PROJETO GEOMÉTRICO DE

RODOVIAS

Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica

Prof. Paulo Augusto F. Borges

CURVAS VERTICAIS

O projeto de uma estrada em perfil é constituído de

greides retos, concordados dois a dois por curvas verticais. Os

greides retos são definidos pela sua declividade, expressa em

porcentagem (𝑖 %).

A declividade é a tangente do ângulo que fazem com a

horizontal.

Greides ascendentes: rampas positivas (+𝑖 %).

Greides descendentes: rampas negativas (−𝑖 %).

O perfil longitudinal deve assumir o mesmo sentido do

estaqueamento.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

PIV – Interseção dos greides retos

PCV – Ponto de Curva Vertical

PTV – Ponto de Tangência Vertical

O comprimento 𝐿 de uma curva vertical é definido pela

projeção horizontal da curva.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

Figura 1: Perfil de uma estrada.

Tipos de curvas clássicas de concordância vertical:

Parábola de 2º grau;

Curva circular;

Elipse;

Parábola cúbica.

Recomendação do DNIT: Parábola de 2º grau.

Preferência por simetria em relação ao PIV, ou seja,

mesma projeção da distância horizontal entre o PCV e PIV e do

PIV ao PTV.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

Figura 2: Parábolas de 2º grau: simples (a) e composta (b).

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

Essas parábolas são definidas pelo seu parâmetro de

curvatura K, que traduz a taxa de variação da declividade

longitudinal na unidade do comprimento, estabelecida para cada

velocidade. O valor de K representa o comprimento da curva no

plano horizontal, em metros, para cada 1% de variação na

declividade longitudinal.

Os comprimentos L das curvas de concordância vertical

são obtidos multiplicando os valores do parâmetro K pela diferença

algébrica A, em percentagem, das rampas concordadas, ou seja,

𝐿 = 𝐾 ∙ 𝐴. Para facilidade de cálculo e locação, os valores

adotados para L são geralmente arredondados para múltiplos de

20 m.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

Vantagens do uso de parábolas do 2º grau:

A equação da curva é simples;

A transformada da parábola devido às duas escalas

no perfil é também um parábola;

A taxa de variação de declividade da parábola é

constante;

O PCV e o PTV pode ser locado em estaca inteira

ou +10.00 m, conforme conveniência do projeto.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2; (𝐿1 ≠ 𝐿2)

𝐹 =𝐿1∙𝐿2

2∙𝐿∙ 𝑔 𝑓1 =

𝐹

𝐿1²∙ 𝑥1² 𝑓2 =

𝐹

𝐿2²∙ 𝑥2²

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

Figura 3: Elementos da parábolas de 2º grau composta.

Nos estudos de curvas verticais é muito utilizada a

expressão 𝑖1 − 𝑖2, que é a variação total da declividade do

greide:

g = 𝑖1 − 𝑖2

A expressão acima é algébrica e os sinais das

rampas 𝑖1 𝑒 𝑖2 devem ser mantidos. Pelo sinal de 𝑔

podemos dizer se a curva é côncava ou convexa:

Se 𝑔 > 0 a curva será convexa;

Se 𝑔 < 0 a curva será côncava;

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

A parábola simples é uma curva muito próxima a uma

circunferência. Assim é comum referir-se ao valor do raio da

curva vertical 𝑅𝑣. O valor de 𝑅𝑣 é o menor raio instantâneo da

parábola:

L = 𝑅𝑣 ∙ 𝑔 = 𝑅𝑣 ∙ 𝑖1 − 𝑖2

Observa-se um maior conforto nas curvas convexas em

relação às côncavas. Nas curvas côncavas, a aceleração da

gravidade terrestre e a aceleração centrífuga se somam. Nas

convexas as acelerações são subtrativas, gerando um efeito de

flutuação.

CURVAS VERTICAIS

1. Introdução

CURVAS VERTICAIS

2. Tipos de Curvas Verticais

Figura 4: Tipos de Curvas Verticais.

CURVAS VERTICAIS

3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples

Figura 5: Esquema para cálculo das cotas e flechas das parábolas.

CURVAS VERTICAIS

3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples

Inicialmente precisamos determinar os coeficientes 𝑎, 𝑏

e 𝑐 da equação da parábola 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Para isso,

temos:

a) Na origem dos eixos 𝑥 = 0𝑦 = 0

→ 𝑐 = 0

b) A derivada da curva no ponto PCV é igual à inclinação da

reta tangente à curva.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑖1

2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖1𝑥 = 0

} → 𝑏 = 𝑖1

CURVAS VERTICAIS

3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples

c) A derivada da curva no ponto PTV é igual à inclinação da

reta tangente à curva. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑖2

2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖2𝑥 = 𝐿

} → 2𝑎𝐿 + 𝑖1 = 𝑖2

𝑎 =𝑖2 − 𝑖12𝐿

Substituindo os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, e fazendo g = 𝑖1 − 𝑖2, a

equação geral da parábola será dada por:

𝑦 =−𝑔

2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥

CURVAS VERTICAIS

3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples

A equação anterior fornece a ordenada y de qualquer ponto

de abcissa x da curva, o que permite a determinação das

coordenadas dos pontos da curva em relação ao PCV. Para o cálculo

das cotas de um ponto genérico P em relação a um plano de

referência, deve-se utilizar a seguinte equação:

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃 =−𝑔

2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑎 (𝑃𝐶𝑉)

Ainda observando a figura 5 temos:

𝑓 + 𝑦 = 𝑖1 ∙ 𝑥 ∴ 𝑓 −𝑔

2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 = 𝑖1 ∙ 𝑥

CURVAS VERTICAIS

3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples

𝑓 =𝑔

2𝐿∙ 𝑥2

Onde:

𝑓 = flecha da parábola

𝑔 = diferença algébrica das rampas

𝐿 = Comprimento da curva vertical

𝑥 = distância horizontal do ponto de cálculo da flecha ao PCV.

No ponto PIV temos a flecha máxima dada por:

𝐹 =𝑔

2𝐿∙

𝐿

2

2

=𝑔 ∙ 𝐿

8

CURVAS VERTICAIS

4. Cálculo do Ponto de Ordenada Máxima ou Mínima

Derivando a equação 𝑦 =−𝑔

2𝐿∙ 𝑥2 + 𝑖1 ∙ 𝑥 temos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−𝑔

𝐿∙ 𝑥 + 𝑖1

No ponto de máximo ou mínimo temos:

𝑥 = 𝐿0 e 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Fazendo as substituições temos:

𝐿0 =𝑖1∙𝐿

𝑔 𝑦0 =

𝑖1²∙𝐿

2𝑔

CURVAS VERTICAIS

5. Cálculo das Cotas e Estacas do PCV e PTV

Para este cálculo utilizamos as seguintes relações:

𝐸 𝑃𝐶𝑉 = 𝐸 𝑃𝐼𝑉 −𝐿

2

𝐸 𝑃𝑇𝑉 = 𝐸 𝑃𝐼𝑉 +𝐿

2

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑖1 ∙𝐿

2

𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 + 𝑖2 ∙𝐿

2

CURVAS VERTICAIS

6. Comprimento mínimo de Curvas Verticais

(Critério de Distância de Visibilidade)

Elementos retos do perfil longitudinal são concordados por

curvas verticais, convexas ou côncavas, cujos comprimentos mínimos

devem satisfazer os requisitos de visibilidade.

Sempre que possível utilizar valores maiores que os mínimos

estabelecidos, caso contrário têm-se curvas verticais muito curtas, as

quais devem ser evitadas.

Devem ser consideradas dois tipos de distâncias de visibilidade:

Distância de Visibilidade de Parada;

Distância de Visibilidade de Ultrapassagem.

No segundo caso, normalmente leva-se a valores exagerados para o

comprimento das curvas verticais, que são de difícil aplicação prática.

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

O mínimo comprimento das curvas verticais

convexas é determinado em função das condições

necessárias de visibilidade nas curvas, de forma a dar

espaço necessário ao motorista para frenagem segura,

quando este avista um obstáculo. O critério recomendado

requer que um motorista com seu campo de visão situado a

uma altura 𝐻 = 1,10 𝑚 acima do plano da pista enxergue

um obstáculo situado sobre a pista, com altura ℎ =0,15 𝑚.

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

CASO I: A distância de visibilidade (S) é menor ou

igual ao comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 ≤ 𝐿.

Figura 6: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas, (𝑆 ≤ 𝐿).

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

Sabemos que 𝑓 =𝑔

2𝐿∙ 𝑥2, logo, na figura anterior,

a equação da parábola para o sistema de eixos escolhido é:

𝑧 =𝑔

2𝐿∙ 𝑥2 = 𝑘 ∙ 𝑥2

Como 𝐹 =𝑔∙𝐿

8→ 𝑔 =

8∙𝐹

𝐿, logo 𝑧 =

8∙𝐹

𝐿

2𝐿∙ 𝑥2 =

4∙𝐹

𝐿2∙ 𝑥2, e

assim:

𝑧 =𝐹

𝐿 2 2∙ 𝑥2

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

Ainda com relação à Figura 6, temos:

𝐻 = 𝑘 ∙ 𝑆12 e ℎ = 𝑘 ∙ 𝑆2

2. Fazendo as devidas substituições

temos: 𝐻

𝑆12 =

𝐹

𝐿 2 2 e ℎ

𝑆22 =

𝐹

𝐿 2 2

Obtendo-se portanto:

𝑆1 =𝐿

2∙

𝐻

𝐹 e 𝑆2 =

𝐿

2∙

ℎ

𝐹

Substituindo estes valores na equação 𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2, temos:

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

𝑆 =𝐻 ∙ 𝐿 2 + ℎ ∙ 𝐿 2

𝐹=

𝐿

2∙

𝐻 + ℎ

𝐹

Numa curva vertical 𝐹 =𝐴∙𝐿

800. Substituindo-se na anterior,

temos:

𝑆 =10 8 ∙ 𝐿 ∙ 𝐻 + ℎ

2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐿

𝐿 =𝑆2

200 ∙ 𝐻 + ℎ2 ∙ 𝐴

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6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

Substituindo os valores 𝐻 = 1,10 𝑚 e ℎ = 0,15 𝑚, temos:

𝐿 =𝑆2

412∙ 𝐴 = 𝐾 ∙ 𝐴

Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃. Logo, o comprimento mínimo da

curva vertical é:

𝐿𝑚í𝑛 =𝐷𝑃

2

412∙ 𝐴 = 𝐾𝑚í𝑛 ∙ 𝐴

Onde:

𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.

𝐾 = parâmetro da parábola, em metros.

CURVAS VERTICAIS

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que

o comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 > 𝐿.

Figura 7: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas (S > L).

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

Da Figura 7 podemos deduzir:

𝑆 =𝐿

2+

𝐻

𝑚+

ℎ

𝑛

Para S mínimo, a linha de visão deve ser tangente ao

vértice da curva. Logo, a taxa de variação de n deve ser

igual e oposta à de m, ou seja:

𝛿𝑆

𝛿𝑚=

𝛿𝑆

𝛿𝑛→

−𝐻

𝑚2=

−ℎ

𝑛2→

𝐻

𝑚2=

ℎ

𝑛2

CURVAS VERTICAIS

6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

onde:

𝑚 = 𝑛 ∙𝐻

ℎ e 𝑛 = 𝑚 ∙

ℎ

𝐻

Escrevendo m e n em função da diferença algébrica dos greides

(A), temos:

𝑚 =𝐴 100

ℎ

𝐻+1

e 𝑛 =𝐴 100

𝐻

ℎ+1

Substituindo os valores de m e n na equação 𝑆 =𝐿

2+

𝐻

𝑚+

ℎ

𝑛,

temos:

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6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

𝑆 =𝐿

2+

ℎ + 𝐻2

𝐴 100

Isolando L, temos:

𝐿 = 2S −2 ∙ ℎ + 𝐻

2

𝐴 100

Substituindo os valores de 𝐻 = 1,10 𝑚 e ℎ = 0,15 𝑚, temos:

𝐿 = 2S −412

𝐴

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6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas

Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento mínimo

da curva vertical é:

𝐿𝑚í𝑛 = 2𝐷𝑃 −412

𝐴

Onde:

𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.

𝐷𝑃 = distância de visibilidade de parada, em metros.

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Durante o dia e no caso de pistas iluminadas

artificialmente, geralmente não ocorrem problemas de

visibilidade. Para pistas não iluminadas, aplica-se o critério

da visibilidade noturna, ou seja, a pista deve ser iluminada à

distância de visibilidade de parada pelo farol do veículo, por

hipótese situado a 0,61 𝑚 acima do plano da pista,

supondo que o seu facho luminoso diverge 1º do eixo

longitudinal do veículo.

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

CASO 1: A distância de visibilidade (S) é menor ou

igual ao comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 ≤ 𝐿.

Figura 8: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (𝑆 ≤ 𝐿).

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Da figura 8 pode-se deduzir:

𝐹

𝐿 2 2=

𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ

𝑆2

Como 𝐹 =𝐴∙𝐿

800, temos:

𝐴 ∙ 𝐿800𝐿 2 2

=𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ

100 ∙ 𝑆2

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

𝐿 =𝐴 ∙ 𝑆2

2 ∙ 𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ

Empregando os valores (ℎ = 0,61 𝑚 𝑒 𝑣 = 1,75%)

recomendados, temos:

𝐿 =𝑆2

122 + 3,5 ∙ 𝑆∙ 𝐴

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento

mínimo da curva vertical é:

𝐿𝑚í𝑛 =𝐷𝑃

2

122 + 3,5 ∙ 𝐷𝑃∙ 𝐴

Onde:

𝐴 = diferença algébrica das rampas, em %.

𝐷𝑃 = distância de visibilidade de parada, em metros.

CURVAS VERTICAIS

6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que

o comprimento da curva (L), isto é, 𝑆 > 𝐿.

Figura 9: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (𝑆 > 𝐿).

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Na figura 9 podemos observar que:

𝑆 =𝐿

2+ 𝑆1

Dos triângulos semelhantes ABC e ADE, podemos deduzir:

𝑆1

𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ

=𝐿 2

4 ∙ 𝐹

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Como 𝐹 =𝐴∙𝐿

800, temos:

𝑆1𝑣 ∙ 𝑆100

+ ℎ=

𝐿 2

4 ∙𝐴 ∙ 𝐿800

𝑆1 =

𝑣 ∙ 𝑆100 + ℎ

𝐴 100

Donde:

𝑆 =𝐿

2+

𝑣 ∙ 𝑆 + 100 ∙ ℎ

𝐴

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6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas

Isolando o valor de L e empregando os valores

(ℎ = 0,61 𝑚 𝑒 𝑣 = 1,75%) recomendados, temos:

𝐿 = 2 ∙ 𝑆 −122 + 3,5 ∙ 𝑆

𝐴

Na condição limite, temos 𝑆 = 𝐷𝑃, logo o comprimento

mínimo da curva vertical é:

𝐿𝑚í𝑛 = 2 ∙ 𝐷𝑃 −122 + 3,5 ∙ 𝐷𝑃

𝐴

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