INEQUAÇÃOINEQUAÇÃO→ Para aprendermos inequação, deveremos conhecer os símbolos das desigualdades.

Uma sentença matemática em que usa o símbolo ≠ (diferente de) representa uma desigualdade. Exemplos:

■ 2 + 5 ≠ 10 → a soma de dois e cinco é diferente de dez

■ 3² ≠ 2³ → o quadrado de três é diferente do cubo de dois

■ 2 . 7 ≠ 7² → o dobro de sete é diferente do quadrado de sete

Você pode verificar que:

Se a ≠ b, poderá ocorrer a > b ou a < b

Assim: 2 + 5 < 10 3² > 2³ 2 . 7 < 7²

→ Vejamos os símbolos das desigualdades que iremos trabalhar:

< < (menor que) >> (maior que)

≥ ≥ (maior ou igual que) ≤≤ (menor ou igual que)

→ Exemplos de desigualdade:

3 > - 2 0 < 1 2 ≤ 2 7 ≥ 7

Outro exemplo: Em uma

cidade a temperatura é de -1º C.

Em outra cidade marca 2ºC.

Ou seja, a desigualdade de

temperatura entre as duas cidades é representado assim: - 1ºC < 2ºC.

→ Inequações:

- Chama-se inequação toda sentença matemática que contém um ou mais elementos desconhecidos e representa uma desigualdade.

Ex: 3x – 1 < 6

Do mesmo modo que nas igualdades, as desigualdades tem dois membros.

Em uma inequação, o que vem antes do sinal da desigualdade chama-se primeiro membro e o que vem depois da desigualdade, segundo membro.

3x – 1 < 6

1º membro: 3x – 1

2º membro: 6

→ Conjunto Universo: é o conjunto de todos os valores que a incógnita pode assumir. Simbologia: U

→ Conjunto Verdade: é o conjunto formado pelas soluções dessa inequação que pertencem ao conjunto universo. Simbologia: V

→ Raiz de uma inequação ou solução de uma inequação

Para verificar se um número é solução da inequação, devemos substituir a incógnita por esse número. Se a sentença for verdadeira, o número será solução da inequação.

Verifique se 2 é a raiz da 3x – 1 < 6

Substituindo o x pelo número 2, temos:

3 . 2 – 1 < 6 ↔ 6 – 1 < 6 ↔ 5 < 6 (sentença verdadeira)

Portanto, 2 é raiz da inequação.

Exercício: Sendo o conjunto Universo (U) = {-2, -1, 2, 3}, determine o conjunto Verdade (V) da inequação abaixo:

2x + 5 < 10

Dado um conjunto universo, teremos que verificar se cada um elemento desse conjunto satisfaz a inequação. Se a sentença for verdadeira o número é solução. Se a sentença for falsa o número não é solução. Observe:

o número – 2, vejamos: 2 . (– 2) + 5 < 10 ↔ – 4 + 5 < 10 ↔ 1 < 10 (V)

o número – 1, vejamos: 2 . (– 1) + 5 < 10 ↔ – 2 + 5 < 10 ↔ 3 < 10 (V)

o número 2, vejamos: 2 . (2) + 5 < 10 ↔ 4 + 5 < 10 ↔ 9 < 10 (V)

o número 3, vejamos: 2 . (3) + 5 < 10 ↔ 6 + 5 < 10 ↔ 11 < 10 (F)

ENTÃO: os números -2, -1 e 2 tornam a inequação verdadeira, portanto esses números são o conjunto verdade.

V = {-2, -1, 2)

EXERCÍCIOS

1) A sentença matemática 3x – 2 < 1 é uma inequação? Justifique.

2) Porque a sentença (2+10) : (2+4) < 2 + 10 : 2 + 4 não é uma inequação?

3) Identifique o 1º membro e o 2º membro em cada inequação: a) 1 – 4x < x + 2 b) x – 1 > x + 1 3 2 3 6

4) Sendo x o número de letras de uma palavra, verifique se a inequação x < 5 pode ser aplicada à palavra:a) matemática b) zero c) lado d) área e) quadrado f) par

5) Escreve uma inequação para cada item:a) O dobro de um número x aumentado de 7 é maior que 20.b) Dois terços de x é menor que o dobro de y.c) A diferença entre o quádruplo de x e 1 é maior que 20.

→ Inequação do 1º grau com uma incógnita

Denomina-se inequação do 1º grau com uma incógnita toda inequação que assume umas das formas:

ax > b ax < b ax ≥ b ax ≤ b, com a ≠ 0

Assim, são inequações do 1º grau com uma incógnita:

3x > 1 2x < - 30 5x ≥ 10 -3x ≤ -60

Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita significa determinar os valores do conjunto universo que verificam a desigualdade que representa essa inequação.

Exemplo: 3x – 1 < 6

3x < 6 + 1 3x < 7 → x < 7 3

→ Inequações equivalentes

Denomina-se inequações equivalentes duas ou mais inequações que têm o mesmo conjunto verdade em relação ao mesmo conjunto universo.

3x + 1 > 7 e 3x > 6 são equivalentes?

Vejamos: 1) 3x + 1 > 7 → 3x > 6 → x > 6 → x > 2 3 2) 3x > 6 → x > 6 → x > 2 3

Observem que as duas inequações tem a mesma solução ou tem o mesmo conjunto verdade. Portanto as duas inequações são equivalentes.

→ Princípios de Equivalência 1) PRINCÍPIO ADITIVO ■ Consideremos a desigualdade x – 1 < 6. Vamos adicionar o número 1 aos dois membros da desigualdade:

x – 1 + 1 < 6 + 1 → x < 7

Observe que a desigualdade têm o mesmo sentido daquela inicialmente apresentada. Esse fato sempre ocorre quando adicionamos aos dois membros um número qualquer.

Adicionando o mesmo número aos dois membros de uma Adicionando o mesmo número aos dois membros de uma inequação, ou subtraindo, obtemos uma inequação equivalente.inequação, ou subtraindo, obtemos uma inequação equivalente. Outro exemplo: 2x + 1 ≤ x – 5 → 2x + 1 – x – 1 ≤ x – x – 1 – 5 → x ≤ – 6

Observem que este princípio é a mesma coisa de passar a incógnita para o 1º membro e o coeficiente numérico para o 2º membro com sinais contrários.

→ Princípios de Equivalência Do exemplo anterior, podemos concluir: Para passar um termo de um membro para o outro, em uma desigualdade, devemos trocar o sinal desse termo.

Exemplos: 2x – 5 > 7 3x + 4 < 20 2x > 7 + 2 3x < 20 – 4 2x > 12 3x < 16

2) PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO ■ Consideremos a desigualdade 3x < 6. Vamos dividir pelo número 3 aos dois membros da desigualdade: 3x < 6 → 3x < 6 → x < 2 3 3

Observe que a desigualdade têm o mesmo sentido daquela inicialmente apresentada. Esse fato sempre ocorre quando multiplicamos ou dividimos aos dois membros um número qualquer.

Multiplicando ou dividindo os membros de uma inequação pelo Multiplicando ou dividindo os membros de uma inequação pelo mesmo número (diferente de zero), obtemos:mesmo número (diferente de zero), obtemos:- uma inequação equivalente com o mesmo sinal da desigualdade, se - uma inequação equivalente com o mesmo sinal da desigualdade, se o número for positivo;o número for positivo;- uma inequação equivalente com o sinal contrário ao da uma inequação equivalente com o sinal contrário ao da desigualdade, se o número for negativo.desigualdade, se o número for negativo. Exemplos:■ Considere a inequação: x - 2 > 5 2 multiplicando os membros por 2, obtemos: 2 (x - 2) > 5 . 2 → x – 4 > 10 → mantém o sinal da desigualdade 2

→ x > 10 + 4 → x > 14

■ Considere a inequação: - 5x + 5 > 15 dividindo os membros por - 5, obtemos:

- 5x + 5 > 15 → x – 1 < - 3 → inverte o sinal da desigualdade - 5 - 5

Observação: Quando precisamos multiplicar uma inequação por – 1, deve-se trocar o sinal de todos os termos pelo seu oposto, e também inverter o sentido da desigualdade.

Veja o exemplo: – 6x + 5 >> – 7, multiplicando por – 1, obtemos: 6x – 5 << 7 → 6x < 7 + 5 → 6x < 12 → x < 12 → x < 2 6

→ Resolução de uma inequação

Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita significa determinar o conjunto verdade ou as soluções da inequação, no conjunto universo considerado.

Veja o exemplo:

V = {x Є Z | x ≥ 2} {2, 3, 4, 5, ...} → conjunto das raízes

conjunto universo definido

Observem os exemplos a seguir:

1) Sendo U = Q, resolva a inequação 7x + 6 > 4x + 7.

7x + 6 > 4x + 7 =

= 7x – 4x > 7 – 6 =

= 3x > 1 = = x > 1 S ou V = {x Є Q | x > 1 } 3 3

2) Sendo U = Q, resolva a inequação x ≤ 1 – 2 – 3x. 2 4 5 x ≤ 1 – 2 – 3x → inequação com denominadores diferentes 2 4 5 tira-se o mmc.

= 10x ≤ 5 – 4 (2 – 3x) → corta os denominadores iguais 20 20 20

= 10x ≤ 5 – 4 (2 – 3x) → 10x ≤ 5 – 8 + 12x → 10x – 12x ≤ – 3 = = - 2x ≤ – 3 → multiplica por – 1 (inverte o sinal da desigualdade)= 2x ≥ 3 → x ≥ 3 2 V = { x Є Q | x ≥ 3 } 2 3) Sendo U = Q, resolva a inequação 4 (x - 1) – 2 (x + 1) < 7.4 (x - 1) – 2 (x + 1) < 7 → 4x – 4 – 2x – 2 < 7 → 2x – 6 < 7 == 2x < 7 + 6 → 2x < 13 → x < 13 2 V = { x Є Q | x < 13 } 2

EXERCÍCIOS

1) Sendo U = Q, resolva as seguintes inequações:

a) 5x – 3 (x + 6) > x – 14

b) x – 5 + x < – 1 2 3

c) x – 1 > 1 + x 2 3

d) x > 1 – 2 – x 5 4 2 e) x + 1 ≤ x – 2 4 8 f) x – 1 > – 1 + x – 2 4 6 3

2) Em um recipiente cheio cabem x litros. Se tirarmos 2 litros, a quantidade que restará no recipiente será menor que 3 da capa-

cidade do recipiente. 5 Monte a inequação correspondente e determine os possíveis

valores de x.

3) O número 3 pertence ao conjunto solução da inequação 1 ( x – 2 ) < x - 1 3 2

Resolvam os exercícios do Livro (Pág 135, 136, 139 e 140)

Estudo para 3ª AE = Exercícios Pág 141 a 143.