propriedades espectrais dos grafos p-esparsostila...de p4 e a generalização dessa classe são os...
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Centro de Estudos Gerais Curso de Mestrado em Matemática Coordenação de Pós Graduação em Matemática
Átila Arueira Jones
Propriedades Espectrais
dos Grafos P4-esparsos
Orientador: Renata Raposo Del-Vecchio
NITERÓI Julho/2014
Átila Arueira Jones
PROPRIEDADES ESPECTRAIS DOS GRAFOS P4-ESPARSOS Dissertação apresentada por Átila Arueira Jones ao Curso de Mestrado em Matemática - Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Mestre. Linha de Pesquisa: Matemática Aplicada.
Orientador: Renata Raposo Del-Vecchio
Niterói 2014
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca de Pós-graduação em Matemática da UFF
J762
Jones, Átila Arueira. Propriedades espectrais dos grafos P4-esparsos / Átila Arueira Jones. – Niterói, RJ : [s.n.], 2014.
76 f. Orientador: Profa. Dra. Renata Raposo Del-Vecchio. Dissertação (Mestrado acadêmico) – Universidade Federal Fluminense, 2014. 1. Teoria dos grafos. 2. Análise espectral. 3. Grafo L-integral. 4. Grafo P4-Esparso I. Título.
CDD 515.53
Átila Arueira Jones
PROPRIEDADES ESPECTRAIS DOS GRAFOS P4-ESPARSOS Dissertação apresentada por Átila Arueira Jones ao Curso de Mestrado em Matemática - da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Mestre. Linha de Pesquisa: Matemática Aplicada.
Banca Examinadora
_______________________________________________
Profª. Renata Raposo Del-Vecchio - Orientadora
Doutor – Universidade Federal Fluminense
_______________________________________________
Prof. Fábio Protti - Membro
Doutor – Universidade Federal Fluminense _______________________________________________
Profª. Simone Dantas de Souza - Membro
Doutor – Universidade Federal Fluminense
_______________________________________________
Prof. Vilmar Trevisan - Membro
Doutor – Universidade Federal do Rio Grande do Sul
NITERÓI
2014
À minha amada companheira Allana.
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo quero agradecer imensamente a minha orientadora
professora Renata Del-Vecchio não somente pela sua incansável dedicação ao
guiar esse trabalho, mas também pela sua disposição ao me ajudar e orientar
minha carreira acadêmica. Espero poder levar adiante o seu exemplo, seja como
orientadora, pesquisadora ou professora.
À minha namorada Allana, agradeço primeiramente pelo carinho e
paciência fornecida a cada dia e por sempre acreditar e me incentivar a seguir
carreira acadêmica. Mas também agradeço por além de namorada, ser a melhor
amiga de estudo, afinal está ao meu lado desde quando participamos do trote de
calouros na graduação, e desde então continuamos seguindo nosso caminho
juntos, o que é uma experiência única e motiva cada tarde de estudo e cada
demonstração matemática. A sua contribuição na elaboração desse trabalho é
imensurável.
Agradeço aos meus pais, por estarem ao meu lado por todos esses anos
de muito amor e incentivo nos estudos. Também quero fazer um agradecimento
especial a minha segunda família: meus sogros e minha cunhada.
Felizmente pude contar com amigos, que todos de forma direta ou indireta
contribuíram na elaboração deste trabalho. Mas direciono um agradecimento
especial ao Marcos e Robert, amigos únicos de infância e que aliviam as tensões
das semanas de estudo.
Finalmente agradeço a CAPES pelo apoio financeiro a este trabalho.
RESUMO
Seja G um grafo simples e L(G), a Matriz Laplaciana de G. Um grafo G é chamado laplaciano integral quando todos os autovalores de L(G) são números inteiros.
É conhecido que todo cografo é Laplaciano Integral. Cografos são grafos livres de P4 e a generalização dessa classe são os grafos P4-esparsos, contendo propriamente os cografos.
Uma questão naturalmente colocada nesse contexto é se os grafos P4-esparsos são Laplacianos integrais. Nesse trabalho respondemos negativamente essa questão, provando que não existe grafo P4-esparso, com autovalor laplaciano inteiro, a menos de um cografo.
Nós obtemos resultados análogos relativos a classe dos grafos P4-extensíveis, outra generalização dos cografos.
Além disso, nós investigamos algumas relações entre o número b-cromático de um grafo e seu índice, dentro dos grafos P4-esparsos e outras classes.
ABSTRACT
Let G be a simple graph and L(G), the Laplacian matrix of G. A graph G is called Laplacian integral when all eigenvalues of L(G) are integer numbers.
It is well known that every cograph is Laplacian integral. Cographs are graphs free of P4 and a generalization of this class is the class of P4-sparse graphs, containing the cographs.
A question naturally posed in this context is if P4-sparse graphs are Laplacian integral. In this work we answer negatively to this question, proving that there is no P4-sparse graph, with integer Laplacian eigenvalues, unless it is a cograph.
We obtain analogous results regarding the class of P4-extensible graphs, another generalization of cographs.
Furthermore, we investigate some relations between the b-chromatic number of a graph and its index, within the P4-sparse graphs and other classes.
Lista de Figuras
2.1 Exemplo de um grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Join de dois grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Grafo e seu complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Exemplo de subgrafos de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Grafo conexo e grafo desconexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Grafo 3-regular e grafo K6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Grafo C7 e uma arvore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.8 Grafo P6 e grafo S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Grafos Sm[G,4,4] e Sg[G,4,4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Sm[G,4, j] e Sm[G,4, j] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Sm[G,5, j]⊂ Sg[G,5, j] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Cografos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 P4-esparsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Grafos nao P4-esparsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Conjunto F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5 Processo aplicado na demonstracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 Processo aplicado na demonstracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.8 Exemplos de grafos nao P4-esparsos, onde um e L-integral e outro nao . . . 44
4.9 P4-redutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.10 Exemplo de P4-esparso nao P4-redutıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.11 Exemplo de W ⊂V (G) e o conjunto S(W ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.12 P4-extensıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.13 Diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.14 Exemplo de conjunto de extensao nao separavel . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.15 Exemplo de conjunto de extensao separavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.16 Classificacao dos grafos de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.17 P4-extensıvel que satisfaz (iv) do teorema 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.18 Diagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1 Exemplo de uma coloracao propria e uma b-coloracao . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Grafo nao b-contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Grafo M nao b-monotonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Grafo M− v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Grafps 3P3, 2D e P4 ∪P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Grafo antirregular com graus 5,4,3,3,2,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Grafo quase regular com ∆ = 5 e δ = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.8 P4-esparsos desconexos que satisfazem a conjectura 5.1.1 . . . . . . . . . . 70
1
5.9 P4-esparso desconexo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1 . . . . . . . . . . 70
5.10 Grafo P4-esparso desconexo que satisfaz (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.11 Grafo b-contınuo e conexo que nao satisfaz (i) . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.12 Grafo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1 mas satisfaz a 5.1.2 . . . . . . . . 72
5.13 Grafo 2D∨{v} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.14 Grafo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1 mas satisfaz a 5.1.2 . . . . . . . . 72
Sumario
1 Introducao 1
2 Nocoes basicas e notacoes 3
2.1 Teoria dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Grafos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Alguns resultados da teoria de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Teoria Espectral dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Matriz de Adjacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Matriz Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Alguns espectros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Grafo Aranha e seu espectro 16
3.1 Espectro do grafo Aranha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Espectro de adjacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Espectro laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Integralidade em grafo aranha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Matriz de adjacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Matriz Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Propriedades Espectrais em generalizacoes dos cografos 36
4.1 P4-esparso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 Definicoes e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2 L-integralidade dos P4-esparsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 P4-extensıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Definicoes e resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 L-integralidade dos P4-extensıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 b-coloracao 59
5.1 Alguns resultados espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1 Uma outra desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.2 Problemas em aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Conclusao 73
Capıtulo 1
Introducao
Um grafo e uma estrutura G=G(V,E) formada por um conjunto de vertices V e um conjunto
de arestas E que representam ligacoes entre os vertices. Qualquer situacao real que trate de
elementos e relacoes entre eles pode ser modelada por um grafo, dentre muitas podemos citar
a situacao de estacoes de metro e os trilhos que as unem, relacao de amizade entre pessoas
numa rede social ou ate redes de abastecimento de agua. Alem da representacao geometrica,
um grafo pode ser representado matricialmente. Neste trabalho trataremos das matrizes de
Adjacencia e Laplaciana. O estudo dos autovalores dessas matrizes e suas relacoes com a
estrutura do grafo e chamada Teoria Espectral de Grafos, que teve inıcio em 1931 na area
da Quımica Quantica. Dentre as investigacoes nesta area, temos estudos acerca de energia,
conectividade, diametro, cotas, arvores geradoras, busca por grafos integrais (ou laplaciano
integrais), entre outras.
Uma classe de grafos importante, por suas varias aplicacoes, e a classe dos cografos, que
sao grafos livres de P4 (ou seja, nao admitem o caminho de quatro vetices como subgrafo
induzido). Muitas propriedades interessantes valem nesse contexto. Em particular, Merris
[26] provou que, se G e um cografo, entao todos os seus autovalores laplacianos sao numeros
inteiros. A busca por grafos A-integrais (todos os autovalores da matriz de adjacencia sao in-
teiros) iniciou em 1974, quando Harary e Schwenk colocaram a questao ”Which graphs have
integral spectra?”em [14]. Em seguida esta linha de pesquisa avancou para outras matrizes
associadas a grafos, como a matriz laplaciana. Fixado um numero de vertices, a proporcao de
grafos A-integrais e L-integrais (todos os autovalores laplacianos inteiros) e pequena, com-
parada a quantidade total de grafos. Esta pesquisa tem sido realizada em famılias especiais
de grafos. Como afirmamos acima, os cografos sao L-integrais.
Hoang, em sua tese de doutorado [15], estendeu a definicao dos cografos para uma
famılia que e ”quase” livre de P4, os P4-esparsos, que contem a classe dos cografos. Esta
nova classe despertou grande interesse em problemas de grafos, gerando estudos em varios
aspectos, como pode ser visto em [5], [6] e [21]. Nao encontramos porem nenhum resultado
do ponto de vista espectral para esse grafos. Surge entao a questao: que condicoes seriam
necessarias para que um grafo P4-esparso seja L-integral?
Responderemos a esta questao no capıtulo 4, provando que, para um grafo P4-esparso G
temos a equivalencia G e L-integral se, e somente se, G e um cografo. Para chegarmos a tal
resultado foi necessario obtermos antes a caracterizacao espectral de certos grafos aranha, e
um resultado sobre o espectro de qualquer aranha, pois estes grafos formam uma importante
subclasse dos P4-esparsos.
1
Outras generalizacoes de cografos foram introduzidas por Jamison e Olariu em [22] e
[23], os chamados grafos P4-extensıveis e P4-redutıveis. Tambem em relacao a estes grafos,
estudamos seu espectro laplaciano, analisando se e formado exclusivamente por inteiros ou
nao.
Um fato que chamou a atencao e que a classe dos grafos P4-esparsos aparece frequente-
mente em estudos de coloracao, mais especificamente relacionada ao numero b-cromatico,
uma variante do numero cromatico. Sao bem conhecidas as relacoes entre o numero cromatico
de um grafo e os autovalores de sua matriz de adjacencia [8], mas nao encontramos nenhuma
abordagem espectral para o numero b-cromatico. Nesta dissertacao investigamos algumas
possıveis relacoes, mais especificamente entre numero b-cromatico e ındice do grafo (maior
autovalor da matriz de adjacencia). Estamos interessados em cotas superiores para o numero
b-cromatico, baseadas no ındice. Conseguimos provar que para algumas classes de grafos
temos a mesma cota valida para numero cromatico. Conseguimos ainda, uma outra cota
tambem relacionando ındice do grafo com o numero b-cromatico para certas famılias de
grafos.
Esta dissertacao esta estruturada da seguinte forma, alem desta introducao:
No capıtulo 2 apresentamos conceitos basicos, necessarios a compreensao do texto.
No capıtulo 3 estudamos os grafos aranha, que serao essenciais para a caracterizacao dos
grafos P4-esparsos.
No capıtulo 4 estendemos o resultado de Merris provando que nenhum grafo P4-esparso,
a menos dos cografos, e laplaciano integral. Provamos ainda resultados analogos para os
P4-extensıveis e P4-redutıveis.
No capıtulo 5 obtemos cotas para o numero b-cromatico em funcao do ındice do grafo
em classes especiais de grafos.
Finalmente, no capıtulo 6, apresentamos as conclusoes.
2
Capıtulo 2
Nocoes basicas e notacoes
Nesta secao veremos definicoes e resultados da literatura que usaremos no desenvolvimento
do trabalho.
2.1 Teoria dos Grafos
Um grafo G = G(V (G),E(G)) e uma estrutura formada por dois conjuntos finitos chamados
vertices e arestas, denotados respectivamente por V (G) e E(G), onde este e formado por
pares nao ordenados {u,v} ∈ E(G) de vertices distintos, ou simplesmente uv; neste caso
dizemos que os vertices u e v sao adjacentes. Com um abuso de notacao, salvo em casos de
ambiguidade, diremos que um vertice v pertence ao grafo G, quando v ∈ V (G). O grau de
v ∈V (G), denotado por d(v), e o numero de vertices adjacentes a v; o menor grau dentre os
vertices e chamado grau mınimo, denotado por δ(G) = min{d(v);v ∈ V} e analogamente
grau maximo ∆(G) = max{d(v),v ∈V} e o grau medio do grafo e d(G) = ∑v∈V d(v)|V (G)| . E facil
verificar que d(G) =2|E(G)||V (G)| .
EXEMPLO 2.1.1. Considere o grafo H, ilustrado na figura 2.1, onde:
V (H) = {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} e
E(H) = {v1v2,v1v6,v2v6,v2v5,v2v4,v2v3,v5v6,v6v7}
Figura 2.1: Exemplo de um grafo
3
Dois grafos G1 e G2 sao isomorfos (denotado por G1 ≈G2) quando podemos obter um do
outro somente por uma permutacao de vertices, ou melhor, existe uma aplicacao biunıvoca
f : V (G1)→ V (G2) de modo que as adjacencia sejam preservadas, isto e, vu ∈ E(G1) se, e
somente se, f (v) f (u) ∈ E(G2).Podemos tambem definir algumas operacoes entre grafos, entre elas a uniao de G1 e G2,
denotada por G1 ∪G2 cujo conjunto de vertices e V (G1)∪V (G2) e arestas E(G1)∪E(G2).Naturalmente estende-se esta definicao para k grafos quaisquer, em particular a uniao de k
grafos G e chamada k copias de G e denotado por kG. O join de dois grafos G1 e G2 e o grafo,
denotado G1 ∨G2, com conjunto vertices formado por V (G1)∪V (G2) onde permanecem
todas as arestas ja existentes e adicionamos todas as arestas possıveis entre os vertices de
V (G1) e de V (G2), ou seja, E(G1 ∨G2) = E(G1)∪E(G2)∪{uv;u ∈ V (G1) e v ∈ V (G2)},
como exemplo observe a figura abaixo.
Figura 2.2: Join de dois grafos
O grafo complementar de G e o grafo G com o mesmo conjunto de vertices do original
G, porem vu ∈ E(G) se, e somente se, vu 6∈ E(G); na figura 2.3 temos o complementar do
grafo do exemplo 2.1.1. E claro que G = G.
Figura 2.3: Grafo e seu complementar
Vale ressaltar que tomar o complementar do join de dois grafos e equivalente a tomar
a uniao dos complementares, ou seja, G1 ∨G2 = G1 ∪G2. Outra forma de obter um grafo
a partir de outro e retirando vertices e arestas do inicial, mais precisamente dizemos que
G′(V ′,E ′) e um subgrafo de G(V,E) quando V ′ ⊆ V e E ′ ⊆ E, e neste caso escrevemos
G′ ⊂ G. No caso em que G′ e subgrafo de G tal que dois vertices em V (G′) sao adjacentes
4
em G′ se, e somente se, eles sao adjacentes em G, dizemos que G′ e subgrafo induzido de
G e escrevemos G′ como G(V ′), pois trata-se do grafo original G restrito a um conjunto de
vertices. Ambos os grafos da figura 2.4 sao subgrafos de H (do exemplo 2.1.1), onde apenas
o da direita e subgrafo induzido, isto e, H({v1,v2,v3,v5,v6}). Se o grafo G nao possui H
como subgrafo induzido dizemos que G e livre de H. Em particular o grafo G−u denota o
subgrafo induzido pelos vertices de V −{u}, onde u e um vertice de V .
Figura 2.4: Exemplo de subgrafos de H
Um subconjunto X ⊂ V (G) e dito conjunto independente de vertices se nao ha par de
vertices adjacentes no conjunto, ou seja, ∀v,u ∈ X , vu /∈ E(G). Por outro lado, se vu ∈ E(G)para todo u,v ∈ X entao o conjunto e uma clique. Uma sequencia finita de vertices distintos
vi1vi2 . . .vik de um grafo e chamado caminho que liga vi1 a vik se vil vil+1e uma aresta do grafo
e nas mesmas condicoes a sequencia vi1vi2 . . .vikvi1 e chamada de ciclo. O comprimento de
um caminho ou ciclo e o numero de arestas que neles ocorrem.
Se dados quaisquer dois vertices u,v ∈V (G), existe um caminho de u a v, entao dizemos
que o grafo G e conexo, caso contrario o grafo e desconexo. Se G e um grafo desconexo,
dizemos que G′ ⊂ G e uma componente conexa de G quando G′ e conexo e nao existe um
grafo conexo H ⊂ G tal que G′ ⊂ H e G′ 6= H. Na figura 2.5 ilustramos a esquerda um
grafo conexo e a direita um desconexo com duas componentes conexas. No caso de grafo
conexo, definimos a distancia entre os vertices v e u, denotada por d(u,v), como o mınimo
dos comprimentos dos caminhos entre os vertices u e v. O maximo das distancias entre dois
vertices quaisquer de G e o diametro do grafo, e denotado por diam(G).
Figura 2.5: Grafo conexo e grafo desconexo
2.1.1 Grafos Especiais
Aqui definiremos alguns grafos que serao utilizados no decorrer do trabalho.
5
• Grafo k-regular: e qualquer grafo onde todos os vertices possuem grau k. (figura
2.6)
• Grafo completo (Kn): e o grafo de n vertices no qual quaisquer dois vertices distintos
sao adjacentes (figura 2.6);
Figura 2.6: Grafo 3-regular e grafo K6
E importante ressaltar que existem diferentes grafos k-regulares nao isomorfos e com o
mesmo numero de vertices.
• Ciclo Cn: grafo de n vertices, onde todas suas arestas e vertices fazem parte de um
unico ciclo (figura 2.7).;
• Arvore: sao grafos conexos que nao possuem ciclos (figura 2.7).;
Figura 2.7: Grafo C7 e uma arvore.
• Grafo trivial: e composto por apenas um vertice, ou seja V (G) = {v} e E(G) = /0, tal
grafo e denotado simplesmente por {v} ou K1.
• Caminho (Pn) e um grafo de n vertices formado por apenas um caminho de vertices
(figura 2.8), se o caminho e formado pela sequencia de vertices v1,v2, . . . ,vk entao
v1 e vk sao as extremidades do caminho, e os demais sao vertices intermediarios (ou
internos);
• Estrela (Sn): e formado por um vertice central v e n vertices adjacentes a ele tambem
visto como o join entre o grafo trivial e um conjunto independente de n vertices (figura
2.8);
6
Figura 2.8: Grafo P6 e grafo S6
Note que o grafo trivial, Kn e Cn sao tambem exemplos de grafos 0-regular, (n− 1)-regular e 2-regular, nesta ordem.
A arvore tem um grande valor na teoria de grafos, uma vez que possui o menor numero
de arestas de forma que seja conexo. Mais precisamente se uma arvore tem n vertices, entao
seu numero de arestas e n−1 e qualquer aresta adicionada fechara um ciclo e o grafo deixara
de ser uma arvore. Observe que os grafos Sn, Pn e trivial sao arvores.
2.2 Alguns resultados da teoria de matrizes
Nesta secao trataremos de resultados e definicoes que serao uteis no decorrer do presente
texto.
DEFINICAO 2.2.1. Seja M uma matriz real quadrada de ordem n, se existe um vetor v ∈Rn
nao nulo e um escalar λ tal que Mv = λ.v entao λ e dito um autovalor da matriz M e v um
autovetor de M associado ao autovalor λ.
Os autovalores de uma matriz M sao as raızes do polinomio p(λ) = det(M−λ.I), cha-
mado polinomio caracterıstico de M. A multiplicidade algebrica (ou simplesmente mul-
tiplicidade) de λ e a sua multiplicidade no polinomio caracterıstico. Ja a dimensao do
subespaco vetorial Vλ = {v ∈ Rn;M.v = λ.v} fornece a sua multiplicidade geometrica,
que por sua vez e menor ou igual a multiplicidade do autovalor. O espectro da matriz M e o
conjunto de seus autovalores e suas respectivas multiplicidades.
O resultado a seguir e conhecido como Quociente de Rayleigh que reescrevemos aqui
sua forma aplicada no caso de matriz real simetrica.
TEOREMA 2.2.1. [18] Seja M uma matriz real simetrica de ordem n cujos autovalores sao
λ1 ≥ λ2 ≥ . . .≥ λn. Entao:
• λ1 = sup{ut .M.uut .u ;u ∈Rn −{~0}}, sendo atingido quando M.u = λ1.u
• λn = in f{ut .M.uut .u ;u ∈Rn −{~0}}, atingido em M.v = λn.v
Dizemos que uma matriz real e nao negativa (respectivamente positiva) se todas suas
entradas sao nao negativas (respectivamente positivas). E definimos o traco de uma matriz
como a soma dos valores da sua diagonal principal Atraves do teorema acima podemos
concluir o seguinte resultado:
7
OBSERVACAO 2.2.1. Seja M matriz real simetrica nao negativa e com maior autovalor λ,
entao λ ≥ 0 e existe um autovetor nao negativo associado a ele.
De fato, primeiramente observe que o traco de M e nao negativa, entao da teoria de Algebra
Linear temos que a soma dos autovalores e nao negativa, ou seja, λ(G)≥ 0.
Considere agora v =[
x1 x2 . . . xn
]t
autovetor de comprimento 1 associado a λ,
entao pelo teorema 2.2.1
λ =vt .M.v
||v||2 =n
∑i=1
n
∑j=1
ai jxix j ≤n
∑i=1
n
∑j=1
ai j|xi|.|x j|= v’t .M.v’ ≤ λ(G),
onde v’ =[
|x1| |x2| . . . |xn|]t
. Ou seja λ = v’t .M.v’ e v′ e um autovetor nao negativo
associado a λ.
Outro resultado importante na teoria de Algebra Linear e o conhecido Teorema de Perron-
Frobenius [18], reescrito abaixo.
TEOREMA 2.2.2. [18] Seja M uma matriz real quadrada de ordem n irredutıvel com entra-
das nao negativas e autovalores de λ1 ≥ . . .≥ λn, entao:
• λ1 e positivo e tem multiplicidade 1;
• existe um autovetor positivo associado a λ1;
• |λi| ≤ λ1, para todo i ∈ {2,3, . . . ,n}.
Vale lembrar que uma matriz M e dita irredutıvel se nao existe uma matriz P, obtida
atraves de permutacoes na matriz I, tal que PMPt esteja na forma
(B C
Θ D
)
.
Uma estrategia para encontrar parte do espectro de uma matriz e o resultado abaixo.
LEMA 2.2.1. [1]
Seja M uma matriz quadrada de ordem n que possa ser escrita da forma
M =
M1,1 M1,2 . . . M1,k
M2,1 M2,2 . . . M2,k
......
...
Mk,1 Mk,2 . . . Mk,k
,
onde Mi, j, 1 ≤ i, j ≤ k, e uma matriz de ni × n j tal que suas linhas tem somas constantes
iguais a ci j. Se M′ = [ci j]k×k, entao seus os autovalores tambem sao autovalores de M.
8
Demonstracao. Considere v =[
x1 x2 . . . xk
]t
autovetor de M′ associado a um autova-
lor λ, daı temos as igualdades:
c11 c12 . . . c1k
c21 c22 . . . c2k
......
...
ck1 ck2 . . . ckk
.
x1
x2
...
xk
=
x1.c11 + x2.c12 + . . .+ xk.c1k
x1.c21 + x2.c22 + . . .+ xk.c2k
...
x1.ck1 + x2.ck2 + . . .+ xk.ckk
=
λ.x1
λ.x2
...
λ.xk
.
Com isso podemos escrever
M1,1 M1,2 . . . M1,k
M2,1 M2,2 . . . M2,k
......
...
Mk,1 Mk,2 . . . Mk,k
.
x1.−→1 n1
x2.−→1 n2
...
xk.−→1 nk
=
(x1c11 + x2c12 + . . .+ xkc1k)−→1 n1
(x1c21 + x2c22 + . . .+ xkc2k)−→1 n2
...
(x1ck1 + x2ck2 + . . .+ xkckk)−→1 nk
= λ
x1.−→1 n1
x2.−→1 n2
...
xk.−→1 nk
Logo λ tambem e autovalor de M.
�
2.3 Teoria Espectral dos Grafos
Essa teoria consiste em estudar as propriedades estruturais de grafos atraves de suas representacoes
matriciais e seus respectivos espectros (conjunto de autovalores). Seu ponto de partida foi
em 1931 com o trabalho de Huckel em quımica quantica, mas seu grande desenvolvimento
teve inıcio somente em 1971 atraves da tese de doutorado de Cvetkovic. Nesta dissertacao
estudaremos algumas propriedades das matrizes de Adjacencia e Laplaciana.
2.3.1 Matriz de Adjacencia
A representacao matricial mais comum de um grafo e por meio da matriz de adjacencia,
formada por zeros e uns que indicam, naturalmente, se dois vertices sao adjacentes ou nao.
Mais especificamente, dado um grafo G com V (G) = {v1, . . . ,vn} definimos a sua matriz de
adjacencia A(G) como:
A(G) = [ai j] =
{1, se viv j ∈ E(G);0, caso contrario.
Podemos definir os autovalores do grafo G como os autovalores da matriz A(G), dados
pelas raızes do polinomio caracterıstico pG(x) = det(A(G)− xI). O espectro do grafo e o
9
conjunto formado pelos seus autovalores e suas respectivas multiplicidades e e denotado por:
σ(G) =
(λ1 λ2 . . . λs
r1 r2 . . . rs
)
,
onde λi e autovalor de G com multiplicidade ri, i ∈ {1, . . . ,s}. Se todos os autovalores sao
numeros inteiros entao G e dito A-integral, ou simplesmente integral
EXEMPLO 2.3.1. A matriz de adjacencia do grafo H do exemplo 2.1.1:
A(H) =
0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 0
E os autovalores de H sao, aproximadamente:
σ(H) =
2,90 0,806 0 −1,709 −2
1 1 3 1 1
O maior autovalor do grafo G e chamado de ındice, denotado simplesmente por λ(G).Algumas propriedades podemos obter direto da definicao da matriz.
OBSERVACAO 2.3.1. A matriz de adjacencia e real e simetrica, entao todos seus autovalores
sao reais e admite uma base de autovetores.
OBSERVACAO 2.3.2. Os autovalores sao numeros irracionais ou inteiros.
Pela observacao anterior ja sabemos que os autovalores nao sao complexos, resta provar
que nao podem ser numeros racionais nao inteiros. De fato, como todas as entradas da
matriz sao numeros inteiros trata-se de um polinomio caracterıstico da forma p(x) = xn +
an−1xn−1 . . .+a1x+a0 ∈Z[x], considere cd∈Q (fracao irredutıvel) raiz do polinomio, assim
(c
d)n +an−1(
c
d)n−1 . . .+a1
c
d+a0 = 0, donde
cn =−(an−1cn−1.d+an−2cn−2.d2+ . . .+a1.c.dn−1 +a0.d
n).
10
Como d divide o segundo membro da igualdade entao d|cn, mas c e d sao primos entre si,
entao a unica opcao e d = 1, ou seja, a raiz cd∈ Z.
OBSERVACAO 2.3.3. O espectro de um grafo e bem definido.
Dado um grafo G, podemos corresponde-lo a matrizes de adjacencia distintas, uma vez que
a definicao depende da rotulacao atribuıda aos vertices. Seja A matriz de adjacencia do
grafo G e apos uma permutacao de vertices obtemos a matriz de adjacencia B do mesmo
grafo, tal matriz nada mais e que permutacoes de linhas e colunas da matriz A, isto e, existe
uma matriz de permutacao P tal que B = P.A.P−1, entao
pB(x) = |B− xI|= |P.A.P−1− xI|= |P.(A− xI).P−1|= |A− xI|= pA(x).
Logo as matrizes B e A tem o mesmo espectro. Em contrapartida e facil ver que dada uma
matriz de adjacencia esta e associada a um unico grafo.
OBSERVACAO 2.3.4. Cada linha (ou coluna) da matriz se refere a um unico vertice e a soma
dos elementos de cada linha (ou coluna) resulta no grau do vertice correspondente.
A fim de fixar a notacao, daqui em diante Jnxn denotara a matriz cujas entradas ai j valem
1, para qualquer 1 ≤ i, j ≤ n, ja a matriz nula sera simbolizada por Θnxn e a identidade por
Inxn. O vetor cujas entradas sao 1 sera denotado por~1n ∈Rn e o vetor nulo por~0n ∈Rn. Em
casos livres de ambiguidade a dimensao da matriz ou do vetor sera omitido.
Dentre diversos resultados que relacionam o espectro de um grafo com a sua estrutura,
trataremos aqui de alguns que serao uteis para a compreensao do trabalho.
PROPOSIC AO 2.3.1. [1] Se G1,G2, . . . ,Gr sao as componentes conexas de um grafo G entao
pG(x) = pG1(x).pG2
(x) . . . pGr(x) e o seu polinomio caracterıstico.
Demonstracao. Para o caso r = 2 tome A1 e A2 as matrizes de adjacencia de G1 e G2,
respectivamente, e podemos escrever:
A(G) =
A1 Θ
Θ A2
e, por resultado de Algebra Linear, temos que
pG(x) = det(A(G)− xI) = det(A1 − xI).det(A2− xI) = pG1(x).pG2
(x).
Indutivamente e facil ver que o resultado vale para r > 2.
11
�
Segue daı que o espectro da uniao de grafos pode ser visto como a ”uniao dos espec-
tros”das componentes conexas, e portanto, se G tem componentes conexas G1,G2, . . . ,Gr o
seu ındice e λ(G) = max{λ(Gi);1 ≤ i ≤ r}.
A matriz de Adjacencia de um grafo conexo, satisfaz as hipoteses do Teorema de Perron-
Frobenius portanto o ındice de um grafo conexo satisfaz as tres condicoes do teorema de
2.2.2, daı e pelo quociente de Rayleigh 2.2.1 podemos concluir a proposicao abaixo.
PROPOSIC AO 2.3.2. [18] Se G e um grafo conexo e H um subgrafo proprio de G, entao
λ(H)< λ(G).
Demonstracao. Considere G um grafo conexo e H subgrafo proprio, sem perda de gene-
ralidade podemos obter H atraves da remocao de um numero finito de arestas de G, uma
vez que vertices isolados nao interferem no valor do ındice, pela proposicao 2.3.1. Entao
a matriz A(H) e obtida pela substituicao do valor 1 pelo 0 em algumas entradas de A(G).
Pela observacao 2.2.1 podemos tomar v autovetor nao negativo de A(H) associado ao ındice
λ(H).
Entao, pelo quociente de Rayleigh 2.2.1, temos
λ(H) =vt .A(H).v
||v||2 ≤ vt .A(G).v
||v||2 ≤ sup{xt .A(G).x
||x||2 ; x 6=~0}= λ(G).
Como G e conexo, entao pelo teorema 2.2.2 temos que o autovetor associado a λ(G) e
positivo, implicando que a primeira desigualdade e estrita.
�
O resultado acima afirma que dado um grafo G, se tomarmos um subgrafo proprio qual-
quer de G entao o ındice do grafo tera que diminuir. Mas no caso de subgrafo induzido de G
(ou seja, obtido da retirada de um numero finito de vertices de G) o teorema abaixo garante
todos os autovalores destes grafos se entrelacam. Este teorema e bem conhecido e segue
como consequencia do Teorema do Entrelacamento de Cauchy aplicado repetidas vezes.
TEOREMA 2.3.1. [11] Se H e subgrafo induzido de G, com |V (H)| = r e |V (G)| = n ≥ r,
entao A(H) e submatriz principal de A(G) de ordem r e os autovalores de H se intercalam
com os de G, ou seja:
λn−r+k(G)≤ λk(H)≤ λk(G),para cada 1 ≤ k ≤ r
O ındice do grafo k-regular e o proprio valor k, como escrito abaixo:
PROPOSIC AO 2.3.3. [1] Se G e um grafo k-regular, entao k e autovalor de G e G e conexo
se, e somente se, a multiplicidade de k e 1.
12
2.3.2 Matriz Laplaciana
A matriz diagonal D de um grafo G e definida por D(G) = diag(d(v1), . . . ,d(vn)) e defini-
mos a matriz Laplaciana de G por L(G) = D(G)−A(G), ou de forma equivalente:
L(G) = [li j] =
−1, se viv j ∈ E(G);d(vi), se i = j
0, se viv j /∈ E(G).
Os autovalores laplacianos de G sao obtidos de L(G), denotados por µi e seu espectro lapla-
ciano denotado por σL. No caso de todos os autovalores laplacianos serem inteiros, dizemos
que o grafo e laplaciano integral ou simplesmente L-integral. O estudo da L-integralidade
e o foco do capıtulo 4 deste trabalho.
EXEMPLO 2.3.2. A matriz laplaciana do grafo H do exemplo 2.1.1 e seu espectro aproxi-
mado e:
L(H) =
2 −1 0 0 0 −1 0
−1 5 −1 −1 −1 −1 0
0 −1 1 0 0 0 0
0 −1 0 1 0 0 0
0 −1 0 0 2 −1 0
−1 −1 0 0 −1 4 −1
0 0 0 0 0 −1 1
σL(H) =
6,072 4,881 2 1,342 1 0,703 0
1 1 1 1 1 1 1
As observacoes 2.3.1, 2.3.2 e 2.3.3 tambem se aplicam a matriz Laplaciana, ja a observacao
2.3.4 deve ser adaptado, ja que a soma das linhas e colunas sempre resultam em zero, donde
ja podemos concluir que o vetor[
1 . . . 1]t
e autovetor de L(G) associado ao autovalor
0 de qualquer grafo G.
PROPOSIC AO 2.3.4. [1] Dado um grafo G com n vertices, a matriz Laplaciana do seu grafo
complementar e L(G) = nI−J−L(G).
Demonstracao. De fato, L(G)+L(G) = D(G)−A(G)+D(G)−A(G) =
= D(G)+D(G)− (A(G)+A(G)). Observe que se k e o grau de um vertice em G, no grafo
complementar seu grau e n− (k+1), entao
D(G)+D(G) = diag(d(v1)+n− (d(v1)+1), . . . ,d(vn)+n− (d(vn)+1)) = diag(n−1, . . . ,n−1).
13
E e claro que A(G)+A(G) = J− I, pela propria definicao de grafo complementar.
Entao L(G)+L(G) = diag(n−1, . . . ,n−1)− (J− I) = diag(n, . . . ,n)−J= n.I−J.
�
Com uso desta ultima proposicao podemos obter todo o espectro laplaciano de G em
funcao de G, conforme enunciado abaixo.
PROPOSIC AO 2.3.5. [1] Seja G um grafo com n vertices e µ1,µ2, . . . ,µn−1,0 seus autovalo-
res laplacianos. Entao n−µn−1, . . . ,n−µ2,n−µ1,0 sao os autovalores de G.
Demonstracao. Como L e uma matriz simetrica entao admite uma base ortogonal de autove-
tores, o que nos permite tomar w1, . . . ,wn−1 autovetores associados a µ1, . . . ,µn−1, de forma
que wi seja ortogonal a~1, para cada 1 ≤ i≤ n−1, uma vez que~1 e autovetor (associado ao 0)
de L. Entao para cada i ∈ {1, . . . ,n−1} temos <~1,wi >= 0, e por outro lado <~1,wi >=<
wi,e1 >+ . . .+< wi,en >, donde segue que 0 =<~1,wi >=< wi,e1 >+ . . .+< wi,en >.
Pela observacao feita anteriormente temos L(G) = nI−J−L(G), entao
L(G)wi = nIwi−Jwi−L(G)wi = nwi−0−µiwi = (n−µi)wi, para cada 1≤ i ≤ n−1. Entao
wi e autovetor de L(G) associado ao autovalor n−µi.
�
Atraves desta proposicao podemos concluir que G e um grafo L-integral se, e somente
se, G e L-integral, uma vez que seus autovalores diferem por um inteiro. Vale ressaltar que
essa relacao nao vale no caso da matriz de Adjacencia.
2.3.3 Alguns espectros
Nesta secao vamos exibir o espectro de alguns grafos ja conhecidas na literatura, cujas provas
podem ser vistas em [12].
O grafo completo tambem tem seu espectro bem determinado, a saber
σ(Kn) =
(n−1 −1
1 n−1
)
De fato, primeiramente observe que o grafo Kn e (n−1)-regular e do resultado anterior
temos que n− 1 e autovalor. Os demais autovalores sao obtidos da seguinte forma: como
todos vertices sao adjacentes entre si, A(Kn) = J− I, entao observe que todo vetor u ∈ Rn
ortogonal a ~1n e autovetor de A(Kn), pois se escrevemos u =[
u1 . . . un
]tentao u1 +
. . .+ un = 0, donde podemos escrever ui = −(u1 + . . .+ ui−1 + ui+1 + . . .+ un) e concluir
que A(G).u = −u, entao -1 e autovalor associado ao vetor u, como existem n− 1 vetores
ortogonais a~1n, −1 tem multiplicidade n−1. Logo temos o espectro do grafo completo todo
determinado.
14
Tambem temos o L-espectro do Kn bem determinado, basta observar que L(Kn) = nI−J
e seguir o mesmo raciocınio analogo ao feito acima, obtendo σL(Kn) =
(n−1 0
n−1 1
)
.
Os espectros do ciclo sao:
σ(Cn) =
(
2 2cos(2πn) . . . 2cos(
(n−2)πn
) −2
1 2 . . . 2 1
)
, para n ımpar
σ(Cn) =
(
2 2cos(2πn) . . . 2cos( (n−1)π
n) −2
1 2 . . . 2 1
)
, para n par
σL(Cn) = {2−2cos(2π j
n);0 ≤ k ≤ n−1}
O espectro grafo caminho Pn e obtido de forma recursiva:
σ(Pn) = {2cos(πk
n+1);1 ≤ k ≤ n}
σL(Pn) = {2−2cos(πk
n);0 ≤ k ≤ n−1}
O calculo dos autovalores (da matriz de adjacencia ou laplaciana) de forma direta, utili-
zando o polinomio caracterıstico do grafo, nao e um trabalho trivial pois ao nos depararmos
com um grafo com mais de 4 vertices estamos diante do problema de calcular raızes de
um polinomio caracterıstico de grau maior do que 4. Em casos particulares existem alguns
softwares que calculam o espectro do grafo, um deles e o NewGraph1(Dragan Stevanovic)
usado para calcular o espectro dos exemplos acima e de outros grafos particulares que vere-
mos no decorrer do texto. Em geral, o calculo dos autovalores do grafo e um trabalho arduo e
para tal recorremos a resultados da Teoria de Matrizes. Outras estrategias atraves de algumas
operacoes como complementar, join, uniao, produto, grafo-linha, produto forte, entre outros,
tambem sao usadas.
1Disponıvel em Spectral Graph Theory Home Page no link http://www,sgt.pep.ufrj.br/index.php
15
Capıtulo 3
Grafo Aranha e seu espectro
O grafo aranha, estudado neste capıtulo, e parte importante para uma melhor compreensao
do capıtulo seguinte onde estudaremos os P4-esparsos. Tal classe foi introduzida por Jamison
e Olariu [21]. Veremos aqui o espectro e o L-espectro desta famılia.
DEFINICAO 3.0.1. Um grafo G(V,E) e uma aranha se V (G) pode ser particionado em
conjuntos S,K e R tais que:
• |S|= |K|> 2
• S = {s1, . . . ,sk} e um conjunto independente;
• K = {c1, . . . ,ck} uma clique;
• Todos os vertices de K sao adjacentes aos de R e nao ha arestas entre os vertices de R
e S.
• Entre S e K temos que si e adjacente a c j no caso, e somente um dos casos, abaixo:
(i) i = j, o grafo e denominado aranha magra; ou
(ii) i 6= j , chamado de aranha gorda.
Os conjuntos S,K e R sao chamados respectivamente de pernas, corpo e cabeca da aranha.
Em alguns casos chamaremos, por um abuso de linguagem, de cabeca da aranha o proprio
subgrafo induzido pelos vertices da cabeca. Se R = Ø entao a aranha e dita aranha magra
(ou gorda) sem cabeca.
Um grafo do tipo aranha magra sera denotado por Sm[G,k, j], onde suas pernas e seu
corpo possuem, cada, k vertices, a cabeca j vertices, e G e o subgrafo induzido pela cabeca
R. Analogamente Sg[G,k, j] representa a aranha gorda. No caso de R formar um conjunto
16
independente, isto e, o subgrafo induzido pela cabeca nao tem arestas, denotaremos por
Sm[k, j] ou Sg[k, j] e no caso sem cabeca denotaremos simplesmente por Sm[k] ou Sg[k].Para facilitar a compreensao da definicao de Aranha Magra e Gorda observe o exemplo
abaixo.
EXEMPLO 3.0.3. Na figura 3.1 temos a esquerda a aranha magra Sm[G,4,4] cuja cabeca e
um grafo G (com quatro vertices) e a direita a aranha gorda Sg[G,4,4] com o mesmo grafo
induzido pela cabeca.
Figura 3.1: Grafos Sm[G,4,4] e Sg[G,4,4]
Veremos agora algumas propriedades estruturais desta famılia de grafos, algumas delas
podem ser encontradas em [21]. Primeiramente podemos concluir direto da definicao que
todo grafo aranha G(V,E) satisfaz um, e somente um, dos casos abaixo:
• d(c) = |V |− |S| e d(s) = 1, para todo c ∈ K e s ∈ S se G e aranha magra; ou
• d(c) = |V |−2 e d(s) = |K|−1, para todo c ∈ K e s ∈ S se G e aranha gorda.
OBSERVACAO 3.0.5. Todo grafo aranha e conexo, independente do grafo induzido pela
cabeca;
De fato, dados dois vertices u e v quaisquer temos 3 casos a considerar: se ambos perten-
cerem ao corpo entao sao adjacentes; se u pertence ao corpo e v nao, entao por definicao v
e adjacente a pelo menos um vertice do corpo que por sua vez e adjacente a u; e no ultimo
caso se ambos nao estiverem no corpo, cada um tem ao menos um vertice v1 adjacente a
v e u1 adjacente a u, com u1,v1 ∈ K, donde temos adjacencia entre estes. Logo, em todos
os casos existe um caminho entre u e v cujo comprimento e no maximo 3, e o diametro de
qualquer aranha e 3.
OBSERVACAO 3.0.6. Sm[G,k, j] = Sg[G,k, j] e Sg[G,k, j] = Sm[G,k, j].
De fato, considere a aranha magra com vertices particionados em S (pernas), K (corpo) e
R (cabeca), cuja cabeca induz o grafo G, entao observando as definicoes da aranha magra
temos que Sm[G,k, j] satisfaz as propriedades:
17
• S = {s1, . . . ,sk} e uma clique em Sm[G,k, j];
• K = {c1, . . . ,ck} e um conjunto independente em Sm[G,k, j];
• Nao ha adjacencia entre K e R e ha todas adjacencias possıveis entre os vertices de R
e S em Sm[G,k, j];
• Entre S e K vale si ∼ c j ⇔ i 6= j em Sm[G,k, j];
• dois vertices em R sao adjacentes se nao havia adjacencia entre eles em Sm[G,k, j].
Ou seja, trata-se de uma nova aranha cujo corpo e o conjunto S, pernas K e cabeca R,
satisfazendo as condicoes da aranha gorda e as adjacencias entre os vertices da cabeca
e dada pelas nao-adjacencias de Sm[G,k, j], logo Sm[G,k, j] = Sg[G,k, j] (figura 3.2). O
segundo caso segue de forma completamente analoga.
Figura 3.2: Sm[G,4, j] e Sm[G,4, j]
OBSERVACAO 3.0.7. Toda aranha magra e subgrafo de uma aranha gorda, com mesmo
numero de vertices nas pernas, cabeca e corpo. Mais especificamente Sm[G,k, j]⊂ Sg[G,k, j],
para qualquer k ≥ 2 e j ≥ 0.
De fato, considere Sg[G,k, j] com vertices particionados em S,K,R e rotulados de acordo
com a notacao da definicao. Entao para cada i ∈ {1, . . . ,k} temos si adjacente aos vertices
de {c1,c2, . . . ,ck}\{ci} e em particular X = {s1c2,s2c3,s3c4, . . . ,sk−1ck,skc1}⊂E(Sg[G,k, j]).
Considere o subgrafo H de Sg[G,k, j] obtido pela retirada de todas as arestas entre S e K
que nao estao em A, ou seja, o grafo H tambem tem particao de vertices em S,K,R que
satisfaz todas as exigencias da definicao de um grafo aranha tal que si e adjacente a c j se,
e somente se, sic j ∈ X, (figura 3.3) entao atraves de uma nova rotulacao dos vertices de S
concluımos que H isomorfo a Sm[G,k, j].
18
Figura 3.3: Sm[G,5, j]⊂ Sg[G,5, j]
Jamison e Olariu verificaram que os P4’s induzidos em uma aranha nao podem ”atravessar” o
corpo e a cabeca, conforme provado abaixo.
OBSERVACAO 3.0.8. Seja G uma aranha com vertices particionados em S,K,R conforme a
definicao. Todo P4 induzido em G tem vertices em K ∪S ou em R. Alem disso, se um P4 tem
vertices em K ∪S, entao os vertices intermediarios estao em K e os extremos em S.
Seja G({u,v,w,z}) um P4 cujos vertices pertencem a ambos os conjuntos K ∪R e S. Inici-
almente observe que se dois vertices estao em R entao algum outro deve estar em K, uma
vez que nao ha adjacencia entre S e R. Com isso estes tres vertices induzem um triangulo
impossibilitando de induzir um P4 junto a um quarto vertice; portanto no maximo um vertice
deve pertencer a R, digamos entao u. Com raciocınio analogo so podemos ter no maximo
um vertice em K, mas como nao podemos ter os outros tres em S, pois este nao tem ad-
jacencia alguma com R, podemos afirmar que v ∈ K. Entao os vertices w e z restantes
devem pertencer a S, que por sua vez e um conjunto independente de vertices e portanto im-
possibilita a inducao do P4, o que e contradicao. Logo os vertices u,v,w,z devem pertencer,
exclusivamente, a K ∪R ou S. Alem disso, no caso de pertencerem a K ∪R observe pela
definicao da aranha que os vertices intermediarios devem estar em K e os extremos em S,
como querıamos demonstrar.
3.1 Espectro do grafo Aranha
Nesta secao estudaremos as Aranhas sobre o ponto de vista espectral. Nao encontramos
na literatura nenhum estudo sobre o espectro dessa famılia nem com relacao a matriz de
19
adjacencia nem em relacao a laplaciana. Nos obtemos o espectro completo para ambas as
matrizes, no caso em que a aranha nao tem arestas no subgrafo induzido pela cabeca, e
posteriormente conseguimos estudar a integralidade de toda a classe.
3.1.1 Espectro de adjacencia
Parte desta subsecao foi desenvolvida na nossa monografia [24].
PROPOSIC AO 3.1.1. Seja Sm[k, j] aranha magra cuja cabeca e formada por um conjunto
independente. Entao seu espectro esta bem determinado:
σ(Sm[k, j]) =
k−1±√
(k−1)2+4k j+4
2−1±
√5
2 0
1,1 k−1,k−1 j
, no caso de aranha com cabeca;
σ(Sm[k]) =
k−1±√
(k−1)2+4
2−1±
√5
2
1,1 k−1,k−1
, se a aranha e sem cabeca;
OBS: A notacao utilizada na exibicao do espectro acima simboliza que o autovalork−1+
√(k−1)2+4k j+4
2 tem multiplicidade 1, bem comok−1−
√(k−1)2+4k j+4
2 . Ao escrever ”k−1,k−1”tambem simbolizamos de forma reduzida que −1+
√5
2 e −1−√
52 tem cada um multi-
plicidade k − 1. Esta notacao sera utilizada daqui em diante, a fim de reduzir a escrita do
espectro.
Demonstracao. Seja Sm[k, j] um grafo do tipo aranha magra, cuja cabeca tem ao menos um
vertice ( j ≥ 1) e forma um conjunto independente. A fim de nao sobrecarregar a notacao es-
creveremos somente Sm quando nos referimos ao grafo Sm[k, j]. Podemos rotular os vertices
da aranha de forma que a matriz A(Sm) seja escrita em blocos que expressem as seguintes
adjacencias:
corpo x corpo corpo x perna corpo x cabeca
perna x corpo perna x perna perna x cabeca
cabeca x corpo cabeca x perna cabeca x cabeca
Assim sua matriz de adjacencia A(Sm) e:
20
0 1 . . . 1 | 1 0 . . . 0 | 1 1 . . . 1
1 0 . . . 1 | 0 1 . . . 0 | 1 1 . . . 1...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 0 | 0 0 . . . 1 | 1 1 . . . 1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
0 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
0 0 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
Que pode ser reescrita em blocos:
A(Sm) =
(J− I)kxk Ikxk Jkx j
Ikxk Θkxk Θkx j
J jxk Θ jxk Θ jx j
Note que todas as matrizes blocos que compoem a matriz A(Sm) somam, em suas linhas,
o mesmo valor para cada matriz. Entao podemos considerar a matriz A′3x3 cujas entradas sao
tais somas, ou melhor:
A′ =
k−1 1 j
1 0 0
k 0 0
Entao pelo Lema 2.2.1, garantimos que os autovalores de A′ tambem sao autovalores de Sm,
que podem ser obtidos facilmente:
21
p(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
k−1− x 1 j
1 −x 0
k 0 −x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x(−x2 + x(k−1)+ k j+1) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x =k−1±
√
(k−1)2+4k j+4
2(∗1)
Se a cabeca possuir ao menos dois vertices ( j ≥ 2) podemos tomar u ∈ R j ortogonal a
~1 j e considerar o vetor v =
~0k
~0k
u
∈ R2k+ j. E facil ver que [A(Sm)].v =~0 = 0.v, ou seja,
0 e autovalor da matriz A(Sm) correspondente ao autovetor v ∈ R2k+ j. Como existem j−1
vetores linearmente independentes do R j perpendiculares a ~1 j, entao 0 e autovalor de Sm
com multiplicidade pelo menos j−1 (∗2).
Se a cabeca possui um unico vertice, nao existe vetor ortogonal a~1 j ∈R j e nao podemos
executar o processo acima, o que implica que o autovalor 0 decorre somente de ∗1.
Provaremos agora que −1±√
52 sao autovalores do grafo Sm. Para isso, de forma analoga
ao feito acima, para cada vetor u ∈Rk ortogonal a~1 considere o vetor w =
u
−−1+√
52 u
~0 j
∈
R2k+ j.
Vale observar que se escrevermos u =[
x1 x2 . . . xk
]t
entao ao efetuarmos o pro-
duto interno entre u e o vetor ~1 − ei =[
1 . . . 1 0 1 . . . 1
]t
(onde ei e o vetor
canonico do Rk) obtemos < u,~1− ei >= −xi, para cada i ∈ {1, . . . ,k}(∗3). Dito isso po-
demos efetuar a operacao:
[A(Sm)].w =
−u− −1+√
52 u
u
~0 j
=
−1−√
52 u
u
~0 j
= −1−
√5
2
u
−−1+√
52 u
~0 j
= −1−
√5
2 .w.
Onde na primeira igualdade usamos o fato ∗3 observado acima.
Logo concluımos que −1−√
52 e autovalor do grafo com multiplicidade ao menos k− 1,
pois este e o numero de autovetores linearmente independentes ortogonais a~0k.
Por procedimento semelhante podemos concluir que −1+√
52 e autovalor com multiplici-
22
dade k−1, referente ao autovetor
u
−−1−√
52 u
~0 j
.
Logo obtivemos 2+ j−1+k−1+k−1 = 2k+ j−1 autovalores, pois ainda nao temos
garantia que o autovalor 0 encontrado em ∗1 ja esta sendo contado em ∗2. Mas de fato, a
soma dos 2k+ j−1 autovalores encontrados resulta em:
k−1+√
(k−1)2 +4k j+4
2+
k−1−√
(k−1)2 +4k j+4
2+( j−1)0+(k−1)(
−1−√
5
2+−1+
√5
2)= 0
Mas a soma de todos os autovalores deve resultar em 0, pois Tr(A(Sm)) = 0, entao o auto-
valor restante deve ser o zero, logo este tem multiplicidade j. O que completa o espectro do
grafo aranha magra Sm[k, j].
Suponha agora que a aranha magra nao possua cabeca, ou seja, j = 0. Com raciocınio
completamente analogo ao feito acima escrevemos novamente a matriz de Sm[k] na forma:
A(Sm[k]) =
(J− I)kxk Ikxk
Ikxk Θkxk
→ A′ =
k−1 1
1 0
Entaok−1±
√(k−1)2+4
2 e autovalor de Sm[k].
E considerando o vetor w =
u
−−1±√
52 u
∈ R2k para cada u ∈ Rk ortogonal a~1 pro-
vamos que −1∓√
52 sao autovalores de Sm[k],o que conclui a prova.
�
PROPOSIC AO 3.1.2. Seja Sg[k, j] aranha gorda cuja cabeca e formada por um conjunto
independente. Entao seu espectro esta bem determinado:
σ(Sg[k, j]) =
k−1±√
5(k−1)2+4k j
2−1±
√5
2 0
1,1 k−1,k−1 j
, se a aranha possui cabeca
23
σ(Sg[k, j]) =
k−1±(k−1)√
52
−1±√
52
1,1 k−1,k−1
, se a aranha nao possui cabeca
Demonstracao. A prova desta proposicao e semelhante a anterior.
Seja Sg[k, j] um grafo do tipo aranha gorda, cuja cabeca e um conjunto independente com
ao menos um vertice. Novamente, escreveremos apenas Sg para denota-lo. A sua matriz de
adjacencia e dada abaixo:
0 1 . . . 1 | 0 1 . . . 1 | 1 1 . . . 1
1 0 . . . 1 | 1 0 . . . 1 | 1 1 . . . 1...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 0 | 1 1 . . . 0 | 1 1 . . . 1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−0 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
1 0 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
que pode ser reescrita em blocos como:
A(Sg) =
(J− I)kxk (J− I)kxk Jkx j
(J− I)kxk Θkxk Θkx j
J jxk Θ jxk Θ jx j
24
Ao substituir cada bloco pela soma de suas respectivas linhas, obtemos a matriz
A′ =
k−1 k−1 j
k−1 0 0
k 0 0
Cujos autovalores sao 0 ek−1±
√5(k−1)2+4k j
2 . (∗1)
Por outro lado, de forma completamente semelhante ao feito no caso da aranha magra
considere para cada u ∈R j tal que u ⊥~1 j, o vetor v =
~0k
~0k
u
∈R2k+ j.
E facil verificar que A(Sg).v = 0.v, donde segue que 0 e autovalor de Sg com multiplici-
dade ao menos j−1. (∗2)
Se a cabeca possui um unico vertice, nao existe vetor ortogonal a~1 j ∈R j e nao podemos
executar o processo acima, o que implica que o autovalor 0 decorre somente de ∗1.
Ainda de forma semelhante ao feito com a aranha magra, como k ≥ 2 por definicao, entao
podemos tomar u ∈Rk com u ⊥~1k, que implica nas igualdades abaixo.
A(Sg).
u√
5−12 .u
~0 j
=
−u−√
5−12 .u
−u
~0 j
=
−1−√
5
2.
u√
5−12 .u
~0 j
e
A(Sg).
u
−√
5−12 .u
~0 j
=
−1+√
5
2.
u
−√
5−12 .u
~0 j
,
garantindo que −1±√
52 sao autovalores do grafo aranha gorda com multiplicidade k−1 cada.
Obtemos 2k+ j−1 autovalores, restando garantir se o 0 obtido em ∗1 esta sendo contado
novamente em ∗2. Seguindo a mesma ideia do feito no caso da aranha magra, observe que a
soma dos autovalores obtidos ate entao (excluindo o zero de ∗1) resulta em 0, logo o ultimo
autovalor e o 0. Exibimos assim todo o espectro do grafo Sg no caso da cabeca sem arestas
possuir algum vertice.
Suponha agora que o grafo aranha gorda nao possua cabeca, entao a sua matriz pode ser
25
escrita em blocos:
A(Sg) =
(J− I)kxk (J− I)kxk
(J− I)kxk Θkxk
→ A′ =
k−1 k−1
k−1 0
Entao garantimos quek−1±(k−1)
√5
2 sao autovalores de Sg[k]. Os demais autovalores sao
obtidos de forma completamente analoga ao feito acima considerando j = 0 quando conve-
niente.
�
3.1.2 Espectro laplaciano
Obtemos agora o espectro laplaciano de qualquer aranha magra cuja cabeca induz um grafo
sem arestas.
PROPOSIC AO 3.1.3. Seja Sm[k, j], aranha magra cuja cabeca induz um subgrafo sem ares-
tas. Entao seu espectro laplaciano esta bem determinado:
σL(Sm[k, j]) =
k+ j+2±√
(k+ j)2+4
2 kk+ j+2±
√(k+ j)2+4−4k
2 0
k−1,k−1 j−1 1,1 1
, no caso de aranha com cabeca;
σL(Sm[k]) =
k+2±√
k2+42 0 2
k−1,k−1 1 1
, para aranha sem cabeca
Demonstracao. Seja Sm[G,k, j] um grafo do tipo aranha magra, cuja cabeca e um conjunto
independente, ou seja, G e um grafo sem arestas mas com ao menos um vertice ( j ≥ 1). A
fim de nao sobrecarregar a notacao, escreveremos simplesmente Sm quando nos estivermos
referindo ao grafo em questao.
Observe que o grau dos vertices do corpo e k+ j, da cabeca e k e das pernas e 1, entao a
matriz L(Sm) e:
26
k+ j −1 . . . −1 | −1 0 . . . 0 | −1 −1 . . . −1
−1 k+ j . . . −1 | 0 −1 . . . 0 | −1 −1 . . . −1...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
−1 −1 . . . k+ j | 0 0 . . . −1 | −1 −1 . . . −1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−−1 0 . . . 0 | 1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
0 −1 . . . 0 | 0 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
0 0 . . . −1 | 0 0 . . . 1 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | k 0 . . . 0
−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | 0 k . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . k
Esta matriz pode ser reescrita como uma matriz em blocos:
L(Sm) =
[(k+ j+1)I−J]kxk −Ikxk −Jkx j
−Ikxk Ikxk Θkx j
−J jxk Θ jxk kI jx j
,
onde J e a matriz formada somente por 1’s, I e a identidade e Θ e a matriz nula.
Observe que todas as matrizes blocos que compoem a matriz L := L(Sm) somam, em suas
linhas, o mesmo valor para cada bloco. Assim consideremos a matriz L′3x3 cujas entradas
sao tais somas, ou melhor:
L′ =
j+1 −1 − j
−1 1 0
−k 0 k
.
Entao pelo Lema 2.2.1, garantimos que os autovalores de L tambem sao autovalores da matriz
L(Sm), que podem ser obtidos facilmente:
27
p(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
j+1 −1 − j
−1 1 0
−k 0 k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=−x(x2 − x(k+2+ j)+2k+ j) = 0 ⇔
⇔ x = 0 ou x =k+2+ j±
√
(k+ j)2 +4−4k
2(∗)
que sao os autovalores de L′ e, portanto, sao autovalores de L.
Se j ≥ 2 entao podemos tomar u ∈ R j ortogonal a~1 j e construir o vetor v =
~0k
~0k
u
∈
R2k+ j. Observe que L.v = k.v, daı temos que k e autovalor da matriz L correspondente ao
autovetor v ∈R2k+ j. Como existem j−1 vetores linearmente independentes do R j perpen-
diculares a~1 j, entao k e autovalor de Sm com multiplicidade ao menos j−1. Se a cabeca so
tiver um vertice ( j = 1) o vetor u nao existe e consequentemente k nao e autovalor.
Provaremos agora quek+ j+2±
√(k+ j)2+4
2 sao autovalores do grafo. Pela definicao de
aranha, seu corpo deve possuir ao menos dois vertices (ou seja, k ≥ 2) entao podemos tomar
u ∈Rk perpendicular a~1 e considerar o vetor w =
u
k+ j+√
(k+ j)2+4
2 u
~0 j
em R2k+ j.
Para nao sobrecarregar a escrita faremos as substituicoes p = k+ j e q = (k+ j)2 +4.
L.w = L.
u
p+√
q
2 u
~0 j
=
(k+ j+1)u− p+√
q
2 u+~0k
−u+p+
√q
2 u+~0k
~0 j
=
=
p+2−√q
2 u
p−2+√
q
2 u
~0 j
=
p+2−√q
2
u
p+√
q
2 u
~0 j
=
p+2−√q
2.w
Portantop+2−√
q
2 e autovalor do grafo com multiplicidade k−1.
Com procedimento semelhante podemos concluir quep+2+
√q
2 e autovalor com multipli-
cidade k−1, referente ao autovetor w =
u
p−√q
2 u
~0 j
∈R2k+ j.
28
Como obtemos exatamente j+2k autovalores, que e a ordem do grafo Sm, esta provado
o desejado para o caso em que a aranha tem ao menos algum vertice na cabeca.
Se a aranha Sm tem nenhum vertice na cabeca entao a sua matriz laplaciana e dada por:
L(Sm[k]) =
[(k+1)I−J]kxk −Ikxk
−Ikxk Ikxk
. Escrevendo-a como soma dos blocos, obtemos a matriz
1 −1
−1 1
cujos autovalores
sao 0 e 2, que tambem sao autovalores de Sm[k].
Fazendo procedimento analogo ao feito anteriormente, considerando j = 0 quando con-
veniente, concluımos que para cada u⊥~1 j, os vetores
u
k+√
k2+42 u
∈R2k e
u
k−√
k2+42 u
∈
R2k sao autovetores da matriz acima referente ao autovalores k+2−√
k2+42 e k+2+
√k2+4
2 , nesta
ordem.
�
Analogamente ao feito com a aranha magra podemos obter todo o espectro de um grafo
aranha gorda com cabeca independente:
PROPOSIC AO 3.1.4. Seja Sg[k, j], aranha gorda cuja cabeca e um subgrafo sem arestas,
entao seu espectro laplaciano e dado por:
σL(Sg[k, j]) =
3k+ j−2±√
(k+ j)2+4
2 k3k+ j−2±
√(k+ j)2+4−4k
2 0
k−1,k−1 j−1 1,1 1
, para aranha com cabeca; ou
σL(Sg[k]) =
3k−2±√
k2+42 0 2k−2
k−1,k−1 1 1
, para aranha sem cabeca
Demonstracao. Seja Sg[k, j] um grafo do tipo aranha gorda, cuja cabeca nao tem arestas e
possui ao menos um vertice ( j ≥ 1), denotaremos tal grafo por Sg Observe que o grau dos
vertices do corpo e 2(k−1)+ j, da cabeca e k e das pernas e k−1. Assim, usando a mesma
rotulacao do caso aranha magra, a matriz L := L(Sg) e:
29
2k− 2+ j −1 . . . −1 | 0 −1 . . . −1 | −1 −1 . . . −1
−1 2k− 2+ j . . . −1 | −1 0 . . . −1 | −1 −1 . . . −1
......
. . .... |
......
. . .... |
......
. . ....
−1 −1 . . . 2k− 2+ j | −1 −1 . . . 0 | −1 −1 . . . −1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−0 −1 . . . −1 | k− 1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
−1 0 . . . −1 | 0 k− 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0
......
. . .... |
......
. . .... |
......
. . ....
−1 −1 . . . 0 | 0 0 . . . k− 1 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | k 0 . . . 0
−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | 0 k . . . 0
......
. . .... |
......
. . .... |
......
. . ....
−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . k
Em forma de blocos:
L(Sg) =
[(2k−1+ j)I−J]kxk (I−J)kxk −Jkx j
(I−J)kxk (k−1)Ikxk Θkx j
−J jxk Θ jxk kI jx j
,
onde J e a matriz formada somente por 1’s, I e a identidade e Θ e a matriz nula.
Todos blocos que compoem a matriz L(Sg) somam, em suas linhas, o mesmo valor para
cada bloco, entao consideremos a matriz L′3x3 cujas entradas sao tais somas:
L′ =
k+ j−1 −(k−1) − j
−(k−1) k−1 0
−k 0 k
Entao 0 e3k+ j−2±
√(k+ j)2+4−4k
2 sao autovalores da L(Sg), conforme o lema 2.2.1.
Por outro lado, se a cabeca tem ao menos dois vertices ( j ≥ 2) para cada u ∈ R j orto-
gonal a ~1 j tome v =
~0k
~0k
u
∈ R2k+ j. Efetuando o produto L.v vemos que v e autovetor
30
correspondente ao autovalor k, o que implica que k e autovalor de Sg com multiplicidade
j−1.
Note que o caso da cabeca ter um unico vertice o vetor u nao existe e consequentemente
k nao e autovalor.
E analogo ao feito na prova para a aranha magra pode-se verificar que3k+ j−2±
√(k+ j)2+4
2
e autovalor do grafo referente ao autovetor w =
−u
k+ j∓√
(k+ j)2+4
2 u
~0 j
∈ R2k+ j, para cada
u ∈Rk ortogonal a ~1k.
Obtendo exatamente j+ 2k autovalores, que e a ordem do grafo Sg finalizando a prova
do desejado.
Se a aranha e sem cabeca, entao a sua matriz laplaciana e:
L(Sg[k, j]) =
[(2k−1)I−J]kxk (I−J)kxk
(I−J)kxk (k−1)Ikxk
E podemos fazer todo o procedimento novamente, considerando j = 0 quando conveni-
ente e obtendo, por fim, o resultado desejado.
�
Considere G grafo sem arestas com j vertices, entao G e o grafo completo K j. Dito
isso, podemos concluir da observacao 3.0.6 que Sm[k, j] = Sg[K j,k, j] e Sg[k, j] = Sm[K j,k, j].Entao fazendo uso dos resultados obtidos acima e da proposicao 2.3.5 podemos concluir a
observacao abaixo.
OBSERVACAO 3.1.1.
σL(Sm[K j,k, j]) =
k+ j+2±√
(k+ j)2+4
2 k+ jk+ j+2±
√(k+ j)2+4−4k
2 0
k−1,k−1 j−1 1,1 1
σL(Sg[K j,k, j]) =
3k+ j−2±√
(k+ j)2+4
2 k+ j3k+ j−2±
√(k+ j)2+4−4k
2 0
k−1,k−1 j−1 1,1 1
31
3.2 Integralidade em grafo aranha
Nesta secao propomos o estudo sobre a integralidade do grafo aranha, tanto em relacao a
matriz de adjacencia quanto a laplaciana.
3.2.1 Matriz de adjacencia
Observe que na prova da proposicao 3.1.1 e 3.1.2 os autovalores −1±√
52 independem da
cabeca da aranha magra. Conforme enunciamos e provamos abaixo.
PROPOSIC AO 3.2.1. Toda aranha e nao A-integral, independente do grafo G induzido pela
cabeca, caso exista.
Demonstracao. Primeiramente vamos provar que a aranha magra nunca e A-integral. Seja
Sm[G,k, j], cuja cabeca possui ao menos um vertice ( j ≥ 1) e induz o grafo G, entao sua
matriz de adjacencia e
0 1 . . . 1 | 1 0 . . . 0 | 1 1 . . . 1
1 0 . . . 1 | 0 1 . . . 0 | 1 1 . . . 1...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
1 1 . . . 0 | 0 0 . . . 1 | 1 1 . . . 1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
0 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
0 0 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 |1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | A(G)...
.... . .
... | ......
. . .... |
1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 |
32
E na forma de blocos:
A(Sm[G,k, j]) =
(J− I)kxk Ikxk Jkx j
Ikxk Θkxk Θkx j
J jxk Θ jxk A(G) jx j
Pela definicao de grafo aranha temos k ≥ 2, entao podemos tomar u ∈Rk ortogonal a~1k.
Podemos reproduzir o calculo feito na demonstracao da proposicao 3.1.1, independendo da
matriz A(G) dada pela cabeca, pois tal bloco fara produto com o vetor nulo, como explicitado
abaixo.
[A(Sm[G,k, j])].
u
−−1+√
52 u
~0 j
=
−u− −1+√
52 u
u
A(G).~0 j
=
−1−√
52 u
u
~0 j
=
−1−√
5
2
u
−−1+√
52 u
~0 j
.
No caso da aranha magra sem cabeca ( j = 0) basta utilizar a proposicao 3.1.1 e observar
−1−√
52 e autovalor.
Logo em ambos os casos de aranha magra (com e sem cabeca) −1−√
52 e autovalor do
grafo com multiplicidade k−1 ≥ 1. Como −1−√
52 /∈Z entao Sm[G,k, j] nao e A-integral.
Seja agora Sg[G,k, j] aranha gorda com j ≥ 1, entao tomando novamente u ∈Rk ortogo-
nal a ~1k vemos que
A(Sg[G,k, j]).
u√
5−12 .u
~0 j
=
−u−√
5−12
.u
−u
~0 j
=
−1−√
5
2.
u√
5−12 .u
~0 j
Se a aranha gorda e sem cabeca, entao basta usar a proposicao 3.1.2 e observar que
−1−√
52 e autovalor. Logo a aranha gorda (com ou sem cabeca) nao e A-integral.
�
33
3.2.2 Matriz Laplaciana
PROPOSIC AO 3.2.2. Nao existe aranha L-integral, independente do subgrafo induzido pela
cabeca.
Demonstracao. Seja Sm[G,k, j] grafo aranha magra cuja cabeca possui ao menos um vertice
( j ≥ 1) e induz o subgrafo G. Podemos escrever a matriz laplaciana de Sm[G,k, j]:
k+ j −1 . . . −1 | −1 0 . . . 0 | −1 −1 . . . −1
−1 k+ j . . . −1 | 0 −1 . . . 0 | −1 −1 . . . −1...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
−1 −1 . . . k+ j | 0 0 . . . −1 | −1 −1 . . . −1
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−−1 0 . . . 0 | 1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0
0 −1 . . . 0 | 0 1 . . . 0 | 0 0 . . . 0...
.... . .
... | ......
. . .... | ...
.... . .
...
0 0 . . . −1 | 0 0 . . . 1 | 0 0 . . . 0
−− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 |−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 | L(G)+ Ik
......
. . .... | ...
.... . .
... |−1 −1 . . . −1 | 0 0 . . . 0 |
,
onde L(G) e a matriz laplaciana do subgrafo induzido G. A matriz L(Sm[G,k, j]) pode ser
reescrita como uma matriz em blocos:
L(Sm[G,k, j]) =
[(k+ j+1)I−J]kxk −Ikxk −Jkx j
−Ikxk Ikxk Θkx j
−J jxk Θ jxk L(G)+ Ik
.
Pela definicao de grafo aranha temos k ≥ 2, entao podemos tomar u ∈ Rk ortogonal a~1
e considere o vetor w =
u
k+ j√
(k+ j)2+4
2 u
~0 j
∈R2k+ j.
Podemos reproduzir o calculo feito na demonstracao da proposicao 3.1.3, independendo
34
da matriz L(G) dada pela cabeca, pois o bloco de L(Sm[G,k, j]), referente a cabeca da aranha,
fara produto com o vetor nulo. Fazendo a substituicao p = k+ j e q = (k+ j)2 +4 temos
L(Sm[G,k, j]).w = L(Sm[G,k, j]).
u
p+√
q
2 u
~0 j
=
(k+ j)u+u− p+√
q
2u
−u+p+
√q
2 u
L(G).~0 j
=
p+2−√q
2u
p−2+√
q
2 u
~0 j
=
=p+2−√
q
2
u
p+√
q
2 u
~0 j
=
p+2−√q
2.w
Portantop+2−√
q
2 e autovalor do grafo com multiplicidade ao menos k−1.
Contudo observe que nao existem inteiros a,b positivos tais que a2 = 4+ b2, ou seja,
(a− b)(a+ b) = 4, o que ocorre somente no caso em que a = 0 ou b = 0. Portanto q =
(k + j)2 + 4 nao e quadrado perfeito para nenhum k ≥ 2 e j ≥ 0, donde garantimos que
k+ j+2−√
(k+ j)2+4
2 nao e inteiro e Sm nao e L-integral.
Supondo que a aranha nao possua cabeca, temos pela proposicao 3.1.3 que k+2−√
k2+42
e autovalor de Sm e, com mesma raciocınio, nunca atinge um valor inteiro para nenhum k
positivo.
Seja Sg[G,k, j] uma aranha gorda, entao conforme ja vimos anteriormente o seu com-
plementar e Sm[G,k, j] que por sua vez nao e L-integral pelo provado acima. Entao pela
proposicao 2.3.5 concluımos que Sg[G,k, j] tambem nao e L-integral.
�
Observe que nesta secao nao precisamos supor nada em relacao a cabeca, entao o teorema
pode ser aplicado em qualquer aranha.
35
Capıtulo 4
Propriedades Espectrais em
generalizacoes dos cografos
Nesta primeira secao introduziremos as famılias dos P4-esparsos e destacaremos algumas de
suas propriedades. Em 1998, Merris [26] provou que todo cografo e laplaciano integral, ou
seja, qualquer grafo que nao induza P4 tem todos os seus autovalores laplacianos numeros
inteiros. Vale ressaltar que a proibicao dos P4’s e so uma dentre as diversas equivalencias
provadas por Corneil et al. [7], que garantiram que um cografo pode ser caracterizado de ate
oito formas diferentes. A classe dos P4-esparsos contem propriamente os cografos e ainda
nao ha na literatura nenhum estudo espectral envolvendo os P4-esparsos, entao o resultado de
Merris nos motivou a estudar essa famılia sob esse ponto de vista e obtemos assim resultados
satisfatorios. Mais precisamente, neste capıtulo estendemos o resultado de Merris para o
caso dos P4-esparsos obtendo surpreendentemente o oposto: provamos que quando um grafo
e P4-esparso nao cografo entao ele nunca sera L-integral. Ou seja, se o grafo nao tiver P4
induzido entao seu L-espectro e todo formado por numeros inteiros, mas se tiver pelo menos
algum P4 induzido, porem ”poucos” provamos entao que nunca teremos todos os autovalores
laplacianos inteiros. Para alcancar tal resultado, primeiro estudamos o L-espectro da aranha
no capıtulo anterior.
4.1 P4-esparso
4.1.1 Definicoes e resultados
Os cografos foram identificados isoladamente por diferentes pesquisadores, e consequente-
mente diferentes nomenclaturas surgiram para esta famılia, como D∗-grafos, grafos restritos
por P4 ou decomponıvel. Em 1970, Lerchs [25] definiu os cografos de forma recursiva:
• O grafo trivial e cografo;
• A uniao de cografos e cografo;
• O complementar de um cografo tambem e cografo.
36
Ou seja, em um cografo podemos separar suas componentes conexas e tomar o comple-
mentar em cada uma delas repetidas vezes, e apos um numero finito de operacoes teremos
um conjunto de vertices isolados, isto pode ser visto como a desconstrucao do grafo (por isso
o nome grafos decomponıveis).
Como exemplo de cografo podemos citar a estrela Sn, o completo Kn e os grafos da figura
abaixo.
Figura 4.1: Cografos
Mas qual a relacao disso com os P4 induzidos? A resposta e dada por Corneil et al [7] que
dentre uma lista de caracterizacoes equivalentes, garantiu que um grafo e um cografo se, e
somente se, este e livre de P4. Essa equivalencia despertou grande interesse de pesquisadores,
o que nos permite encontrar publicacoes envolvendo cografos em diversas situacoes, dentre
elas problemas de coloracao e variacoes, particao de vertices, caminhos hamiltonianos1,
isomorfismos, algoritmos executados em tempo polinomial, numero clique2, digrafos 3.
Motivado pelas varias aplicacoes, Hoang, em sua tese de doutorado [15], introduziu uma
generalizacao dos cografos, os P4-esparsos que sao aqueles com poucos P4’s e mostrou que
estes grafos sao perfeitos 4. Mais precisamente:
DEFINICAO 4.1.1. Um grafo G e P4-esparso se qualquer subconjunto de cinco vertices
induz no maximo um subgrafo P4 em G.
1um caminho de vertices e dito hamiltoniano quando percorre todos os vertices do grafo passando somente
uma vez em cada um2e o maior numero de vertices que pode induzir uma clique3sao grafos cujas arestas tem orientacao, isto e, a aresta uv e distinta da aresta vu, se u 6= v4um grafo G e dito perfeito se todo subgrafo induzido H de G, tem numero cromatico igual ao numero
clique
37
Esta famılia tambem e alvo de pesquisa ate os dias de hoje, abrangendo outras areas e
motivando novas generalizacoes que veremos no decorrer do trabalho. Tambem podemos
encontrar aplicacoes dos P4-esparsos em problemas de coloracoes (e variacoes) e particoes
do conjunto de vertices.
EXEMPLO 4.1.1. Na figura 4.2 podemos ver exemplo de dois grafos P4-esparsos. Ja na
figura 4.3 encontramos grafos que nao sao P4-esparsos.
Figura 4.2: P4-esparsos
Figura 4.3: Grafos nao P4-esparsos
38
De fato, no grafo da esquerda note que o subconjunto {v1,v2,v3,v4,v5} induz dois P′4s, a
saber {v1,v3,v4,v5} e {v2,v3,v4,v5}. No grafo da direita tome o subconjunto {u1,u2,u3,u4,u5}e note que os subconjuntos {u1,u2,u4,u5} e {u1,u2,u3,u5} induzem P4.
E facil ver que todo cografo e um P4-esparso. Outra observacao imediata e que se um
P4-esparso e desconexo entao suas componentes conexas tambem o sao e a uniao de grafos
desta famılia fornece um grafo dentro da famılia. Ha ainda outros fatos que obtemos como
consequencia da definicao, muitos podem ser vistos em [21].
OBSERVACAO 4.1.1. A famılia dos P4-esparsos e fechada com relacao a operacao comple-
mentar.
De fato, considere G nao P4-esparso, ou seja, existe um conjunto {a,b,c,d,e} ⊂ V (G) tal
que A = {a,b,c,d} e B = {a,b,c,e} induzem P4. Mas observe que o complementar de um P4
e isomorfo a um P4, dito isso podemos afirmar que os conjuntos A e B continuam induzindo
P4 em G e portanto este nao e P4-esparso.
OBSERVACAO 4.1.2. Se G1 e G2 sao P4-esparsos entao G1 ∨G2 e P4-esparso.
Para verificar tal fato, basta supor que G1 ∨G2 nao e P4-esparso, entao G1 ∨G2 = G1 ∪G2
nao e P4-esparso e pela ultima propriedade devemos ter que G1 ou G2 nao e P4-esparso.
Novamente, tomando o complementar, temos que G1 ou G2 nao e P4-esparso, o que prova o
fato acima.
Daqui em diante, fixaremos o conjunto F = {F0,F1,F2,F3,F4,F5,F6} cujos elementos
estao ilustrados na figura 4.4, diremos que G∈F se G e isomorfo a algum grafo do conjunto.
39
Figura 4.4: Conjunto F
Fazendo uso deste conjunto, Jamison e Olariu em [21] caracterizam os P4-esparsos atraves
de subgrafos induzidos proibidos.
PROPOSIC AO 4.1.1. [21]. Um grafo G e P4-esparso se, e somente se, G nao induz um
subgrafo do conjunto F .
Pelo fato 3.0.8 pode-se concluir que uma aranha e um grafo P4-esparso se, e somente se,
o subgrafo induzido por sua cabeca e um P4-esparso, dito isso podemos ver que os grafos
do exemplo 3.0.3 fazem parte desta classe. Jamison e Olariu [21] estabelecem uma nova
caracterizacao dos P4-esparsos atraves dos grafos aranha.
TEOREMA 4.1.1. [21] Seja G um grafo nao trivial, entao G e um P4-esparso se, e somente
se qualquer subgrafo induzido H de G com ao menos dois vertices satisfaz exatamente uma
das condicoes abaixo:
(i) H e desconexo;
(ii) H e desconexo;
(iii) H e uma aranha cuja cabeca, caso exista, induz um grafo P4-esparso.
Vale ressaltar que o subgrafo induzido H pode ser tomado como o proprio grafo G, entao
em particular se G e P4-esparso deve satisfazer exatamente uma das condicoes acima. Esta
nova caracterizacao sera de grande importancia para o nosso resultado da secao posterior.
40
4.1.2 L-integralidade dos P4-esparsos
Antes de estudar a L-integralidade dos P4-esparsos listamos abaixo algumas observacoes:
• Da proposicao 2.3.1 garantimos que se G e um grafo nao L-integral entao G ∪ H
tambem e nao L-integral, para qualquer grafo H;
• O complementar do grafo caminho P4 e isomorfo a P4;
• O grafo caminho P4 e um grafo aranha Sm[2,2].
Como visto em secoes anteriores Jamison e Olariu provaram em [21] o teorema 4.1.1,
que mostra a estreita relacao entre os P4-esparsos e as aranhas. Fazendo uso deste teorema e
do nosso resultado sobre a nao L-integralidade das aranhas, nos obtemos o teorema abaixo
que estende o estudo de grafos L-integrais para a classe dos P4-esparsos.
TEOREMA 4.1.2. Todo grafo P4-esparso nao cografo e nao L-integral.
Demonstracao. Seja G um grafo P4-esparso nao cografo, entao pelo teorema 4.1.1 temos
tres casos a considerar:
CASO 1) G e uma aranha: segue pelo teorema 3.2.2 que G nao e um grafo L-integral e esta
provado o desejado.
CASO 2) G e um grafo desconexo: Como G nao e cografo entao possui componente conexa
H que induz um caminho P4, neste caso, P4 ⊂ H ⊂ G. Mas observe que H e P4-esparso
conexo, entao pelo teorema 4.1.1 devemos ter H desconexo ou H aranha. Se o ultimo ocorre
entao H nao e L-integral e G tambem nao, o que finaliza a prova. Caso contrario temos H
desconexo, mas P4 ≈ P4 e subgrafo induzido de H, entao existe uma componente conexa H1
de H que induz um P4 e e P4-esparso, pelo fato 4.1.1.
Novamente pelo teorema 4.1.1 temos dois casos a considerar: H1 e aranha ou H1 e des-
conexo. No primeiro temos H1 nao L-integral donde H tambem nao e, segundo a proposicao
2.3.5, garantimos que G tambem nao e, finalizando a prova; em contrapartida, se temos
H1 desconexo entao existe componente conexa H2 de H1 que P4-esparso conexo e induz
P4. Entao pelo teorema 4.1.1 H2 e aranha ou H2 e desconexo e repetimos o procedimento
analogo.
Como G nao e um cografo, o processo de desconstrucao acima nao finalizara em um
conjunto de vertices isolados e sim em subgrafo aranha, que por sua vez nao e L-integral,
propriedade que sera transmitida para o grafo original G atraves da reconstrucao de G por
complementacao e reuniao das componentes. O que finaliza a prova neste caso (2).
CASO 3) G e desconexo: Pelo fato 4.1.1 temos que G tambem e P4-esparso e, alem disso,
41
deve induzir P4. Portanto G satisfaz o caso anterior, concluindo que G nao e L-integral e G
tambem nao.
�
Agora vamos visualizar alguns exemplos de grafos P4-esparsos nao cografos e sofrendo o
processo realizado na demonstracao acima. Dado o grafo G com tais caracterısticas, analisa-
mos se e uma aranha, ou e desconexo ou seu complementar e desconexo. No caso desconexo
analisamos se a sua componente conexa que induz o caminho P4 e uma aranha ou possui
complementar desconexo. Se o segundo ocorrer, entao pegamos a componente conexa do
seu complementar que induz um P4 e novamente analisamos se trata-se de uma aranha ou
complementar desconexo. Repetimos o processo ate encontrar uma componente aranha.
Figura 4.5: Processo aplicado na demonstracao
42
Figura 4.6: Processo aplicado na demonstracao
Conseguimos ampliar o conhecimento acerca da L-integralidade de grafos para uma
classe maior. Como dito anteriormente os cografos sao todos L-integrais [26] ja os grafos
P4-esparsos nao cografos (com poucos P4’s) conseguimos garantir que nunca sao L-integrais.
Figura 4.7: Diagrama
Grafos (q, t)
E aqueles grafos que possuem ”muitos” P4’s, ou melhor, em grafo onde existem cinco vertices
que podem induzir mais de um subgrafo P4? O que podemos afirmar sobre a L-integralidade
do seu espectro? Observando alguns exemplos, vemos que nao se pode concluir, ou melhor,
existem casos de grafos L-integrais e outros nao.
EXEMPLO 4.1.2. Nos grafos C6 (ciclo) e G (figura 4.8) existe, em cada, um subconjunto de
5 vertices que induz dois subgrafos P4, porem o ciclo e L-integral, ja o segundo grafo nao.
43
Figura 4.8: Exemplos de grafos nao P4-esparsos, onde um e L-integral e outro nao
σL(C6) =
4 3 1 0
1 2 2 1
σL(G) =
1 −1 −1±
√2 1±
√2
1 1 1,1 1,1
Ha outras famılias caracterizadas por P4 como subgrafo induzido. Na secao anterior
vimos os P4-esparsos e os cografos, mas Babel e Olariu propoem os grafos (q, t), em [3],
como aqueles que a cada q vertices induzem no maximo t P4’s. Uma subclasse e a formada
pelos (q,q−4) que contem como caso particular os P4-esparsos que sao (5,1) e os cografos
que sao (4,0).Um grafo G(V,E) e dito p-conexo se para toda particao de V em dois conjuntos A e
B, existe um P4 induzido com vertices em A e em B. Babel e Olariu provam que no caso
particular em que G e p-conexo vale:
• Se G e (5,1) entao G e uma aranha sem cabeca5;
• Se G e (6,2) entao |V |< 6;
• Se G e (7,3) entao |V |< 7 ou G e uma aranha sem cabeca;
• Se G e (q,q−4) para q ≥ 8, entao |V |< q.
Entao podemos concluir a seguinte observacao:
OBSERVACAO 4.1.3. Se G um grafo (7,3) p-conexo com ao menos 7 vertices, entao G nao
e L-integral.
5A definicao de aranha dada em [3] tem conjunto de vertices particionado somente em pernas e corpo, no
nosso caso estes grafos sao chamados de aranha sem cabeca
44
4.2 P4-extensıveis
4.2.1 Definicoes e resultados
Nesta secao veremos mais duas classes de grafos, definidas a partir de P4’s como subgrafos
induzidos, a saber os grafos P4-redutıveis e P4-extensıveis. Em cada um desses casos estuda-
mos o L-espectro buscando decidir sobre a existencia de grafos L-integrais. Jamison e Olariu
introduziram o grafo P4-redutıvel como aquele que todo vertice pertence a no maximo um
P4 induzido. Ou equivalentemente, nenhum vertice pertence a mais de um P4. Os dois grafos
abaixo sao exemplos de P4-redutıveis.
Figura 4.9: P4-redutıveis
E facil ver que todo cografo e um P4-redutıvel, uma vez que cada vertice nao pertence a
P4 algum. Tambem vale que todo P4-redutıvel e um P4-esparso.
De fato, tome G um grafo nao P4-esparso, ou seja, existem cinco vertices {a,b,c,d,e}tais que {a,b,c,d} e {a,b,c,e} induzem P4. Em particular, o vertice a pertence a dois P4
distintos, portanto G nao e P4-redutıvel.
Mas existem P4-esparsos que nao sao P4-redutıveis, como pode ser visto no exemplo a
seguir.
EXEMPLO 4.2.1. A aranha sem cabeca Sm[3] (ilustrada abaixo) e P4-esparso, mas observe
que os conjuntos {s1,c1,c2,s2} e {s1,c1,c3,s3} induzem P4, entao o vertice s1 pertence a
dois P4 induzidos.
45
Figura 4.10: Exemplo de P4-esparso nao P4-redutıvel
Atraves da observacao feita anteriormente, ja podemos concluir do teorema 4.1.2, que
todo P4-redutıvel nao cografo nao e L-integral.
Entao nos motivamos a estudar as propriedades espectrais da generalizacao do P4-redutıvel,
tambem introduzida por Jamison e Olariu em [23], o chamado P4-extensıvel. Antes de apre-
sentar sua definicao precisamos de alguns conceitos.
Seja G um grafo e W um subconjunto proprio de V (G), definimos o conjunto S(W)formado pelos vertices x tais que x /∈W e x pertence a algum P4 induzido por G que possui
vertices em W . Em outras palavras, diremos que x ∈ S(W ) se existe um conjunto de vertices
U 6= W induzindo P4 em G tal que x ∈ U e U ∩W 6= /0. Para uma melhor compreensao
observe o exemplo a seguir.
EXEMPLO 4.2.2. Considere o grafo G abaixo e W = {v1,v2,v3,v4,v5}. Como o unico P4
induzido por G e o v1v2v6v7, e facil ver que S(W) = {v6,v7}.
Figura 4.11: Exemplo de W ⊂V (G) e o conjunto S(W )
No caso de S(W) conter no maximo um vertice dizemos que W admite uma extensao
propria. Por exemplo, no gafo acima o conjunto H = {v1,v2,v3,v4,v5,v6} tem uma extensao
propria, pois S(H)= {v7}. No caso de W $V induzir um P4 em G, definimos D =W ∪S(W)como conjunto de extensao.
De imediato da definicao podemos escrever a seguinte observacao:
46
OBSERVACAO 4.2.1. Seja W $ V (G) induzindo P4 e com conjunto extensao propria. Se
v ∈ S(W) entao v junto com outros tres vertices em W induz um P4.
DEFINICAO 4.2.1. Um grafo G e dito P4-extensıvel se qualquer conjunto W induzindo P4
em G tem uma extensao propria.
EXEMPLO 4.2.3. O grafo abaixo e exemplo de P4-extensıvel nao P4-esparsos, bem como os
grafos de F da figura 4.4.
Figura 4.12: P4-extensıvel
De fato, tome por exemplo W = {v1,v2,v3,v4} que induz P4, nao e possıvel formar outro
P4 usando o vertice v6 e alguns de W, mas e possıvel com o v5, por exemplo {v3,v4,v5,v1},
entao para este W tomado temos S(W ) = {v5}. Tomando qualquer outro conjunto W indu-
zindo P4 vemos que S(W ) tem no maximo um elemento (neste caso tera sempre um elemento),
garantindo assim que o grafo acima e P4-extensıvel.
Observe que se G e P4-redutıvel, tome W = {a,b,c,d} ⊂V (G) induzindo P4 e x ∈ S(W ),entao existe um P4 induzido por U ⊂V (G) tal que x ∈U e W ∩U 6= /0, ou seja, existe algum
vertice em W que pertence a dois P4’s, o que e contradicao, portanto S(W ) = /0. Logo todo
P4-redutıvel e P4-extensıvel.
OBSERVACAO 4.2.2. G e P4-redutıvel se, e somente se, G e P4-extensıvel e P4-esparso. (veja
figura 4.13)
Ja vimos no decorrer desta secao que se G e P4-redutıvel entao G e P4-esparso e P4-
extensıvel. Reciprocamente, se G e P4-esparso e P4-extensıvel entao dado um vertice v ∈V (G) se este nao pertence a nenhum P4 entao esta provado o desejado, caso contrario v
pertence a algum P4 induzido por W ⊂V (G), por hipotese temos que S(W) tem no maximo
47
um elemento, mas como a cada cinco vertices so podemos ter um P4 induzido, devemos ter
S(W) = /0, entao pelo vertice v so passa o P4 induzido por W, isto e, G e P4-redutıvel.
Figura 4.13: Diagrama
Como exemplo de grafo P4-esparso nao P4-extensıvel considere a aranha Sm[3] (figura
4.10). Para verificar tal fato basta tomar o P4 induzido por W = {s1,c1,c2,s2} e observar que
{s1,c1,c3,s3} tambem induz P4, ou seja, c3,s3 ∈ S(W ), portanto Sm[3] nao e P4-extensıvel.
Jamison e Olariu apresentam, por meio de um teorema, uma nova caracterizacao para os
P4-extensıveis, mas antes veremos uma nova definicao.
Um conjunto de extensao D de um grafo G e dito separavel se nenhum vertice de D e
simultaneamente vertice extremo de algum P4 de G(D) e vertice intermediario do mesmo de
algum outro P4 de G(D). Em outra palavras, dado um P4 induzido em G(D) seus vertices
intermediarios (extremos) sao tambem intermediarios (extremos) para qualquer outro P4 in-
duzido.
EXEMPLO 4.2.4. Considere o grafo ciclo C5 (observe que C5 ≈ F0 ∈ F ) ilustrado abaixo,
V (C5) e um conjunto de extensao onde o vertice v2 e intermediario no P4 induzido por
{v1,v2,v3,v4}, mas e um vertice extremo no P4 induzido por {v2,v3,v4,v5}, logo V (C5) nao
e separavel.
Figura 4.14: Exemplo de conjunto de extensao nao separavel
48
Considere agora o grafo F5 ∈ F (ilustrado abaixo). Note que para qualquer P4 induzido
temos v2,v3 vertices intermediarios e v1,v5,v4 vertices extremos. Entao V (F5) e um conjunto
de extensao separavel.
Figura 4.15: Exemplo de conjunto de extensao separavel
TEOREMA 4.2.1. [23] Um grafo G e P4-extensıvel se, e somente se, todo subgrafo induzido
H = (VH ,EH) de G satisfaz exatamente uma das condicoes abaixo.
(i) H e desconexo;
(ii) H e desconexo;
(iii) VH e um conjunto de extensao;
(iv) existe um unico conjunto de extensao separavel D ⊂ VH , onde todo vertice em VH \D e
adjacente aos vertices intermediarios e nao adjacente aos extremos de D.
Vale salientar que se G e P4-extensıvel, como G e subgrafo induzido de si mesmo, entao
deve satisfazer exatamente uma das condicoes do teorema.
Dado um grafo P4-extensıvel conexo com complementar conexo, este deve satisfazer a
condicao (iii) ou (iv) do teorema acima. Entao nosso objetivo agora e caracterizar o grafo G
cujos vertices formam um conjunto de extensao, ou seja, D =V (G).Salvo o caso de G(D,E) ser o grafo trivial, sabemos que D =W ∪S(W ), onde W induz
P4 em G. Assim temos dois casos a considerar:
CASO 1) Se |D| = 4 entao G e isomorfo ao P4 e seus vertices formam um conjunto de
extensao separavel.
CASO 2) Se |D| = 5 entao D = W ∪ S(W ), onde W induz P4 e S(W ) 6= /0, portanto G nao
e P4-esparso. Entao pela proposicao 4.1.1 G ∈ F , pois |D| = 5. Observe que dentre os
elementos de F os grafos F0, F1 e F2 nao formam um conjunto extensao separavel (figura
4.16). Portanto supondo que os vertices de G formam um conjunto de extensao separavel,
devemos ter G ∈ {F3,F4,F5,F6}.
49
Figura 4.16: Classificacao dos grafos de F
Logo se G e um grafo nao trivial tal que V (G) e um conjunto de extensao entao G ∈{P4,F3,F4,F5,F6}. Entao podemos reescrever o teorema 4.2.1 de uma forma adaptada.
TEOREMA 4.2.2. [23] Se G P4-extensıvel com mais de um vertice, entao deve satisfazer
exatamente uma das condicoes abaixo.
(i) G e desconexo;
(ii) G e desconexo;
(iii) G ∈ F ∪{P4};
(iv) existe um conjunto D ⊂ V que induz um grafo do conjunto {P4,F3,F4,F5,F6}, e alem
disso todo vertice em V (G)\D e adjacente aos vertices intermediarios e nao adjacente aos
vertices extremos de D.
Do teorema acima, concluımos que se G e P4-extensıvel conexo cujo complementar
tambem e conexo, entao G ∈ F ∪{P4} (caso iii) ou G e da forma ilustrada na figura abaixo.
50
Figura 4.17: P4-extensıvel que satisfaz (iv) do teorema 4.2.1
4.2.2 L-integralidade dos P4-extensıveis
Nesta secao nosso objetivo e estudar a L-integralidade dos P4-extensıveis, ou seja, queremos
uma nova extensao do resultado de Merris, que afirma que todo cografo e L-integral. Ja
obtivemos, em secoes anteriores, que nenhum P4-esparso, salvo os cografos, sao L-integrais.
Mas e os P4-extensıveis nao P4-esparsos?
Primeiramente vamos estudar a L-integralidade dos grafos que satisfazem o caso (iii) do
teorema 4.2.2 (figura 4.16).
LEMA 4.2.1. Os grafos de F ∪{P4} nao sao L-integrais.
Demonstracao. O grafo P4 e uma aranha sem cabeca Sm[2] que nao e L-integral pelo teorema
3.2.2.Observe que F0 = F0, F1 = F2, F3 = F6, F5 = F4. Entao pela proposicao 2.3.5 basta
provar que F0, F1, F3 e F5 nao sao L-integrais. Separemos a prova em quatro casos:
CASO 1) Para o grafo F0 exibimos de forma explıcita um autovalor laplaciano nao inteiro.
L(F0).
1
0
−1√
5+12
−√
5+12
=
2 −1 0 0 −1
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
−1 0 0 −1 2
1
0
−1√
5+12
−√
5+12
=
√5+5
2
1
0
−1√
5+12
−√
5+12
.
51
CASO 2) Semelhante ao caso anterior, exibimos um autovalor laplaciano nao inteiro para
F1:
L(F1).
0
1
−√
5−12√
5−12
−1
=
2 −1 0 0 −1
−1 3 −1 0 −1
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
−1 −1 0 −1 3
0
1
−√
5−12√
5−12
−1
=
√5+7
2
0
1
−√
5−12√
5−12
−1
.
CASO 3) Neste caso exibiremos por meio de um sistema um autovalor laplaciano irracional
para o grafo F3.
Vamos determinar x,y,z ∈ R de forma que o vetor w =[
x y 1 1 z
]t
∈ R5 seja
autovetor de L(G), para tal precisamos determinar λ tal que
L(F3).w =
3 −1 −1 −1 0
−1 2 0 0 −1
−1 0 1 0 0
−1 0 0 1 0
0 −1 0 0 1
.
x
y
1
1
z
= λ.
x
y
1
1
z
Que pode ser reescrito como sistema:
λ.x = 3x− y−2
λ.y =−x+2y− z
λ =−x+1
λ =−x+1
λ.z = z− y
⇒
(1− x).x = 3x− y−2 (1)
(1− x).y =−x+2y− z (2)
λ = 1− x (3)
(1− x).z = z− y (4)
Observe que x 6= 0, pois caso contrario teremos valores contraditorios para y. Entao de
(4) podemos escrever z = yx
que ao substituir em (2) obtemos y(1− x− x2) = −x2. Como
x 6= 0, entao (1− x− x2) 6= 0 e podemos escrever:
y =x2
x2 + x−1(∗)
E por (1) temos a equacao y= x2+2x−2. Desta e (∗) obtemos x4+3x3−2x2−4x+2= 0
52
Onde podemos observar que x = 1 e raiz, o que implica em y = z = 1 e λ = 0, ou seja, w =~15
e autovetor, o que ja era esperado pois trata-se de uma matriz laplaciana6. Entao fatorando o
polinomio podemos escreve-lo da forma (x−1).q(x), onde:
q(x) = x3 +4x2 +2x−2
Observe que q(0) = −2 < 0 e q(1) = 5 > 0, entao pelo Teorema do Valor Intermediario
garantimos que existe uma raiz real ε em (0,1), donde garantimos que ε nao e inteiro. Mas
pela equacao (3) temos λ = 1−x, entao pela observacao 2.3.2 (no caso Laplaciano) sabemos
que ε deve ser um numero irracional. Logo y = ε2
ε2+ε−1, z = ε2
ε(ε2+ε−1)e 1− ε e autovalor
laplaciano irracional de F3.
CASO 4) Neste ultimo caso procederemos de forma analoga ao anterior a fim de exibir um
autovalor laplaciano nao inteiro para F5. Novamente queremos determinar x,y,z,w,λ ∈R de
forma que
L(F5).w =
3 −1 −1 −1 0
−1 2 0 0 −1
−1 0 1 0 0
−1 0 0 1 0
0 −1 0 0 1
.
x
y
1
1
z
= λ.
x
y
1
1
z
Que pode ser escrito como sistema
λ.x = 3x− y−2
λ.y =−x+2y− z
λ =−x+2−1
λ =−x−1+2
λ.z = z− y
Que e equivalente ao sistema do caso anterior. Logo podemos concluir que existe um auto-
valor irracional de F5.
Logo os grafos de F ∪{P4} nao sao L-integrais.
�
Agora estudaremos o caso (iv) do teorema 4.2.2, o qual garante que o grafo P4-extensıvel
deve ter uma ”forma parecida com a da aranha” (figura 4.17), entao estudamos os grafos
dessa forma e concluımos o lema a seguir.
6Lembre-se que 0 e autovalor laplaciano associado ao autovetor~1 de qualquer grafo
53
LEMA 4.2.2. Se G e um grafo que satisfaz a afirmacao (iv) do teorema 4.2.2, entao G e nao
L-integral.
Demonstracao. Seja G(V,E) grafo tal que existe um conjunto D ⊂ V que induz um grafo
do conjunto {P4,F3,F4,F5,F6}, e alem disso todo vertice em V \D e adjacente aos vertices
intermediarios e nao adjacente aos vertices extremos de D. Denotaremos por H o subgrafo
induzido por V \D em G e que |V (H)|= n ≥ 1. Temos cinco casos a considerar:
CASO 1) G(D) ≈ P4: neste caso G ≈ Sm[H,4,n], pois os vertices intermediarios de D for-
mam o corpo da aranha e os extremos, as pernas. Entao pelo teorema 3.2.2 podemos concluir
que G nao e L-integral.
CASO 2) G(D) ≈ F3: Podemos rotular os vertices do grafo (veja a figura 4.16) tal que a
matriz laplaciana de G seja da seguinte forma:
L(G)=
3+n −1 −1 −1 0 | −1 −1 . . . −1
−1 2+n 0 0 −1 | −1 −1 . . . −1
−1 0 1 0 0 | 0 0 . . . 0
−1 0 0 1 0 | 0 0 . . . 0
0 −1 0 0 1 | 0 0 . . . 0
−−− −−− −−− −−− −−− | −−− −−− −−−− −−−−−1 −1 0 0 0 |−1 −1 0 0 0 | L(H)+2I
......
......
... |−1 −1 0 0 0 |
Semelhante a prova do lema anterior, queremos determinar x,y,z,w∈R de forma que o vetor
w =[
x y 1 1 z w w . . . w
]t
∈Rn+5 seja autovetor de L(G). Ou seja, determinar
λ que satisfaca a igualdade
54
3+n −1 −1 −1 0 −1 −1 . . . −1
−1 2+n 0 0 −1 −1 −1 . . . −1
−1 0 1 0 0 0 0 . . . 0
−1 0 0 1 0 0 0 . . . 0
0 −1 0 0 1 0 0 . . . 0
−1 −1 0 0 0
−1 −1 0 0 0 L(H)+2I
......
......
...
−1 −1 0 0 0
x
y
1
1
z
w
w
...
w
= λ.
x
y
1
1
z
w
w
...
w
.
Podemos reescrever o sistema na forma
λx = 3x+nx− y−2−wn
λy =−x+2y+ny− z−wn
λ = 1− x
λz = z− y
λw =−x− y+2w
⇒
x− x2 = 3x+nx− y−2−wn (1)
y− xy =−x+2y+ny− z−wn (2)
λ = 1− x (3)
y = xz (4)
w− xw =−x− y+2w (5)
(4.2.1)
Podemos garantir que x 6= 0, pois caso contrario terıamos y = x = 0 e λ = 1 o que gera
valores contraditorios para w. Entao substituindo z = yx
de (4), em (2)− (1) obtemos y(1−2x−nx− x2) =−3x2 −nx2 +2x− x3.
Se (1−2x−nx− x2) = 0 entao −3x2 −nx2 +2x− x3 = 0, daı como x 6= 0 devemos ter
−x2 − (3+ n)x+ 2 = 0 que tem raızes complexas nao reais, daı λ = 1− x e complexo nao
real, contradizendo a observacao 2.3.2 (caso Laplaciano). Entao vale a igualdade
y =−3x2 −nx2 +2x− x3
1−2x−nx− x2(∆).
Por outro lado, se x =−1 temos y = 1, z =−1 e λ = 2 o que gera valores contraditorios
para w. Entao temos x 6= −1, donde por (5) vale w = x+yx+1 , donde por (1) e (4) garantimos
que y(x+1+n) = x3 +3x2 +nx2 −2.
Se x+1+n = 0 temos x =−1−n e x3+3x2 +nx2−2 = 0, donde 2n(n+2) = 0 que por
55
sua vez possui raızes 0 e −2, o que gera um absurdo, pois n ≥ 1. Portanto podemos escrever
y =x3 +3x2 +nx2 −2
x+1+n(δ).
De (∆) e (δ) obtemos a equacao
x5 +(2n+4)x4 +(n2 +3n+1)x3 +(−n2 −5n−6)x2 −2x+2 = 0
Observe que x = 1 e raiz, donde obtemos y = z = w = 1 e λ = 0, portanto w =~1n+5,
o que ja era esperado no caso da matriz laplaciana. Fatorando o polinomio escrevemos
(x−1)q(x) = 0, onde
q(x) = x4 +(2n+5)x3 +(n2 +5n+6)x2 −2
Como n ≥ 1 temos q(0) = −2 < 0 e q(1) = n2 + 7n+ 10 > 0, entao pelo Teorema do
Valor Intermediario, o polinomio q possui alguma raiz no intervalo (0,1), entao x /∈Z. Como
λ = 1− x entao pela observacao 2.3.2 (caso Laplaciano) sabemos que tal raiz deve ser um
numero irracional, digamos x = ε.
Entao pelo sistema resolvido acima temos a solucao:
x = ε y =ε3 +3ε2 +nε2 −2
ε+1+nz =
ε3 +3ε2 +nε2 −2
ε(ε+1+n)e w =
ε+ ε3+3ε2+nε2−2ε+1+n
ε+1
.
Logo λ = 1− ε e irracional e portanto o grafo G e nao L-integral.
CASO 3) G(D) ≈ F5: novamente podemos rotular os vertices do grafo tal que a matriz
laplaciana de G seja da seguinte forma
56
L(G)=
3+n −1 −1 −1 0 | −1 −1 . . . −1
−1 2+n 0 0 −1 | −1 −1 . . . −1
−1 0 2 −1 0 | 0 0 . . . 0
−1 0 −1 2 0 | 0 0 . . . 0
0 −1 0 0 1 | 0 0 . . . 0
−−− −−− −−− −−− −−− | −−− −−− −−−− −−−−−1 −1 0 0 0 |−1 −1 0 0 0 | L(H)+2I
......
......
... |−1 −1 0 0 0 |
De forma analoga queremos determinar x,y,z,w,λ ∈R de forma que o vetor
w =[
x y 1 1 z w . . . w
]t
∈Rn+5 satisfaca L(G).w = λ.w. Mas observe que esta
igualdade resulta novamente no sistema 4.2.1. Logo G nao e L-integral.
CASO 4) G(D) ≈ F4: Como F4 = F5 temos que G e um grafo do caso anterior. Entao pela
proposicao 2.3.5 garantimos que G nao e L-integral.
CASO 5) G(D)≈ F6: de forma analoga ao caso anterior, observe que G e um grafo do caso
2, ja que F6 = F3 e portanto G nao e L-integral.
�
Ja concluımos que P4-extensıveis que satisfazem a afirmacao (iii) ou (iv) nao sao L-
integrais. Vamos agora verificar qual o comportamento dos P4-extensıveis sobre a operacao
de complementacao e uniao.
OBSERVACAO 4.2.3. Se G e P4-extensıvel entao G tambem o e.
Suponha o contrario, ou seja, existe um P4 em G induzido por W = {x,y,z,w} tal que S(W)
possui mais de um elemento, digamos a e b. Mas como P4 ≈ P4, cada P4 induzido pelos
vertices de W ∪S(W ) tambem e induzido por G = G. Portanto {a,b} ⊂ S(W ) em G, o que e
uma contradicao.
OBSERVACAO 4.2.4. G1 e G2 sao P4-extensıveis se, e somente se, G1 ∪G2 e P4-extensıvel.
Basta observar que cada P4 so pode ser induzido em cada componente conexa individual-
mente
Atraves do lema 4.2.2 e observacoes feitas acima podemos concluir nosso estudo sobre
a L-integralidade dos P4-extensıveis.
57
TEOREMA 4.2.3. Se G e P4-extensıvel nao cografo, entao G nao e L-integral.
Demonstracao. A prova e completamente semelhante a do teorema 4.1.2, aplicaremos em
G o teorema 4.2.2 e fazendo uso das duas observacoes acima, procuramos uma componente
conexa com complementar conexa, que por sua vez satisfaz (iii) ou (iv) do teorema 4.2.2, e
portanto nao e L-integral pelo lemas 4.2.2 e 4.2.1.
�
Entao com o teorema acima conseguimos provar que se um grafo e P4-extensıvel e nao
cografo entao nunca sera L-integral, conforme podemos visualizar no diagrama abaixo.
Figura 4.18: Diagrama
58
Capıtulo 5
b-coloracao
Um dos temas mais importantes da teoria de grafos e o problema de coloracao de vertices e
suas variacoes, a ideia consiste em atribuir cores aos vertices seguindo certas condicoes, ou
seja, o problema consiste em particionar o conjunto de vertices usando rotulacoes (cores).
Mais precisamente uma k-coloracao de um grafo G(V,E) nada mais e que uma funcao so-
brejetiva c : V (G)→{1, . . . ,k} e a classe da cor i e o conjunto Ci = {v ∈V (G);c(v) = i}, os
valores 1, . . . ,k sao chamados cores. A restricao mais natural a ser imposta e usar k cores de
forma que vertices adjacentes tenham cores distintas, esse caso e chamado de k-coloracao
propria, isso pode ser feito facilmente atribuindo uma cor para cada vertice, mas o problema
de fato e obter o numero cromatico do grafo, denotado por χ(G), que e o menor inteiro k
tal que G admite uma k-coloracao propria. Geralmente o termo k-coloracao e referido ao
conjunto das classes de cores, ao inves da propria funcao que o define. Utilizando o conceito
de conjuntos independentes, vale observar que encontrar o numero cromatico de um grafo
nada mais e que particionar o conjunto de vertices V (G) no menor numero de subconjuntos
independentes possıvel.
Neste trabalho focamos numa variacao do caso acima: a b-coloracao, introduzida por
Irving e Manlove [20] e tem origem no processo chamado metodo guloso de coloracao,
aplicado em grafos a fim de reduzir o numero de cores usadas numa coloracao propria.
Na busca de propriedades dos grafos P4-esparsos, encontramos varios artigos estudando
b-coloracao nesta classe. Como o numero cromatico e um invariante relacionado a parametros
espectrais, em especial ao ındice da matriz de adjacencia, resolvemos investigar se existe
relacao entre o numero b-cromatico e o ındice de um grafo. Veremos antes algumas definicoes
e exemplos.
Dado um grafo G colorido com k cores, dizemos que um vertice e dominante (ou b-
vertice) se e adjacente a pelo menos um vertice de cada uma das outras cores (diferente da
sua). Entao observe que se v nao e dominante, existe uma cor A 6= c(v) que nao ocorre em
sua vizinhanca e podemos trocar a cor de v para essa nova cor, obtendo uma nova coloracao.
Se existe uma cor X tal que todos os vertices desta cor nao sao dominantes entao podemos
aplicar esse processo e retirar a cor X , reduzindo o numero de cores e se aproximando do
numero cromatico do grafo 1. Repetindo o processo ate que o mesmo nao possa mais ser
aplicado, encontramos o que chamamos de b-coloracao que e o caso onde todas as cores
1E importante ressaltar que mesmo aplicando o processo descrito acima repetidas vezes, ainda assim nao
alcancaremos, necessariamente, o numero cromatico do grafo; pode ser necessaria a aplicacao de outros pro-
cessos
59
tem algum vertice dominante com aquela cor.
DEFINICAO 5.0.2. Uma b-coloracao e uma k-coloracao quando ∀i ∈ {1, . . . ,k}, ∃u ∈ Ci
(b-vertice) tal que ∀ j ∈ {1, . . . ,k}\{i}, ∃v ∈ C j com uv ∈ E(G). O numero b-cromatico,
denotado por χb(G), e o maior k (numero de cores) onde o grafo admite uma b-coloracao
com k cores.
Uma das motivacoes para o estudo das b-coloracoes sao suas aplicacoes em problemas
na area de computacao.
EXEMPLO 5.0.5. Na figura 5.1 temos o grafo G a esquerda com uma 3-coloracao e a direita
G b-colorido com 4 cores (b-vertices em destaque). Como nao e possıvel diminuir o 3 na
coloracao propria e nem aumentar o 4 na b-coloracao, entao χ(G) = 3 e χb(G) = 4.
Figura 5.1: Exemplo de uma coloracao propria e uma b-coloracao
Irving e Manlove introduzem o conceito de m-grau de um grafo G, denotado por m(G)como o maior inteiro m tal que o grafo possua m vertices de grau maior ou igual a m− 1.
Formalmente ordenamos os vertices do grafo em v1, . . . ,vn de forma que d(v1)≥ . . .≥ d(vn),assim definimos m(G) = max{i;d(vi)≥ i−11 ≤ i ≤ n}. O grafo do exemplo acima tem m-
grau 4, pois nao ha 5 vertices com grau maior ou igual a 4.
E facil ver que, para qualquer grafo G, temos
χ(G)≤ χb(G)≤ m(G). (5.0.1)
De fato se temos que χb(G) = b e o numeros de cores usadas para b-colorir o grafo G,
entao existem pelo menos b vertices dominantes, ou seja, estes vertices devem ter grau pelo
menos b− 1, entao pela definicao do m-grau temos a segunda desigualdade. A primeira
desigualdade decorre do fato de que uma b-coloracao tambem e uma coloracao propria e o
numero cromatico e o menor numero de cores possıvel.
Observe que toda coloracao propria com χ(G) e uma b-coloracao pois caso contrario
terıamos uma classe de cor sem vertice dominante, entao, como vimos anteriormente, pode-
mos reduzir o numero de cores, o que contradiz a definicao do numero cromatico χ. Portanto
60
podemos afirmar que um grafo admite uma b-coloracao com no maximo χb(G) e no mınimo
χ(G) cores, mas e os valores intermediarios? Uma propriedade da b-coloracao e sua des-
continuidade, ou seja, nem todo grafo admite b-coloracao com k cores, para qualquer valor
χ(G)≤ k ≤ χb(G). No caso afirmativo dizemos que o grafo e b-contınuo.
EXEMPLO 5.0.6. O grafo G abaixo satisfaz χ(G) = 2 (colorido a esquerda) e χb(G) = 4
(b-colorido a direita), porem nao admite uma b-coloracao com 3 cores.
Figura 5.2: Grafo nao b-contınuo
Outro conceito que envolve a b-coloracao e a monotonicidade do grafo, ou seja, dado um
grafo G, dizemos que este e b-monotonico se qualquer subgrafo H induzido de G satisfaz
χb(H)≤ χb(G). E classificamos um grafo G como b-perfeito se qualquer subgrafo induzido
H de G satisfaz χ(H) = χb(H) (inclusive o proprio G).
EXEMPLO 5.0.7. O grafo M abaixo tem χb(M) = 3.
Figura 5.3: Grafo M nao b-monotonico
Note que M nao e b-monotonico, pois ao retirarmos o vertice v, obtemos um subgrafo
induzido de M com numero b-cromatico χb(M− v) = 4 > χb(M)
61
Figura 5.4: Grafo M− v
O grafo M tambem nao e b-perfeito, pois ainda que χb(M) = χ(M) = 3, temos
χb(M− v) 6= χ(M− v) = 3.
Assim como o problema de k-coloracao, a b-coloracao tambem apresenta uma grande
dificuldade quando se trata de um grafo qualquer, com isso as pesquisas sao feitas restritas
a algumas classes especıficas de grafos: arvores, bipartidos, P4-esparsos, cografos. Devido
as suas propriedades, os grafos P4-esparsos sao alvos de pesquisas na area de b-coloracao.
Nesta famılia podemos encontrar propriedades interessantes em b-coloracao:
TEOREMA 5.0.4. [5] Todo grafo P4-esparso e b-contınuo e b-monotonico.
Encontrar cotas para o numero cromatico envolvendo outros parametros desperta inte-
resse ha mais de 40 anos, como em [10] e [13]. Em [17], Hoffman estabeleceu a seguinte
desigualdade valida para qualquer grafo G:
χ(G)≥ 1+λ(G)
λn(G)
Em seguida Cvetkovic [8] obteve:
χ(G)≥ n
n−λ(G), onde n = |V (G)|
Em [28], Wilf estabeleceu outra desigualdade, enunciada abaixo no teorema 5.0.6, a qual
utilizaremos no desenvolvimento do trabalho. Antes enunciaremos um teorema que fornece
cotas para o ındice de um grafo em funcao dos graus.
TEOREMA 5.0.5. [9] Para todo grafo G vale δ(G) ≤ d(G) ≤ λ(G) ≤ ∆(G). Alem disso a
ocorrencia de uma igualdade implica nas demais e ocorre se, e somente se, G e regular.
TEOREMA 5.0.6. [28] Todo grafo com ındice λ e numero cromatico χ satisfaz χ ≤ λ+1.
Demonstracao. Seja G um grafo com numero cromatico k. Podemos remover um vertice
v∈V (G) e todas as arestas incidentes neste, obtendo o grafo G−v. Claramente esta operacao
satisfaz χ(G− v) ≤ χ(G) = k. Repetimos o processo em G um numero finito de vezes sem
62
diminuir o numero cromatico, ou seja, ate obter o grafo G′ tal que χ(G) = χ(G′) = k e a
remocao de qualquer outro vertice de G′ acarreta no decrescimento do seu numero cromatico,
este grafo chamamos de grafo crıtico de G.
Observe que G′ e subgrafo induzido de G, uma vez que a remocao de cada vertice im-
plica na remocao das arestas incidentes, entao pelo teorema 2.3.1 temos que λ(G′) ≤ λ(G).
Afirmamos que δ(G′)≥ k−1.
Entao pela proposicao 5.0.5 temos λ(G′) ≥ δ(G′), donde λ(G)≥ k−1 e demonstramos
o desejado.
A afirmacao acima e valida pois, caso contrario existe u ∈ V (G′) com grau menor que
k−1. Como G′−u e colorıvel com k−1 cores, podemos particionar V (G′−u) nas classes
de cores C1, . . . ,Ck−1, mas d(u)< k−1 em G′ entao temos que u nao e adjacente a nenhum
vertice de classe C j, para algum j ∈ {1, . . . ,k−1}. Entao atribuımos a cor j ao vertice u e,
consequentemente, G′ e colorıvel com k− 1 cores. O que gera uma contradicao, pois G′ e
crıtico.
�
Tambem ha pesquisas bem recentes estabelecendo cotas para o numero b-cromatico de
um grafo como em [2] e [27]. Mas ainda nao ha estudos envolvendo cotas do numero b-
cromatico e os autovalores de um grafo, este e exatamente o ponto que pretendemos traba-
lhar. No decorrer deste capıtulo nos restringimos a algumas famılias e escrevemos desigual-
dades envolvendo o ındice do grafo, bem como conjecturamos algumas desigualdades.
5.1 Alguns resultados espectrais
Nesta secao nosso interesse e obter uma relacao entre o numero b-cromatico e o ındice de
um grafo P4-esparso. Uma desigualdade imediata e obtida no caso em que G e um grafo
b-perfeito, pois neste caso temos χb(G)≤ λ(G)+1, do teorema 5.0.6. Entao nosso interesse
e obter esta desigualdade para os grafos P4-esparsos nao b-perfeitos.
Hoang e Kouider fornecem uma boa caracterizacao dos grafos P4-esparsos b-perfeitos
atraves de subgrafos induzidos. Antes de enunciar o resultado fixamos o denominado grafo
diamond, denotado por D, obtido pela remocao de uma aresta do grafo completo K4.
TEOREMA 5.1.1. [16] Um grafo P4-esparso e b-perfeito se, e somente se, for livre de 3P3,
2D, e P4 ∪P3 (figura 5.5)
63
Figura 5.5: Grafps 3P3, 2D e P4 ∪P3
Bonomo garante que o numero b-cromatico de uma aranha depende exclusivamente dos
vertices do corpo e da estrutura do grafo induzido pela cabeca.
PROPOSIC AO 5.1.1. [5] Seja S um grafo aranha (magra ou gorda) cuja cabeca induz o
grafo G e seu corpo possui k vertices. Entao χb(S) = k+χb(G) e χ(S) = k+χ(G).
Com a proposicao acima podemos concluir os resultados a seguir:
PROPOSIC AO 5.1.2. Toda aranha sem cabeca satisfaz a desigualdade χb < λ+1.
Pela proposicao anterior temos que χb(Sm[k]) = χb(Sg[k]) = k e pela proposicao 3.1.1 temos
que
λ(Sm[k])+1 =k−1+
√
(k−1)2 +4
2>
k−1+√
(k−1)2
2+1 = k = χb(Sm).
No caso da aranha gorda, temos pela observacao 3.0.7 que Sm[k] e subgrafo de Sg[k], logo
pela proposicao 2.3.2 vale χb(Sg[k, j]) = k+1 < λ(Sm[k, j])+1 < λ(Sg[k, j])+1.
PROPOSIC AO 5.1.3. Toda aranha cuja cabeca e um conjunto independente satisfaz a desi-
gualdade χb < λ+1
De fato, observe que χb(Sm[k, j]) = k + 1, pois o grafo induzido pela cabeca nao possui
arestas. E pela proposicao 3.1.1 temos que
λ(Sm[k, j])+1=k−1+
√
(k−1)2 +4k j+4
2+1>
k−1+√
(k−1)2 +4k
2+1= k+1= χb(Sm[k, j]).
No caso da aranha gorda, vale
χb(Sg[k, j]) = k+1 < λ(Sm[k, j])+1 < λ(Sg[k, j])+1,
onde a ultima desigualdade decorre da observacao 3.0.7 e proposicao 2.3.2.
Observando a estrutura da aranha podemos concluir que os grafos 2D, P4 ∪P3 e 3P3 so
podem ser induzidos pela cabeca. Daı, pela proposicao 5.1.1, podemos oberservar que uma
aranha e um grafo b-perfeito se, e somente se, o grafo induzido por sua cabeca e b-perfeito.
Com auxılio da proposicao 3.1.1 escrevemos a proposicao abaixo
64
PROPOSIC AO 5.1.4. Toda aranha S cujo grafo induzido pela cabeca e o 2D, 3P3 ou P4∪P3,
satisfaz χb < λ+1.
Demonstracao. Podemos ver facilmente que χb(2D) = 4, χb(3P3) = 3 e χb(P4 ∪P3) = 3,
considere entao S aranha magra denotada por Sm[G,k, j].
• Se G = 2D (consequentemente j = 8), temos Sm[k,8] subgrafo de Sm[2D,k,8] entao,
pelo teorema 2.3.2 vale
1+λ(Sm[2D,k,8])> λ(Sm[k,8])+1 =k+1+
√
(k−1)2 +32k+4
2.
Onde (k − 1)2 + 32k + 4 = k2 + 30k + 5 ≥ k2 + 14k + 49 = (k + 7)2 (pois k ≥ 3).
Entao 1+λ(Sm[2D,k,8])≥ k+1+(k+7)2 = k+4 = χb(Sm[2D,k,8]). A ultima igualdade
decorre da proposicao 5.1.1.
• Considere agora G = 3P3 ( j = 9) e analogamente
1+λ(Sm[3P3,k,9])> λ(Sm[k,9])+1=k+1+
√
(k−1)2 +36k+4
2≥ k+3= χb(Sm[3P3,k,9]).
Pois (k−1)2+36k+4 = k2 +34k+4 ≥ k2 +10k+25 = (k+5)2
• Por ultimo considere G = P4 ∪P3 ( j = 7), donde
1+λ(Sm[P4∪P3,k,7])> λ(Sm[k,7])+1=k+1+
√
(k−1)2 +28k+4
2≥ k+3= χb(Sm[P4∪P3,k,7]).
Uma vez que (k−1)2 +28k+4 ≥ k2 +10k+25 = (k+5)2
Se S e uma aranha gorda, denotada por Sg[G,k, j] entao pela proposicao 5.1.1 temos
χb(Sg[G,k, j]) = χb(Sm[G,k, j]) ≤ λ(Sm[G,k, j])+ 1 < λ(Sg[G,k, j])+ 1, onde a ultima de-
sigualdade decorre do fato da aranha Sm[G,k, j] ser subgrafo de Sg[G,k, j] e pela proposicao
2.3.2 tem ındice menor.
�
A mesma desigualdade podemos obter no caso de aranha (magra ou gorda) com cabeca
induzindo grafo regular, conforme enunciado e provado abaixo:
PROPOSIC AO 5.1.5. Toda aranha cuja cabeca induz um grafo r-regular satisfaz χb ≤ λ+1,
onde λ e o ındice da aranha.
65
Demonstracao. Considere G grafo r-regular induzido pela cabeca da aranha, temos m(G) =
r+1, pois nao existem vertices com grau maior ou igual a r+1, entao χb(G)≤ r+1.
• Primeiramente consideremos Sm := Sm[G,k, j], onde G e r-regular, pela proposicao
5.1.1 vale χb(S) = k+χb(G)≤ k+ r+1. Vamos provar que λ(S)> k+ r.
Podemos escrever a matriz de adjacencia do grafo S, em blocos:
A(Sm) =
(J− I)kxk Ikxk Jkx j
Ikxk Θkxk Θkx j
J jxk Θ jxk A(G)
Ao substituir cada bloco pela soma de suas respectivas linhas, obtemos a matriz
A′ =
k−1 1 j
1 0 0
k 0 r
cujo polinomio caracterıstico e p(x) = −(x− r)(x2 + x(1− k)− 1)+ jkx. Pelo lema
2.2.1 os autovalores da A′ sao autovalores de A(Sm).
Como r ≤ j−1, j ≥ 1 e k ≥ 2 vale:
p(k+ r) = k(k+ r)( j− r−1)+ k > 0 e
p(k+ j) = (r− k− j)( jk+ j2+ k+ j−1)+ jk2 + j2k ≤−2 jk+ k− j2 − j+1 ≤ 0,
entao pelo Teorema do Valor Intermediario p(x) tem uma raiz em (k + r,k + j), em
particular λ(S)> k+ r. Logo vale χb(Sm)≤ λ(Sm)+1;
• Seja Sg := Sg[G,k, j] aranha gorda, pela proposicao 5.1.1 temos que χb(Sg)= χb(Sm)=
k+χb(G). E pela proposicao 2.3.2 temos λ(Sm) < λ(Sg), ja que Sm e subgrafo de Sg
(observacao 3.0.7). Logo χb(Sg)≤ λ(Sm)+1 < λ(Sg)+1.
�
66
5.1.1 Uma outra desigualdade
Nesta secao estudamos outra desigualdade que tambem relaciona o numero b-cromatico e o
ındice de um grafo, antes enunciamos o seguinte lema.
LEMA 5.1.1. Para todo grafo G vale a desigualdade λ(G∨{v})≥ λ(G)+1
Demonstracao. Seja G um grafo de n vertices e G′ = G∨{v}. Pela observacao 2.2.1 po-
demos tomar u =[
u1 . . . un
]t
autovetor de λ := λ(G) como nao negativo, tomando
uk =max{ui;1≤ i≤ n} e consideramos v= uuk
, assim as coordenadas de v=[
x1 . . . xn
]t
satisfazem 0 ≤ xi ≤ 1 e xk = 1 (∗), para todo 1 ≤ i ≤ n. Podemos escrever A′ = A(G′) =
A ~1
~1t
0
, onde A := A(G).
Entao se w =
v
1
, vale A′.w =
A.v+~1
~1t.v
=
λ.v+~1
~1t.v
e podemos escrever
wt .A′.wwt .w
=
[
vt 1
]
.
λ.v+~1
~1t.v
[
vt 1
]
.
v
1
=vtλ.v+vt .~1+~1
t.v
vt .v+1=
vtλ.v+~1t.v+~1
t.v
vt .v+1
Observe que de ∗ podemos concluir:
• ~1t.v = ∑xi ≥ ∑(xi)
2 = vt .v
• λ+1 = λ.xk + xk = [A.v]k + xk ≤ (x1 + . . .+ xk−1 + xk+1 + . . .+ xn)+ xk =~1t.v
Entao pelas desigualdades acima e pelo quociente de Rayleigh vale
λ(G′)≥ wt .A′.wwt .w
=vtλ.v+~1
t.v+~1
t.v
vt .v+1≥ vtλ.v+(vt .v)+(λ+1)
vt .v+1=
(λ+1)(vt .v+1)
vt .v+1= λ+1
�
Pelo lema ja podemos observar que se um grafo G satisfaz a desigualdade proposta na
secao anterior: χb(G)≤ λ(G)+1, entao satisfaz χb(G)≤ λ(G∨{v}). Entao todos os grafos
da ultima secao satisfazem esta segunda desigualdade.
O grafo G regular de grau r, tambem satisfaz ambas as desigualdades, pois seu m-grau
vale no maximo r+1, entao pela proposicao 2.3.3 garantimos:
m(G)≤ r+1 = λ(G)+1 ≤ λ(G∨{v})
67
. Se G e o grafo completo, a igualdade e satisfeita.
A seguir exibimos outros grafos, que nao satisfazem necessariamente χb(G)≤ λ(G)+1,
mas ainda assim satisfazem a segunda desigualdade. Um grafo de n vertices e dito antir-
regular se os graus dos seus vertices atingem todos os valores entre 1 e n− 1. Ou seja,
a sequencia de graus deve possuir n− 1 valores distintos. Como exemplo temos o grafo
ilustrado abaixo.
Figura 5.6: Grafo antirregular com graus 5,4,3,3,2,1
TEOREMA 5.1.2. [4] A menos de isomorfismo existe somente um grafo antirregular com n
vertices. Alem disso, o unico grau que se repete e ⌊n2⌋, onde ⌊n
2⌋ e o piso de n2 .
Tambem existem os grafos quase regulares onde a diferenca entre o grau maximo e grau
mınimo e 1, como exemplo temos os grafos Pn e o grafo ilustrado abaixo.
Figura 5.7: Grafo quase regular com ∆ = 5 e δ = 4
PROPOSIC AO 5.1.6. Se G e grafo antirregular ou quase regular, entao a desigualdade
χb(G)< λ(G∨{v}) e satisfeita.
Demonstracao. CASO 1: G grafo antirregular com n vertices.
Pelo teorema 5.1.2 sua sequencia de graus e
n−1,n−2, . . . ,⌊n
2⌋+1,⌊n
2⌋,⌊n
2⌋,⌊n
2⌋−1, . . . ,2,1.
68
Suponhamos que n e par entao m(G) = n2 + 1 e a soma dos graus de G e dada pela
expressao n2 +∑
n−11 i = n2
2 e a soma dos graus de G∨{v} e n2
2 +n+n = n2+4n2 e daı:
d(G∨{v}) =n2+4n
2n+1 = n(n+1)+3n
2(n+1) = n2 +
32
nn+1 > n
2 +1 > m(G). Entao pelo teorema 5.0.5
vale λ(G∨{v})> d(G∨{v})> m(G)≥ χb(G).
Suponha agora n ımpar, entao m(G)= n+12 e a soma dos graus de G e dada pela expressao
n−12 +∑
n−11 i = n2−1
2 , e a soma dos graus de G∨{v} e n2−12 +n+n = n2+4n−1
2 . Como n ≥ 3
vale: d(G∨{v}) = n2+4n−12(n+1) > n2+2n+1
2(n+1) = n+12 =m(G). Logo novamente temos λ(G∨{v})>
d(G∨{v})> m(G)≥ χb(G).
CASO 2: G grafo quase regular com n vertices.
Considere ∆(G) = r e δ(G) = r−1 e digamos que existem exatamente p vertices com grau
r, entao a sua sequencia de graus e:
p︷ ︸︸ ︷r,r,r, . . . ,r,
n−p︷ ︸︸ ︷
r−1,r−1, . . . ,r−1 .
Entao podemos calcular o m-grau do grafo: m(G) =
r+1, se p ≥ r+1
r, se p ≤ r
E tambem podemos calcular facilmente o grau medio de G∨{v}:
d(G∨{v}) = p(r+1)+(n− p)r+n
n+1=
p+nr+n
n+1
Se p ≥ r+1 temos que d(G∨{v}) ≥ (r+1)+nr+nn+1 =
r(n+1)+(n+1)n+1 = r+1 = m(G), entao
pelo teorema 5.0.5 vale λ(G∨{v})> m(G), donde λ(G∨{v})> χb(G).
Caso contrario temos p≤ r, donde segue que d(G∨{v})= p+nr+n+r−rn+1 =
p+r(n+1)−r+nn+1 =
r+ p+n−rn+1 > r = m(G). Logo por raciocınio analogo temos λ(G∨{v})> χb(G). Em ambos
os casos a desigualdade e estrita porque G∨{v} nao e regular.
�
5.1.2 Problemas em aberto
Nas secoes anteriores trabalhamos com duas desigualdades, conforme conjecturadas abaixo:
CONJECTURA 5.1.1. Se G e um grafo P4-esparso conexo, entao χb(G)≤ λ+1.
CONJECTURA 5.1.2. Todo grafo G satisfaz a desigualdade χb(G)≤ λ(G∨{v}).
69
Nesta secao exibiremos alguns dos exemplos que nos levou a conjecturar sobre a validade
das desigualdades acima em casos mais gerais. Nos diversos casos testados a desigualdade
da conjectura 5.1.1 foi mantida para qualquer grafo P4-esparso conexo. Conforme ilustrado
no exemplo abaixo.
EXEMPLO 5.1.1. O grafo G1, da esquerda tem ındice λ(G1) ⋍ 3,71 e numero b-cromatico
4, a direita temos λ(G2) ⋍ 3,2 e χb(G2) = 4. Ambos sao P4-esparsos e satisfazem a desi-
gualdade (i).
Figura 5.8: P4-esparsos desconexos que satisfazem a conjectura 5.1.1
E claro que todo grafo P4-esparso desconexo b-perfeito tambem satisfaz a primeira con-
jectura, mas em casos nao b-perfeitos encontramos exemplo que nao satisfaz.
EXEMPLO 5.1.2. O grafo obtido por 4 copias da estrela S3 e P4-esparso desconexo e nao
satisfaz a desigualdade: λ(4S3) =√
3, χb(4S3) = 4 e χb > λ+1
Figura 5.9: P4-esparso desconexo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1
Os grafos 2D, 3P3 e P4∪P3 (figura 5.5) tambem sao exemplos de P4-esparsos desconexos
que nao satisfazem a conjectura 5.1.1, a saber:
λ(2D)⋍ 2,5 e χb(2D) = 4
λ(3P3)⋍ 1,41 e χb(2D) = 3
λ(2D)⋍ 1,61 e χb(2D) = 3
70
Mas tambem ha casos onde G e P4-esparso desconexo nao b-perfeito e ainda mantem a
desigualdade da primeira conjectura.
EXEMPLO 5.1.3. O grafo abaixo tem ındice aproximadamente 3,8 e numero b-cromatico 4,
ou seja, χb < λ+1.
Figura 5.10: Grafo P4-esparso desconexo que satisfaz (i)
Vale tambem observar que a conjectura 5.1.1 nao e uma propriedade decorrente da b-
continuidade e conexidade, pois ha exemplos de grafos b-contınuos conexos nao P4-esparsos
e que nao satisfazem a desigualdade proposta.
EXEMPLO 5.1.4. A arvore T e conexa e b-contınua, porem nao satisfaz (i), pois 5= χb(T )>
λ(T )+1 = 3,68.
Figura 5.11: Grafo b-contınuo e conexo que nao satisfaz (i)
Quanto a conjectura 5.1.2 observamos diferentes tipos de grafos que satisfazem a de-
sigualdade, ou melhor, dentre muitos exemplos estudados, nenhum grafo negou a desi-
gualdade proposta. Na secao anterior vimos algumas famılias que satisfazem tal conjec-
tura, bem como concluımos do lema 5.1.1 que todo grafo que satisfaz a desigualdade da
primeira conjectura tambem devem satisfazer a segunda conjectura. Mas tambem temos
exemplos onde χb(G) > λ(G) com uma diferenca razoavel entre ambos, mas ainda assim
χb(G)< λ(G∨{v}), conforme observamos nos exemplos a seguir.
71
EXEMPLO 5.1.5. O grafo 5S4 tem numero b-cromatico 5 e ındice 2. Ou seja, χb(5S4) >
λ(5S4), porem observamos que χb(5S4)< λ(5S4∨{v})⋍ 6
Figura 5.12: Grafo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1 mas satisfaz a 5.1.2
Outro exemplo e o grafo 2D que, como ja vimos, χb(2D) = 4 e λ(2D) ⋍ 2,56, mas
χb(2D)< λ(2D∨{v})⋍ 4,4.
Figura 5.13: Grafo 2D∨{v}
O grafo H (figura 5.14) tambem satisfaz a desigualdade da segunda conjectura, pois
χb(H) = 4, λ(H)⋍ 3,4 e λ(H ∨{v})⋍ 5
Figura 5.14: Grafo que nao satisfaz a conjectura 5.1.1 mas satisfaz a 5.1.2
72
Capıtulo 6
Conclusao
Nesse trabalho nosso objetivo principal era investigar a validade do resultado de Merris, que
garantia que todo cografo e L-integral, numa classe mais ampla, que continha propriamente
os cografos. Nossos estudos indicavam que primeiro deverıamos trabalhar com o grafo ara-
nha, onde conseguimos obter seu espectro (laplaciano e adjacente) completo no capıtulo 3,
para o caso em que sua cabeca nao possui arestas. Na direcao pretendida, provamos que
nao existe aranha L-integral (e nem A-integral). No capıtulo seguinte provamos que os P4-
esparsos nao cografos sao nao L-integrais.
Continuando nossa pesquisa nos deparamos com outra generalizacao dos cografos, os
chamados P4-extensıveis. Tambem conseguimos provar que os grafos dessa classe (salvo
a subclasse dos cografos) nunca sao L-integrais. Existem ainda outras classes, definidas a
partir de P4, como os P4-tidy e P4-lite.
Estudando diferentes artigos que envolvem os P4-esparsos observamos que muitos tra-
tavam essa famılia sob o ponto de vista da coloracao, mais precisamente, identificando que
os P4-esparsos tem um bom comportamento em problemas de b-coloracao. Sabendo que ja
existem na literatura resultados que envolvem teoria espectral e numero cromatico, decidi-
mos abordar os P4-esparsos e a b-coloracao sob o ponto de vista espectral. E o assunto tratado
no capıtulo 5, onde obtemos alguns pequenos resultados envolvendo duas desigualdades.
Pretendemos dar prosseguimento aos estudos aqui realizados nas duas vertentes apresen-
tadas, a saber:
• Estudar a existencia de grafos L-integrais em outras classes que generalizam os cogra-
fos;
• Tentar provar ou refutar as conjecturas apresentadas sobre b-coloracao.
73
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