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SIMULADO NACIONAL IME 2020

PROVA OBJETIVA

CADERNO DE QUESTÕES

2020

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INSTRUÇÕES PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA 1. Este simulado contém 40 questões, sendo 15 de Matemática, 15 de Física e 10 de Química.

2. A interpretação das questões faz parte da prova, portanto são vedadas perguntas à Comissão de Aplicação.

3. Cada questão objetiva admite uma única resposta, que deve ser assinalada no cartão de respostas, no local correspondente ao número da questão.

4. O tempo total para a execução da prova é limitado a 4 (quatro) horas.

5. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento do cartão de respostas.

6. Leia os enunciados com atenção. Resolva as questões na ordem que mais lhe convier.

7. Para eventuais problemas técnicos, ao final da prova envie seu número de inscrição e uma foto das alternativas assinaladas no cartão resposta para o e-mail [email protected].

8. A partir do dia 09 de outubro de 2020, a prova, as resoluções e os resultados serão disponibilizados no site do Colégio Olimpo.

9. Boa prova!

mailto:[email protected]

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QUESTÕES DE 1 A 15

MATEMÁTICA

1ª QUESTÃO Valor: 0,25

Escrevendo-se o número n21212 na base 2n , obtém-se um número cuja soma dos algarismos é

n31 .

Quantos são os números capicuas de n 1 algarismos em um sistema de numeração de base n ? (A) 20 (B) 60 (C) 48 (D) 50 (E) 70


Quantos divisores positivos múltiplos de 36 tem o produto de todos os divisores positivos do número 36? (A) 36 (B) 54 (C) 64 (D) 81 (E) 100


Considere que, em uma caixa, existam, ao todo, dez bolas, sendo n bolas azuis e as demais brancas. Duas das bolas da caixa serão escolhidas aleatoriamente e simultaneamente. Determine, em termos de n, a probabilidade de as duas bolas escolhidas possuírem a mesma cor.

(A) 21 2n n 1

45 9

(B) 22 4n n 2

45 9

(C) 21 2n n 3

15 3

(D) 21 1 1n n

90 9 2

(E) 21 2 1n n

135 27 3

4


Sejam a e b , com a 0 e b 0 , as raízes da equação 2 2x 4x n 0 , com n 0 e n 1 . Qual o

valor da expressão seguinte? b a b a

n n n nlog a log a log b log b

(A) – 4 (B) 4 (C) – 8 (D) 8 (E) 6


Seja u o número complexo com maior argumento principal dentre todos os números complexos com

afixos pertencentes ao primeiro quadrante que satisfazem a desigualdade

1 z 21

3 z 2

,

com z . Determine o módulo de u .

(A) 3

2

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 5

2


O polinômio P(x) é divisível pelo polinômio n 1 n 2x x 1 , com n e n 2 . Considerando que o

grau de P é igual a n , P(0) P(1) 3 e P(3) 39 , qual o valor da expressão 2n n 1 ?

(A) 21 (B) 18 (C) 17 (D) 13 (E) 9


Para cada número inteiro positivo n , seja p(n) a quantidade de pares ordenados (x, y) de números

inteiros positivos que satisfazem a igualdade seguinte.

1 1 1

x y n

Qual o valor de p(2020) ?

(A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 45 (E) 60

5


Com x , y e z reais positivos e diferentes de 1, considere que ylog x , zlog y e

xlog z são, nesta

ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Se 4 4 42x y z e xyz 125 ,

então qual o valor da soma x y z ?

(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) 25


Um dominó é um jogo formado por 28 peças e cada peça é um retângulo dividido em dois quadrados, com um número de 0 a 6 indicado em cada um dos quadrados. No jogo, uma peça só pode tocar uma outra se tiverem o mesmo número. Dispondo das peças de um dominó, Ana deseja montar uma figura com quatro dominós formando um ciclo fechado, como a imagem seguinte, mas respeitando as regras do jogo.

Ao todo, quantas figuras distintas podem ser formadas por Ana? Considere que figuras que se diferem apenas por rotação de peças são distintas. (A) 1280 (B) 1320 (C) 1440 (D) 1680 (E) 1880


Se 1 2 3 n(a ,a ,a ,...,a ,...) é uma progressão aritmética não constante, então qual o valor do somatório

seguinte? n

k 1 2k 1 2k 1

1

a a

(A) 1 n 1

n

2a a

(B) 1 2n 1

n

a a

(C) 1 n

2n

a a

(D) 2n 1 2n 1

n

a a

(E) 1 2n 1

n

a a

6


Com 0 x , o conjunto dos valores de x que satisfazem a inequação cos3x cos2x 0 é dado pelo

intervalo ]a,b[ . Qual o valor da soma a b ?

(A) 6

(B) 5

(C) 3

(D) 2

(E) 6

5


Os pontos pertencentes ao lugar geométrico dos centros das circunferências que, em um plano

cartesiano, tangenciam a reta x 2 e passam pelo ponto (6,4) formam uma curva. Determine a

equação da reta que passa pelo ponto (6,8) e tangencia esta curva.

(A) x y 1 0

(B) x y 2 0

(C) x y 2 0

(D) x y 1 0

(E) x y 2 0


Pelo vértice A de um triângulo equilátero ABC, traça-se uma reta r perpendicular ao plano que

contém o triângulo. Em r , marca-se um ponto P tal que 2AB AP . Considerando que M é o ponto

médio de AB e S é a área do triângulo ABC, determine, em termos de S , a área do triângulo PMC.

(A) 3

S3

(B) 3

S4

(C) 2

S2

(D) 5 3

S2

(E) 5

S2

7


Cada uma das arestas de um hexaedro regular mede . Uma esfera tangencia uma face do hexaedro

e tangencia as quatro arestas da face oposta a esta à qual ela é tangente. Qual é, em termos de , a área da superfície da esfera exterior ao hexaedro?

(A) 215

16

(B) 237

4

(C) 215

19

(D) 215

32

(E) 27

16


Seja f a função de variáveis reais tais que

1f (x)

x 1

.

A reta s é uma reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares e tangente ao gráfico de f . Se a reta

s intersecta o eixo das ordenadas em um ponto de ordenada positiva e intersecta o eixo das

abscissas em um ponto de abscissa positiva, então qual é, em unidades de área, a área do triângulo

limitado pela reta s e pelos eixos coordenados?

(A) 4,0 (B) 4,5 (C) 3,5 (D) 3,0 (E) 5,0

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QUESTÕES DE 16 A 30

FÍSICA


A figura mostra uma estrutura composta pelas barras AB, AC, BC, BD, BE, CD e DE, articuladas em suas extremidades. O apoio no ponto A impede os deslocamentos nas direções vertical e horizontal, enquanto o apoio em C impede apenas os deslocamentos horizontais. No ponto E dessa estrutura é

fixada uma corda de comprimento ℓ, na qual encontra-se presa uma partícula de massa 𝑚. A partícula é abandonada em uma posição formando um ângulo 𝜃 com a direção vertical. Determine o valor da força na barra BC no instante em que a partícula passar pelo ponto mais baixo da sua trajetória. Observações: ● As barras e o fio possuem massas desprezíveis. ● O fio é inextensível. ● As distâncias estão representadas em metros. Dados: ● 𝑚 = 20 𝑘𝑔.

● 𝜃 = 60°. ● A aceleração da gravidade vale 10 m/s². (A) 283 𝑁

(B) 400 𝑁 (C) 500 𝑁

(D) 566 𝑁 (E) 600 𝑁

9


Uma partícula descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular 𝜔 = 6,0 rad/s, cujo centro se localiza a 1,0 m do vértice de um espelho esférico convexo, conforme mostra a figura. Sabendo que a máxima velocidade da imagem em relação ao espelho, na direção do eixo principal

deste, vale 4,0 cm/s e que a distância focal do espelho é de 2,0 m, calcule o raio 𝑅 do movimento realizado pela partícula.

Observação: Considere que são válidas as condições de Gauss para espelhos esféricos.

(A) 6,7 mm (B) 1,0 cm (C) 1,5 cm (D) 2,0 cm (E) 3,0 cm


Um cilindro maciço O de raio R é colocado sobre dois semicilindros A e B, também de raio R e feitos do mesmo material. O contato entre as superfícies cilíndricas não tem atrito e o coeficiente de atrito estático entre o plano horizontal e a face plana dos semicilindros vale 0,5. Determine o máximo valor da distância 𝑑 entre os centros dos semicilindros para que o sistema fique em equilíbrio sem permitir que o cilindro O entre em contato com o plano horizontal.

(A) 𝑑 = 2√2 𝑅 (C) 𝑑 = 4√3/3 𝑅 (E) 𝑑 = 4 𝑅

(B) 𝑑 = 2√3 𝑅 (D) 𝑑 = 2 𝑅

10


A Lei de Poiseuille relaciona a vazão 𝑄 de um tubo cilíndrico de raio 𝑅 e comprimento 𝐿 transportando um líquido viscoso de coeficiente de viscosidade 𝜂 submetido a uma pressão 𝑃 de acordo com a expressão

𝑄 =𝑃𝜋𝑅4

8𝐿𝜂

Assinale a alternativa que contém uma unidade de medida para o coeficiente de viscosidade: (A) atm ∙ s

(B) m ∙ min ∙ kg−1

(C) J ∙ s−1

(D) g ∙ cm ∙ s−1

(E) kgf ∙ s ∙ m−1


No circuito representado na figura, os capacitores encontram-se descarregados. Determine a diferença de potencial que se estabelece entre os pontos A e B um longo tempo após fecharmos o interruptor S.

Observação: as capacitâncias indicadas estão em μF. (A) 6 V (B) 9 V (C) 12 V (D) 18 V (E) 36 V

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A figura mostra uma pessoa empurrando um cilindro que rola sem deslizar sobre o chão, de maneira que a barra lisa articulada gira com velocidade angular 𝜔. Assinale a alternativa que contém o valor da velocidade angular do cilindro no instante representado.

(A) 𝜔

2 sen2 𝛽/2 (B)

𝜔

tg 𝛽/2 (C) 𝜔 sec2 𝛽/2 (D) 𝜔 cos 𝛽 (E) 𝜔 sen2 𝛽


Uma placa metálica muito fina encontra-se presa ao fundo de um recipiente e conectada a outra placa idêntica por uma mola feita de material isolante, constituindo, dessa forma, um capacitor de placas planas e paralelas. Sobre a placa superior encontra-se um bloco maciço de madeira. Inicialmente, o capacitor é carregado com uma tensão de 100 kV e o sistema encontra-se em equilíbrio quando a distância entre as placas vale 2,0 cm (figura A). Em seguida, o recipiente é lentamente preenchido por um líquido viscoso isolante, até atingir novamente o equilíbrio (figura B). Determine qual deve ser o valor da constante dielétrica do líquido para que, na nova situação de equilíbrio, a distância de separação entre as placas seja a mesma. Observações: ● A tensão entre as placas é mantida constante durante todo o experimento. ● Despreze a densidade do ar. ● O campo elétrico entre as placas é uniforme. Dados: ● Altura do bloco de madeira: 5,0 cm. ● Densidade do líquido: 0,6 g/cm³. ● Aceleração da gravidade: 10 m/s².

● Permissividade elétrica do ar: 9,0 ∙ 10−12 F/m.

(A) 4

3 (B)

7

3 (C)

8

3 (D)

10

3 (E)

11

3

12


Considere as seguintes proposições: Proposição 1: Quando se juntam dois corpos de materiais diferentes a uma mesma temperatura mas com energias internas distintas se estabelece um fluxo de calor. Proposição 2: A Lei Zero da Termodinâmica expressa um balanço de energia – o calor ganho é igual ao calor perdido. Proposição 3: Quando a temperatura de um corpo diminui, a energia cinética média de suas moléculas diminui. Proposição 4: Um corpo mais quente que outro necessariamente possui mais energia interna. São falsas as proposições: (A) Todas. (B) 1 e 2, apenas. (C) 1 e 3, apenas. (D) 1, 2 e 3, apenas. (E) 1, 2 e 4, apenas.


Um clássico problema da física diz respeito a um barco à vela que, na ausência de ventos favoráveis para a navegação, usa um ventilador, preso ao barco, para soprar o ar na direção da vela, a fim de que o conjunto seja impulsionado no mesmo sentido do fluxo de ar que sai do ventilador. Evidências experimentais mostram que o interessante efeito de fato ocorre, a despeito do que possa indicar um

raciocínio equivocado e bastante disseminado. Considerando uma partícula de ar de massa 𝑚 que, impulsionada pelo ventilador com uma velocidade 𝑣0 em relação a um observador fixo no solo, colide com a vela do barco e adquire, após a colisão, uma velocidade no sentido contrário, determine o valor da velocidade 𝑣 com que se moverá o sistema barco-ventilador-vela.

Dados:

massa do sistema barco-ventilador-vela = M

coeficiente de restituição da colisão = 𝜀 (A) 𝑣 = 0

(B) 𝑣 =𝜀 𝑚 𝑣0

𝑀

(C) 𝑣 =𝑚 𝑣0

𝑀

(D) 𝑣 =𝜀 𝑚 𝑣0

𝑀−𝑚

(E) 𝑣 =(𝜀−1) 𝑚 𝑣0

𝑀

13


Um cilindro termicamente isolado contém um gás ideal e em seu centro existe um êmbolo de massa

𝑚 que pode deslizar sem atrito pelo recipiente. Se o êmbolo for ligeiramente movido de uma distância 𝑥, ele passa a oscilar em torno da posição de equilíbrio. Calcule o período de suas oscilações. Dados: ● Pressão inicial: 𝑃0.

● Área transversal do êmbolo: 𝐴. Observações: ● Considere que o processo ocorre isotermicamente. ● O êmbolo apresenta espessura desprezível.

● 𝑥 ≪ 𝐿.

(A) 𝜋√𝑚𝐴

𝑃0𝐿2

(B) 𝜋√𝑚𝐿

2𝑃0𝐴

(C) 2𝜋√𝑚𝐿

2𝑃0𝐴

(D) √𝑚𝐴

𝑃0𝐿2

(E) 2𝜋√𝑚𝐴

3𝑃0𝐿2

14


Uma casca esférica de raio interno 𝑏 e raio externo 𝑐, uniformemente carregada com densidade de

carga volumétrica 𝜌, envolve uma esfera concêntrica de raio 𝑎, também carregada uniformemente com a mesma densidade de carga. Assinale a alternativa que representa corretamente o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço.

(A)

(D)

(B)

(E)

(C)

15


O sistema representado na figura contém água (mais clara) e mercúrio (mais escuro) em repouso e se encontra ao nível do mar. Assinale a pressão indicada pelo manômetro M.

Dados: ● Aceleração da gravidade: 10 m/s². ● Densidade da água: 1,0 g/cm³. ● Densidade do mercúrio: 13,6 g/cm³. ● 1,0 atm = 1,0 × 105 N/m².

(A) 27 × 105 Pa (D) 2,7 × 105 Pa

(B) 3,7 × 105 Pa (E) 1,7 × 105 Pa

(C) 3,2 × 105 Pa


Um bloco de peso 1200 N é sustentado por um fio leve que, à temperatura ambiente, produz um som na frequência de 250 Hz. Em seguida o fio é uniformemente aquecido por uma fonte de calor. Determine o valor da temperatura do fio quando a frequência de vibração apresentar uma diferença de 1 Hz em relação à frequência original. Dados:

● Coeficiente de dilatação do fio: 𝛼 = 5,0 × 10−5 °𝐶−1. ● Temperatura ambiente: 27 ºC. Observações: ● Use a aproximação (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥, se 𝑥 ≪ 1. (A) 52 ºC (B) 80 ºC (C) 107 ºC (D) 187 ºC (E) 273 ºC

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Considere uma barra condutora reta (CD) com um corpo de massa M a ela ligada, imersa em uma região com um campo magnético uniforme B, podendo se mover apoiada em dois trilhos condutores verticais e fixos. O comprimento da barra é igual a 500 mm e o valor do campo é igual a 2 T. Determine a massa (conjunto corpo + barra) que permitirá o equilíbrio do sistema quando uma corrente igual a 60 A circular na barra. Dados: ● Aceleração da gravidade: 10 m/s². Observação: ● Despreze o atrito entre os trilhos. (A) 2,0 kg (B) 3,0 kg (C) 4,0 kg (D) 5,0 kg (E) 6,0 kg


No circuito representado, com a chave 𝐾1 fechada e 𝐾2 aberta, a diferença de potencial entre os pontos A e B vale 90 V e a potência elétrica que as fontes fornecem ao circuito CKT1 é 360 W.

Quando a chave 𝐾1 encontra-se aberta e 𝐾2, fechada, a corrente no resistor 𝑅 é 10 A. Determine o rendimento da fonte 𝑆 (destacada na figura) quando a chave 𝐾1 estiver fechada e 𝐾2 aberta. Observação: ● Considere que o circuito CKT1 não possui geradores nem receptores. (A) 30% (B) 40% (C) 60% (D) 70% (E) 80%

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QUESTÕES DE 31 A 40

QUÍMICA


Assinale a alternativa que contém as funções orgânicas presentes nas substâncias A, B, C e D.

(A) Álcool, alceno, alcino e cetona. (B) Álcool, alceno, alcino e ácido carboxílico. (C) Aldeído, alcano, alceno e cetona. (D) Aldeído, alceno, alceno e ácido carboxílico. (E) Álcool, alcano, alcano e aldeído.


Indique a alternativa que contém o número de isômeros ópticos e de racematos no 2- cloro-5-vinilciclopent-3-en-1-ol. (A) 16 isômeros ópticos e 8 racematos. (B) 16 isômeros ópticos e 16 racematos. (C) 4 isômeros ópticos e 2 racematos. (D) 8 isômeros ópticos e 4 racematos. (E) 8 isômeros ópticos e 8 racematos.


Qual é a alternativa que contém o pH mais próximo de uma solução de NaOH a 1 x 10-7 mol/L, a 25°C e 1 atm?

Dados: 51/2 = 2,24 ; log (6,2) = 0,79

(A) 7,00 (B) 6,79 (C) 7,21 (D) 8,00 (E) 8,50

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Considere as duas equações químicas abaixo que representam possíveis reações para a obtenção de nitrato cúprico:

3 23 . 2

3 2 23 . 2

dil

conc

Cu HNO Cu NO H O NO

Cu HNO Cu NO H O NO

Considerando as duas rotas e tendo como objetivo a produção de 20 kg de nitrato cúprico, qual dos processos é mais econômico em termos de HNO3 consumido? Qual a economia gerada, em kg de HNO3, pela escolha do processo mais econômico? (A) HNO3 diluído e 26,46 kg de economia. (B) HNO3 concentrado e 79,37 kg de economia. (C) HNO3 concentrado e 26,46 kg de economia. (D) HNO3 diluído e 52,91 kg de economia. (E) HNO3 diluído e 79,37 kg de economia.


O gráfico a seguir mostra o decaimento radioativo do Na24, que é descrito por uma cinética de primeira ordem: (Dados: In(2) = 0,693, In(3) = 1,099 e In(10) = 2,302)

Marque a alternativa que contém o tempo de meia-vida, em horas, do Na24. (A) 0,046 (B) 0,066 (C) 15 (D) 46 (E) 66


Com relação aos lipídios assinale a alternativa correta: (A) as gorduras mais NaOH formam sabões, que são eficazes na água dura, devido ao fato dos

sais de cálcio e magnésio formados serem solúveis em água. (B) o composto C15H31COOH é um ácido graxo insaturado. (C) na constituição das gorduras (sólidos à temperatura ambiente) participam em maior proporção

os ácidos graxos insaturados. (D) na constituição dos óleos (líquidos à temperatura ambiente), participam em maior proporção os

ácidos graxos insaturados. (E) os lipídios são caracterizados por uma natureza hidrofílica.

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Assinale a alternativa que contém a correta distribuição eletrônica para o elemento de número atômico 24 no estado fundamental e neutro.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)


Considere uma solução aquosa de um ácido monoprótico que possui volume de 1,0 litro, pH igual a 2,0 e ponto de congelamento –0,2°C. A partir desta solução preparou-se uma outra solução de pH igual a 3,0. Qual o volume de água, em litros, teve de ser adicionado à solução inicial para que se atingisse o objetivo? Considere o experimento realizado ao nível do mar e os valores numéricos das molalidades iguais aos das respectivas molaridades. Desprezando as interações iônicas nas soluções. (A) 50 (B) 49 (C) 40 (D) 39 (E) 30


Considere uma bateria zinco-ar na qual um dos eletrodos é formado por uma mistura de hidróxido de potássio e zinco em pó. O outro eletrodo é formado por uma placa de carvão poroso que deixa passar gás oxigênio e água gasosa. A capacidade da bateria depende da massa de zinco que é consumida seguinte equação global:

Zn (s) + ½ O2 → ZnO (s),

processo este que envolve a formação e decomposição de hidróxido de zinco. Para uma bateria desse tipo e com capacidade média de 160mAh , marque a alternativa que contém a massa média, em gramas, de zinco necessária para que a bateria apresente a capacidade supracitada nas condições padrão. (A) 0,0975 (B) 0,0488 (C) 0,195 (D) 195 (E) 702

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Assinale a alternativa que contém o valor da variação da entalpia da reação abaixo, sabendo que para as substâncias grafita, gás hidrogênio e gás metano os calores de combustão são –393,5 kJ mol–1; – 285,9 kJ mol–1 e –890,5 kJ mol–1, respectivamente.

2 42C grafita H g CH g

(A) –211,1 kJ mol–1 (B) –74,8 kJ mol–1 (C) 74,8 kJ mol–1 (D) 136,3 kJ mol–1 (E) 211,1 kJ mol–1

prova objetiva...determine, em termos de n, a probabilidade de as duas bolas escolhidas possuírem a...

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