PROVA DE MATEMAacuteTICA DA FUVEST-2017 FASE 2 RESOLUCcedilAtildeO PROFESSORA MARIA ANTOcircNIA C GOUVEIA
Dia 09 de janeiro de 2017
13 Um caminhatildeo deve transportar em uma uacutenica viagem dois materiais diferentes X e Y
cujos volumes em m3 satildeo denotados por x e y respectivamente Sabe-se que todo o material
transportado seraacute vendido A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na
venda de cada um deles satildeo dados na tabela a seguir
Material Densidade Lucro
X 125 kgm3 R$ 12000m3
Y 400 kgm3 R$ 24000m3
Para realizar esse transporte as seguintes restriccedilotildees satildeo impostas
I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3
II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas
Considerando essas restriccedilotildees
a) esboce no plano cartesiano preparado na paacutegina de respostas a regiatildeo correspondente aos
pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhatildeo
Considerando essas restriccedilotildees
a) esboce no plano cartesiano preparado na paacutegina de respostas a regiatildeo correspondente aos
pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser transportados pelo caminhatildeo
b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10 m3 determine a
quantidade de material X que deve ser transportada para que o lucro total seja maacuteximo
c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m3 determine o par
(x y) que maximiza o lucro total
RESOLUCcedilAtildeO
Os volumes em m3 dos materiais X e Y satildeo denotados por x e y respectivamente
E as restriccedilotildees para o transporte desses materiais satildeo
I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3
II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas
0 80ou 25 0
500ou pares
4001605
50050
10
400165
50
10
10000400125
50
x
yx
y
yx
yx
y
yx
yx
Determinaccedilatildeo do ponto P interseccedilatildeo das retas limites das duas inequaccedilotildees
11
150
11
400
11
400
11
150
11
150
15011
400165
25055
400165
50Px
y
y
yx
yx
yx
yx50
Agrave regiatildeo delimitada pelo quadrilaacutetero cujos veacutertices satildeo os pontos (40 0)
11
150
11
400 (0 25)
e (0 0) pertencem os pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser
transportados pelo caminhatildeo
b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y
Material Densidade Lucro
X 125 kgm3 R$ 12000m3
Y 400 kgm3 R$ 24000m3
Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3
Sendo 40
48
40
2400120
2405
40
2400120
4001605
5010
2400120
10
400165
50
240120
x
x
x
xL
x
x
xL
x
x
xL
y
yx
yx
yxL
Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3
c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo
x + y = 36
Logo
20 eacutey der maior valo
20
22011
400165180
40016365
400165
36
400165
36
y
y
yy
yy
yx
yx
yx
yx
Logo o maior valor de x eacute 16
Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)
Dia 10 de janeiro de 2017
M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas
a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _
b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3
RESOLUCcedilAtildeO
Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1
Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas
medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x
a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10
Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas
tecircm que ser positivas
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV
O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com
b) 384)220)(216()( xxxxV
096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx
01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio
968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x
Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini
2 ndash 32 96
2 1 ndash 18 80 ndash 96
1 ndash 16 48 0
041224048162409680184 223 xxxxxxxxx
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo
em que eacute verdadeira
Tem-se 1242 xx ou
Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o
volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x
M02
O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte
enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em
radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o
disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita
a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_
b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _
c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo
20
____
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
RESOLUCcedilAtildeO
Os volumes em m3 dos materiais X e Y satildeo denotados por x e y respectivamente
E as restriccedilotildees para o transporte desses materiais satildeo
I o volume total maacuteximo de material transportado deve ser de 50 m3
II a massa total maacutexima de material transportado deve ser de 10 toneladas
0 80ou 25 0
500ou pares
4001605
50050
10
400165
50
10
10000400125
50
x
yx
y
yx
yx
y
yx
yx
Determinaccedilatildeo do ponto P interseccedilatildeo das retas limites das duas inequaccedilotildees
11
150
11
400
11
400
11
150
11
150
15011
400165
25055
400165
50Px
y
y
yx
yx
yx
yx50
Agrave regiatildeo delimitada pelo quadrilaacutetero cujos veacutertices satildeo os pontos (40 0)
11
150
11
400 (0 25)
e (0 0) pertencem os pares (x y) de volumes dos materiais X e Y que podem ser
transportados pelo caminhatildeo
b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y
Material Densidade Lucro
X 125 kgm3 R$ 12000m3
Y 400 kgm3 R$ 24000m3
Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3
Sendo 40
48
40
2400120
2405
40
2400120
4001605
5010
2400120
10
400165
50
240120
x
x
x
xL
x
x
xL
x
x
xL
y
yx
yx
yxL
Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3
c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo
x + y = 36
Logo
20 eacutey der maior valo
20
22011
400165180
40016365
400165
36
400165
36
y
y
yy
yy
yx
yx
yx
yx
Logo o maior valor de x eacute 16
Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)
Dia 10 de janeiro de 2017
M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas
a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _
b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3
RESOLUCcedilAtildeO
Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1
Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas
medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x
a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10
Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas
tecircm que ser positivas
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV
O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com
b) 384)220)(216()( xxxxV
096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx
01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio
968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x
Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini
2 ndash 32 96
2 1 ndash 18 80 ndash 96
1 ndash 16 48 0
041224048162409680184 223 xxxxxxxxx
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo
em que eacute verdadeira
Tem-se 1242 xx ou
Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o
volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x
M02
O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte
enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em
radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o
disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita
a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_
b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _
c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo
20
____
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
b) Como todo o material transportado seraacute vendido usando os dados da tabela tem-se a expressatildeo que representa o lucro a ser obtido L = 120x + 240y
Material Densidade Lucro
X 125 kgm3 R$ 12000m3
Y 400 kgm3 R$ 24000m3
Sendo 10 m3 a quantidade transportada do material Y pelo graacutefico ao lado percebe-se que a reta y = 10 intercepta as retas x = 10 x = 20 x = 30 e x = 40 nos pontos A B C e D respectivamente No ponto D x assume o seu maior valor 40 Nesse ponto o valor de x representa a quantidade maacutexima do material X que deve ser transportada ou seja 40msup3
Sendo 40
48
40
2400120
2405
40
2400120
4001605
5010
2400120
10
400165
50
240120
x
x
x
xL
x
x
xL
x
x
xL
y
yx
yx
yxL
Finalmente o lucro seraacute maacuteximo quando o volume do material X for 40msup3
c) Se a quantidade total de material transportado a ser transportado eacute de 36 m3 entatildeo
x + y = 36
Logo
20 eacutey der maior valo
20
22011
400165180
40016365
400165
36
400165
36
y
y
yy
yy
yx
yx
yx
yx
Logo o maior valor de x eacute 16
Entatildeo o par (x y) que maximiza o lucro eacute (20 16)
Dia 10 de janeiro de 2017
M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas
a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _
b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3
RESOLUCcedilAtildeO
Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1
Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas
medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x
a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10
Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas
tecircm que ser positivas
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV
O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com
b) 384)220)(216()( xxxxV
096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx
01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio
968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x
Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini
2 ndash 32 96
2 1 ndash 18 80 ndash 96
1 ndash 16 48 0
041224048162409680184 223 xxxxxxxxx
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo
em que eacute verdadeira
Tem-se 1242 xx ou
Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o
volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x
M02
O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte
enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em
radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o
disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita
a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_
b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _
c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo
20
____
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
Dia 10 de janeiro de 2017
M01 Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm Apoacutes remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepiacutepedo reto-retacircngulo com altura x cm As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas
a) Expresse o volume da caixa em funccedilatildeo de x _
b) Determine o conjunto dos valores de x _ para os quais o volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3
RESOLUCcedilAtildeO
Depois dos cortes dos quatros quadrados foi gerada a figura 1
Dobrando segundo as linhas interrompidas tem-se a caixa representada na figura 2 cujas arestas
medem x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x
a) O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute )220)(216( xxxxV cujas raiacutezes satildeo 0 8 e 10
Sendo x 16 ndash 2x e 20 ndash 2x as medidas das arestas os valores numeacutericos das trecircs expressotildees algeacutebricas
tecircm que ser positivas
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo )220)(216( xxxxV
O volume desta caixa em funccedilatildeo de x eacute 80)220)(216( xxxxxV com
b) 384)220)(216()( xxxxV
096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx
01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio
968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x
Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini
2 ndash 32 96
2 1 ndash 18 80 ndash 96
1 ndash 16 48 0
041224048162409680184 223 xxxxxxxxx
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo
em que eacute verdadeira
Tem-se 1242 xx ou
Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o
volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x
M02
O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte
enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em
radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o
disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita
a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_
b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _
c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo
20
____
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
b) 384)220)(216()( xxxxV
096801840384320724384)220)(216( 2323 xxxxxxxxx
01681684)96160728(4)2(V x = 2 eacute raiz da inequaccedilatildeo e o polinocircmio
968018 23 xxx eacute divisiacutevel por 2x
Aplicando o dispositivo praacutetico de Briot-Ruffini
2 ndash 32 96
2 1 ndash 18 80 ndash 96
1 ndash 16 48 0
041224048162409680184 223 xxxxxxxxx
Fazendo o estudo da variaccedilatildeo do sinal da funccedilatildeo 041224 xxx para determinar o intervalo
em que eacute verdadeira
Tem-se 1242 xx ou
Mas pela conclusatildeo do iacutetem a tem-se 80 x entatildeo o conjunto dos valores de x _ para os quais o
volume da caixa eacute maior ou igual a 384 cmsup3 eacute 4]2[x
M02
O centro de um disco de raio 1 _ eacute colocado no ponto C = (01) do plano cartesiano Oxy_ Uma das extremidades de um fio de espessura despreziacutevel e comprimento 3 _ eacute fixada na origem O e a outra extremidade estaacute Inicialmente no ponto (3 0)_ Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento enrola-_-se no sentido anti--horaacuterio parte dele em torno do disco de modo que a parte
enrolada do fio seja um arco OP __ da circunferecircncia que delimita o disco A medida do acircngulo PCO ˆ em
radianos eacute denotada por A parte natildeo enrolada do fio eacute um segmento retiliacuteneo PQ ______ que tangencia o
disco no ponto P_ A figura abaixo ilustra a situaccedilatildeo descrita
a) Determine as coordenadas do ponto Q _ quando o segmento PQ ______ for paralelo ao eixo y_
b) Determine as coordenadas do ponto _ Q _ quando o segmento PQ ____for paralelo agrave reta de equaccedilatildeo y = x _ _ _
c) Encontre uma expressatildeo para as coordenadas do ponto Q _ em funccedilatildeo de _ para _ no intervalo
20
____
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
RESOLUCcedilAtildeO
a) O comprimento do fio eacute 3 Sendo OP um arco de 90deg de uma circunferecircncia de raio 1
entatildeo 2
332
34
12 PQPQPQ
x(Q) = 1 e y(Q) = 1 + PQ = 2
42
31
y(Q)
Finalmente
2
π4 1Q
b) Na figura ao lado PQ eacute paralelo agrave reta y = x logo o acircngulo
PCA ˆ = mede 45deg
Entatildeo o comprimento do arco OP = 8
2
4
P
43
Q
2
245 APsenAP e
2
21AO
No triacircngulo retacircngulo isoacutesceles PBQ
4
34
3
43
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2BQPB
PBPB
Finalmente as coordenadas do ponto Q quando =45deg satildeo
8
π222
43
2
2
2
2 PBAPxQ
e
18
π22
2
21
43
2
2 AOBQyQ
c) No intervalo
20
tem-se xP = sen e yP = AO = 1 ndash cos
Logo cos 1 senP
Os triacircngulos CAP e QBP satildeo semelhantes logo
3
1
3
1cos
3
1cos
BQ
sen
BP
BQ
sen
BPPQ
CP
BQ
AP
BP
AC
e
3cosBP e 3senBQ
Finalmente as coordenadas do ponto Q satildeo
θ3cosθ senθPBAPxQ e
θ3senθ cosθ1θ3senθ yBQAOy PQ
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
M03 Um quadriculado eacute formado por n times n quadrados iguais conforme ilustrado para n = 21048576 _ _ e n = 3_ _ Cada um desses quadrados seraacute pintado de azul ou de branco Dizemos que dois quadrados Q 1 e Q 2 do quadriculado estatildeo conectados se ambos estiverem pintados de azul e se for possiacutevel por meio de movimentos horizontais e verticais entre quadrados adjacentes sair de Q1 e chegar a Q2 passando apenas por quadrados pintados de azul
a) Se n = 2 _ de quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto inferior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito b) Suponha que n = 3 1048576 _ _ e que o quadrado central esteja pintado de branco De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito c) Suponha que n = 3_ De quantas maneiras distintas seraacute possiacutevel pintar o quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito RESOLUCcedilAtildeO
a) De acordo com a figura quando n = 2 existem trecircs maneiras ou seja 2sup2 ndash 1 de conectar os quadrados Q1 e Q2
b) Se os quadrados Q1 Q2 e QA estiverem pintados de azul os outros 5 quadrados poderatildeo estar pintados de azul ou branco Existem entatildeo 25 = 32 maneiras diferentes de fazer a conexatildeo
Se poreacutem o quadrado QA estiver pintado de branco os outros 5 quadrados deveratildeo estar pintados de azul para que haja conexatildeo entre os quadrados Q1 Q2 Existe apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo entre Q1 e Q2 Seraacute possiacutevel pintar o restante do quadriculado de modo que o quadrado Q1 do canto superior esquerdo esteja conectado ao quadrado Q2 do canto superior direito de (32 + 1) = 33 maneiras distintas
c) Supondo que QA esteja pintado de azul Q1 e Q2 estatildeo automaticamente conectados Logo cada um dos outros 6 quadrados pode ser pintado de azul ou de branco e tem-se entatildeo 26 = 64 maneiras diferentes de conexatildeo
Supondo que QA esteja pintado de branco Pintando QC tambeacutem de branco ter-se-aacute apenas 1 maneira de fazer a conexatildeo ou seja pintando os outos 5 quadrados de azul
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
Pintando de azul os quadrados da segunda os quadrados da terceira linha poderatildeo ser pintados de branco ou de azul Assim seratildeo 2sup3 = 8 maneiras diferentes de estabelecer a conexatildeo Concluindo o nuacutemero total de conexotildees seraacute 64 + 8 + 1 = 73
04 Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6_ cm Os pontos E_F G_ H _ e I _ satildeo os
pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC _ AC _ BD _____ e CD respectivamente
a) Determine a aacuterea do triacircngulo EFH_ b) Calcule a aacuterea do quadrilaacutetero EGIH ____ c) Determine o volume da piracircmide de veacutertices E G I H e F cuja base eacute o quadrilaacutetero EGIH RESOLUCcedilAtildeO
a) Sendo E_ F e H satildeo _ os pontos meacutedios das arestas ____ AB __ BC ______ e BD
respectivamente 2
ADEH
v
2
DCHF e
2
ACEF
O tetraedro ABCD eacute regular entatildeo suas faces satildeo triacircngulos equilaacuteteros e todas as arestas medem 6_ cm Assim EH = HF = EF = 3cm (O segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado)
A aacuterea do triacircngulo EFH eacute 4
39
4
33sup2S
b) Inicialmente busque-se provar que o quadrilaacutetero EGIH eacute um quadrado
Como o segmento de reta que liga os pontos meacutedios de dois lados de um triacircngulo qualquer eacute paralelo
ao terceiro lado AD GI e BC GE AD HE BC HI
O segmento BC eacute ortogonal a AD e sendo AD HE e BC HI HE HI Pode-se entatildeo afirmar
que o quadrilaacutetero GEHI eacute um quadrado de lado 3
Finalmente SGEHI = 3sup2 = 9
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
c) A piracircmide FEGIH quadrangular regular com todas as suas arestas
medindo 3 A altura FO intercepta a base no ponto O ponto meacutedio da
diagonal da base GH
23GH e 2
23OH
No triacircngulo retacircngulo FOH
9
29
2
2
2
22
hhd 23
24
18
4
189
2
22
2
2323
hhh
Finalmente o volume da piracircmide FEGIH eacute 32 cm2
29
2
233
3
1V
1048576
05 Considere a funccedilatildeo fa [0 1] [0 1] que depende de um paracircmetro a ]1 2] dada por
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
Sabe-see que existe um uacutenico valor
1
2
1pa
__tal que p)(pf aaa
Na figura a seguir estatildeo esboccedilados o graacutefico de fa __e da reta de equaccedilatildeo y = x
a) Encontre uma expressatildeo para o valor pa __em funccedilatildeo de a_
b) Mostre que 2
1
2
1
aa ff para todo 21a
c) Utilizando a desigualdade do item b) encontre 21a tal que aaaa pfff
2
1_ em que ap __eacute
o ponto encontrado no item a
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
RESOLUCcedilAtildeO
a) O ponto P = (pa pa) pertence agraves retas y = x e y = a(1 ndash x)
Resolvendo o sistema
x)a(1y
xytem-se as coordenadas Pa do ponto P
a1
a
a1
aP
a
ay
a
ax
a
ax
aax
1
1
1
)1(
aaxx
xx)a(1
x)a(1y
xy
Entatildeo o valor
1
2
1pa
eacute a1
apa
b) Pelo graacutefico para x = 2
1
22
1
2
1 aafa
e 2
1
2
a
Sendo
1x2
1 se x)a(1
2
1x0 se ax
(x)fa
221
22
1 2aa
aa
afff aaa
pois 122
1
a
22
1 2aaff aa
assume o valor maacuteximo para 1
2
12
1
a
O valor maacuteximo de22
1 2aaff aa
eacute
2
1
2
11
2
Finalmente pode-se concluir que 2
1
2
1
aa ff para todo 12a
c)
221021
02101210222112
1
1
212122
1
2
22232
222
aaaaa
aaaaaaaaaaaa
a
aa
a
aaaa
a
aaafpfff aaaaa
ou ou ou
Entatildeo os valores de a que satisfazem agrave igualdade aaaa pfff
2
1 satildeo 2 e 2 1
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200
104857606 Um analgeacutesico eacute aplicado via intravenosa Sua concentraccedilatildeo no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc em que t $eacute dado
em horas e c(t) _eacute dado em mgL As constantes a _e k ampsatildeo positivas a) Qual eacute a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no instante inicial t = 0__ b) Calcule as constantes a _ e k amp sabendo que no instante t = 2$_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute metade da concentraccedilatildeo no instante inicial e que no instante t =8 $_ a concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue eacute nula RESOLUCcedilAtildeO a) Se concentraccedilatildeo do analgeacutesico no sangue ateacute atingir a concentraccedilatildeo nula varia com o tempo de
acordo com a seguinte relaccedilatildeo )1(log400)( 3 atktc para t = 0 tem-se
400mgLc(0) 40004001log400)10(log400)0( 33 kakc
b)
400)18(log
200)12(log
0)18(log400)8(
200)12(log400)2(
3
3
3
3
ak
ak
akc
akc
Dividindo membro a membro a primeira equaccedilatildeo pela segunda tem-se
acute(0014044
1812)18(log)12(log)18(log)12(log22
1
)18(log
)12(log
2
23
2333
3
3
1a
ou 0) que questatildeo na dado eacute poissatisfaz Natildeo aaaaaa
aaaaaaa
a
Sendo a = 1 200k 200)3(log200)112(log 33 kk
Conclusatildeo Os valores das constantes a e k satildeo respectivamente 1 e 200