PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 01 A 08. Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. Q 01. Considere dois triângulos equiláteros congruentes, com medidas dos lados igual a 1cm, e um lado comum formando um quadrilátero. Sobre esse quadrilátero é verdade que: (01) Esse quadrilátero é um trapézio. (02) A maior diagonal mede 3 cm.

(04) O raio do círculo inscrito é igual a 43 cm.

(08) Existe um círculo circunscrito a esse quadrilátero. (16) A distância do ponto médio de um lado ao vértice mais afastado do quadrilátero é

igual a 27 cm.

RESOLUÇÃO:

(01) É falso a, porque seus lados são dois a dois paralelos, logo é um paralelogramo. (02) Verdadeira. AC é a maior diagonal do quadrilátero ABCD, e ao mesmo tempo, hipotenusa do triângulo retângulo ACE. Como num triângulo retângulo qualquer, a razão entre o cateto adjacente a um ângulo agudo e a hipotenusa é o co-seno desse ângulo,

ACAEcos30

hipotenusaadjacente catetocos o

33

3ACAC1,5

23

.

Outro modo de resolver:

med(CE )= med(hABD) = 23

231

23

.

med( AC ) = med(2h) = 3232 .

Descubra um terceiro modo de resolver essa questão.

(04) Verdadeira. Pela figura ao lado, vemos que FE = BH (medida da altura do triângulo eqüilátero

ABD). Logo FE = 23

23

.

Sendo r a metade de FE, então

r = 43

23

21

Outro modo de resolver essa questão: No triângulo retângulo DHO, tem-se:

43

0,5r

23

ODOHsen60o .

(08) Falsa. Porque para um quadrilátero ser inscritível a soma de dois ângulos opostos deve ser 180o. (16) Verdadeira . Seja M o ponto médio do lado AB e N o ponto médio do lado AD . Os triângulos MBC e NDC são congruentes (MB = ND, CD̂NCB̂M = 120o, BC = DC), logo os lados NC e MC são congruentes. Conclui-se que a distância do ponto médio de qualquer lado do quadrilátero ao vértice mais distante dele é constante.

Aplicando a Lei dos Co-senos ao triângulo BMC em relação ao ângulo CB̂M :

27

100175MC1,75

211,25MCcos2010,52(1)(0,5)MC 2o222

Q02.

Vamos supor que o polígono ABCDFE representa uma sala na escala 1/50. Sabe-se que BC = 10 cm, AE = 6 cm, AB = 8 cm

e DC = 4 cm. A pavimentação da região ABFE foi feita com ladrilhos de preço unitário

R$ 16,00/m2. É verdade que:

(01) A área da sala é 16m2. (02) A pavimentação da região ABFE, custou R$

144,00. (04) Se a pavimentação da sala custou R$ 192,00,

então a pavimentação da região BCDF foi feita com ladrilhos de preço maior que R$ 7,00/m2.

(08) Se o custo unitário de pavimentação da região BCDF tivesse sido R$ 8,00, então o custo médio da pavimentação da sala seria R$ 12,50/m2.

(16) O segmento AC possui o ponto F. RESOLUÇÃO:

(01) Verdadeira. Sendo 1/50 a escala da planta, as dimensões reais da sala podem ser obtidas multiplicando-se cada dimensão da planta por 50. Assim as dimensões da sala são: E’F’ = 200cm = 2m, A’B’ = 400cm = 4m, A’E’ = B’G’ = 300cm = 3m e G’C’ =C’D’ = D’F’= F’E’ =200cm = 2m. A área da sala é: SA’B’G’E’ + SC’D’F’G’ = [(3×4) + (2×2)]m2 = 16m2. (02) Verdadeira. A área da região A’B’F’E’, que tem a forma de um trapézio retângulo é:

22 9mm2

342S

.

Como cada metro quadrado da pavimentação custou R$16,00, então o valor da pavimentação dessa região foi: 9×16 = 144 reais.

(04) Falsa. SBCDF = SSala – SABFE = (16 – 9)m2 = 7m2;

CustoBCDF = 192 – 144 = 48 reais O custo médio por m2 : 7...857,6748

reais/m2.

(08) Verdadeira. Do item anterior: SBCDF é 7m2. O custo total da pavimentação da sala, seria então: (9×16 + 7×8) = 200 reais.

O custo médio por m2 seria: 50,1216200

reais.

(16) Falsa. A figura nos mostra a inverdade dessa proposição, pois A, E e C não estão em linha reta, desde quando o ângulo < 45. Q03. Na figura vê-se um quadrado de centro O e lado = 4cm e um círculo de centro Q que tangencia os lados do triângulo DOC nos pontos M, P e T. É verdade que: (01) MC = 2 cm é diferente da medida de CT . (02) OT = 122 cm. (04) O quadrilátero OTQP é um quadrado. (08) O raio do círculo circunscrito ao triângulo OCD é igual a cm 13 .

(16) A área da região hachurada é igual a (6 – ) cm2. (32) A área do círculo é 35% da área do semicírculo. RESOLUÇÃO: (01) Falsa. Pois os segmentos CT e CM são tangentes ao círculo de centro Q a partir de um mesmo ponto C, por isso têm a mesma medida que é 2cm (metade da medida do segmento CD ). (02) Verdadeira. Os segmentos CO e DO são metades das duas diagonais do quadrado, portanto são perpendiculares e o triângulo DOC é retângulo isósceles. As medidas desses segmentos são

iguais a 222

242

2

.

Os ângulos OT̂Q e OP̂Q pois são formados por tangentes ao círculo e os raios nos pontos de contato, e portanto, o quadrilátero POTQ é um quadrado e a medida de seus lados é r.

Pela figura pode-se concluir que: DC = ).122(OT 222 r 4 2r 24 2r 24

Outro modo de resolver essa questão: Mais rapidamente chega-se a esse resultado, considerando a igualdade entre os segmentos CT e CM (justificativa dada no item anterior): CT = CM = 2 ).122(OTr 222 r 2 r22 . (04) Verdadeira. A justificativa está no primeiro desenvolvimento da resolução do item anterior. (08) Falsa. Na resolução do item (02) já se chegou ao valo do raio: r = 122 . (16) Verdadeira; Sendo O o centro do quadrado, a área do triângulo retângulo AOD é a quarta parte da área do quadrado ABCD. A interseção entre o triângulo e o semicírculo é um segmento de círculo de 90o. A área da região hachurada em cm2 é: SAOD – Ssegmento. SAOD = (16/4) = 4.

Ssegmento = 22

224r 2

AONS , então a área da

região hachurada é: S = 4 – ( 2 ) = 6 – .

Outro modo de resolver essa questão: Analisando a figura acima chega-se à conclusão de que a área da região hachurada é igual à diferença entre a área do trapézio retângulo ADNO e do quadrante de círculo determinado pelo arco .

Então,

6

42

2242

4AN

2ANADNOS

22

(32) Falso. Scírculo = .OT2 = .[ )122( ]2 Scírculo = 68,017,0.4.2234.12224.

Ssemicírculo = 224.

2. 2

R . Então, 35,034,0

268,0

osemicírcul

círculo

SS

Q04. Sobre polinômios pode-se afirmar: (01) p(x) = (x4 + 1)3x2 + x10 é um polinômio de grau 12. (02) A soma dos coeficientes de q(x) = (x -3)5 é 32. (04) O termo independente de x do polinômio r(x) = 2x8)(x 33 62 é 66. (08) Se o polinômio x3 + mx + n é divisível por x2 – 1, então m = –1.

(16) Se 1x

b1x

a1x

x2

é uma identidade, então a + b = 1.

RESOLUÇÃO: (01)Falsa. O termo de maior grau de p(x) = (x4 + 1)3x2 + x10 é: (x4)3x2 = x14. Então o grau de p(x) é 14. (02) Falsa. Para determinar a soma dos coeficientes de q(x) = (x – 3)5, basta encontrar o valor de q(1): q(1) = (1 – 3)5 = (–2)5 = –32. (04) Verdadeira. Desenvolvendo r(x) = 2x8)(x 33 62 r(x) = (x2 + 8)2 +x3 + 2. Então, o termo independente de x em r(x) é: 82 + 2 = 66. (08) Verdadeira. Determinando as raízes de x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) = 0 encontra-se x’= –1 e x” =1. Sendo o polinômio x3 + mx + n, divisível por x2 – 1, então –1 e 1 são suas raízes. Substituindo x por esses valores no polinômio x3 + mx + n, tem-se:

1m0n02n

1nm1nm

0nm10nm1

Outro modo de resolver esta questão é aplicando sucessivamente o método da chave ou o de Briot Ruffinni e igualando os restos encontrados a zero. 1 0 m n

1 1 1 1+m 1+m+n 1o resto: 1+m+n = 0 –1 1 0 1+m 2o resto: 1+m =0

Resolvendo o sistema

0n1m

0nm10m1

tem-se as mesmas respostas.

(16) Verdadeira.

1babab)x(axbbxaaxx1x

b1x

a1x

x2

(polinômios idênticos).

Q05. Considere-se o polinômio x3 + mx + n. Pode-se afirmar que: (01) Se p(x) é idêntico a (x + 1)3 – 3x2, então m + n = 4.

(02) 3m1m

é raiz da equação p(x+1) = x3 + 3x2 + n

(04) O resto da divisão de p(x) por 2x – 1 é igual a 4

4n2m1 .

(08) p(–x) + p(x) = 8 n {1, 2, 3, 4, 5}. (16) Se os restos das divisões de p(x) por x – 1 e x – 2 são, respectivamente, 2 e 4, então m = –5. RESOLUÇÃO: (01) Verdadeira. Se os polinômios são idênticos os coeficientes da variável x de mesmo grau são iguais:

x3 + 0x2 + mx + n = x3 + 3x2 + 3x +1 – 3x2

1n3m

(02) Verdadeira. p(x+1) = x3 + 3x2 + n (x+1)3 + m(x+1) + n = x3 + 3x2 + n x3 + 3x2 + 3x + mx + m + n +1 = x3 + 3x2 + n (m + 3)x = – (m + 1)

3m1mx

3m1mx

, com m ≠ – 3, é raiz da equação p(x+1) = x3 + 3x2 + n.

(04) Falsa.

Para determinar o resto da divisão de x3 + mx + n divisível por 2x – 1, então 021p

.

Verificando: 8

8n4m1n2m

21 3

(08) Verdadeira. De p(–x) + p(x) = 8, vem: –x3 – mx + n + x3+ mx + n = 8 2n = 8 n = 4,logo n {1, 2, 3, 4, 5}.

. (16) Verdadeira.

p(1) = 1 + m + n = 2 e p(2) = 8 + 2m + n = 4

6n5m

4n2m1nm

Q08. (UFBA/2009/Modificada) Sobre números reais, é correto afirmar:

(01) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos entre si. (02) A soma de dois números irracionais quaisquer é um número irracional. (04) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional. (08) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional. (16) Se o quadrado de um número natural é ímpar, então esse número também é ímpar. (32) Se x é o maior múltiplo de 17 com 3 algarismos, então a soma dos algarismos de x é igual a 22. (64) Se a soma de três números primos naturais é igual a 180, então um deles é igual a 2. RESOLUÇÃO: (01) Verdadeira. Máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é o maior valor inteiro positivo que divide ao mesmo tempo esses dois números. Por exemplo: (I) D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}. D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 30, 45, 90}. Destacamos em vermelho os divisores comuns a 72 e 90 entre os quais o maior é 9. Então o mdc(72, 90) = 9 ≠ 1, logo 72 e 90 não são números primos entre si, porque o máximo divisor comum entre eles é diferente de 1. (II) D(125) = {1, 5, 25, 125}. D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}. O maior inteiro positivo que divide ao mesmo tempo 125 e 72 é 1, então o maior divisor comum entre eles é 1. Logo 125 e 72 são números primos entre si. (02) Falsa. Exemplos: (I) Seja a = 2 e b = 2 a + b = 0 que é um número racional. (II) Seja a = 23 e b = 2 a + b = 3 que é um número racional. (04) Verdadeira. (I) Seja a = 2 e b = 10 a × b = 10 2 que é um número irracional. (II) Seja a = 23 e b = 4 a × b = 2412234 que é um número racional. (08) Falsa. Exemplos:

(I) Seja a = 2 , então, a2 = 222 que é um número racional.

(II) Seja a = 23 , então a2 = 26112232323222

que é um número irracional. Logo o quadrado de um número irracional pode ser um número irracional ou um número racional.

(16) Verdadeira. Seja 2n + 1, com n N, um número natural ímpar. O seu quadrado é (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 que é também um número natural ímpar. (32) Falsa. Seja 100 < x < 1000. Efetuando a divisão de 1000 por 17 encontra-se quociente 58 e resto 14, logo 1000 = 58 × 17 + 14. Então, o maior múltiplo de 17 com 3 algarismos é 1000 – 14 = 986. Então a soma dos algarismos de 986 é 9 + 8 + 6 = 23. (64) Verdadeira. Representando três números primos e ímpares por 2a + 1, 2b + 1 e 2c + 1, com a ≠ b ≠ c, e, somando esses números: 2a + 1 +2b + 1 + 2c + 1 = 2(a+b+c) + 3 que é a soma do número par 2(a+b+c) com o número impar 3, assim 2(a+b+c) + 3 é um número impar. Pode-se então afirmar que a soma de uma quantidade impar de números impares dá sempre um número impar. Então, se a soma de três números naturais primos dá um número par é porque um deles é par. E o único número natural par que é primo é o 2.

02. (UFBA/2004/Modificada) Sobre números reais, é verdade afirmar:

(01) Se x = 0,666..., y = –1,333... e z = 12,444..., então yx

z

= 6,222... .

(02) O valor da expressão 3 )625()625( é um número irracional. (04) Se a, b e c são diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente, e

2a – 3b + 4c = 95, então bac = 21.

(08) Dividindo-se o número 34 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 5, obtêm-se os valores x, y e z, respectivamente, tais que 3yz = 5x.

(16) Se uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 5 horas, então as duas juntas conseguem encher este tanque em 2horas 13minutos e 20 segundos.

(32) Se os restos das divisões de 243 e 253 por x são, respectivamente, 3 e 1, então o maior valor possível para x é 6.

(04) Se a, b e c são diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente, e 2a

– 3b + 4c = 95, então bac = 21.

(08) Dividindo-se o número 34 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 5, obtêm-se os valores x, y e z, respectivamente, tais que 3yz = 5x.

(16) Se uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 5 horas, então as duas juntas conseguem encher este tanque em 2horas 13minutos e 20 segundos.

(32) Se os restos das divisões de 243 e 253 por x são, respectivamente, 3 e 1, então o maior valor possível para x é 6.

RESOLUÇÃO: (01) Verdadeira.

96x69x0,666...6,666..x10x

0,666..x6,666..10x

.

9

12y129y ...333,1 ...333,13y10y...333,1y

..333,1310x

9112z1219z...444,12124,444...z10z

...444,12z124,444..10z

.

.6,222...956

18112

912

96

9112

yxz

(02) Falsa.

racional. número um é que 112425)625()625( 333

(04) Verdadeira.

5n

9519n9528n15n-6n

7n c e5n b 3n,a

954c3b-2a

n7c

5b

3a

215

5215

21n5n

7n3nbac

.

(08) Falsa.

2n3417n

3402n5n10n

345n

2nn

5nz e

2nyn,x

34zyx

n

51z

21y

1x

(falso) 510605

103n5n

5n

2n35x3yz

(16) Verdadeira. Quando as duas torneiras são abertas para encher o tanque, os seus tempos não se somam, mas sim a suas capacidades de vazão por hora.

Tempo para encher o tanque Vazão por hora

Torneira 1 4 horas hV /41

Torneira 2 5 horas hV /51

As duas torneiras juntas t horas hV /t1

h920t204t5t

t1

51

41

20h 9 2 × 60min = 120min 9 3 × 60seg = 180seg 9 2h 2h 3min 13min 0 20seg

Então, eg2h13min20sh920

(32) Falsa. Se os restos das divisões de 243 e 253 por x são, respectivamente, 3 e 1, então, (243 – 3) e (253 – 1) são múltiplos de x e o maior valor que x pode assumir é o mdc (240,252). 240 = 24 × 3 × 5 e 252 = 22 × 32 × 7 x = mdc(240, 252) = 22 × 3 = 12

03. (UFBA/2005/Modificada) Considere um empréstimo de um capital de R$2.000,00 a uma taxa mensal de 10%, a ser pago de uma única vez ao final de n meses. Nessas condições, é correto afirmar: (01) Se for considerada a capitalização simples, o montante F(n), expresso em reais,

ao final de n meses, será dado por F(n) = 2000 (1+10n). (02) Ao final de dois meses, o valor dos juros na capitalização composta será igual a

R$420,00. (04) Na capitalização composta, o montante G, expresso em reais e dado em função

do número n de meses, pode ser representado pelo gráfico abaixo.

G

n10

2000

2100

(08) Se for considerada a capitalização composta, então os juros obtidos serão

diretamente proporcionais ao número n de meses de duração do empréstimo. (16) Se a capitalização for composta, o capital dobrará de valor em menos de 10

meses. RESOLUÇÃO: (01) Falsa. F(n) = C + Cin F(n) = 2000 + 2000 ×0,1 × n F(n) = 2000(1+0,1n) (02) Verdadeira.

J = C(1 + i)n – C j = 2000 ×(1+0,1)2 – 2000 j = 2000 ×(1,21 – 1) = 420. (04) Falsa. F(n) = 2000(1+0,1)n é uma função exponencial cujo gráfico está representado

abaixo.

(08) Falsa. Os juros obtidos com a capitalização composta, são dados pela relação:

j = 2000(1,1n – 1). Particularizando pode-se ver que é falsa essa afirmação:

2102002

)11,1(20001

)11,1(2000 21

(16) Verdadeira. 2000 × 1,1n = 4000 1,1n = 2 n = log1,1 2

n = 10 7,34n0,0410,301n

log1,1log2

09. Uma casa deve ser construída por certo número de operários em 12 meses, trabalhando 5 horas por dia. Dois meses após o início da obra, quinze operários foram demitidos. O restante, trabalhando 10 horas por dia, concluiu a obra 6 meses depois do previsto. Qual foi o número de operários contratados inicialmente?

RESOLUÇÃO:

Após dois meses de trabalho dos x operários estava pronta 61

122 .

Como após esse tempo, 15 operários foram demitidos, então os (x – 15) operários

concluíram em (10 + 6) meses a parte restante da obra, ou seja 65 .

Pode-se montar a tabela abaixo:

24x1205x3x1208x38

15xx

51

610

216

15xx

RESPOSTA: O número de operários contratados inicialmente foi 24. Q08. A distância entre as cidades A e B é 200km, e o ângulo BÂC mede 60o. Um automóvel parte de A para B, outro de B para C e um terceiro de C para A. Eles fazem esses percursos com a mesma velocidade média, entretanto, o segundo automóvel gasta mais duas horas que o primeiro e o terceiro mais três horas que o primeiro.

Calcule o valor em quilômetros da razão 10BC .

RESOLUÇÃO: Sabe-se que d = v.t (a distância percorrida é igual ao produto da velocidade pelo tempo). Considerando t, o tempo do primeiro carro, (t + 2) o tempo do segundo, e, (t + 3) o do terceiro, então d1 = vt, d2 = v(t + 2) e d3 = v(t + 3).

Aplicando ao triângulo ABC a Lei dos Cossenos:

213tvvt23tvvt2tv 222

t2 +4t +4 = t2 + t2 +6t +9 – t2 – 3t t = 5 h v = 40km/h5h

200km

BC = v(t + 2) = 40km/h ×7h = 280km.

Assim : 2810280

10BC

.

RESPOSTA: 10BC = 28km.