PROVA DE MATEMAacuteTICA DA FUVEST-2017 FASE 2 RESOLUCcedilAtildeO PROFESSORA MARIA ANTOcircNIA C GOUVEIA

Dia 09 de janeiro de 2017

13 Um caminhatildeo deve transportar em uma uacutenica viagem dois materiais diferentes X e Y

cujos volumes em m3 satildeo denotados por x e y respectivamente Sabe-se que todo o material

transportado seraacute vendido A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na

venda de cada um deles satildeo dados na tabela a seguir

Material Densidade Lucro

X 125 kgm3 R$ 12000m3

Y 400 kgm3 R$ 24000m3

Para realizar esse transporte as seguintes restriccedilotildees satildeo impostas

I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3

II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas

Considerando essas restriccedilotildees

a) esboce no plano cartesiano preparado na paacutegina de respostas a regiatildeo correspondente aos

pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhatildeo

Considerando essas restriccedilotildees

a) esboce no plano cartesiano preparado na paacutegina de respostas a regiatildeo correspondente aos

pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhatildeo

b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10 m3 determine a

quantidade de material X que deve ser transportada para que o lucro total seja maacuteximo

c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m3 determine o par

(x y) que maximiza o lucro total

RESOLUCcedilAtildeO

Os volumes em m3 dos materiais X e Y satildeo denotados por x e y respectivamente

E as restriccedilotildees para o transporte desses materiais satildeo

I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3

II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas

0 80ou 25 0

500ou pares

4001605

50050

10

400165

50

10

10000400125

50

x

yx

y

yx

yx

y

yx

yx

Determinaccedilatildeo do ponto P interseccedilatildeo das retas limites das duas inequaccedilotildees

11

150

11

400

11

400

11

150

11

150

15011

400165

25055

400165

50Px

y

y

yx

yx

yx

yx50

Agrave regiatildeo delimitada pelo quadrilaacutetero cujos veacutertices satildeo os pontos (40 0)

11

150

11

400 (0 25)

e (0 0) pertencem os pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser

transportados pelo caminhatildeo

b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y

Material Densidade Lucro

X 125 kgm3 R$ 12000m3

Y 400 kgm3 R$ 24000m3

Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3

Sendo 40

48

40

2400120

2405

40

2400120

4001605

5010

2400120

10

400165

50

240120

x

x

x

xL

x

x

xL

x

x

xL

y

yx

yx

yxL

Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3

c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo

x + y = 36

Logo

20 eacutey der maior valo

20

22011

400165180

40016365

400165

36

400165

36

y

y

yy

yy

yx

yx

yx

yx

Logo o maior valor de x eacute 16

Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)

Dia 10 de janeiro de 2017

M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas

a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _

b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3

RESOLUCcedilAtildeO

Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1

Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas

medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x

a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10

Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas

tecircm que ser positivas

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV

O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com

b) 384)220)(216()( xxxxV

096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx

01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio

968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x

Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini

2 ndash 32 96

2 1 ndash 18 80 ndash 96

1 ndash 16 48 0

041224048162409680184 223 xxxxxxxxx

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo

em que eacute verdadeira

Tem-se 1242 xx ou

Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o

volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x

M02

O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte

enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em

radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o

disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita

a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_

b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _

c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo

20

____

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

RESOLUCcedilAtildeO

Os volumes em m3 dos materiais X e Y satildeo denotados por x e y respectivamente

E as restriccedilotildees para o transporte desses materiais satildeo

I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3

II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas

0 80ou 25 0

500ou pares

4001605

50050

10

400165

50

10

10000400125

50

x

yx

y

yx

yx

y

yx

yx

Determinaccedilatildeo do ponto P interseccedilatildeo das retas limites das duas inequaccedilotildees

11

150

11

400

11

400

11

150

11

150

15011

400165

25055

400165

50Px

y

y

yx

yx

yx

yx50

Agrave regiatildeo delimitada pelo quadrilaacutetero cujos veacutertices satildeo os pontos (40 0)

11

150

11

400 (0 25)

e (0 0) pertencem os pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser

transportados pelo caminhatildeo

b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y

Material Densidade Lucro

X 125 kgm3 R$ 12000m3

Y 400 kgm3 R$ 24000m3

Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3

Sendo 40

48

40

2400120

2405

40

2400120

4001605

5010

2400120

10

400165

50

240120

x

x

x

xL

x

x

xL

x

x

xL

y

yx

yx

yxL

Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3

c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo

x + y = 36

Logo

20 eacutey der maior valo

20

22011

400165180

40016365

400165

36

400165

36

y

y

yy

yy

yx

yx

yx

yx

Logo o maior valor de x eacute 16

Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)

Dia 10 de janeiro de 2017

M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas

a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _

b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3

RESOLUCcedilAtildeO

Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1

Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas

medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x

a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10

Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas

tecircm que ser positivas

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV

O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com

b) 384)220)(216()( xxxxV

096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx

01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio

968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x

Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini

2 ndash 32 96

2 1 ndash 18 80 ndash 96

1 ndash 16 48 0

041224048162409680184 223 xxxxxxxxx

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo

em que eacute verdadeira

Tem-se 1242 xx ou

Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o

volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x

M02

O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte

enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em

radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o

disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita

a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_

b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _

c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo

20

____

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y

Material Densidade Lucro

X 125 kgm3 R$ 12000m3

Y 400 kgm3 R$ 24000m3

Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3

Sendo 40

48

40

2400120

2405

40

2400120

4001605

5010

2400120

10

400165

50

240120

x

x

x

xL

x

x

xL

x

x

xL

y

yx

yx

yxL

Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3

c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo

x + y = 36

Logo

20 eacutey der maior valo

20

22011

400165180

40016365

400165

36

400165

36

y

y

yy

yy

yx

yx

yx

yx

Logo o maior valor de x eacute 16

Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)

Dia 10 de janeiro de 2017

M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas

a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _

b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3

RESOLUCcedilAtildeO

Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1

Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas

medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x

a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10

Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas

tecircm que ser positivas

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV

O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com

b) 384)220)(216()( xxxxV

096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx

01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio

968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x

Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini

2 ndash 32 96

2 1 ndash 18 80 ndash 96

1 ndash 16 48 0

041224048162409680184 223 xxxxxxxxx

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo

em que eacute verdadeira

Tem-se 1242 xx ou

Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o

volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x

M02

O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte

enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em

radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o

disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita

a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_

b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _

c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo

20

____

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

Dia 10 de janeiro de 2017

M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas

a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _

b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3

RESOLUCcedilAtildeO

Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1

Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas

medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x

a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10

Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas

tecircm que ser positivas

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV

O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com

b) 384)220)(216()( xxxxV

096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx

01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio

968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x

Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini

2 ndash 32 96

2 1 ndash 18 80 ndash 96

1 ndash 16 48 0

041224048162409680184 223 xxxxxxxxx

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo

em que eacute verdadeira

Tem-se 1242 xx ou

Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o

volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x

M02

O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte

enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em

radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o

disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita

a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_

b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _

c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo

20

____

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

b) 384)220)(216()( xxxxV

096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx

01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio

968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x

Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini

2 ndash 32 96

2 1 ndash 18 80 ndash 96

1 ndash 16 48 0

041224048162409680184 223 xxxxxxxxx

Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo

em que eacute verdadeira

Tem-se 1242 xx ou

Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o

volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x

M02

O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte

enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em

radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o

disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita

a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_

b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _

c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo

20

____

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

RESOLUCcedilAtildeO

a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1

entatildeo 2

332

34

12 PQPQPQ

x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2

42

31

y(Q)

Finalmente

2

π4 1Q

b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo

PCA ˆ = mede 45deg

Entatildeo o comprimento do arco OP = 8

2

4

P

43

Q

2

245 APsenAP e

2

21AO

No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ

4

34

3

43

PQ

2

2

2

2

2

2

2

2BQPB

PBPB

Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo

8

π222

43

2

2

2

2 PBAPxQ

e

18

π22

2

21

43

2

2 AOBQyQ

c) No intervalo

20

tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos

Logo cos 1 senP

Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo

3

1

3

1cos

3

1cos

BQ

sen

BP

BQ

sen

BPPQ

CP

BQ

AP

BP

AC

e

3cosBP e 3senBQ

Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo

θ3cosθ senθPBAPxQ e

θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul

a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO

a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2

b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo

Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas

c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo

Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

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ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

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1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73

04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os

pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente

a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO

a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD

respectivamente 2

ADEH

v

2

DCHF e

2

ACEF

O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)

A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4

39

4

33sup2S

b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado

Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo

ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI

O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar

que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3

Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

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ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

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ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas

medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da

diagonal da base GH

23GH e 2

23OH

No triacircngulo retacircngulo FOH

9

29

2

2

2

22

hhd 23

24

18

4

189

2

22

2

2323

hhh

Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2

29

2

233

3

1V

1048576

05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

Sabe-see que existe um uacutenico valor

1

2

1pa

__tal que p)(pf aaa

Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x

a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_

b) Mostre que 2

1

2

1

aa ff para todo 21a

c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff

2

1_ em que ap __eacute

o ponto encontrado no item a

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

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1

1

1

)1(

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xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

(x)fa

221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

22232

222

aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

aaaa

a

aaafpfff aaaaa

ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

3

3

ak

ak

akc

akc

Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

2333

3

3

1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

RESOLUCcedilAtildeO

a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)

Resolvendo o sistema

x)a(1y

xytem-se as coordenadas Pa do ponto P

a1

a

a1

aP

a

ay

a

ax

a

ax

aax

1

1

1

)1(

aaxx

xx)a(1

x)a(1y

xy

Entatildeo o valor

1

2

1pa

eacute a1

apa

b) Pelo graacutefico para x = 2

1

22

1

2

1 aafa

e 2

1

2

a

Sendo

1x2

1 se x)a(1

2

1x0 se ax

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221

22

1 2aa

aa

afff aaa

pois 122

1

a

22

1 2aaff aa

assume o valor maacuteximo para 1

2

12

1

a

O valor maacuteximo de22

1 2aaff aa

eacute

2

1

2

11

2

Finalmente pode-se concluir que 2

1

2

1

aa ff para todo 12a

c)

221021

02101210222112

1

1

212122

1

2

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aaaaa

aaaaaaaaaaaa

a

aa

a

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ou ou ou

Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff

2

1 satildeo 2 e 2 1

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

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3

3

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ak

ak

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Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

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1

)18(log

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2

23

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ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200

104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado

em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de

acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se

400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc

b)

400)18(log

200)12(log

0)18(log400)8(

200)12(log400)2(

3

3

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ak

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akc

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Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se

acute(0014044

1812)18(log)12(log)18(log)12(log22

1

)18(log

)12(log

2

23

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1a

ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa

aaaaaaa

a

Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk

Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200