 - 28% x 915


Ora, 28% = 28/100 = 0,28, ento Preo Final = 915 - 0,28 x 915 = 915 - 256,20 = 658,80. Portanto, aps o desconto, se pagar pela televiso R$ 658,80. Questo 3. Antes da resoluo, apresentaremos um pequeno resumo do tema algarismos romanos, s para relembrar! Vamos apresentar somente o bsico para responder a questo. Para a soluo da questo, veja a tabela abaixo:

Na primeira linha temos os smbolos numricos romanos e na segunda linha, seu valor equivalente no Sistema de Numerao Decimal. Desejamos obter a representao de 745 em algarismos romanos, para isso vamos decompor o nmero dado da seguinte forma: 745 = 700 + 40 + 5 700, em romanos so DCC (500 + 100 + 100). 40, em romanos so XL (50 - 10). Aqui, chamamos a ateno para o fato de que, no Sistema Romano de Numerao, quando uma letra colocada esquerda de outra de maior valor (L), deve-se subtrair o seu valor ao da primeira. 5, em romanos V. Portanto, 745 em romanos so DCCXLV. Observao: h mais informaes sobre o Sistema Romano de Numerao, aqui apresentamos somente o bsico para a resoluo da questo. Questo 4. Nesta questo, temos basicamente uma expresso numrica. Veja os seguintes artigos para aprender mais sobre este tema: Como se resolve uma expresso numrica Exerccios de expresses numricas. X = (20 - 4 : 2) + (8.4 - 2) X = (20 - 2) + (32 - 2)


X = 18 + 30 X = 48. Questo 5. Esta questo um problema de regra de trs simples inversa. Vejamos: Trs marinheiros fazem um servio em 2 horas (120 minutos), ento quatro marinheiros faro em um tempo menor, pois aumentamos a quantidade de pessoas para executar a mesma tarefa que antes era feita com apenas trs. Esperamos que este fato esteja claro para todos. Caso contrrio, comente. Quando uma grandeza aumenta (quantidade de marinheiros) e outra diminui (tempo) temos, aqui, um problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais.

Logo, sendo t o tempo procurado, podemos escrever 4 3 t 1204 3 4t 360 t 90min.1 1 1 1t 120

Outro caminho, utilizando um truque matemtico e mais rpido na resoluo, o seguinte: Escrevemos conforme a imagem acima, mas invertendo uma das razes (qualquer uma), pois as grandezas so inversas. Por isso utilizamos as setas, para sinalizar que as grandezas so inversas e que devemos inverter uma das razes, neste caso. 3 t 4t 360 t 90min.4 120

Veja mais exerccios sobre os seguintes temas: Exerccios de Razes para Concursos Exerccios de Propores para Concursos Questo 6. Primeiros, vamos simplificar os nmeros A e B, isto , colocando-os na forma de uma nica frao, para facilitar os clculos.

A = 1 8 1 724 4 4

B = 5 + 1 10 1 112 2 2


Agora, calculamos o valor de A : B.

A : B = 2

2

7A 7 2 14 74

11B 4 11 44 222

Questo 7. Esta questo uma aplicao direta da frmula do comprimento da circunferncia, uma vez que pedido o comprimento da circunferncia do prato. Seja C o comprimento da medida procurada. O comprimento ser dado pela frmula: C 2 r , onde r o raio em cm.

3,1 e r = 12 cm. C 2 3,1 12 74,4 74,40cm. Portanto, a medida da circunferncia do prato de 74,40 cm. Questo 8. Em primeiro lugar, lhe fao uma pergunta: voc sabe o que um nmero primo? Se no sabe, d uma lida no artigo Nmero Primo, onde mostramos tambm dois mtodos para determinar se um nmero primo ou no. De modo geral, um nmero ser primo se possuir apenas dois divisores: o um e o prprio nmero. Vejamos entre 25 e 42. Fazendo a verificao, constatamos que so primos: 29, 31, 37 e 41. Estes nmeros possuem apenas dois divisores, cada. Portanto, entre 25 e 42 existem 4 nmeros primos. Questo 9. Observe que a equao 3x2 - 2x + k = 0 uma equao do 2 grau. Devemos lembrar que dada a equao (2 grau) ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c so nmeros reais e a diferente de zero, teremos o seu discriminante 2b 4ac . Se 0 , a equao ter duas razes reais e diferentes. Se 0 , a equao ter duas razes reais e iguais (apenas uma raiz, ento!). Se 0 , a equao no possuir razes reais. O problema pede que a equao tenha razes reais e iguais, para isso k ter que ter um valor que torne o discriminante igual zero.


0 (-2)2 4.3.k = 0 4 -12k = 0 12k = 4 k = 4/12 k = 1/3. Logo, o valor de k de 1/3. Questo 10. Antes de resolver o problema, lembramos que estaremos lidando com medida de ngulos, neste caso, o sistema de numerao o sexagesimal. Baixe nossa apostila de Geometria Plana para Concursos com mais de 200 Questes.

No entanto, estamos no sistema sexagesimal e 70 = 60 + 10 como 60 = 1, temos que 70 = 1 10.

A + B = 41 10 40. Questo 11. Vamos resolver a equao 3x - 4 = 2. Se ainda no sabe resolver uma equao do 1 grau veja o artigo: Exerccios de Equaes do Primeiro Grau 3x - 4 = 2 3x = 2 + 4 3x = 6 x = 6/3 x = 2. Como 2 um nmero inteiro, logo pertence ao conjuntos dos inteiros. Soluo {2}. Observao: Veja que muito simples determinar a soluo da equao, possvel fazer de cabea como dizem alguns estudantes. Questo 12. Total de picols vendidos = 105 + 109 + 118 = 332. Precisam ainda ser vendidos = 400 332 = 68. Veja mais exerccios de operaes bsicas em Exerccios de Sistema de Numerao Decimal e Operaes Fundamentais.

A = 10 20' 30"B = 30 50' 10"

A + B =

+

40 70' 40"

A + B =

+

40 70' 40"

1


Questo 13. Como temos radicais, vamos simplific-los fatorando os radicandos para verificar se so semelhantes (e so!). Veja: Y = 32 8 32 = 22.22.2 e 8 = 22.2 Y = 2 2 22 .2 .2 2 .2 (simplificando) Y = 2.2. 2 2. 2 Y = 4 2 2. 2 (subtraindo, pois os radicais so semelhantes) Y = 2 2. Questo 14. Esta questo envolve o contedo de ngulos em retas paralelas cortadas por uma transversal. Para saber mais sobre este assunto baixe nossa apostila de Geometria Plana para Concursos no link abaixo. Geometria Plana para Concursos Resolveremos por dois modos. 1. Modo Para resolver tal questo, vamos usar uma reta paralela auxiliar.

Veja na figura acima (direita) que traamos uma reta auxiliar c (vermelho) pelo ponto B, de modo que seja paralela as retas a e b. Com isso o ngulo x, ficou divido (no igualmente) em outros dois ngulos, y e z. Portanto, x = y + z. (guarde esta informao!). Continuando, observe as figuras abaixo.

140x

30

A

B

C

a

b

cyz

140

30

A

B

a

bcy

z

(Figura 1)

cB

C(Figura 2)


Na figura 1, temos as paralelas a e c, com a transversal AB, formando os ngulos y e 140 que so colaterais internos, logo y + 140 = 180, ento y = 40. Pois, ngulos colaterais internos so suplementares. Na figura 2, temos as paralelas b e c, com a transversal BC, formando os ngulos z e 30 que so alternos internos, logo z = 30. Pois, ngulos correspondentes so congruentes. Sabemos que x = y + z. Como y = 40 e z = 30, ento x = 40 + 30 = 70. 2. Modo Vamos usar neste mtodo uma propriedade pouco conhecida de retas paralelas cortadas por uma transversal, que nos ajudar a resolver est questo de forma mais simples. Vamos chamar esta propriedade de propriedade dos biquinhos (s uma brincadeira!). Observe a figura abaixo. Nela, as retas r1 e r2 so paralelas, com vrias retas transversais e os ngulos a, b, c, d, e. Bem, no vamos demonstrar a validade da propriedade aqui, mas se r1 e r2 so retas paralelas, ento a + c + d = b + e. Isto , a soma dos ngulos de dentro (a, c, e) igual soma dos ngulos de fora (b, d) ou vice-versa.

Agora utilizaremos esta propriedade na resoluo do problema.

ab

c

d

e

r1

r2


Observe que temos uma figura semelhante (a da propriedade apresentada), mas com os ngulos de 140 e 30 em lados diferentes, logo para aplicar a propriedade vamos determinar a medida do ngulo suplementar de 140. Ora, o suplementar de 140 40 (o que falta para chegar a 180). Veja na figura abaixo.

Aplicando a propriedade dos biquinhos: a soma dos de dentro (40 e 30) igual soma dos de fora (s o x). 40 + 30 = x, ento x = 70. Veja a nossa Apostila de Geometria Plana para Concursos, nela tem exerccios onde voc pode treinar para aplicar est propriedade. Este assunto muito comum em provas de Aprendizes-Marinheiros, aproveite! Questo 15. Vejamos um esboo da situao proposta no enunciado do problema.

O problema pede o permetro do tringulo ABC, retngulo em A. Permetro de uma figura plana a soma das medidas dos lados. Permetro (ABC) = AB + BC + AC Permetro (ABC) = 12 + BC + 5 Veja que precisamos determinar a medida do lado BC (hipotenusa). Aplicamos ento o teorema de Pitgoras para determin-la. (BC)2 = 122 + 52 (BC)2 = 144 + 25 (BC)2 = 169 BC = 13 cm.

a

b

14040x

30

A

B

C

A B

C

12cm

5cm


Permetro (ABC) = 12 + 13 + 5 = 30 cm. Para ver mais exerccios relacionados a este tema, faa download gratuito de nossa apostila no link abaixo: Apostila de Geometria Plana para Concursos (mais de 200 questes com gabarito).


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