nona apostila - módulo, função, equação e inequação (15+2)

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9 a APOSTILA - MÓDULO Módulo, Função, Equação e InequaçãO Modulares Função definida por mais de uma sentença Seja uma função f : R + R, onde f(x) = x 2 . O domínio dessa função é formado pelos reais não-negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da parábola. Agora considere outra função f : , onde f(x) = -x – 2. O domínio dessa função é formado pelos reais negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da reta. As duas funções podem ser reunidas numa única função. Sua representação será feita da seguinte forma: f : R R f(x) = 1 DISCIPLINA: MATEMÁTICA ALUNO (A): PROFESSOR FRANCISCO QUARANTA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RN CAMPUS JOÃO CÂMARA DATA:

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Page 1: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

9a APOSTILA - MÓDULO

Módulo, Função, Equação e InequaçãO Modulares

Função definida por mais de uma sentença

Seja uma função f : R+ R, onde f(x) = x2.

O domínio dessa função é formado pelos reais não-negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da parábola.

Agora considere outra função f : , onde f(x) = -x – 2.

O domínio dessa função é formado pelos reais negativos. Ao ser feito seu gráfico, tem-se apenas um pedaço da reta.

As duas funções podem ser reunidas numa única função. Sua representação será feita da seguinte forma:

f : R R

f(x) =

Módulo ou valor absoluto de um númeroDado um número real qualquer, o módulo desse número é uma

operação que o torna positivo (exceto o zero).

1

DISCIPLINA: MATEMÁTICA

ALUNO (A): TURMA:

PROFESSOR FRANCISCO QUARANTA

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RN

CAMPUS JOÃO CÂMARA

DATA:

Page 2: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

Possui um significado geométrico que é a distância desse número até o zero na reta real.

, pois a distância do 3 ao 0 vale 3., pois a distância do -6 ao 0 vale 6.

Generalizando para um número qualquer x:

A igualdade colocada na primeira sentença poderia ter sido colocada só na segunda sentença ou em ambas.

Expressões algébricas que possuem letra dentro do módulo podem ser substituídas por sentenças equivalentes que não têm módulo desde que seja informado para que valores da letra a expressão equivalente é válida. Veja alguns exemplos:

Se x = 7 então Se x = 3 então

Se x = 8 então

Se x = -1 então

para qualquer valor real de xSe x = -3 então

PROPRIEDADES DO MÓDULO:

O módulo de um número é igual ao módulo do seu simétrico.

O módulo do quadrado de um número é igual ao quadrado desse número.

O módulo da diferença de dois números é comutativa.

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O módulo de um no é igual à raiz quadrada do seu quadrado.

FUNÇÃO MODULAR

Quando a expressão algébrica que representa uma função é colocada dentro de um módulo, a função é denominada modular. Seu formato pode ser dado por: y = .

Esta parte da função pode ser substituída por outras duas funções que são equivalentes à função anterior:

. Vale frisar que quando f(x) se anular, foi atribuído a própria expressão

f(x) que estava dentro do módulo. Nada impediria, entretanto, que fosse atribuído o simétrico dessa expressão, ou seja, - f(x), uma vez que zero é o único número que é igual ao seu simétrico. É mais usual escolher a primeira sentença com o sinal de maior para incluir o caso do número zero.

Serão dados alguns exemplos de funções modulares. Todas serão representadas por mais de uma sentença.

Exemplo 1: f(x) = . Para ser efetuada a construção gráfica, a função modular será desmembrada em duas:

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Observe que a função que estava dentro do módulo (no caso a função identidade y = x) foi mantida para valores de y positivos (acima do eixo x).

Já para valores negativos de y (abaixo do eixo x) a função foi rebatida em relação ao eixo x. Foi obtida uma nova função (y = -x) simétrica à anterior em relação ao eixo x.

Resumindo, a parte da função que estava em baixo do eixo x foi refletida para cima do eixo x. Essa idéia valerá para todas as funções modulares. Daqui em diante, o gráfico da função modular será construído usando tal idéia.Exemplo 2: f(x)= . As funções equivalentes serão:

A função que estava dentro do módulo (y = x + 3) foi mantida para valores de x maiores que 3 (acima do eixo x). Já para valores menores que 3 (abaixo do eixo x), a função foi rebatida em relação ao eixo x. Foi obtida uma nova função (y= - x - 3) simétrica à anterior em relação ao eixo x.

Observe também que esta função foi deslocada de 3 unidades para esquerda em relação à função anterior . Podemos generalizar dizendo que a função na forma com a > 0 sempre produzirá um gráfico igual ao primeiro exemplo transladado de a unidades para a esquerda. Já a função

produzirá uma translação de a unidades para a direita.Exemplo 3: f(x) = . As funções equivalentes:

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D = RI =

D = RI =

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Comparando com a função anterior , constata-se um deslocamento para baixo de 2 unidades. Com isso a imagem passa a incluir números reais negativos. Podemos generalizar dizendo que a função na forma com a > 0 sempre produzirá um gráfico igual ao primeiro exemplo transladado de a unidades para cima. Já a função

produzirá uma translação de a unidades para baixo.

Exemplo 4: f(x) = . As funções equivalentes:

A letra “V” mudou de inclinação uma vez que coeficiente angular (a = 2) da função de primeiro grau que está dentro do módulo foi aumentado em relação às anteriores.

Exemplo 5: f(x)= . As equivalentes:

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D = RI =

D = I =

Page 6: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

As partes da parábola y = x2

– 4 à direita do 2 e à esquerda do -2 foram mantidas uma vez que tinham y positivo (acima do eixo x).

Já a parte da parábola que estava situada entre -2 < x < 2 foi rebatida para cima, visto que tinham sinal negativo de y (abaixo do eixo x).

Exemplo 6: f(x) = .

As funções equivalentes serão:

Note que agora a função foi dividida em três partes. Uma reta crescente (a > 0) para valores de x maiores que 2, uma reta constante para x entre -3 e 2 e uma reta decrescente (a < 0) para valores de x menores que -3.

EQUAÇÃO MODULAR

Uma equação onde a variável esteja dentro de um módulo é denominada modular. Sua resolução será feita quebrando em duas novas equações. Serão resolvidas algumas equações modulares.

Exemplo 1x = 7 ou x = -7 S = {-7, 7}

Exemplo 2

x + 1 = 5 x = 5 – 1 x = 4

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- x - 1 = 5 x = - 5 - 1 x = -6 S = {-6, 4}

Exemplo 3

2x - 3 = 4 2x = 4 + 3 x = 7/2 - 2x + 3 = 4 -2x = 4 - 3 x = -1/2 S = {-1/2, 7/2}

Exemplo 4

Esta equação não possui solução uma vez que não é possível que o módulo resulte num número negativo (-8) S =

Exemplo 5

x2 - 3 = 13 x2 = 13 + 3 x2 = 16 -x2 + 3 = 13 x2 = -13 + 3 x2 = -10 S = {-4, 4}

Exemplo 6

x + 3 = 2x - 5 x = 5 + 3 x = 8 - x - 3 = 2x - 5 3x = 5 - 3 x = 2/3 (esta solução não

serve, pois o resultado de um módulo, no caso 2x – 5, deve ser maior que zero) S = {8}

Exemplo 7

Troca-se por y: Ao resolver a equação y2 – 5y + 6 = 0, temos:y = 2 ou y = 3

S = {-3, -2, 2, 3}

Exemplo 8

Á direita do 2: x + 3 + x – 2 = 4 2x = 3 x = 1,5 (não serve, pois x deve ser maior que 2)

Entre -3 e 2: x + 3 - x + 2 = 4 0x = -1 x

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À esquerda do -3: - x – 3 – x + 2 = 4 -2x = 5 x = -2,5 (esta serve, pois x deve ser menor que -3) S = {1,5}

INEQUAÇÃO MODULAR

Uma inequação onde a variável esteja dentro de um módulo é denominada modular. Serão resolvidas algumas inequações modulares.

Serão apresentadas duas formas de resolver a inequação modular. A primeira forma utilizará a própria repartição em duas expressões usada anteriormente na função modular. Ela é mais longa, mas serve para qualquer inequação, seja ela fácil ou difícil. A segunda usará uma dica que tornará a resolução mais curta, mas parecerá mágica. Ela, porém só poderá ser usada para as inequações mais simples do tipo:

PRIMEIRO MÉTODO PARA RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÃOExemplo 1

A partir da inequação modular dada, transformamo-la em duas sentenças com as respectivas condições de validade. Ou seja, a inequação modular será transformada em duas novas inequações.

x > 3 se x 0Temos dois intervalos: os números maiores que 3 e os maiores ou iguais

a zero. Como as duas condições que produziram tais intervalos precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo, então fazemos a interseção dos intervalos. O resultado será o intervalo formado pelos números maiores que 3. -x > 3 se x < 0

Temos dois intervalos: os números menores que -3 (após multiplicar por -1) e os menores que zero. Como as duas condições que produziram tais intervalos precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo, então fazemos a interseção dos intervalos. O resultado será o intervalo formado pelos números menores que -3.

Como o módulo de um número se transforma no próprio número ou no simétrico desse número, esse “ou” indica que temos que fazer a união dos dois intervalos resultantes das duas sentenças. A solução final da inequação modular será a união desses dois intervalos:

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Exemplo 2

A partir da inequação modular dada, transformamo-la em duas sentenças com as respectivas condições de validade.

x < 3 se x 0Temos dois intervalos: os números menores que 3 e os maiores ou

iguais a zero. Como as duas condições que produziram tais intervalos precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo, então fazemos a interseção dos intervalos. O resultado será o intervalo formado pelos números situados entre 0 e 3. -x < 3 se x < 0

Temos dois intervalos: os números maiores que -3 (após multiplicar por -1) e os menores que zero. Como as duas condições que produziram tais intervalos precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo, então fazemos a interseção dos intervalos. O resultado será o intervalo formado pelos números situados entre -3 e 0.

Como o módulo de um número se transforma no próprio número ou no simétrico desse número, esse “ou” indica que temos que fazer a união dos dois intervalos resultantes das duas sentenças. A solução será a união desses dois intervalos:

Vale frisar que esse método é mais abrangente que o segundo.

SEGUNDO MÉTODO PARA RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÃOA segunda forma de se resolver inequações modulares será através de

um meio mais rápido. Se a variável da inequação estiver no lado esquerdo da desigualdade e o sinal for maior ou maior igual, então, sobre os intervalos oriundos da repartição do módulo em duas expressões, deve ser feita a união.

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Se a variável da inequação estiver no lado esquerdo da desigualdade e o sinal for de menor ou menor igual, então, sobre os intervalos oriundos da repartição do módulo em duas expressões, deve ser feita a interseção.

Exemplo 1

x > 3 -x > 3 ao multiplicar por -1 x < -3Usando a dica acima, a solução dessa inequação será a união desses dois

intervalos obtidos, uma vez que o sinal é o de “maior”:

Exemplo 2

x 3 -x 3 x -3Usando a dica acima, a solução dessa inequação será a interseção desses

dois intervalos obtidos, uma vez que o sinal é o de “menor igual”:

Exemplo 3

2x - 5 < 6 x < 11 x < 5,5 -2x + 5 < 6 -2x > 1 x > -1/2

A solução será a interseção desses dois intervalos:

Exemplo 4

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x2 - 2 7 x2 - 9 0 x -3 ou x 3 -x2 + 2 7 -x2 – 5 0

A solução será a união desses dois intervalos:

EXERCÍCIOS

1 - Calculea) c) Qdo x = -2b) d)

2 - Escreva, nos seguintes itens, uma sentença equivalente que não tenha módulo:a) com x e) com xb) com x < -3 f) com x 2c) com x < 4 g) com xd) com -3 < x < 3

3 - Diga quais dos itens a seguir apresentam sentenças equivalentes.a) x - 3 d) b) x2 = 9 x=3 e) x= x = 5c) f)

4 - Utilizando a reta real, diga qual o significado geométrico, das seguintes expressões?

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Page 12: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

a) c) b) d)

5 - Se f: é dada por f(x) = , calcule quando existir:a) f(7) c) f(0) e) x tal que f(x) = 8b) f(-4) d) f(4) f) x tal que f(x) = -2

6 - Seja f: a função dada por f(x) = .a) Escreva f(x) sem utilizar módulob) Calcule f(2), f(7), f(-1) e f(5) usando a resposta do item a)

7 - Construa o gráfico das seguintes funções definidas de .a) f(x) = b)f(x) =

c) f(x) = g) f(x) =d) f(x) = - h) f(x) =e) f(x) = i) f(x) =f) f(x )= j) f(x) =

8 - Na função y= , definida de em , diga quais são os valores do domínio que possuem imagem 4.

9 – Identifique o conjunto solução das equações.a) b)

c) d)

e) f) g) h)

10 – Quantas e quais são as raízes da equação: ?

11 – Resolva as inequações:a) b) c) d)

12 – Que valores de x satisfazem a inequação: ?

13 - (PUC) Para definir módulo de um número real x posso dizer que:a) é igual ao valor de x se x é realb) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de xc) é o valor de x tal que x

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Page 13: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

d) é o oposto do valor de xe) é o maior inteiro contido em x14 - (MACKENZIE) Seja f: a função f(x) = . O conjunto-imagem da função f é:a) d) b) e) c)

15 - (F.G.V.) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale as afirmações correta:a) d) b) e) c)

DESAFIO1- Faça o gráfico de y=2- Sejam x e y . Complete a seguinte lacuna com >, <, , ou =.

Justifique.

GABARITO

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Page 14: Nona apostila - Módulo, Função, Equação e Inequação (15+2)

1-a) -11 b)11/4 c)7 d)0 2-a)-x3 b)-2x-6 c)-x+4 d)-x2+9 e) f) g) 3- c, d, e, f 4-a) a distância de um no até o zero b) a distância do 5 ao 2 c) a distância de um no até o -3 d) a distância do -5 até o zero5-a)7 b)4 c)0 d)4 e)x=8 ou x=-8 f)não existe6-a)y= b)f(2)=9 f(7)=6 f(-1)=18 f(5)=07- 8- x = 3 e x = 7 9-a)17 e -3 b)1,5 e -10,5 c) d)4/9 e 4/7 e)4/7 e -10/3 f)-6, 1, -2 e -3 g)1, -1, -3 e 3 h)0 e 4 10-não possui solução

11-a) x > 4 ou x < -1 b) c) -3 < x < 3 d)R 12- x > 4 13-b

14 - e 15 - c

DESAFIO2

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