livro projeto geomÉtrico
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ProjetoGeométrico de
Rodovias
ProjetoGeométrico de
Rodovias2a edição
Ca r los R.Márcio
T. PlmentaP. Ol iveira
dW"5áo Carlos
2004
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O 2001 , ZOO4 Carlos R. T. Pimenta e Márcio P' Oliveira
Todos os direi tos para a l íngua portuguesa reservados pela RiMa Edi tora ' Nenhuma
parte desta publicação pod'erá ser reproduzida, guardada pelo.sistema "retrieval" ou
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da Editora.
Capa, editoração, revisão e fotolitosRiMa Artes e lextos
Sumário
Apresentação ................. """""""""" """' D(
l .OTraçadodeumaEstrada """""""""" I
1.1 ConsideraçõesGerais...... '. """"' l
1.2 FatoresquelnfluenciamaEscolhadoTraçado """"""""""2
1.3 Anteprojeto """""' 3
1.4 ProjetoFina1.. . . . . . . . . . . . . """""""" '9
1.5 RepresentaçãoGráficadoProjeto """""""""'9
2. Elementos Básicos para o Projeto """ 15
2.1 lntrodução """""' 15
2.2 Yelocidades.. . . . . . . . . . ' . . """""""" 15
2.2.1 Velocidade de Projeto (Vp) . ....""' """""""""""' 16
2.2.2 YelocrdadeMédiadePercurso(Vm)"""""" """"'182.3 DistânciadeVrsibilidade """""' 19
2.3.1 Distância de Visibilidade de Frenagem (D0 " " " " " " " " " " " " " " " " 19
2.3.2 Distância de Visibilidade de Ultrapassagem (Du)' " " " " " " " " " "' n
3. Curvas Horizontais Circulares """"""""";"' """""' 29
3.1 Introdução """""'293.2 Geometria das Curvas Horizontais Circulares "" """"""""' 30
3.3 LocaçãodasCurvasHorizontaisCirculares """""""""""'31
4. Curvas Horizontais com Transição .............." """"' 35
4.1 lntrodução """""' 35
4.2 TiposdeCurvadeTransição """""""""""" 'Y4.3 Cáracterísticas Geométricas da Espiral """"' 38
4.4 ParàmetrosdaCurva """""""'39
4.5 ComprimentodeTransição """'42
4.6 ConcordânciadaCurvadeTransição '."""""""" """""""'M4.7 EstacasdosPontosNotáveisdaCurva """"'484.8 DesenhodaCurva """""" """48
4.9 LocaçãodaCurva.. . . . ' """""""48\/
Dados de Catalogaçáo na Publicação
Pimenta, Car los R. T. e Ol iveira ' Márcio P
Projeto Geométrico de Rodovias2u edição
São Carlos, RiMa Edi tora, 2004
|SBN: 85-86552-91-7
éV7/aDIRLENE NBEIRO MARTINSPAULO DE TARSO MARTINS
Av. Dr. Carlos Botelho, 1816 - Salas 30/3113560-250 - São Carlos, SP
Fone: (0xx1 6) 2'12-5269Fax: (0xx16) 272-3264
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lêVl Projeto Geométrico de Rodovias
4. i0 CurvasHorizontaiscomTransiçãoAssimétr ica . . . . . . . . . . . . . . . . . .504" I I Transição entre Duas Curvas Circulares ...,....52
4. 1 I . 1 Parâmetros da Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.11 .2 Locação da Cur"va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . 54
4.12 Recomendações sobre o Traçado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5. Seção Transversal ...... ' .. 57
5.1 ElementosBásicos Dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . .575.1. i FaixadeTráfegoePistadeRolamento . . . . . . . . . . . . . . . . .515.1.2 Acostamentos . . . . . . . . . . . . .585.1.3 Taludes Laterais . . . . . . . . . . 60
5. I .4 Plataforna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.5 E,spaçosparaDrenagem . . . . . . . . . . . . . . . .61
5.1.6 SeparadorCentral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .615.1.7 Guias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b l
5.1.8 FaixadeDomínio . . . . . . . .O
5.1.9 PistasDuplasIndependentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O
5 .2 Seções Transversais . ... .. .. .. .. . .. .. 63
5.3 InclinaçõesTransversais ..........63
6. Superelevação e Super1argur4.................. ......... ' ... 69
6.1 lntrodução . . . . . . . . . . .69
6.2 Superelevação.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
6.2.1 Paralelogramo dos Valores Aceitáveis ...................15
6.2.2 Critério para Escolha da Superelevação no Trecho Circular .......15
6.3 Superlargura. .......82
6.3.1 Distribuição da Superlargura ............. 85
6.4 Distribuição da Superelevação em Pistas Simples........ ....... 86
6.4.1 Var iação dalncl inação Transversal . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4 .2 Yariação das Cotas do Eixo e das Bordas . . . ... .. ...... 88
6.5 SuperelevaçãoemEstradascomPistaDupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 i
6.6 SuperelevaçãocomSuperlargura. . . . . . . . . . . . . . . . . .n
6.7 CondiçãodeVisibil idadenasCuwasHorizontais ................93
7. Perfi l Longitudinal ................... .......... 95
1.1 Introdução . . . . . . . . . . .95
7.2 Rampas . . . . . . . . . . . . . . .98
7.2.1 ComporlamentodosVeículosnasRampas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98'7.2.2 ControledeRampasparaProjetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
7 .3 Curvas Vertiçais de Concordância.......... ..... 102' '1.3.1 Propr iedadesdaParábola . . . . . . . . . . . . . . . 103
I .3.2 Ctrvas Verticais Parabólicas .......... 103
Sumárìo Vl l
7.4 Considcrações Gerais sobre o Traçado e o Perhl Longitudinal ..,............ 111
8.ProjetodaTerraplenagem """"""' 119
8.1 CálculodeAreaseVolumes """"""""""" ' 119
8.1.1 SeçõesTransversats8.1.2 CálculodasÁreas8.1.3 Cálculo dosVolumes' . . . . . . . . .
Distnbuição do Material Escavado
ReduçãoCompensação de Volumes
Diagrama de MassasLinha de Bruckner ...-.......
8.6.1 Propriedades da Linha de Bruckner
Distância Econômica de TransPode
Lrnha de Distribuição .............
8.8. 1 Escolha da Liúa Econômica . . ' . . . . . . . ' . . . . '
Cálculo Simplif,rcado do Momento de Transporte
9. Exercícios..................9.1 O Traçado de uma Estrada
9.1.1 ExercíciosPropostos
9.2 Elementos Básicos para o Projeto
9.2.1 Exercícios Propostos .....-. ' ..
9.3 Curvas Horizontais Circulares ......'... " " " "9.3.1 ExercíciosResolvidos9 .3.2 Exercícios Propostos ................. '
9.4 Curvas Horizontais com Transição
9.4.1 ExercíciosResolvidos9.4.2 Exerçícios Propostos .. ' .. ' . .... ' ... -..
8.28.38.48.58.6
8.78.8
8.9
120t2l121122123t24126121t27129130130t37
r39139139140l4{)140140145148148158
9.5. Seção Transversal . . . . . . . . . ' . . . """""""""""" ' 160
9.5.1 ExercíciosResolvidos """"""""""' 160
9.5.2 ExercíciosPropostos . ' . . . . ' . . . . . ' . . " ' """""""""""" ' 161
9.6 SuperelevaçãoeSuperlargura """"""""""' 161
9.6.I ExerçíciosResolvidos """"""""""' 161
9.6.2 Exercícios Propostos - . . . . . . . . . . . . . . " ' """""""""""" ' I '72
9.7 Perfillongitudinal """"""""" 173g.7.l ExercíciosResolvidos """""'"""""1739.7.2 ExerçíciosPropostos.. . . ' . . . . . ' . . . . . " """"" ' """""" ' 182
9.8 ProjetodaTerraplenagem.' . ' . . . . . . . ' . """"""" 186
9.8.1 ExercíciosResolvidos """"""""""' 186
Bibliografia """"""""""" 197
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CAPITULO 1
O Traçado de uma Estrada
1.1 Considerações GeraisO problema da escolha do traçado de uma estrada nasce, em iinhas gerais,
da necessidade ou da conveniência da l igação entre dois locais.
Raramente a l inha Ì 'eta que une esses locais (caminho mais curto) poderá ser
tomada como eixo da l igação, em virtude de uma série de condiçionamentos
existentes na área intermediária entre os locais a serem ligados.
Esses condicionamentos interferern e assumem imporlância porque, dentro
da conceituação da engenharia, não basta pensar na l igação pura e simples; é
necessário tarnbem que eSSa ligação seja feita de forma a atender melÌror aos
interesses da comunidade com o rtlenor custo possível.
É preciso, portanto, que haja urn balanço entre o custo total da obra a ser
executada, incluindo custos de projeto, construção, desapropriações e manutenção
(pelo menos parte), e os benefícios diretos e indiretos advindcs da ìmpiantação
da obra.
A definição da oportunidade de construir uma deterrninada estrada, eÍÌ utrìa
determinada época, deve começar por um planejamento dos transportes ern geral
que, analisando necessidades e características regionais, deltna os meios de transporte
a serem uti l izados para atender convenientemente a essas necessidades.
O planejamento geral de transportes deve gerar o plano viário que defintrá
a opoúunidade de çonstrução de uma determinada estrada.
A estrada e um ente tridimensional que deve se ajustar de forma harmônica
à topografia da região. De modo gerai, o projeto deve alterar a topografia, se possível,
sem agredi-la.
Assim, um bom projeto deve atender às necessidades de tráfego, respeitar
as características tecnicas de um bom traçado e de um born perfil, estar em harmonia
com a região atravessada e, na medida do possível, ter um baixo custo.
2 Projeto Geométrico de Rodovias Cap' 1
As características básicas da estrada, çomo capacidade de tráfego. lÌúlnero
de pistas e de faixas dc tráfego, velocidade de projeto etc., devem ser objeto de
umã análise prévia de necessidades, benefícios e custos'
A escolha dessas características deve também levar em consideração possíveis
variações de volume ou mesmo de características que o tráfego possa sofrer durante
a vida útil da estrada.
Grande número de veículos muda suas características ao longo do tempo,
alterando seu comportamento nas estradas. Interesses diversos podem causar
mudanças no uso dos diversos meios de transportes, alterando os volumes e a
composição do tráfego das estradas ao longo dos anos'
Assim, deve-se ter un-Ì cuidado especial com a projeção das necessidades de
transpol re.
1.2 Fatores que Influenciam a Escolha do Traçado
Na escolha do local por onde passará a estrada, todos os fatores que possaminfluir
no custo ou nas características doprojeto deverão ser avaliados c balanceados para
que se possa conseguir um local adequado à çonstrução de uma estrada de boas
características técnicas e de baixo custo'
A variedade de Íatores a serem analisados é muito grande, o que toma muito dificil
maximizar condições tecnicas e minimizar custos'
Topografia-Namaioriadosprojetos,atopografiaéofatorpredominanteparaa escolha da localização da estrada. o movimento de terra, que geralmente representa
parccla significativa no custo total de construção da estrada, depende da topografia do
local atravessado. o projeto tem parâmetros mínimos que devem ser respeitados' Em
conseqüência, uma regiáo topograficamente desfavorável pode levar a grandes cortes
e aterros, de elevado ãrrrto, ou ut" à necessidade de obras civis caras, çomo úneis e
viadutos.
Para melhor caraçtettzaressas influências, os projetistas de estradas resolveratn
classificar a topograÍia da região em três grandes grupos:
aTerrenoplano. Quandoatopograf iadaregiãoésuf ic ientementesuave,de f-orma a pennitir um projeto com boas cond,ições de visibilidade, pequeno
movimento de terra e sellÌ necessidade de obras caras'
t Terreno ondulqdo- Quando o terTeno natural possui inclinações não rnuito
fortes eiou algumas escalpas ocastonais que exigem um movimento de terra
médio.
Qlërrenomontanhoso-Quandoatopograf iaapresentamudançassìgrr i -ficatrvas nas elevações do terreno, sendo necessários grandes tnovimentos
CaP. 1 O Traçado de uma Estrada 3
deter:rae,algumasvezes,úneiseviadutosparaobter-seumper|tlaceitável
Para a estrada'
Condiçóesgeológicasegeotécnicas-Ascaracteríst icasdosolodoslocais
por onde passará u ""'á4"
tamúem são imporlantes' A dureza do material a ser
escavado pode exrgrr ' i""i"^'
especiais de.escavação' gerando custos adicionais;
corles que atingern "
r""i"ïí"ati"o g"ru- obras adicionais de drenagem; problemas
de estabilidade de taÌuies de cortes podem exigir obras caras' Em alguns casos'
obras de contenção aã"J", ou de estabiLlzíçáo de aterros sobre solos moles
podem ter custos muito elevados'
Locaiscomcondiçõesgeotecnicasdesfavoráveisdevemserevi tadosSempl.c
que possível.
Hidro|ogia-Otraçadodeveserescolhidodefotmaareduziraomíl l i t r l r '
t ravessiasder iosecoffegos,deformaaminimizaronúmerodeobrasciv lS'C(ì l ] ì t lporr tesegaler ias.Quandoastravessiassãoinevi táveiseinportanteescolher loclrrse posições tuuo'uu"" iJ
-ui ' p"tp"ndicular possível)' a fim de reduzir o tamattìt0
das obras "iuis
ne""sJ.i", "
*i"r obras de retif icação dos rios ou dos córrcu()'
atravessados.
Desapropr iaçóes-Aexistênciadebenfei tor iasnoslocaisescolhidt ls l l : l t : t
aestradaaumentaoscustosdasdesapropr iações.Construções, loteat lenloset.á",r"- ser evitados sempre que possível'
lnterferênciasnoecossistema-Aestrada,devidoaSuaSdi1. l1g115ir t . . '
incomuns (uma grande extensão com pequena largura), é geralmente ullì ltl"' "1'
agressivo ao meio ambiente. Por onde passa, dividel região em duas áreas isol:r ' l ' '
entre si. Em regiões "",l;;;***ação
do meio ambiente é relevante, devc-sc scrrìl)r(
procurar traçados utt"Ãutiuo, que evitem o problema. o projetista deve sctttltt' 1"
em mente qu. u "onrrlrnao
au "rt
uau exige a demrbada da vegetação e que a c\('( rr(' irt ì
de cortes e ateÍïos ilï;il acarretir danos ao ecossistema local'
Àsvezes,umtraçadoal terrrat ivo,quenãorepresenteamelhorsoluçirrr l i . t t t l . . rpala o projeto, pode üeneficiar a região atravessada pela estrada dandt) ttrrtrt tt"t '
ãpça" q"" melÀor atenda aos interesscs locais'
oulrosfatoresdeinteresselocal .social .estrategicosregionais() t | | ì | ( . ' ' | ì l t 'nacionais podem iárirì"r," na escolha do traçado como na defrnição (l,s t l ' trt 'rt
elementos do Projeto da estrada'
1.3 AnteProietoIn iç iaìnente,énecessár ioumconhecimentoadequadodarcgi l ì r l ; t ' . t
atravessacla p"," ; r ; ; ; ; - i " " i " i "0" todos os elementos que possan i t t l ì t t r t t ' t
localizaÇão a ser definida para o traçaco'
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4 Projeto ceométrìco de Rodovias Cap. 1
O anteprojeto deve ser precedido pelo levantamento e pela análise dos dados da regrão,que noftearão a definição dos possíveis locais por onde a estrada poderá passar.
A topografia e a hidrologia daârea a ser estudadapodem ser obtidas de plantastopográficas com precisão adequada. Em locais onde existern levantamentos aero-fotogrametricos, restituições na escala 1:10.000 são suficientes para o estudo dosanteprojetos. Para o projeto final, geralmente são necessárias plantas em escalamaior, com uma melhor resolução do terreno.
Áreas que não foram aerofotografadas podem ser levantadas por processostopográficos tradicionais. Atualmente existem equipamer.rtos e processos avançadosque permitem levantamentos de grandes áreas corn precisão adequada e custosrazoávei s.
A fomração geológica e geotecnica cla área pode ser inicialrncr.rte avaliaciacom base na interpretação de fotografias aéreas e por meio de mapas geológicosda região. Essa avaliação inicial e importante para que, nalocaltzação de traçados,possam ser evitadas áreas potencialmente problemáticas.
Para a escolha de um ou mais anteprojetos, é impoftante o conhecimento deaspectos soçiais e econômicos da região, sua produção agrícola e industrial e espe-çialmente suas necessidades de transporte.
Sempre que possível, o traçado deverá ser localizado de fonna a atender melhoràs necessidades da região.
Também e necessário o levantamento de informações sobre a existência deprojetos de concessionárias de serviços públicos ou de projetos particulares que,no futuro, possam interferir na estrada. Muitas vezes, pequenas alterações em urÌpro.;eto podem evitar futuros problemas com outros tipos de obras.
Procedimento para a escolha de um traçado - Do ponto de vista prático,uma estrada sempre é feita para ligar dois pontos conhecidos. A linha reta que uneesses dois pontos nem sempre e recomendada, por razões de segurança. Mesrno quea topografia permita, traçados com longos trechos retos devem ser evitados, pois amonotonia da estrada gera sonolência e desatenção dos motoristas.
Apenas como ponto de partida, tomemos a reta que unc os pontos extremosdo projeto e analisemos os problemas que apareceriam se o nosso traçado fosseessa reta: cortes e aterros de volume excessivo, travessias de rios, desapropriaçõescaras, ocorrência de material rochoso de escavação cara eÍc.
A identificação desses problemas nos leva a escolhcr pontos por onde a estradadeverá passar, fora da reta diretriz, acomodando melhor o traçado à topografia ealongando o mínimo possível a extensão total. Esses pontos são ditos "pontosobrigados" porque se nos afastamos deles, em direção à reta diretriz, voltamos a
Cap. 1 O Traçado de uma Estrada 5
enfientar os problemas; em sentido contrário, aumentamos o pelcwso e, provaveìtrtente,
o custo de construção e/ou operação da estrada'
Fei taapr imeiraal teração,oproblemarepete-Se:novasretasaparecemenovas
análises devãm ser feitas até que se obtenha um traçado que seja tecnica e econo-
micamente satisfatório.
Como exemplos de "pontos obrigados" podemos citar: áreas que contornaÍÌ1
elevações íngremes, áreas a montante de grotas acentuadas, seções nrais estreitas
de rios, travessias adequadas de ferrovias, eventual aproveitamento de obras
existentes etc. e, de forma geral, toda solução que acaffeta melhoria das condições
tecnicas ou redução de custo.
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Figura 1.1 Pontos obrigados - garganta
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Figura 1.2 Pontos obrigados obstáculos a contornar
6 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 1
Figura 1.3 Pontos obrigados - travessias
Cap. 1 O Traçado de uma Estracla 7
Para finalizar, queremos mostrar dois tipos característicos de tracado: o traçadotle espigão e o traçado de vale.
o haçado desenvorvido ao longo de u'r espigão ou ao longo de um vare gerarnenteaprese4ta qondições tecnicas e econôtnicas rneihores que aqueles desenyolvidos a meiaencosta ou transversalmente a vales e espigões.
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Figura 1.5 Traçado de espigão.
traçado de espigão tem como grande vantagem a redução dos custos das .lrrrsde drenagem pelo fato de a estrada ut.uurrru, terreno seco. Além disso, geralrcrlcesse tipo de traçado passa por teffeno com declividade lo'gitudinar favoráveì.
Figura 1.6 Traçado do vale.
Otraçadodevaleatravgssaregião<ìetopograí ì l r r r r r r r lo l ì rvor: i \ r , l (11.1;11111,.1,1, . ,prefer ido nosprojetos de estradas de Í .crro, a1, ," , , r , , , , , valort .s l r ; r r r t ,s l ) ; r r ; r : r , . r . r r t , , r , ,
Figura 1.4 Pontos obr igados _ condição.
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8 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 1
Como nesses percursos a estrada, muitas vezes, acompaúa rios ou cóffegos, os problemas
de drenagem são agravados pelas águas que descem pelas encostas na direção do rio
ou do cóffego, aumentando o número e o custo das obras de drenagem-
Os traçados de meia encosta, alem de não apresentarem as vantagens dos outros
dois, atravessam rios, córregos ou pelo menos talvegues e não apresentam bom
perfil longitudinal. Entretanto, existem porque nem sempre espigão ou vale está
na direção desejada.
lmplantaçáo do anteprojeto - o lançamento do anteprojeto apresenta,
normalmente, a seguinte seqüência:
ü exame do terreno ao longo da diretriz;
n identif icação dos pontos obrigados;
o escolha dos pontos de interseção das tangentes (PI);
n definição das coordenadas dos PIs;
n cálculo dos comprimentos das tangentes e das deflexões (AC),
B escolha dos raios mais convenientes para as curvas circulares, de forma a
acomodar a estrada à topografia, evitando os obstáculos conhecidos;
n cálculo das coordenadas dos pontos notáveis das curvas: ponto de início
da curva (PC) e ponto final da curva (PT);
u cálculo do estaqueamento do traçado (pontos distanciados em 20 m ou 50 m
entre si);
tr levantamento do perfil do terreno sobre o traçado escolhido;
a escolha dos pontos de interseção das rampas (PIV) em perfil;
n determinação de cotas e estacas dos PIVs escolhidos;
a cálculo das rampas resultantes; inclinação e extensão;
o escolha das curvas verticais: cálculo de cotas e estacas dos pontos de início
(PCV) e f,rm das curvas (PTV).
O detalhamento do projeto geometrico normalmente só é feito na fase de projeto
final.
Paralelamente à execução do anteprojeto geométrico, são iniciados estudos
da infra-estrutura e da Superestrutura da estrada, objetivando o levantamento de
problemas não detectados iniçialmente, que poderão mostrar a conveniência de
alteração do traçado escolhido.
Muitas vezes, quando começamos o estudo de uma região para a implantação
de uma estrada, surgem várias faixas de terreno aparentemente adequadas para a
localização do traçado. Nesses casos, norÍnalmente e executado um anteprojeto
para cada uma das faixas selecionadas.
Cap. 1 O Traçado de uma Estrada 9
Escolhidas as áreas que serão estudadas para alocalização do traçado, as informações
ohtidas da intetpretação de fotos aereas daregião e/ou de levantarnentos "in loco" fomecetn
os dados necessários para o planejameirto dos levantamentos geológicos e geotécnicos
de campo, as sondagens e os ensaios dos materiais dos locais a seren-ì atravessados.
Com os dados obtidos nessa fase, e possível uma primeira avaliação de custos e
beneficios dos diversos anteprojetos propostos e, assim. eleger o nais adequado.
1.4 Projeto Final
O projeto geometrico final e o produto do detalhamento e da eventual rnodificação
do anteprojeto escolhido.
Com base 1as informaÇões levanladas e na análise das soluções possiveis para
os diversos problemas encontrados, o anteprojeto selecior.rado soí'rer'á as aiterações
necessárias ate atingir sua forma final.
Na elaboração do projeto final são escolhidos e calculados todos os elementos
necessários para a perfeita definição do traçado, do perfiÌ longitudinal e das seções
que mostram o desenvolvimento transversal da estrada.
Paralelamente à elaboração do projeto geométrico são também executados
projetos de terraplenagem, drenagem, superestrutura, obras civis, paisagismo.
sinalização, serviços complementares etc.
O projeto final da estrada será o conjunto de todos esses projetos parciais.
completados por memórias de cálculo, justif icativas de soluções adotadas, quan-
tif icação de serviço, especificações de materiais, metodos de execução quando
necessário e orçamentos.
1.5 Representação Gráfica do Projeto
A representação gráfica tradicional do projeto geometrico de um trecho de
estrada ó feita por um conjunto de desenhos detrorninado: planta, petfil longítudinal
e seções transversais.
A planta é a representação, em escala conveniente, da projeção da estrada
sobre um plano horizontal (Figura 1.7).
O perfl longitudinal é a representação, em escala conveniente, da interseção da
estrada com a superficie cilíndrica vertical que contém o eixo da estrada (Figura 1.7).
Seções transversais são repreSentaçõeS, em escala conveniente, de cortes da
estrada fei tós pòi p lanõs vert icais, perpendiculares ao eixo da estrada. São
normalmente localizadas nas estacas inteiras (em intervalos de 20 metros) e em
outros pontos onde necessárias (Figura 1.7)
Cap. 1 O Traçado de uma Estrada I 1
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10 Projeto Geométrìco de Rodovias Cap. 1
\_1"1" , \
l-igura 1.7 Representação gráfica do projeto geométrico.
Assim, um deteminado trecho de estrada e representado por uma planta, por um
perfil longitudinal e por várias seções transversais, tantas quantas forem necessárias
para a perfêita defrrição do projeto. O projeto geométrico total da estrada e representado
pelo conjunto de desenhos de seus diversos trechos.
Com a evolução dos métodos e dos equipamentos topográficos, o uso da aerofoto-
grametria, o GPS etc., atualmente e possível a digitalização da topografia do teffeno
no qual se pretende construir a estrada e a informatização dos projetos.
Existem vários programas, disponíveis para computadores, que calculam, analisam
e desenham projetos de estrada, utilizando alinhamentos escolhidos pelo projetista.
Embora com basc em uma tecnologia avançada, os projetos informatizados
continuam usando a representação grâfica tradicional para definir a estrada. Alguns
programas, além dos desenhos tradicionais, executam perspectivas que auxil iam
muito na visualização do projeto.
Exemplos de planta, perfil longitudinal e seção transversal são mostrados nas
Fisuras 1.8 a 1.11.
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Cap. 1 O Traçado de uma Estrada 13
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12 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 'Ì
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r clcrncntos do perfi l e dasiì segurança e ao confofto,
rão suficientes; o imporlanteada tecnicamente boa.
do plantas e perÍìs de trechos,;nto tridin-iensi onal cla estrada.tradas inter l igarn-se por rneio
:da, onde curvas horizontais e'idimensionais, a falta de uma
representaçõcs compl ementares,la visão globai do trecho.
rrzada de um trecho de estrada.
CAPITULO 2
Elementos Básicospara o Projeto
2.1 Introduçãoo projeto geométrico é a parte do projeto dc estradas que estuda as diversas
características geométricas do traçado em função das leis do movimento, docomportamento dos motoristas, das características de operação dos veículos e d9tráfego, de maneira a garantir uma estrada segura, confortável e eficiente, corrÌ ()nlenor custo possível.
características geométricas inadequadas causam acidentes de tráfego, baixrreÍiciôncia c obsolescência precocc da estrada, fato que não deve ocorrer anrcsque os benefícios advindos da estrada justif iquem o investimento feito cm srÌ: lconstrução.
A escolha de boas características geométricas nem sempre acaneta grandcsacréscimos no custo da construção. por outro lado, alteraçõãs na estrada depoisde construída, como alargame'to da plataforrna ou redução de rampas, implicarra perda de vários outros serviços, gerando custos altos que devem ser evitaclos.
Os diversos elementos do projeto geornetrico devem ser escolhidos de forprrra gerar uma estrada que possa atender aos objetivos para os quais ela foi projctad,.dando condições de escoarrento de tráfego que justif iquem o investimento.
2.2 VelocidadesO tempo de viagem e um fator muito importante na escolha de uur detenrinarltr
meio de tral.ìsporte por um usuário. Assim, ó impoftante que a estrada dê condiçõcspara que os usuários possam desenvolver, de forma segura, velocidades cornpatívciscorn suas expectal ivas.
A velocidade que um veículo apresenta em deteminado trecho <lepenclc tlomotorista, do veículo e da estrada.
Quanto ao motorista, depende de sua capacidade ou habilidade, de sua vonlatrc.de scu estado psicológico etc.
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Figura Ll2 Pcrspectit'a dc urn trecho de estracla
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16 Pro.ieto Geométrico de Rodovias Cap. 2
Quanto ao veículo, depende do tipo, do peso, da potência do motor, do estado
de conservação, do combustível etc.
Quanto à estrada, depende das características geométricas (rampas, raio das
curvas, visibilidade, superelevação etc.), do estado da superficie de rolamento, dovolume e da composição do tráfego, das condições climáticas, da velocidade máxima
legal, do policiamento etc.
Em urna estrada sempre há veículos trafegando com velocidades diferentes;assim, é necessário que sejam defrnidos valores de velocidade para o estudo das
características geométricas. Destacamos dois conceitos de veloci dade'. velocidadede projeto (Vp) e velocidade médìa de percurso (Vm).
2.2.1 Velocidade de Projeto (Vp)
Velocidade de projeto é a maior velocidade que um veículo-padrão pode
desenvolver, em um trecho de estrada, em condições normais, Çom segurança.
A escolha do valor a ser adotado para a velocidade de projeto é fator decisivona definição do padrão da estrada. Todas as características geométricas terão de
ser definidas de forma que a estrada, em todos os seus pontos, ofereça segurança
ao usuário que a percorra na velocidade de projeto estabelecida. Isso significa que
velocidades de projeto altas implicam estradas de melhor padrão e maior custo,pois o custo da construção está diretamente ligado aos parâmetros tnínimos adotadose à topografia da região atravessada.
A velocidade de projeto está sempre associada à função da estrada. Estradascom funções importantes justificam valores aÌtos para a velocidade de pro.leto;
estradas de importância secundária devem ter velocidades de projeto mais baixaspor mot ivo de economia.
Deve-se, sempre que possível, adotar uma velocidade de projeto única para
toda a estrada. Só éjustificável o uso de velocidades diferentes para trechos da estradaque apresentem diferenças sensíveis nas condições topográficas da região atravessada.
Para o usuário da estrada é importante o tempo gasto para percorrê-la.
Vamos supor um veículo percorrendo uma estrada de extensão Ë à velocidadede projeto Vp, que é a condição mais desfavorável, e chamar de I o tempo gastopara percorrê-la-
Temos:
E
Vp
Cap. 2 Elementos Básicos para o projetÕ 17
em que:
E : extensão da estrada
I : tempo de percurso
Vp : velocidade de projeto
como toda redução do tempo de percurso representa um benefício para ousuário e todo aumento na velocidade de projeto, um acréscirno no custo da estrada,se as variáveis da Figura 2.1 representarern diretamente o custo e o benefício, àmedìda que um ponto da curva se desloca no sentido crescente das velocidades,enquanto estas são baixas, o aumento do benefício será maior que o aurnento docusto, sendo vantajoso aumentar a velocidade. Para velociciades de projeto altasacontecc o inverso. O ponto oncle a curva apresenta inclinação cle 45'corresponderáa unÌa velocidade de projeto para a qual o aumento do custo será igual ao dobeneficio. como o custo e o beneficio são funções, do tempo e da velocidade" dificeisde serem definidas porque dependem de um grande número de fatores, não ó fácildefinir uma veÌocidade de projeto ótima.
O importante é saber que para cada extensão de estrada há uma velociclade deprojeto ideal do ponto de vista econômico. Essa velocidade aumenta à medida quea extensão da estrada tambem aumenta, como mostram as curvas da Fieura 2.1.
Figura 2.1 Relação tempo de percurso-velocìdade de projeto.
Como, por questão de segurança, há l imitações para as velocidades nasrodovias, para distâncias grandes é recomendável a utilização de meios de transportemais rápidos, por exemplo, o transporte aéreo, os trens de alta velocidade etc.
l - Disr. = E2
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Velocidâde
14 Proieto Geométrico de Rodovias Cap' 1
Arepresentaçãodoprojetogeométricopormeiodoconjuntodedeseúos'-planta,perfil longitudinal e seçães transversais - norn-ìalmente e suficient e pafa a definição
da estrada a ser executada; entretanto, esse tipo de representação não permrte ao projetista
uma perfeita visualização de seu proleto'
Emumaestrada,elementosdaplanta'emconjuntocomelementosdoperfi ledasseções, geram curvas tndimensionais que deverão satisfazer à segurança e ao conforto'
alem de serem agradáveis para quem as percoÍre'
Uma boa planta e um bom per|tl são necessários, mas não suficientes; o importante
e que a cornbinação da planta corn o perfil gere uma estrada tecnicamente boa'
Namaioriadosprojetos,projetistasexperientes,olhandoplantaseperfisdetrechos,conseguelÌÌ com razoávej sucesso visnalizar o comportarnento tridimensional da estrada'
Dn casos especiats, como em interseções, onde várias estradas interligaD.r-se por ttrcicl
de ramos complexos, ou em locais de topografia acidcntada, oncle curvas horizontats e
verlicais coexistem em sucessão complexa de curvas tridimensionais, a falta de uma
visão global pode criar dificuldades para o projetista'
Assim, em locais especiais, é aconselhável o uso <le representações complementares'
como perspectivas, modelos fisicos etc', que criatn uma visão globai do trecho'
AFigural . l2mostraaperspect ivacomputador izadadeumtrechodeestrada.
CAPíTULO 2
Elementos Básicospara o Projeto
2.1 Introduçãooprojetogeométr icoé'apartedoprojetodeestradasqueestudaasdivcls;rs
caractei íst icas geometr icas do traçado em função das le is do movtmentt l ' t l t '
cornpottamento dos motoristas, das características de operação dos veiculos c tl(ì
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Quanto ao motorista, depende <1e sua capacidade ou habilidade, de suit t'otrl;ttl''
de seu estado Psicológico etc'
Figura Perspectiva de um trecho de estrada
16 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap.2
Quanto ao veículo, depende do tipo, do peso, da potência do motor, do estado
de conservação, do combustível etc.
Quanto à estrada, depende das características geometricas (rampas, raio das
curvas, visibilidade, superelevação etc.), do estado da superfïcie de rolamento, do
volume e da composição do tráfego, das condições clirnáticas, da velocidade máxima
legal, do policiamento etc.
Em uma estrada sempre há veículos trafegando com velocidades diferentes;
assim, e necessário que sejam dehnidos valores de velocidade para o estudo das
características geométricas. Destacamos dois conceitos de veloci dade'. velocidade
de projeto (Vp) e velocidade média de percurso (Vm).
2.2."1 Velocidade de Projeto (VP)
Velocidade de projeto é a maior velocidade que um veículo-padrão pode
desenvolver, em um trecho de estrada, em condições normais, com segurança.
A escolha do valor a ser adotado para a velocidade de projeto é fator decisivo
na definição do padrão da estrada. Todas as características geomótricas terão de
ser definidas de forma que a estrada, em todos os Seus pontos, ofereça segurança
ao usuário que a percorra na velocidade de projeto estabelecida. Isso significa que
velocidades de projeto altas implicam estradas de melhor padrão e maior custo,
pois o custo da construção está diretamente ligado aos parâmetros mínimos adotados
e à topografia da região atravessada.
A velocidade de projeto está sempre associada à função da estrada. Estradas
com funções importantes justihcam valores aÌtos para a velocidade de projeto;
estradas de importância secundária devem ter velocidades de projeto mais baixas
por mot ivo de economia.
Deve-se, sempre que possível, adotar uma velocidade de projeto única para
toda a estrada. Só é justifrcável o uso de velocidades diferentes para trechos da estrada
que apresentem diferenças sensíveis nas condições topográhcas da região atravessada.
Para o usuário da estrada é importante o tempo gasto para percorrê-la-
Vamos supor um veículo percorrendo uma estrada de extensão E à velocidade
de projeto Vp, que é a condição mais desfavorável, e chamar de I o tempo gasto
para percorrê-la.
Temos:
Cap. 2 Elementos Básicos para o Projeto 17
em que:
E : extensão da estrada
/ : tempo de percurso
Vp : velocidade de projeto
Como toda redução do tempo de percurso representa um benefício para ousuário e todo aumento na velocidade de projeto, um acréscimo no custo da estrada,se as variáveis da Figura 2.1 represcntarern diretamente o custo e o benefício, àmedida que Llm ponto da curva se desloca no sentido crescente das velocidades,enquanto estas são baixas, o aumento do benefício será nraior que o aumento docusto, scndo vantajoso aur.nentar a velocidade. Para velocidades de projcto altasacontecc o invcrso. O ponto onde a curva apresenta inclinação de 45o coresponderáa urna velocidade de projeto para a qual o aurrrento do custo será igual ao dobeneficio. Como o custo e o beneficio são funções, do tempo e da velocidade, dificeisde serem deÍinidas porque dependem de um grande número de fatores, não é fácildefinir uma veioçidade de projeto ótima.
O importante é saber que para cada extensão de estrada há uma veÌocidade deprojeto ideal do ponto de vista econômico. Essa velocidade aumenta à medida quea extensão da estrada tambem aumenta, como mostram as curvas da Figura 2.1.
Figura 2.1 Relação tempo de percurso-velocidade de projeto.
Como, por questão de segurança, há l imi tações para as velocidades nasrodovias, para distâncias grandes é recomendável a utilização de rneios de transpor-temais rápidos, por exemplo, o transporle aéreo, os trens de alta velocidade etc.
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rb proJeto Geométrico de Rodovias Cap. 2
Quanto ao veículo, depende do tipo, ao peso, da potência do motor, do estadode conservação, do combustível etc.
Quanto à estrada, depende das características geométricas (rampas, raio dascuryas' visibilidade, supererevação etc.), iro estado da superficie cre roÌamento, dovolume e da composição do tráfego, das condições climáticas, da velocidade máxin.ralegal, do policiamento etc.Em uma estrada sempre há veículos trafegando com velocidades diferentes;assim, é necessário que sejam definidos valores de velocidade para o estudo dascaracterísticas geométricas. Destacamos dois conceitos de veloci dade: velocídarÌede projeto (Vp) e velocìdade media de percurso (Vnt).
2.2.1 Velocidade de projeto (t/p)
. Velocidade de projeto é a maior velocidade que um veículo-padrão podedesenvolver' em um trecho de estrada, em condições normais, com segurança.A escolha do varor a ser adotado para a verocidade de projeto é fator decisivona definição do padrão da estrada. Todas as características geométricas terão deser definidas de forma que a estrada, em todos os seus pontos, ofereça segurançaao usuário que a percorua_na velocidade de projeto estabelecida. Isso significa quevelocidades de projeto altas implicam estrãdas de merhor padrão e maior custo,pois o custo da construção está diretamente ligado aos parâmetros mínimos adotadose à topografia da região atravessada.A velocidade de projeto está sempre associada à função da estrada. Estradascom funções importantes justificam valores artos para a velocidade de projeto;estradas de importância seçundária devem ter velocidades de projeto mais baixaspor mot ivo de economia.
Deve-se, sempre que possível, adotar uma velocidade de projeto única paratoda a estrada' Só é justificável o uso de velocidades diferentes purâ t ""r,o,
da estradaque apresentem diferenças sensíveis nas condições topográficas da região atravessada.Para o usuário da estrada é impoúante o tempo gasto para percorrê-ra.
. vamos supor um veículo percorrendo uma estrada de extensão E à velocidadede projeto Vp, que é a condição mais desfavorável, e chamar de I o tempo gastopara percorrê-la.
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em que:
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Vp : velocidade de projeto
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Cap. 2 Elementos Básicos para o Pro.ieto t9'18 Projeto ceométrico de Rodovias Cap. 2
Tabela 2.1 Valores da velocidade de projeto recomendados pelo DER-SP
Classe da
rodoviaVDM*
Tipo deterreno
Velocidade de projeto (km/h)
Desejável Mínima
E 4.401 a 50.000plano
onduladomontanhoso
12010080
1008060
I .501 a 4.400plano
onduladomontanhoso
100EO60
1008060
I I 501 a 1.500plano
onduladomontanhoso
806040
806040
I I I Até 500plano
onduladomontanhoso
604030
604030
* VDM: voÌume diário rnedio de tráfego esperado.
2.2.2 Velocidade Média de Percurso (Vm)
Velocidade média de percurso e a média das velocidades de todo o tráfego
ou parte dele, obtida dividindo-se a somatória das distâncias percorridas peÌa
somatória dos tempos de percurso.
Melhores características geométricas e maior segurança encorajam os moto-
ristas a adotar maiores velocidades, tomando a velocidade media de percurso uma
função da velocidade de projeto. Alem disso, a quantidade de veículos circulando
pela estrada tambern tem influência sobre a velocidade escolhida pelos motoristas.
Grandes volumes de tráfego limitam a l iberdade do motorista em escolher sua
velocidade de percurso.
Observações estatísticas feitas pela American Association of State Highway
and Transportation Officials IAASHTO (1)] mostram, por intermedio da Figura
2.2, acorcespondência entre a velocidade rnédia de percurso Vm e a velocidade
de projeto Vp.
100
€e0E-Rno-"gf
9zno'voo
!o60õ.o6uv
E'õoõ40
30
50 60 70 80 90 100 1'10 120 130
Velocidade de projeto (km/h)
Figura 2.2 Relação entre velocidacle de projeto e velocidade média de percurso
2.3 Distância de Vis ib i l idadeDistância de visibil idade e a extensão da estrada que pode ser vista à frente
pelo motorista.
A segurança de uma estrada está diretamente relacionada com a visibil idade
que ela oferece. O projetista sempre deverá procurar soÌuções que gerenÌ espaços
com boa visibil idade.
Cuidados especiais devem ser tomados nos acessos à estrada, de forma que
todos os veículos que vão entrar nas coffentes de tráfego possam ser vistos a uma
distância suficienternente segura.
Quanto melhor forem as condições gerais de visibil idade, mais segura será
a estrada. Alguns valores mínimos devem ser respeitados, entre os quais destacamos:
distâncía de visíbilidade de frenagem (Dfl e distância de vísibilidade de ultra-passagem (Du).
2.3.1 Distância de Visibi l idade de Frenagem (Df)
E a distância de visibil idade mínima necessária para que um veículo que
percoÍre a estrada, na veloçidade de projeto, possa parar, com segurança, antes
de atingir um obstáculo que possa surgir em sua trajetória.
i )
Volume de tÍáfego
20 Projeto Geométrìco de Rodovias Cap. 2
A distância de frenagem tem de ser respeitada em todas as estradas. em cadaestrada em particular, ao longo de todo o seÌl percurso.
Tempo de reação (t.) - É o intervaro de tempo entre o instante em que omotorista avista um obstáculo em sua faixa de tráfego e o início da frcnagem. Incluio tempo de percepção.
A distância de frenagem é calculada como a soma de duas parceias. A primeiraparcela (dr) é a distância percorrida pelo veículo durante o ?.-po de reação; asegunda parcela (dr) e a distância percorrida pelo veículo durante a frcnagempropriamente dita.
Para o cálculo da distância (d,) é necessário estimar um valor para o rempode reação do motorista.
Quando o nlotorista percebe um objeto erì sua faixa cle tráfego, cle gasta r-rncerto tempo para reconhecê-l0 como obstácuÌo (tempo de percepção) e ourro rempopara acionar o freio.
Em cefias condições, quanclo o motorista está muito atento, em uma correntedc tráfego írtenso, ou quando um piscar de luzes anuncia uma emergência, o tempode reação é pequeno.
Em condições normais, o tempo para reagir e iniciar a frenagem é maior. Essetempo depende da distância do obstáculo, da acuidade visual ão motorrsta, dascondições atmosféricas de visibilidade, do tipo, da cor e da forma do obstáculo e,principalmente, da atenção de quem dirige o veículo.
Muitos estudos de laboratório e testes de estradas foram feitos com o objetivode encontrar um valor adequado para o tempo de reação. A AASHTO ( 1) considerao tempo de 2,5 s adequado para uso no projeto e recomenda esse valor para o cálculoda distância r/,.
Assim, temos:
d, :V' t ,
Nas unidades usuais e adotando t. : 2,5 s, temos:
d, :0,1 v
em que:
d, : distância percorrida durante o tempo r" (m)"Z : velocidade do veículo (krn/h)
A distância percorrida durante a frenagem (dr) pode ser carculada com basena perda de energia cinética do veículo. Admitindo que a força que freia o veículo(F) seja constante durante toda a frenagem, o trabalho descnvorüdo por essa Í-orçaserá igual à perda da energia cinetica do veículo. Loso.
Cap. 2 Elementos Básicos para o projeto 21
- . )t i l .L-I 'ur --2
F:m c - fmassa do veículo
veÌocidade do veículo no início da frenagem, que na condição maisdesfavorável e igual à velocidade de projeto Zpaceleração da gravidade
coeficiente de atrito longitudinal pneu x pavimento
em que:
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Dai ,
,V'" t _
2*1
Nas unidades usuais, para v emkïíLth, drem metros e substituindo g.por seuvalor, temos:
sendo,
temos:
V2d, =0,0039. '- - f
Df: dl + d2
DJ =0,1. t t+0,01y.19 . L-f
em que:
D/: distância de frenagem (m)
Z : velocidade do veículo (km/h)
l, : tempo de reação (s)
/: coeficiente de atrito longitudinal ts
o valor de/a ser adotado não e constante para todas as velocidades. Testes tsmostram que esse coeficiente de atrito decresce à medida que a velocidade aumenta. F
vários fatores influem no valor do coeficien te f. material, desenho dos sulcos Fe pressão dos pneus, tipo e condição da superficie d.o pavimento e, princir.ralme're ,a presença de água. o coeficiente de atritã para pavimento seco é #;;;;; lFo coeficiente para pavimento molhado Ç
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22 Projeto ceométrico de Rodovias Cap. 2
Para o cálculo da distância de frenagem, a AASHTO (l) adotou, por questão desegurança, valores do coeficiente de atrito para a condição de pavimento molhado.
Testes analisados por esse órgão mostram que os valores adotados na Tabela2.2"para pavimento molhado em boas condições, também são válidos para pavin.rentoseco muito deteriorado, próxirno ao fim de sua vida útil.
A distância de frenagem desejável é calculada com toda a segurança, adotando-se para V avelocidade de projeto Zp. Conforme vemos na Tabela 2.2, os valoresdessa distância são bem altos.
Corno os motoristas normahlente reduzern a velocidade de seus veículos napresença de chuva ou etlÌ estradas com pavimentos ruins, e possível adotar, paraZ, a velocidade media de percurso Vm para a condição de baixo volume de tráfego,em lugar da velocidade de projeto, selÌÌ comprometer a segurarlça do veículo.
A distância de frenagem, calculada com base na velocidado módia de percursoVnt, e deftnida como distância núninta de fi'enagent Valores dcssa distância sãcrmostrados na última coluna daTabela 2.2.
Na elaboração de um projeto, deve-se adotar a distância de frenagern deseirívelsempre que as condições locais perrni t i rem o emprego de grandes la ios seuiacrescimo significativo de custo e adotar a distância de frenagem mínima quandovalores maioles gerarem cuslos excessivos.
Tabela 2.2 Valores adotados pela AASHTO í1).
Cap. 2 Eìementos Básicos para o Proieto 23
Efeito das rampas sobre a distância de frenagemNos trechos em rampa, a componente do peso dos veículos na direção da ratrrpa
ajuda o veículo a parar nas subidas e dif iculta nas descidas.
Chamando de i a inclinação da rampa, isto e, a tangente do ângulo formado
entrearampaeahorizontal ,eatr ibuincloaiosinalposi t ivonasrampasascendentese negativo nas rampas descendentes, teremos:
V2d. = 0.0039-
. l +t
V2Df = 0.1 1z a Q.Q03e _
I + l
Velocidade deprojeto(km/h)
Vel. médiade percurso
(km/h)
Tempo dereação
(s.)
Coef. dcatrito
a
Distância de frenagem(m)
Desejável* N{ínima**
30
40
50
60
70
80
90
100
l l0
120
30
40
47
55
63
70
7'7
85
91
98
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0,3 8o ì5
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0,30
0,30
0,29
0,28
0,28
29,8 29,8
44,4 44,4
62,9 s1,5
84,5 14,3
110,6 94,0
t39,2 112,7
168,3 13 1 ,0204,5 1s6,1
24s,s t79,0
284,6 202,4
em que:
d, : distância percorrida durante a frenagen-r (rn)
D/: distância de fi'enagem (m)
Z: velocidade do veículo (Vp ou Vnt) (kmlh)
/: coeficiente de atrito longitudinal
i : inclinação de rampa (subida positiva)
Essa equação tambérn pode ser usada cm trcchos de curvas verticais, onde
o valor de I varia de ponto para ponto e, conseqüentcmente, muda o efeito do greide
sobre a frenagem; nesses casos, deve-se adotar para i o valor medio entre a rampa
inicial e a rampa final do trecho considerado.
2.3.2 Distância de Visibi l idade de Ultrapassagem (Du)
Nas estradas de pista única, com dois sentidos de tráfego, é necessário que
existam trechos corn visibilidade suf,rciente para que os veículos rnais rápidos possam
ultrapassar os rnais lentos.
À medida que as restrições geometricas ou o volutle de tráfego aunlentarì,
as opoftunidades de ultrapassagem decrescem, causando a formação de peìotões
de veículos na corrente de tráfego.
Para que a ultrapassagem possa ser feita com segurança, o motorista precisa
ver, na faixa de sentido oposto, utn vazio na corrente de tráfego suficiente para oinício da manobra.
Para uso no projeto, define-se como distância de visibilidade de ultrapassagem(Du) o comprimento de estrada necessário para que um veículo possa ultrapassar'outro, pela faixa de tráfego oposta, com segurança.
* Valores calculados para l/: l/p.*+ Valores calculados paÍa Ir : Vm,barxo volume de tráfego
24 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 2
Há ocasiões em que é necessário considerar ulhapassagens múrtiplas, isto é, quandodois ou mais veículos ultrapassam ou são urtrapassados; situações desse tipo não devemser considerarlas no cárculo do valor da distância mímma de urtrapassage-, poi, levariama valores muito altos que certamente implicariam aumentos dos custos de construçãodesnecessários' Na estrada' certamente haverá trechos com condições de visibilidadebem maiores que os mínimos valores fixados para Du,onde urtrapassagens múrtipraspoderão ocoÍïer.
A deÍìnição de um varor mínirno para Du tempor objetivo estabelecer umacondição mínima de visibiÌ idade a ser respeitada em pelo menos algu's trechosda estrada.
A freqüência e o tamanho desses espaços depende, principalmente, das condiçõestopográficas locais. Grandes trechos (maiores que 2.000 -)
,.ro visibiridade parauitrapassagem reduzem a capacidade de tráfego e afetam a segurança..Locais com grandes distâncias de visibilidade aparecem normalmente ao ìongodo pro-ieto. Em trechos de topografia acidentada, algumas vezes, é mais econômicocriar uma faixa adicional para a ultrapassagem do que criar um trecho comvisibil idade suficiente.
Estabelecer um critério adequado para o cálculo da distância Du e uma tarefadificil. os motoristas reagem de fórma iiferente quando decidem executar urtrapas_sagens. A AASHTO (l) adotou critérios para o cálcur o de Ducom base no compor_tamento médio de motoristas' os valores obtidos com esses critérios foram utiÌizadosem projetos de estradas em todo o mundo com bons resultados.Sabemos que o motorista médio brasileiro tem características próprias, entretanto,não dispomos de estudos concrusivos sobre o assunto, mas os critérios propostospela AASHTO (l), aplicados a nossos projetos, têm apresentado bons resuÌtados-
Critério de cálculo da AASHTO
Figura 2.3 Manobra de ultrapassagem.
o o veículo a ser ultrapassado trafega a uma verocidade constante menor que vp.o o veículo que vai ulirapassar reduz sua velocidade e acompanha o veículo
a ser ultrapassado até visualizar um espaço suficiente para executar a manobra(posição I da figura).
Cap. 2 Elementos Básicos para o projeto 25
a Quando aparece um espaço suficiente, o motorista gasta um cefio tempo depercepção e inicia a aceleração de seu veícur o paÍa aurtrapassagem (posição2 da ïtgura).
a o veículo que ultrapassa executa a manobra pera faixa de tráfego de sentidooposto; o motonsta acelera seu veículo na faixa <la esquerda ate obter umavelocidade media 15 km,4r mais alta que a velocidade do ìeículo ultrapassado.
u Quando o veículo que ultrapassa termina a manobra, voltando a sua Íàixa clctráfego, haverá um espaço de segurança (rtr) entreele e um cventuaÌ veícur.que venha no sentido contrário (posição 4 ãafigura).
Com base nessas hipóteses, a AASHTO (l) calcula a distância de visibil idaclc tleultrapassagem (Der) corno a soma das seguintes parcelas (ver Figura 2.3):
r/,- distância perconida durantc o tempo de percepção e aceleração il icial (rrr tr/r- distância percorrida durante a ocupação da faixa de tráfego oposïa (rìì)d,: distância de segurança (m)
dr: distância percorrida pero veículo que trafega na faixa de tráfego oposrrì ( rÌì )Para a deter ' inação da distância do, fo i estaberecido que a nran.rrr ; r r r , .
ultrapassagem só será completada se o veículo que ultrapasru já,iu"1- pcr.c()rr(r()1/3 da distância drno instante em que aparecer um veículo no sentido or)osr(). ( ;r:,(,contrário a ultrapassagem será abandonada.
Assim, na condição mais desfavorável.
) ' ' ldo=_t'
Uma sér ie de observações do comportamento dos motor is l i rs t lur : r r r t r . ; r , ,manobras de ultrapassagem levou a AASHTO (1) a criar quatro grrrros trt, rt.r,,cidades e adotar valores para cada um, conforme a
.Iabela 2.3.
',Com base nos dados da Tabela 2.3, podemos calcular:
d,=0,278' t ,
dr: 0,278 . Vu . t ,
dr: valor tabelado
, 2.d,ut --
-3
I
I
I
(
I
I
/ ' \l l ru
- m* r ; )
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I
I
I
I
t
f
f
f
t
I
It
tÍ
It
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Ç
Ç
aT
Lh
Inicialmente, adotaremos as seguintes hipóteses (ver Figura 2.3):
â
-)
)
)
à
AÒ
)
)
à
â
)
)
Ò
Ò
)
)
)
)
)
A)
)
)
)
)
)
)
)
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â
?aâ
26 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 2
Du:d,*dr*dr+do
em que:
Vu : veloçidade média de ultrapassagem (km,ft)
rr : diferença entre a velocidade média de ultrapassagem e a velocidadedo veículo que é ultrapassado. Adotado l5 km/h.
O valor de Da calculado pela equação anterior representa, para cada velocidadeVu, a minina distância de visibil idade necessária para que um veículo possaultrapassar outro, 15 km/h mais lento, com segurança.
Tabela 2.3 Distância de visibilidade de ultrapassagem.
Grupo de velocidades (km/h)
Vel. módia de ultrapassagem (km/h)
50-65
56,2
66-80
70,0
81-95
84,5
96- l l0
99,8
Manobra inicial
a : aceleração média (km/h /s)
lr : tempo (s)
d1 - distância percorrida (m)
Ocupação da faixa da esquerda
12: tempo (s)
d2: distância percorrida (m)
Espaço de segurança
d,: espaço (m)
Veículo que trafega no sentido oposto
d+: distância percorrida (m)
Du: f i+ d2+ ú+ do (m)
) )5
3,6
45
9,3
t45
30
95
315
2,30
4,0
65
10,0
195
55
1i0
445
10,7
2s0
75
165
580
2,37
47
90
)41
45
110
I 1,3
315
90
210
125
Obserração'. valores adotados pela AASHTO (l ).
As condições em que ocorïe a manobra de ultrapassagem dependem essencialmentedo volume de tráfego. Para volumes de táfego baixos, existem poucos veículos que precisamser ultrapassados. Para volumes de tráfego altos, existem poucas (se houver) oportunidadesde ultrapassagem. A AASHTO (l) adota, em fi.rnção da velocidade de projeto Vp,valoresda velocidade do veículo ultrapassado, do veículo que ultrapassa e da distância deultrapassagem Du conforme a Tabela 2.4.
Os pontos Du: -f (Zp) estão praticamente sobre uma reta, podendo serinterpolados valores intermediários.
Cap. 2
Tabela 2.4 Distância de visibilidade de ultrapassagem.
Elementos Básicos para o Projeto 27
600
EI annô--
Figura 2.4 Gráfico dos valores da Tabela2.4.
Velocidade deprojeto (km/h)
Velocidades adotadas
Distância deultrapassagcm (m)
\ueícuìouìtrapassado
(km/h)
VeicuÌo queultrapassa
(km/h)
30
40
50
60
70
80
90
100
l l0
t20
29
36
44
51
59
65a1
19
85
9t
44
5l
59
66aÁ
BO
88
94
100
106
211
285
315
407
482
541
605
6'70'728
792
Observação: Valores tabelados pela AASHTO ( 1 )
CAPITULO 3
Curvas Ho rizontaisCirculares
3.1 IntroduçãoO traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos e trechos curvos
alternadamente. Os trechos retos recebem o nome rJ,e Íangentes e os trechos curvos.de curvas horizonlais.
uma forma de definir o traçado é acomodar as retas no terreno em funçãoda topografia e demais obstáculos existentes c depois concordá-las por meio dccurvas.
outra forma é localizar os "pontos obrigados", conforme visto na escolha dotraçado (capítulo 1), colocar as curvas nesses pontos e depois l igá-las com retastangentes. Daí o nome tangentes para os trechos retos.
Geralmente, a topografia da região, as características georógicas e geotécnicasdos terrenos atravessados, os problemas de desapropriações e outros, obrigam ouso de inúmeras curvas.
Reduzir o número de curvas não é tão importante quanto ter curvas com raiosgrandes. o traçado deve acompanhar a topografia da região, alterando-a quandonecessár io.
Enquanto cosfumamos dizer que o traçado de uma estrada é formado por retasconcordadas entre si por curuas horizontais, há normas de projeto que definem otraçado como sendo uma seqüência de curvas ligadas entre si por trechos retos.
Primeiramente, vamos considerar as curyas horizontais como sendo formadaspor arcos de circunferência que se ligam diretamente às tangentes. Essas curvassão denominadas curvas horizontais circulares.
o raio adotado para cada curva circular deve ser aquele que melhor adapteo traçado ao terreno, respeitando valores mínimos que garantam a segurança dosveículos que percoÌïem a estrada na velocidade de projeto.
F
F
;
Ç
ç
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ç
Ç
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29
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aa?
30 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 3
3.2 Geometria das Curvas Horizontais CircularesA Figura 3.1 mostra a concordância das curvas horizontais cirçulares cour
as tangentes do traçado e a nomenclatura adotada.
Pl = ponto de interseçãodastangentesPC = pontodecurva( in ic iodacurva)Pï = pontodetangêncÌa (fim da curua)AC = deÍÌexãoentreastangentes= ângulocentral
da curyaR = raio da curuaT = tangentedacurvaD = desenvolvimento = comprimentc do arcoO = centro da curya
ACl'- --ì\
+o
Figura 3.1 Parâmetros geonretricos da curva.
Relação entre os parâmetros:
No triângulo retângulo O-PC-PI:
Cap. 3 Curvas Horizontais Circulares 31
Quando um ponto a ser localizaclo não corresponde a um númeto erato de
estacaì, sua posição e definida pela estaca anterior mais a distância erÌ n1etros a
partir <lesta (geralmente com precisão de centímctlo)'
Exernplo: o ponto P, distante 335,48 m do ponto inicral do traçado (estaca
zero), será identihcado pela estaca 16 + 15,48 m'
Neste trabalho, para identif icar uma estaca, usaremos a seguinte notação:
[A+B]
em que:
A : número inteìro cle estacas
B : distância em tletros (fração de estaca)
No exemPlo anter ior , I i6 + 15,48] '
Dada a estaca do ponto de interseção das tangentes (PI), podemos calcular
estaca do PC : estaca do PI - distância I
estaca do pT : estaca do PC + distância D
3.3 Locação das Curvas Horizontais Circulares
Escolhido o projeto, e a locação que define a posição da estrada t1o campo'
Independentemente do processo uti l izado, iniciahnente são locados os PIs,
verif,rcados os ângulos de deflexão das tangentes e, posteriomente, locadas aS culnas
e os demais elementos geométricos. A locação das curvas do projeto pode ser feita
pelo processo das deflexões e cordas, confonrte descrito a seguir:
<{,v
Pl .. IAC
T
TAC- - ín-
AL
Á(-r . T- R.to"""2
2.n.R 360
20 2-n-R
em que G é o grau da curva : ângulo central correspondeute a um arco de 20 m.
Observação'.é comum rru, G= 1l;*6
. Essa precisão é suficiente para a nraioria
dos casos, entretanto, para a elaboraçãó'de tabelas de locação é recomendável maiorprecisão, a firn de evitar o acúmulo de erros.
Cálculo das estacas dos pontos notáveis da curva
Para locar um pouto do traçado, usafiìos a estaca corno unidade de compri-
rlento. Unra estaca coresponde à exteusão de 20 metros (50 metros et.n anteprojetos,porque se uti l iza uma escala menor).
R
atà
R:i lo R
Figura 3.2 Def lexões e cordas.
Para locar o ponto B, distante I, metros de um ponto A, e necessário que se
calcule in ic ia lmente a def lexão . / , .
ACD
360G
r . P' ÁC
180
D:AC.R
1145q156
^
para AC elïÌ graus
para AC em radianos
para G em graus
"Tu.V -o
32 Projeto Geométrico de Ródovias Cap. 3
, _^111ï""do de a, o ângulo central que coÍresponde ao arco de comprimenro
L.. Iemos: Tabela 3.1 Planilha de Iocação de curva circular
Sendo lo perpendicular a IA e o triângulo A-Ì-B isóceles, temos
Cap. 3 Curvas Horizontais Circulares 33
Distância Corda De(N".) t f,,(Npc+ 1) + o,oo
(NPc+ 2) + 0,00
(Nrr) + íp,
020 -.foc
40 - ír,
D
070 -frc
20
.frr
0d.)
dt t Gl2
ACI2
se o valor de G não for exato, essa seqüência de cálculo vai acumulando errono valor da <ìeflexão, prejudicando o "fechamento" no final da curva. para evitarisso, e convenientc dividir a deflexão para o PT, que e AC/2,pelo cornprimento daculf/a, obtendo a deflcxão para 1 t.netro; multiplicancìo este valor pela distârrcia a partirdo PC, obtemos a deflexão e'r cada ponto (ver Exercício 3.2 do caoíturo 9).
pC (20 - fpc) m
20m4
i ct2
Figura 3.3 Locação de curva circular.
Considerando-se uma precisão de meio centímetro, a cclrda de 20 m coincide como arco para raios maiores que 258,20 m; cordas de 10 rn coincidem com o arco pararaios maiores que 9128 m e cordas de 5 m, para raios maiores qtue 32,26 nt.
o Manual de Implantação Básica do DNER (6) recomenda o uso de cordas de I0m para raios infcriores a 300 m e corda de 5 m para raios inferiores a 100 m.
I
I
I
I
I
I
I
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Ç
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;
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Ga,_=__l
20 Ll
, a, c.rut- ^ ou 4,=240
, G.L,lOgO. ãt =
20
anatogamente, podemos carcular a deflexão trrparaa locação do ponto c, distanteZ, do ponto A:
d, =+ ou d, =G l 'z-40
observe que a deflcxão é proporcional ao comprimento do arco e a constanteG/40 é a deflexão para rocar um^arco de l metro de comprimento. portanto, adeflexão para locar um arco de comprimento Z será:
d = LG40
Assim, para a locação d:,u-1 curya a parlir do pC, supondo que a estaca doPC seja [tr". + frÃ, "2 Que Npc é o númerà de estacas inteiras e Ír. a fração daestaca' a deflexão para locar a piimeira estaca inteira da curva (estaca ff.. + 1) e:
a, =eO-1r)l'40
Para locar as demais estacas inteiras, basta somar ao valor da deflexão iniciald, valores G,2. sucessivamente.
Como geralmente os raios são grandes em relação à distância entre as estacaslocadas, os arcos podem ser confundidos com suas cordas sem a introdução deerro srgnifìcativo, o que permite que a 10cação seja feita por meio a" ,.u seqüênciade cordas de comprimento Z.Para facil i tar a locação e aconselhável eraborar umâ tabera como a mostradaa seguir.
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CAPITULO 4
Curvas Ho rizontaiscom Transicão
4.1 IntroduçãoA definição do traçado de uma estrada por rleio de l inhas retas concordando
diretamente com curvas circulares cria problernas nos pontos de concorclância.
A descontinuidade da curvatura no ponto de passagern da tangetrte para a
circular (PC) e no ponto de passagem da circular para a tangente (PT) não pode
ser aceita em uln traçado racional.
Assim, é necessário que, tanto nos PCs quanto nos PTs, exista um trecho com
curvatura progressiva para cumprir as seguintes funções:
a)Permit i r uma var iação contínua da superelevação
Enquanto estamos na tangente, não há necessidade de superelevação, ou seja,
a inclinação transversal é teoricamente nula. No trecho circular, há necessidade
de superelevação (conforme será visto no Capítulo 6), a qual depende da velocidade
e do raio, podendo atingir valores de 10% ou ató 12oÁ em Çertos casos. Seria
impossível construir uma estrada nessas condições, pois teríarnos um degrau
intransponível no PC. A passagem, desde zero até a inclinação necessária no trecho
circular, é feita obrigatoriamente de rnaneira gradativa ao longo de uma certa
extensão do traçado.
Se fizermos essa variação dentro da curva, no caso do comprirnento desta
ser suficiente, teremos a inconveniente condição de necessitarmos da inclinaçãototal logo após o PC, quando o valor desta ainda é praticamenle zero. Essa situaçãoserá muito mais grave se a força centrípeta necessária for ntaior que a força deatrito máxima. O veículo não conseguirá descrever a curva e sairá da estrada.
Se fizermos a variação antes da curva, teremos, da mesma Í-orma, uma condiçãoinconveniente que é criar a força transversal na reta. Para que o veículo não saiada estrada, devemos "segurá-lo" com a força de atrito, girando o volante em sentido
contrár io ao da curva que se aproxima.
36 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 4
Na prática, alguns.projetistas fazem parte da variação na cur\/a e parte natangente, diminuindo a intensidade do problema. Isso não é recomendáver, poisantes do PC teremos excesso de superelevação e, Ìogo depois, falta.
A criação de um trecho de curvatura variável entre a tangente e a curva circularpermite uma variação contínua da incrinação transversal-da pista ate atingir asuperelevação do trecho circular.
b) criar uma variação contínua de acereração centrípeta na passagemdo trecho reto para o t recho circular
Sendo a força centrípçta Fc : m v2/R, em que rz é a rnassa do veículo, z,a velocidade e R, o raio da curva, seu varor é nuro na reta e, dependendo do raio, podeassumir valor significativo imediatamente após o pC.
o aparecimento de uma força trans'ersar de maneira brusca causa lnlpacto noveículo e em seus ocupantes, acan'etando desconforto para estes c falta de estabilicladepara aqucle.
c) Gerar um traçado que possibir i te ao veícuro manter-se no centrode sua faixa de rolamento
Na prática' o veícuro em movimento não passa do trecho reto para o trechocircular instantaneamente. para que isso acontecesse, o volante deveria ser giradorepentinamente da posição correspondente à reta para aposição correspondenteà curva circuÌar. Na realidade, esse giro é feito em um intervaro de tempo no qualo veículo percorre uma trajetória de raio variável, diferente do traçado da estra6a.
uma curva de raio variável possibil i ta que a tra3etória do veículo coincidacom o traçado ou, pelo menos, aproxime_se bastante deste.
d) Proporcionar um trecho fruente, sem descontinuidade da curvaturae estet icamente agradável
Isso ocorre devido à suave variação da curvatura, como mostra a Frgura 4. l (13).A descontinuidade na curvatura gera insegurança no motorista, que pode nãoser.rtir confiança para entrar lla curva.Essas curvas de curvatura progressiva são chamada s de curvas cre transição
e possuem raio instantâneo variando de ponto para ponto desde o varor.Rc (emconcordância com o trecho cìrcular de raio Rc) atéo,ruìo. infinito (em concordânciacom o trecho reto).
-. --_..::, .
.. ::.
" -" , Ì
Figura 4.1 Perspectiva de curva horizontal.
4.2 Tipos de Curva de TransiçãoDe certa forma, qualquer curva cujo raio varie de inf,rnito ate o valor do raio
circular, em uma extensão conveniente, pode ser usada como curva de transição;entretanto, algumas curvas, por suas características geométricas, são melhores, doponto de vista técnico, para essa função.
As curvas mais usadas são:
a)Clotóide ou espiral : de equação R.L: K, em que R é o raio, Z, ocomprimento percorrido e K, uma constante.
b)Lemniscata: de equação R. p : K, em que p é o raio vetor.c) Parábola cúbica: de equação ! : ax3, em que a evmaconstante.
Para o caso normal de traçados, em que o ângulo de transição gs e pequeno, astrês curvas apresentam resultados semelhantes_
Entre as diversas curvas que podem ser usadas como transição, a clotóide e amais vantajosa do ponto de vista técnico e é a mais indicada para um traçado racionalporque:
1. É a curva descrita por um veículo, em velocidade constante, quando o volanteé girado com velocidade angular constante.
2. o grau G (que é proporcional à c'rvatura) varia l inearmente com o com-prrmento percorrido.
Cap. 4 Curvas Horizontais com Transição 37
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í
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vü
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*
R.L-K + G:K' .L
38 Pro.ieto Geométrìco de Rodovias càp. 4
Como a aceleração centrípeta varia inversamente proporcional ao raio (a,: V/R), varia também linearmente com o grau da curva (o": V' - G . consÍ.) e, portanto,varia linearmente com o comprimento percorrido.
Assim, variando linearmente a superelevação corn o comprimento, o queconstrutivamente é muito vantajoso, teremos a superelevação e a aceleraçãocentrípeta variando na mesma proporção. Uma estrada projetada dessa forma ofereceaos passageiros dos veículos o mesmo nível de confofio tanto na curva circularcolno na transiÇão.
Considerando a maior conveniência técnica do uso da clotóide, usarelnos apenasesse tipo de curva que tambóm é conhecida como espiral de transíção ou simples-menÍe espiral.
4.3 Característ icas Geométricas da EspiralEscolha da constante K da espiral
Sendo a espiral uma curva de equação R. L: K, o valor a ser adotado paraa constante K está relacionado ao comprimento escolhido para a transição e aoraio do trecho circular.
Chamando de Zs o comprimento da curva de transição, nos pontos dcconcordância das espirais com a circular o raio instantâneo da espiral será Rc (raiodo trccho circular) e o comprimento da transição será Zs, definindo o valor de K:
K-Ls.Rc
O parâmetro K determina o comprimento do arco que será percorrido paraquc a curvatura varie de zero até o valor l/Rc, onde começa o trecho circular. E,moutras palavras, o grau da cula varia de zero até. o valor G : 1 .1461 Rc (essa variaçãoe linear).
Cada valor de K corresponde a uma determinada curva dentro da família dasclotóides, conforme aFigura 4.2.
Eleger um valor para K significa escolher a clotóide que será usada comocurva de transição.
Cada curva atinge o valor .Rc após percorrer um determinado comprimentoIs durante um tempo /". E,sse ten-Ìpo será usado como ul'ì l dos critérios paraestabelecer o comprimento mínimo.
Também podemos notar, naFigtra 4.2, que cada curva proporciona uma diferentevelocidade de variação da curvatura e, conseqüentemente, da aceleração centripeta.Esse valor será usado em outro critério para estabelecer o comprimento mínimo.
Cap. 4 Curuas Horizcntais com Transição 39
Figura 4,2 CÌotóides com vaÌores dì ferentes de K.
4.4 Parâmetros da Curva
Sendo Is o comprimento de transição e Rc o raio do trecho circular, ten-Ìos:
< X Xdx)
Figura 4.3 Parâmetros da clotóide.
dL = R'd0
dL dL LdLdH=-=-
R KIL K
tt?Eintegrando,tem-se: g =' i '4, .-que 0=; emradianos
K 2' 2 'Ls.Rc
dX = dL'cos9
Lap.4
desenvolven do cos0 em série e ìntegrando, tem_se:
L
Y=lsen? dL0
desenvolvendo sen0 em série e integrando, tem_se:
L
,Y = Jcos).dL0
Cap. 4 Curvas Horizontais com Transição 41
TL= Xs-ys cotg1s
TC = Ysl sen1s
o valor de TTlocalìza os pontos TS e sr ern relação ao pI; o varor de p, abscissado centro, serve para locarizar o centro o' emrelação ao TS (ou ST); o valor deTr
'rede o afastamento da curva circular ern relação às tansentes.
x=1.( t - {+eo - ì\ r0216 )
dY = dL.sen7
^í-03ãs.9=
bg
ËFa
\ f ,á:
;p o{o:.oogì iõ.qóq09
€ Ë "E:i l i l I t l
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p* e èÈ ã esoÈ.õrl | t x l l
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Y=1.( t -u '* os )| : 42 ' 1.320 . . . )
q
I
f,
I
aaf
í
sË
;
;
Ë
Ë
Ë
;
7Ë
vvv5UF]FÇ
1]
rí
- . Em particuraq no ponto S.c da cula (veja figura 4.4), ondeR assume o varor Rce.L e o comprimento da espiraÌ, qu"
"hu_ì_âs de Zs, temos: Ut
^u*=r.R (em radianos)
x, = t,r(t- g"
* oso - ì
( lo 2t6 )
Y., = L,( q- 9i * 1'" )"" f 3 42-t3zn- )Q = Xs - Rc. senIs
p = ys - Rc .(l _ cos1s)
7.7=e+(nc+p),c+
oc = (AC _2 .0s). Rc
Ë = (Rc+ p) lcos(.<cl2)_ Rc
,g
; q€ s ËO;Dú
i - , , ! 6 Eóo-OXhoo'FËËËi iË:Ë ;'FËf lËf iËf iË3 ,5eÈ'ÉóPõ*, i ; - ve65EëE#.*Ë çr r i l [ lnrr , r ç
Ol-J)a,aõooG<FÈtsX>=
.s!tL
7â?a 42 Projeto Geométrico de Rodovias Cap.4
4.5 Comprimento de TransiçãoNa Seção 4.1 foi dito que um dos motivos para usar a curva de transição e evitar o
impacto causado pelo aparecimento brusco de uma força fansversal. Com efeito, se fizermosum gráfico da força centrípeta ao longo de um traçado com curva cilcular simples teremos
uma figura colno a seguinte:
Comprimento
Figura 4.5 Força centrípeta en curva circuÌar.
De nada adiantaria introduzirmos uma variação gradativa da força centrípeta se
essa variação fosse muito rápida. O gráfico ficaria assim:
-ì-.'<- àrS- uomPrrmenlo
Í'igura 4.6 Força centrípcta em curva com transição insuficiente.
É necessário que a variação da aceleração centrípeta não ultrapasse uma taxa
máxima, para que haja segurança e conforto. A essa taxa máxima corresponderá un'rcomprimento mínimo de transição.
Figura 4.7 Força centrípeta em curva com transição adequada.
São três os critérios mais usados para estabelecer o comprimento mínimo detransição:
a) Critério dinâmico: consiste em estabelecer a taxa máxima de variação
da aceleração centrípeta por unidade de tempo, que representaremos por J na relação
a seguir.
Cap. 4 Curvas Horizontais com Transìção 43
v3
J' Rc
V: Vp, teln-se:
Ls ,r ín =- .
lvp'
J u,o, ' Rc
A experiência intemaciolral estabeleceu para J o valor máximo de 0,6 rnls2ls.
Substituindo o valor de -/ e transformando a velocidade para km/h, porque na prática
e muito raro trabalhar com m/s, fica:
, 0.036.VpjLs,,i, =
T, para Vp em krn/h; e Rc e Lsu,,, em metros.
b) Critério de tempo: estabelece o tempo mínirno de dois segundos para
o giro do volante e, conseqüentemente, para o percurso da transição.
Ls, , , i , ,=2'Vp para unidades de um mesmo sistema.
Usando Vp em km/h e Ls,,.,em metros, temos/.s,n, -Vp11,8.
c) Critério estético: estabelece que a diferença de greide entre a borda e o
eixo não deve ultrapassar um cefto valor, que depende da velocidade de proleto.
Barnett (2) estabeleceu a inclinação de 1:200 (0,5%) para a difcrença de greide
entre as bordas e o eixo para uma velocidade de projeto de 80 km/h, admitindo o
uso de inclinações maiores para velocidades de projeto menores. A AASHTO (1)
adotou esses valores, extrapolou para outras velocidades e recomenda-o como crìteriopara cálculo do comprimento mínimo para o trecho de variação da superelevação.
A Tabela 4. I mostra os valores propostos pela AASHTO ( I ) para a máxima
inclinação das bordas ern relação ao eixo das estradas, para pista única com duas
faixas de tráfego.
Tabela 4,1 Inclinação máxima da borda em relação ao eixo.
Velocidade de projetoem km/h
30 40 50 60 70 80 90 100 t10 120
Inclinação relativaem o/o 0,75 0,70 0.65 0,60 o55 0,50 0,48 o 215 o4) 0,40
A AASHTO (l) recomenda ainda que o comprimento mínimo de transiçãoseja o mesmo utilizado paÍa a variação da superelevação.
Observamos que a variação da inclinação relativa máxima com a velocidadede projeto ir,,,o,: f(Vp) pode ser representada por duas retas:
- a- v: /o^ 1 '3.J =: - / ' \L , enì que
r Lt lV Rc' Ls
Na condição mais desfavorável, quando J : J,, . ,e
Comprimento
( Ls ) Comprimento
ucvr lcLi lLu ue Kooovtàs cap. 4
tr,,,a, =4,9 -0,005.Vp
Ìt;,0, = 0,7 1 - 0,0026. Vp
<tí
Figura 4.8 Esquema da inclinação relativa da borda extema.
Da Figura 4.8 temos:
Ls. i r :e l fE)
C
para
para
Vp < B0 krn/h e ir em yo
Vp > 80 km/h e ir em o/o
Cap. 4 Curvas Horjzontais com Transição 45
Tabela 4.2 Comprünento mínimo de variação da supereÌevação.
Superelevaçãoem o/^
r P:Iqmìtqmo do trecho dtVelocid
faÌqãp
da superelevação (m)ojeto (km/h)
30 40 50 60 70 80 90 r00 u04
6
8
l0
12
l019
29
38
48
58
t0)1
JI
41
62
lt22
JJ
44
55
66
l224
36
48
60
12
TJ
26
39
52
65
79
l429
43
57'7) l- l86 1
l530
45
6l
t6
9t
16JZ
48
64
80
96
1734
5l
68
85
t02
l836
51
72
90
109Tabela 4'3 comprimento rnínin.ro de variação da transição _ vaìores recomendados pela AASHTo
LOMD
Superelevaçãoem oÁ
24
6
I
l0
t2
nto nínimo do trecho de variaçr
_____*__Jelqcidade de
io da superelevação (m)
ProieÍo íkmlhì30 40 50 60 70 80 90 r00 r10202030405060
25
65
303035455565
J)
J)
40506075
404040556580
5050506075go
5555
55
60
l5
90
60606065809s
6565
65
70
85
t05
707070l590Ì10servação.. p ista s imples co fai de 3,6 rnetros,
Ls,,á, = AC . Rc , pãrã Ls,,,. e Rc em metros e AC emradianos
r . . n. AC.RcLrn,et = -ìg0 . para Lsnlár e Rc em metros e AC emgraus.
Para obter o comprimento máximo, que coÌïesponde a SC = CS, basta impor & :0 na equação AC :20s + & (ver Figura +.+;. f"rnor,A C : 26s;ogo gs = ÁCSendo Zs :2os . Rc
' ' - . -Õ" vJ 2
Co
I
I
I
t
t
I
t
t
I
J
!
!
í
!
F
F
Ë
F
U
Uy
y
y
Ls n í,, : e. lr /ir ,,o,
ponanto,
Ls,,, i, = e.t, f (O,e_A,005.Vp) para Vp < g0 krn/h
e
Ls,,íu = e.l, f (0,71_0,0026 Vp) para vp 2 g0 kmihpara e em (%o),lrem(m') e V,em (km/h).
Com esses valores e fazendo tt: 3,6 m, podemos obter a Tabela 4.2.A Tabela 4'3, apresentada pera AASHT' (l ), tem os valores arredondados paramúltiplos de cinco merros e subsiitui pero compfimento mínimo o. t
-riçao, carcuradopelo criterio de tcmpo, os valores
-.rro.., iu"
"rt", (área sombreada da tabela).
Podemos adotar como comprimento mínimo o maior dos três varores encon_trados e, assim, estaremos satisfazen<Jo os três critérios.Além do valor mínimo que é estabelecido, p_ara garantir segurança e conforl0,há um limite máximo de natureza geornetrila. euando o SC e o cs encontram_se no centro da curva, o comprimento de transição não pode mais iì aumentado,pois não haveria continuidade de direção entre os dois ramos (transição de entrada esaída).
ob
", r',*,!3ï1,i,,1ïï,:"
transição Zs pode ser um valor qualquer escorhido entreA escolha de comnrimenlos de transição muiro grancres geram elevados valoresdep (afastamento), afastando muito u
"u-u.o"ular de sua posição primitiva.ll
ïaïq
Fl
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-A)
Aâ
AA
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a?I.i-??â
46 Projeto Geométrico de Rodovias Cap.4
A experiência mostra que valores de -r: 0,3 m/s2ls são bastante confortáveis,
não sendo necessário o uso de vaìores menores.
Assim, sugerimos adotaq sempre que possível, Ls :2 Ls,,,.,,(calculado pelo critério
dinâmico), que coffesponde a J :0,3 m/s2ls. Chamaremos o valor assim obtido de Zs
desejável.
Um critério interessante para a escolha dos Zs baseia-se na adoção de um mesmo
valor de Jpara todas as curvas, uniformizando a maneira como o veículo entrará nas
curvas - girando o volante com mesma velocidade angular (9).
Isso signiÍica que usaremos em todas as cunlas a mesma es,piral, pois, se / e o
mesmo, K tambénr será o nìesmo, visto quc:
Cap.4 Curvas Horizontâis com Transiçáo 47
Adotado um valor Ls para o comprin'ìento de transição e conhecendo-se o raio
Ãc da curva circular, fica definida a constante K: Rc l.s e também o afastamentop.
Pt I
Figura 4.9 Concordâucia da curva de transição.
Há três maneiras de conseguir o afastamentop:
a) Com a redução do raio -Rc da curva circular para o valor (.Rc - p), mantendo
o rÌesmo centro (O) da curva citcular. Método do centro conservado.
b) Mantendo a cunra circular em sua posição original e afastando as tangentes
a uma distânciap. Método do centro e raio conservados.
c) Afastando o centro (O) da curva circular para uma nova posição (O'), de
forma que seja conseguido o afastamento desejado (p) conservando o raio
e as tangeÍìtes. Método do raio conservado.
A Figura 4.10 mostra esquematicamente os três procedimentos.
Figura 4.10 Métodos para a obtenção do afastaurento.
A alteração da posição das tangentes traz, como conseqüência, a modificação do
traçado e a alteração das cur,,as imediatamente anterior e posterior à curva esfudada.
,- V, ' t3vn J-
t t )
^enl quc / r c conslat t tc
Para usar o mesmo Jem todas as cuwas, podemos adotar o seguinte procedirnento:
1. Calcular, para cada curua de transição, o comprimento mínimo (considerando
os três critérios) e o comprimento máximo, adotando, para esse par'ânletro.
omenorvalorentre Lson,:0,012' VslRc e Lsu,â,= AC Rc.
2. Como comprimento mínimo e o comprimento máximo obtemos, para cada cuva,
o J,,;,9 o J,,,-,,. respectivamente.
3. Tomando o maiorJ,,.,, e o menor/,, , dcterminamos unt intervalo de vartação
do J, comum a todas as curvas! dentro do qual escoÌherelnos o valor do ./
único.
4. Podemos escolher o limite inferior do intervalo (menor ../ comttm a todas
as curvas), pois, assim, estaremos com uma boa reserva de conforto e
Segurança sem incoruer no inconveniente de uÍla curva longa em den-rasia,
porque o J desejável foi incluído no cálculo do intervaÌo.
Observação: para que o uso desse critério seja possível, e necessária uma
escolha adequada dos raios das curvas circulares, isto é, uma curva com deflexão
pequena não pode ter desenvolvirnento pequeno. Deve ser respeitado o valor mínimo
estabelecido pelo DNER (5), conforme a Seção 6.2 (pâgina 74).
4,6 Concordância da Curva de Transição
Para que seja geometricamente possível a concordância da transição com a
tangente e a curva circular e necessário criar um espaço, que chamaremos de
afastamento (p), entre a curva circular e a tangente.
A cada valor de K na equação à . I : K corresponde uma única curva de transição.
i\.-.4==\.","",4
)à\i,' Rc-p Rc
' tt/
Centro conseryado Centro e raio conseryados
o'
Raio conseryado
\ .*"
o
4.9 Locação da Curva
'l
4a Projeto Geométrico de Rodovias Cao. 4
o método do raio consen'ado é, geralmente, o mais usado, apresentando a vantagemde não alterar o raio preestabelccìdo para a curv,a circular nem áposição das tangentes.Em casos especiais, o uso de um dos outros métodos pode ser àais indicado.
4.7 Estacas dos pontos Notáveis da CurvaConhecida a estaca do pI, temos:
Estaca do TS: estaca do pI _ TTEstaca do SC : estaca do TS + ZsEstaca do CS : estaca do SC + p,
Estaca do ST: estaca do CS + Zs
4.8 Desenho da CurvaAs tangentes e o raio circular são conhecidos previamente; estaberecido o
comprimento de transição (zs), conforme Seção 4.5, frcadeterminada a constante daespiral (K: Ls ' Rc).
Calculamos, então, os parâmetros na seguinte ordem: 0s, Xs, ys, e, p, TT.
- Marcamos o segmento TT do pI para trás, determinando o ponto TS. por simetria,
determinamos o ponto ST na segunda tangente.A partir do TS, marcamos os segmentos Q e xs,fazendo o mesmo, em sentido
inverso, a partir do ST. pelos dois pontos obtidos com o segmento e, traçamosperpendiculares às tangentes, cujo cruzamento é o centro da circunferência (o ). como cenho em o' e o raio Rc traçamos a circunferência. A distância do centro às tangentesserá (Rc + p).
A seguir, pelos pontos obtidos com o segmento xs, taçamos perpendicurares àstangentes e marcamos sobre estas o segmento ).s, obte'do o, ponto, SC e cs, quedevem ficar sobre a circunferência.
Traçamos o arco entre o cS e o sc e também as clotóides, entre o TS e o SC eentre o cS e o S! concordando nos extremos e passando pelo centro do aÍàstamento p.
,p.4 Curvas Horizontais com Transicão 4Í)
b) Pelas deflexões d emcadaponto.
Para facil i tar a locação, constrói_se uma tabela çomo a 4.4.Nomralrrente, são locadas as estacas inteiras da cun,a; para raios pequenos
pode ser necessária a locação de pontos a cada l0 rnetros.
Tabela 4.4 Planilha de locação de curva de transicão.
Estaca L e X Y DeflexãoTS (ou ST)
rú
^r,
:SC (ou CS)
U
L1
L2
L3
:Ls
0
el
9.
01
ft
0xl
x2
x3
:,ís
0yl
Y^
Y"
%
0dl
)u)
d3
)^
Os valores de L, 0, X, y e d são calculados pelas equações:
1-: dìstância do TS (ou ST) ao ponto considerado, ao longo da curva.
A locação da curva de transição pode ser feita de duas formas:a) com o uso das coordenadasxe )'calculadas com as equações da Seção 4.4,
com origem no TS (ou ST), o eìxo x na direção da respectiva tangente e osentido do TS (ou ST) para o pI (Figura 4.1 I ).
T2A-
2.Rc.Ls
(. 02 eoX=L l t -\ 10 216
(e ot o 'I = L l - -
\ 3 42 r.320
d: deflexão : *rrg fiPara locar pelas coordenadas, basta medir x ao longo da tangente e r na
perpcndìcular, determinando o ponto.
Para locar pelas deflexões visamos cada ponto com a deflexão calçulada natabela, estando o zero do teodolito apontado para o pI, e interceptamos Çom umiìcorda de 20 ou l0 metros a partir do ponto anterior. se for o primerro ponto, acorda deve scr a fração que falta para atingir a primeira estacaou a estaca malsl0 metros. Se for o últ imo ponto, a fração do SC.
o trecho circular é locado, normarmente, como uma curya simples e a segunriaespiral e locada de maneira análoga à primeira, em sentido inverso, a paftir <1oST cm direção ao CS.
I
I
I
I
I
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I
I
I
I
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I
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I
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-la????77?l]a??ç| .^
-J
' - -^
Deflexãodi
V
Figura 4.11 Locação de curva de transição.
4.10 Curvas Horizontais com Transição Assimétrica
Curvas horizontais com espirais não simétricas são curvas circulares com transição,
nas quais o comprimento escolhido para a transição de entrada e diferente do comprimento
da transição deìaída, isto e, em vez de acurva ter um Is único para as duas transições,
a transição de entrada tem um comprimento Ls,, e ade saída, um comprimento Zs,'
Curvas desse tipo são desaconselhadas em traçados de estradas, sendo usadas
apenas em casos esPeciais.
Cálculo das transições não simétricasconhecida a posição das tangentes (deflexão AC), a posição do Pl (estaca
do PI), o raio da curva circular Ãc e esçolhidos os valores Ls , e Ls rdos comprimentos
das transições, podemos calcular os elementos g's, Xs, Ys, Q e p parà cada uma
das transìções, usando as equações da Seção 4'4, resultando:
Cap. 4 Curvas Horizontais com Transiçáo 51
Sendo Is, * Is,, conseqüentemente, p , * p -, islo é, a circular terá aÍastatl-ie ntos
diferentes em relação às tangentes.
Chamando de Lp a diferença entre os afastamentos,
Lp : pr- p,
teremos as tangentes totais:
TT, = Q,+(Rc+ p,) tsl * oo I senAC
TT, = Qr+ (Rc + pr) ' ts nÍ - oo I senAC2
e o comprimento do trecho circular:
Dc = Rc'(' ' lc 'es, - esr) para AC,0s' e gs', em radianos
Ì-igura 4.12 Curva horizontal com transição assimétrtca
.4\
^ Ls,et, =;ã (em radianos)
Xs, = Ls,
Is, : Ist
Q, = Xs, - Rc' sen9s,
Pr=Ysr-Rc (1-cos0s,)
^ Ls,etr=
ìâ (em radianos)
Yç=' ^" 2
w^-I J2 -
Qz= Xsz- Rc'sen9s,
pz = Ysz- Rc'(1 - cosgs, )
( es! os! ìIsz
| - - - - - - '+,"- )
r_ (et , o" j , ì, " r I r -42- )
['-#.H ). f
gs, _gs, t * ì
,ouovtas Làp.4
4.11 Transição entre Duas Curvas CircularesTrata-se da concordância entre duas curvas circulares consecutivas de raiosdiferentes, como mostra a Figura 4. 1 3.os mesmos probÌemas de descontinuidade de cì.Ìrvafura da passagem de un trechoreto para uma curya circurar, analisados na Seção 4. r, ocorreL nuiurrug.- d" uatrecho circular para outro de raio diferente.
Figura 4.I3 Transição entre curvas crrcuÌares.
Analogamente à transição entre reta e curva circular, usaremos un trecho declotóide (espiral) para a concordância ente as4.14\.
a uoncoroancra ente as circulares de raios Rc., e Rcr(Frgura
Figura 4'r4 Trecho da crolóide utilizado para transição enÌre curvâs crrcurares.
' .ap. 4 Curvas Horjzontais com Transição 5l
4.11.1 Parâmetros da CurvaDada uma curva composta por duas circurar-es cre raios Rc, e Rc,a coniricã.
:ffiïÍï1ïJa concordá_las com o uso de uma curva de transiçãà é que uma este.j.
Def indo um val0r^adequado pa.a zs (comprimento do trecho de transição).analogamente à concordância entre currra cì.cura. e tangente, temos:Equação da espiral : R. L : K
Adotando índice I para os parârnetros da curva Ì, í 'dice 2 paraos da cur'rr2 e chamando de:
"r*"rri
r r , /R", , Ra,
\ /\ : /\ , t /
\no,ò
a L, o comprimento da espiral entre atransição entre as curvas);
or igem A e o ponto CS ( iníc io t l r
a L, o comprirnento da espirar entre a origem A e o ponto SC (fim da transrçrì.entre as curvas).
I
(
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
tI
It
ü
ü
I
ï
f
tJ
O
t
Temos:
Ls : Lr- L,
Rcr ' Lr : K
L, : Ls . Rcr/(Rc,- Rcr)
0, : L, / (2. Rc,)
X, = Lr '
Rcr ' Lr : K
L, : Ls . Rcr/(Rc,- Rcr)
0r: Lr t (2.Rcr)
Y-"2 -
( , -ü-* t i - ì\ 10216 ) ',('-#.*- )
Y,=1,(q-q* ei - ì( 3 42 r .320 )
Qt= Xr- Rc,.sen?,
A=Yr-Â", . ( l -cosT,)
Y,=1,(+ #"*_ )Qz=Xz- Rcr.sen7,
pz = Yz - Rr, .(l - cos?r)
Calculados os afastamento^s pre pr(entre as circunferências c rr rrr , i ( . r ì t ( . , t (referência)'podemoscalcularoururï*J.r'to'p^""no"ascurvascircurlrresrrt.trrrr.:,.r,rLa linha que une os centros O, e O, au, auÁ?uruur.
0": arctg{(Qr- Q)/ [(Rc., + pr) - (Rc, + p.) l l
Ã
Aaa)
-É
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-Ò
Ò
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A)
)
AAAAAAâ
â
AA
-AA)
-
-â
â
â
la
54 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap.4
ü:e"-01
A:or-0,0s:a+B:0r-0,
0s : ângulo de transição relativo ao trecho da espiral compreendido entreos pontos CS e SC.
p,: (Rc'- Rcr) - [ (Ãt, + p,) - (Rc, + P)) I cos9"
ou
p,- (Rc, Rcr)- (Q, - Q,\ lsen9,
O significado dos parâmetros calculados pode scr visto tra Figura 4. 15.
Figura 4.15 Parâmetros da curva.
4.11.2 Locação da Curva
Dadas duas curvas circulares de raios Rc, e Rc",a inclusão da transição entre
elas tem a seguinte seqüência de opcrações.
a) Manter a circular de raio maior em sua posição original e afastar a curva
de raio rnenor. Supondo ser Ãc, o raio maior, mudamos o centro O, para
a posição Q sobre a reta O ,O,, que dista p" de O, criando o afastamento.
b) Marcar os pontos CS e SC com o uso dos ângulos a e B, respectivamente.
Cap. 4 Curvas HorizontaÌs com Transição 55
c) Determinar a posição da tangetlte de referência com o uso do ângulo 0 e do
comprimento Rcr* p, (a tangente de referência será pelpendicuiar- à reta BO,).
d) Sobre a tangente de referência, marcar o ponto A à distânsia 0, do ponto B
e) Qualquer ponto da espiral pode ser detetminado por suas coordenadas X c I
em relação à tangente de referência e à origern A, para qualquerZ con.lpreendido
no interualo LÍL< L2.
. . (e ei ìv- t . t - - -+ I' - " 1,3 42' . ' )
Um exemplo de locação conrpleta de curvas de dois raios concorcladas cotlt
transição pode ser visto no Capítulo 9,Exetcício 4.7.
4.12 Recomendações sobre o Traçado
Alem da escolha adequada dos elernentos do projeto, algun.ras considerações
adicionais são importantes para a definição de um traçado seguro e confortável.
U O traçado deve ter poucas curvas de raio baixo e ser conslstente com a
topografia da região. Uma linha com curvas de grandes raios concordaudo
coln os contofitos naturais do ter-reno e esteticamente preferír,el a uln longo
trecho reto cotn uma sucessão de lombadas'
n Um traçado formado por uma seqüôncia de curvas de pequeno raio é
desconforlável e perigoso, pois aumenta a possibilidade de erros de operação
dos lnotor istas
O O uso de raios mínimos, ou próximos dos mínirnos, só deve ocorrer onde
raios maiores forern economicamente inviáveis. Sempre que possível, deve-
se uti l izar curvas de grandes raios.
n o traçado deve ser razoavelmente homogêneo; curvas de pequenos raios
nunca devem ser colocadas no final de longas tangentes. Mudanças btuscas
de trechos com curvas suaves para trechos com curvas fechadas deven
ser evitadas.
a Para culvas com ângulos centrais pequenos deve-se usar raios grandes (veja
Seção 6.2), a fim de evitar desenvolvimentos curtos.
0: L')/Qn
X-L(,- t |* ' ' . . . ìI l0zt6 )
D Nas curvas dentro de cortes é necessário que hala boas condições de visibilidade.Raios próximos do mínimo, quanro a visiuliãaae (r"j" S;nã;;;y,ì"u"_ r",evitados.
o cuidados especiais devem ser tomados no uso de curvas compostas (curvasde dois ou mais raìos). Essas_curvas são perigosas, pois, normalmente, omotorista não espera uma redução de raió no interioì da curva. Esse tipode solução só é admissíve1 quándo a topografia e as condições técnicaslocais não permitem o uso de curvas de raio único. euando forem utilizadascurvas compostas, a mudança de um raio para outro terá de ser Íèita,necessariamente, por meio de curva de transição (ver Seção 4.l l).o Entre duas curvas circulares reversas é necessário que haja espaço surrcientepara a incrusão de transições com comprimentàs ,ri i . i";;, ;ara umaconfortáveÌ variação da superelevação.o curvas consecutivas de mesmo sentido, rnuito próximas, devem ser evrtadasutil izando-se, em seu rugar, uma única curva. Se isso não for possíver, éaconselhável que a distância mínima entre as curvas se;a de 400 m.o o traçado só pode ser avaliado após a escolha do perfil. A eshada é hi.imensionale não pode ser analisada só em planta.
CAPITULO 5
Seção Transversaf
5.1 Elementos Básicos - DimensõesPerpendicularmente ao eixo, a estrada é constituída peios seguintes elementos:
5.1.1 Faixa de Tráfego e pista de RolamentoFaixa de tráfego e o espaço destinado ao fluxo de uma corrente de'eículos.Pì'çta de rolamento é o conjunto de faixas cre tráfego adjacentes. A rargura
de una pista e a soma das larguras de todas as faixas q* u *lrrp0",,l.A Ìargura de cadaraixa de tráfego tem grande influência na segurança e noconforto dos veículos. E composta pela largura do veícuro-padrão (t) acrescida
dos espaços de segurança (c): L : U + 2c.
Figura 5.1 Largura da faixa de rráfego.
Quanto maior for o espaço c, maior será a segurança e o confofto que a estradaproporcionará, entretanto, o custo da construção também cresce significativarnentecom o aumento da largura dos elementos que compõem o projeto.
. . Faixas de tráfego com rargura de 3,60 m são consideradas seguras e confor-táveis; esse valor é obtido com o uso de veículo comercial padrão, com rarguraU : 2,60 m e espaços de segurança c : 0,50 m.
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' , tJ Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 5
Um grande número de estradas brasileiras usa faixas de tráfego com largura
/. 3,50 m, que corresponde a espaços de segurança de 0,45 m. Nas auto-estradas
plLrl istas construídas pelo DERSA e no projeto do Anel Rodoviário da cidade de
Srìo Paulo foram adotadas faixas de tráfego com 3,60 m de largura'
Irara estradas secundárias, de baixo volume de tráfego ou baixa velocidade
tle l.rrojeto, é aceitável o uso de espaços de segurança menores. Faixas de tráfego
,',, ' ir lo.gr.u de 3,30 m têm sido adotadas em estradas secundárias, para reduzir o
t rrsto. e em áreas urbanas, onde a redução c1a largura das pistas e muito importante'
A Tabela 5.1 mostra valores propostos pelas Normas de Projetos de Estradas
rlt: IÌodagem do DNER (5).
l:rbcla 5.1 Largura da faixa de tráfego.
Classede projeto
Largura da faixa de trál'ego (m
TopograÍìa da região
Plana Onduìada Montanhosa
Classe 0
Classe I
Classe II
Classe III
Classe IV*
3,753,60
3,60
3,60
1 s0- l lo
3,7s3,60
3,60
3,50
3,50-3,30
3,603,60
3,50
110
3,30-3,00
*Nocasoderodoviasnãopavimentadas,alarguratotaÌdesejávcìparaa
plataformaédeg,20mparaaterrosedel0,20mparacortcs, ìncluindodispositivos de drenagern. A largura mínima é 8,60 m'
5.' i..2 Acostamentos
São espaços adjacentes à pista de rolamento, destinados a paradas de emergência.
lì desejável que existam acostamentos ao longo de toda a estrada. Em rodovias
t. ()lìì grand; volume de tráfego, os acostamentos são imprescindíveis para garantir
(luc não haja parada de veículos sobre as faixas de tráfego'
Benefícios dos acostamentos
o Criam os espaços necessários para que as faixas de tráfego fiquem livres.
u servem como áreas de escape para que veículos possam fugir ou pelo menos
diminuir os efeitos de possíveis acidentes.
CaP. 5 Seção Transversal 59
n Ajudam a drenagem da pista e, quando pavimentados, protegem as bordas da
plsta.
a Melhoram as condições de vrsibil idade nas curvas horizontais.
o Gafantem a inexistência de obstáculos próximos da pista, o que reduziria
a capacidade de tráfego da estrada'
n criam espaços que podem, eventuaimente, ser uti l izados como parada de
ônibus.
Largura dos acostamentosEm rodovias de alto padr'ão, com altas velocidades de projeto, são uti l izados
acostamentos com 3,50 m ou 3,60 m de largura; esses acostamentos permitem que
unl veícuio corrercial f ique afastado de 0,90 m a 1,00 m da borda da pista'
E desejável que os acostamentos tenham no mínimo 3,00 m de iargura'
entïetanto, como a reduçãO da largura reduz o custo de construção, São conìuns
acostamentos com 2,50 m'
Em estradas secundárias, são utilizados acostamentos com ate 1,20 m de largura'
Independentemente da largura, a divisa entre pista e acostamento deve ser
semple bem sinalizada; o emprego de cores contrastantes seria a solução ideal'
AsTabelas5.2e5.3mostramValorespropostospelasNormasparaProJetode Estradas de Rodagem do DNER (5)'
Tabela 5.2 Largura do acostamento direito'
Classe deprojeto
a do acostamento direito (m)
Topografia da região
Plana Ondulada 11[ontanhosa
Classe 0*
Classe I*
CIasse II
Classe III
Classe IV
3,503,50
3,00?50
2,00
3,00?50
2,50
2,00
2,00- i ,50
3,002,s0
2,00
2,00
1,50-1,20**
@ado um volume horário unidirecional de veicu-
Ios comerciais suPerior a 250.** Valor mínimo absoluto de 1,20 m.
50 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 5
ïhbela 5.3 Largura do acostamento esquerdo.
Pistas de mão única - cÌasse 0 ou I
Número defaixas
a do acostamento esquerdo (m
Topografia da repiâ
Plana OnduÌada Montanhosa2
- t^
4
0,603,00-2,50
3,00
0,602,50-2,00
3,00
0,502,50-2,00
3,00-2,5 0* Valores desejáveìs e nrínimos, respecttvamente.
Cap. 5 Seçáo ïransversal 61
em função das características do solo a ser escavado; no caso de aterros, em funçãodo material e do grau de compactação adotado.
Em ambos os casos, deve ser garantida a estabiridade da estrada serÌÌ criarcustos desnecessários.
5.1.4 Plataforma
Denomina-se plataforma o espaço cornpreendido entre os pontos iniciais dostaludes, isto é, a base do talude no caso de
"ort" " o topo do talude no caso de aterro.
A plataforma contém pistas, acostamentos, espaços para drenagem e separadorcentral no caso de pistas duplas.
5.1.5 Espaços para DrenagemA vida do pavimento está intimamente Iigada à existência de uma drenagem
eficientc que escoe para fora da estrada a água superficial em razã.o das chuvas eimpeça a eventual chegada de águas subteÀâneas à base do pavimento.
' necessa'o que hala espaços suficientes na plataform a para a imprantaçãc_r
de dispositivos adequados de drenagem longitudinal.Nas estradas de pista simples, é recomendado que sejam deixados espaços
de 1,0 m adjacentes aos acostamentos. Nas de pista aupia, além dos espaços Ìaterais,são colocados dispositivos de drenagem ao longo dà canteiro central.
5.1.6 Separador CentralNas estradas de pista dupra, é o separador centrar que divide as pistas derolamento' Pode ser constituído por defensas metáricas ou dâ concreto, por carçadas
com guias' ou por canteiros gramados, que evir.am erosão e compõem o paisagismo.
. os dispositivos que separam pistas com sentidos de tráfego opostos têm grande
importância na segurança dos veículos. No caso de canteiro-s, deverao ter largurasuficiente e forma adequada para evitar que veículos que saiam acidentarmentede uma pista possam atingir a pista de tráfego oposto.
canteiros centrais largos têm ainda a vantagem de reduzir o ofuscamento peÌosfaróis' Normalmente são projetados com uma depressão centrar que of-erececondições favoráveis para os dispositivos de drenagem, além de dificultar a passagemacidental de veículos para apista de tráfego oposïo.
5.1.7 GuiasAs guias são usadas para disciprinar a drenagem, delinear e proteger as bordasdo pavimento, melhorando a estética da estrada e reduzindo os cusfos de manutenÇão.
5.1 .3 Taludes Lateraisos taludes dos cortes e dos aterros devem ser suaves, acompaúando o teneno,
de forma a dar à estrada um aspecto harmonioso com a topog.afio do rocar.Quando os cortes ou os aterros são baixos * não maiores que 4 m a 5 m - o
uso de inclinações suaves nos taludes não implica aumentos sìgnificativos nomovimento de terra, aumenta a scgurança da estrada, melhora as condições devisibil idade nas curvas em corte e oferece melhores condições para o plantio degrama e o paisagismo na faixa de domínio.
Taludes com inclinação l:4 anedondados nas concordâncias com a plataformada estrada e com o terreno natural são uma boa sorução (exemplo na Figura 5.2).
Figura 5.2 Esquema de talude.
Quando os taludes de cofte e aterro são altos, o uso de taludes suaves acarretaaumento significativo do movimento de terra e conseqüente aumento no custo deconstrução da estrada. Além disso, taludes altos e suaves podem necessitar de umaárea de trabalho mais rarga que a faixa de domínio estaberecida no proJeto.
Nesses casos, e necessária uma análise especifica para a escorha ire umainclinação adequada. No caso de taludes de corte, a inclinação deve ser deÍlnida
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Valeta de proteção
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62 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap. 5
São recomendadas para rodovias em áreas urbanas, onde a execução de valetas
laterais é inviável. Nas áreas rurais, não é açonselhável o uso de guias. Dependendo
do tipo e da posição, podem afeÍar a segurança e prejudicar o uso da estrada, pois,
muitas vezes, dificultam o escoatnento da água superfrcial.
Em estradas com guias, as curvas verticais convexas deverão ter no máximo
5.000 m de raio para garantir o adequado escoamcnto de água nas proxitl idades
do vértice da curva.
5.1.8 Faixa de Domínio
E a faixa de terra destinada à construção, à operação e às futuras ampliaçõescla estrada. Deve ser definida de forma a oferecer o espaço necessário à constmçãoda cstrada, incluindo cristas de cortes, saias de aterro, obras complel'neiltares e
uma folga cle, no mínirno, 5 m para cada lado.
Quando há previsão para ampliação da estrada, a faixa de domínio deverá
conter também o espaço necessário.
Geralmente, nas proxirnidades de áreas urbanas são adotadas faixas rnais largas,pois o desenvolvimento urbano valoriza os terenos lindeiros, encarecendo eventuaisdesapropriações futuras.
A Tabela 5.4 mostra as larguras das faixas de domínio adotadas pelo DERdc São Paulo.
Tabela 5.4 Largura da faixa de doniínio.
ura da faixa de dominio
CaP. 5 Seção Transversal 63
As pistas são projetadas com traçados e perfis independentes, mantendo-se apcnas
valores mínimos para a largura dos separadores ceutrais.
A execução de um traçado para cada pista, alem de reduzir problemas de
ofuscamento,redtzo custo da infra-estrutura deviclo à maior liberdade do projetista
em escolher soluções mais econôlnicas para cada pista.
5.2 Seçóes TransversaisA seção transversal de um determinado ponto do traçado é o corte feito por
um plano vertical perpendicular à projeção horizontal do eixo, que definc e posiciona
os diversos elementos que compõem o projeto na direção transversaÌ-
A seção-padrão, uti l izada nos trechos em tangente, é denorninada seção tí1to.
A estrada pode ter unra seção tipo ou mais de uma, caso ocorram alterações ttos
elementos básicos do projeto em decorrência de mudanças do tráfego ou das
condiÇões físicas locats.
As seções tipo definem as ditlensões e as inclinações-padrão dos elcmentos
que cornpõem o projeto geornetrico. Tambem são utilizadas para definir eìementos-
padrão dos projetos de drenagem, pavimentação, paisagisrno e serviços auxil iares.
As Figuras 5.3 e 5.4 são exemplos de seções transversais tipo.
Em todas as estacas inteiras e nos pontos onde há variação brusca do terreno
ou outros acidentes são levantadas seções simplif icadas que servem para definir
ilimensões e cotas dos elementos básicos e fornecer os dados necessários ao projeto
de terraplenagem.
5.3 Incl inaçóes Transversais
Pistas simples com duas faixas, dois sentidosNos trechos em tangente, as pistas são construídas com uma pequena inclinação
transversal para garantir o rápido escoamento de águas pluviais'
A solução mais usada é a criação de inclinações opostas para as duas faixas,
a partir do eixo da pista. O uso de faces planas e uniformes com inclìnação de
20Ápara cada faixa é quase imperceptível para o motorista e satisfatória para a
clrenagem superficial (Figura 5.5a).
A seção transversal tarnbem pode ser arredondada. NeSSe caso, são ernpregadas
parábolas, fazendo com que a inclinação vá aumentando no sentido das bordas.
O oroblema dessa soluÇão e a rnaior dificuldade de construção (Figura 5.5b).
Classe da
rodovia
Classe E
Classe I
Classe II
Classe II I
Proximidade de
cidades
12080
80
80
Sempre que possível, as faixas de don-iínio deverão ter largura constante para
cada trecho.
5.1.9 Pistas Duplas IndependentesNas estradas de pista dupla projetadas em regìões onduladas ou montanhosas,
a manutenção de uma largura fixa para os canteiros centrais pode não ser conveniente.
64 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 5Cap. 5 Seção Transversal 65
< .-xAcostamento
)'.=Acostamento Pista Acostamento
(b)Pista
(a)9oo!ì
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Inclinaçãocrescente Inclìnaçáo.crescente
@----<x.Acostamento
Figura 5.5 Seção nonnal - p ista s imples.
Os acostamentos devem, sempre que possível, ter inclìnação transversal maior
que a da pista, de forma a colaborar com a saída das águas pluviais. Acostatnentos
pavimentados devem ter inclinação entre 2oÁ e 5oÁ e não pavimentados, entre 40Â
e 60/0.
Nos trechos em curva, a pista deverá ter inciinação transversal única, esta-
belecida no cálculo da superelevação (veja o Capítulo 6).
Para a inclinação do acostamcnto interno temos duas possibil idades: acom-
panhar a mesma inclinação da pista, respeitando o valor mínimo estabelecido para
à trecho em tangente (notmalmente 5%),ou manter a inclinação utilizada nos trechos
enr tangente. A primeira Solução tem, como vantagem, um melhor escoafilento
de águas pluviais, porém pode comprometer o confoÌ1o ou ató mesmo a segÌrrança
de veículos altos que eventualmente parem no acostaÍÌento. A segunda solução é
menos eficiente quanto ao escoamento de águas superficiais, porem mais eficiente
quanto à segurança.
', Acostamento .,. Pista )<
Figura 5.6 Seção inclinada pista siÌnples - e aÍé 4To.
O asostamento externo noünalmente deverá ter inclinação oposta à da pista,
não inÍèrior aos valores mínimos estabelecidos, criando um adequado escoamento
das águas pluviais, não permitindo que a água que cai sobre o acostamento corra
Sobre a pista. Nesse caso, o acostalnento deverá ter um trecho alredondado de
aproximadamente 1,20 m para eliminar a brÌrsca mudança de inclinação na passagem
da pista para o acostamento (Figura 5'6).
euando a diÍèrença algebrica entre as inclinações da pista e do acostamento exten.Ìo
for maior que 87o, é melhor que as inclinações teúam o mesmo sentido. Nesse caso,
parte da água da chuva que cai no acostamento escoará sobre a pista, o que não é
ãesejável, mas essa solução evita a grande mudança de inclinação que comprometeria
a segurança (Figura 5.7).
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66 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 5
Acostamento><
Figura 5.7 Seção incl inada pista s imples - e > 60Á.
Estradas com pista duplaNos trechos e1x tangente, uma possibil idade e adotar Ì lara cada pista uma das
soluções propostas para o caso de pista simples (Figura 5.8). Essa solução apresentaas vantagens de rnaior rapidez no escoamento de águas da chuva e nìenor diferençaentre cotas da pista. É uma solução ailequada para áreas sujeitas a muitas chuvasou chuvas fortes.
Acostamento Pisla -ncoãt. cnreiÍo ecoil><
Pista Acostamento
Figura 5.8 Seção tipo - pista dupla.
Outra possibil idade é o uso de pistas com declividade única (Figura 5.9). Naspistas com sentido único de tráfego, os veículos mudam constantemente de faixa.Essa solução apresenta a vantagem de eliminar a mudança de inclinação transversalna passagem de uma faixa para outra.
Cap. 5 Seçáo Transversal 67
Pistas com mais de duas faixas de tráfego com inclinação para o rnesmo iado
devem ter, nos trechos em tangente, inclinação de 20Á nas duas primeiras faixas
(no sentido do escoamento de água) e um acrescimo de 0,5%o a loÁ para cada codunto
de duas faixas, de fonna a facil i tar o escoamento das águas plr"rviais (Figura 5.10).
Nos trechos em curva, aiem desse acréscimo, poderá ser aumentada a inclinação
das faixas da esquerda, considerando que, normalmente, são ocupadas pelos veículos
mais rápidos.it)
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i AcostamenÌo ;<x
i Faixa I><xi Faixa I
NXFaixa Fa ixa
Figura 5.10 Seção rncl inada - p ista de mír l t ìp las fa ixas.
Nas estradas com pista dupla tambem são necessárias faixas de segurançajunto às faixas de tráfego mais à esquerda (no sentido do tráfego). Pistas com rnais
de duas faixas podem ter acostamentos no lugar das faixas de segurança. Esses
acostamentos destinam-se ao uso dos veículos que trafegam pela faixa cla esquerda.
A Tabela 5.3 propõe valores para a largura desses acostarnentos.
20/o
><Acostamento
Figura 5.9 Seções normars - pista dupla
)í: X.Acost. Pistâ
CAPíTULO 6
Superelevaçãoe Superlargura
6.1 Introdução
Quando um veículo Írafega eln um trecho reto, com velocidade constante, a
resultante das forças que atuam sobre ele é nula (movimento retilíneo uniformc)'
Aochegaraumacurva,éprecisoquehajaumaforçanadireçãodocentroda curva (força centrípeta), sem a qual o veículo não descreverá a curva, mas
continuará em movimento retilíneo pelo princípio da inércia'
Se a pista for transversalmente horizontal, a força centrípeta será obtida peìo
aparecimento da força de atrito ao girar o volante e colocar os pneus em posição
que o pauimento exerça uma força de reação sobre eles' nt.trr2
A lorça centrípela necessária para que o veículo descreva a curva ê.Fc =, R
-"a força de atrito disponível é Fat=N.f : força normal multiplicada pelo coeÌt-
cicnte de atrito transversal entre o pneu e o pavimento'
Aforçadeatr i toéumaforçadereação,queaumcntaàmedidaqueésol ic i tada.Entretanto, N e constante e o fator/possui um limite acima do qual não consegue
aumentar. Assim, a força de atr i to pode não ser suÍ ìc iente para formar a força
centrípeta necessária, principalmente se a velocidade for grande ou o raio pequeno'
6.2 Superelevaçãochama-se superelevação ou sobrelevação a inclinação transversal da pista'
feita com o objetivo de criar uma componente do peso do veículo na direção
docentrodacurvaque,somadaàforçadeatr i to,produziráaforçacentr ípeta(Figura 6.1).
O peso pode ser decomposto em duas forças: uma perpendicular à pista' que
é neutralizada peia reação normal, e outra paralela, que irá compor a força centrípeta.
70 Proleto Geométrico de Rodovìas Cap 6
Figura 6.1 Decon-rposição da força peso'
AtangentedoânguloformadopeloplanodapistacomoplanoÌ-iorizontaìdeÍjneo valor da superelevação (e na equação a seguir)'
e: tga
Na prática, e ó mostrada em porcentagem'
Quan<lo um veículo trafega por Ìrma curva ho nzonÏa\ circular de raio R com velocidade
tr/constante, a resultante das forças atuantes será a força centrípeta Fc'
lFcl :m'vzlR
A Figura 6.2 mostra um veícuio percorrendo uma cuF\ia circular superelevada'
Cap. 6 Superelevação e Super largura 71
Ì { ' cosa- N' f ' sena: m' g
dividindo meinbro amembro e simplif,rcando, temos: tã#i##=
{G
dividindo o primeiro membro Por úoss' fï*= i-
corl'ìo /gd e/são pequenos, o produto dos dois pode ser desprezado em relação aos
dernais. Então. , ..1
g(e+ f)= ' - R
Valores-limite da suPerelevaçáoo valor da superelev ação e a ser adotado para uma detenninada cur,'a circular
deve ser lirnitado a um valor máxirno por razões de segurança'
uma curva com superelevação excessivamente alta pode provocar o desiiza-
mento do veículo para o interior da curva ou mesmo o tombamento, se a velocidade
for muito baixa ou se o veículo parar por qualquer motivo'
Casos como esses podem ocorrer, por exemplo, em ctÌrr/as localizadas em
aclives foftes, onde caminhões pesados, com centro de gravidade alto, trafegam
com baixas velocidades.
os valores máximos para superelevação adotados em projetos são, segundo
a AASHTO (l), determinados em função dos seguintes fatores:
uCondiçõescl imát icas, istoé,freqüênciadechuvaseeventualocorrênciade neve ou gelo.
o Condições toPográficas do locai'
o Localização (área rural ou urbana)'
o Velocidade média do tráfego'
Em rodovias rurais ou urbanas com alta velocidade de projcto, e recomendada
a inclinação máxima de 10% como valor máximo, podendo chegar a 12o"o'
Em regiões sujeitas à ocorrência de neve ou gelo não deve ser adotada
inclinação maior que 8%o.
Onde existe congestionamento de tráfego, ou freqúentemente o tráfego e Ìento,
osvaloresdasuperelevaçãonãodevemultrapassar4o/oou60/o.
Emlocaisprevistosparabaixavelocidade,comointerseçõesenníveledispositivos de canalização de tráfego' a superelevação pode ser desprezada'
como limitação inferioq tem os e,,,.n:0oÂ,pois não teria sentido utilizar superelevação
contrária à que necessitamos para o ïóiculo descrever a curva. Obsen'e que 0% é um
Fat
a
Figura 6.2 Forças que atuant sobre o veículo'
Supondoqueasforçasqueatuamsobreoveícu]oestejamapl icadasaocentroclc gravidade, temos:
na direção do eixo x {1/ ' senut Fat cosu: -{ I
na t l i reção do eixo y \N 'cosu Faí sencx- P - 0 j
r12nI v
RN'sena+ N' f 'cosa:
Kodovlas cap.6
valor teórico; na prática, usamos urna pequena i'clinação para esÇoamento de águaspluviais.
Valores máximos do coeficiente de atritoA força de atrito surge como conseqüência do atrito transversar entre o pneu doveículo e o pavimento.
I-9r,na introduião, que essa força, que é o produto da forçanormal pelo coeficiente de atrito, aurnenta à medida que e solicitada ate r,rirì valor máximo,quando o veículo começa a deslizar.
o varor do atrito rá1iT"
depende do tipo e das condições do pavimento e dospneus; essas variáveis são dificeis de ser definidas, principarm.nt" poiqu" é necessárioque o projeto utilize fatores que representem as con<1ições mais desfavoráveis.Para a escolha de um valor a ser utilizado no projeto (que chamamos de.f,r"), aAASHTO (1) analìsou diversas experiôncias a fim dsdete.-inu, o malor valor delque não cause ao motorìsta a sensação de escorregamento.os resultados das experiências analisadas pela AASHTO (l) são mostradosna Figura 6.3.
Cap. 6 Superelevação e Super largura 73
A Tabela 6.1 mostra os varores da Figura 6.3 propostos para projetos de rodoviasrurals e urbanas de alta velocidade.
Tabela 6.1 Valores do coeficiente de atrito máximo.
Velocidade deprojeto (km) 30 40 50 60 70 80 90 r00 l t0 120
.f*o' 0, l7 0.17 0,16 0,15 0,15 0,14 0,13 0,12 0,1 0 0,09
Os valores dessa tabela podem ser calculados pelas equações:
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a
I
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aat
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fl
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Ç
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J *0, - 0,24 - Vpl800
í.r , :0,188 - Vpl1.667
para Vp > 80 kn.ì/h
para Vp < 80 km/h
0,22
- I r r i -ì>! -"
.. 'I r r r - : \ _\ . .
\ \ \. l
I 't l
50 60 70 80Velocidade (km/h)
o coeficicnte de atrito tambern é lirnitado inferiormente, para uso em proJetos,pelo valor zero, apesar da possibiridade de ocoÍïer "atrito negativo", o quaÌ segurao veículo que tem tenciôncia de deslizar enr direção uo
""rrt o da curva.
Relação entre superelevação e raio
Da equação e k + J): Ç poar^os tirar as seguintes conclusões:r tz
R
1. g. e + g. f : , : Ac :aceleração centr ípeta.A aceÌeração ceriÈripeta, que é a força centrípeta dividida pera massa doveículo, e formada por duas parcelas: uma devida ao atrito (g ./) e outradevida à superelevação (g . e), como esperávamos.
v2tR= . (
S.k+ f \ Ì 'omece a relação entre a velocidade, a superelevação da
curva e o atrito "uti l izado", com o raio da trajetória descrita pelo veículo.como, na prática, costuma-se usar a veÌocidade em km/h e o raio em metros,
transformando as unidades temos (á substituindo g por seu varor 9.gr m,/sr):
0,20 Barnett. 1936
Moyer&Berry 1940
Meyer,1949
AASHTO
E o,rao
g
IE 0,16ooo
Ë 0,14.eo
3 o, tz
0.10
0,08 L20
110100
Figura 6'3 valores propostos para o coeficiente de atrito n.ráximo (figura publicada pera AASHTO (1)).
os resultados apresentados mostram gue .f*,xdiminui à medida que a velocidadede projeto aumenta.
o traço contínuo mais fino indica os valores propostos pera AASHT' (1)para projetos de rodovias: os varores propostos puru j, ,variàm Iinearmente de0'17 para 30 kmlh até 0,14 para 80 mn. e pártir de enaoïariam também linearmenre,ate 0,09 para 120 km/h.
r27 (e+f) üpara R em metros e V em km/h, sendo e ef adtmensionais. ü
os valores adotados peia AASHTO (l) na Tabela 6.1 foram escolhidos em Èfi'nção de uma condição de conforto, isto é, valores bem abaixo do atrito na iminência Ëdo escorregamento. Se usarmos a superelevação máxima admitida para a estrad u
Je o coeficiente de atrito máximo para a velocidade de projeto, teremos o menorralo que pode ser utilizado para o trecho com segurança. Ç
IF1,
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v2R=
r27 (e+ f)
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74 Pro.ieto Geométrico de Rodovias Cap 6
. .p-Asstm. " l2 i . ( r , . ,* + í , , ,0,)
Outra limitação para o raio deve ser observada p'" *it-"=:Ïdeflexão até 5"'
afimdequeodesenvolvimentonãof,rquemuitopequerrolog}enãoseriaconveniente<lopontodevistaestetico.Paraessasdeflexões,oaurrrentodoraiotrazgrandesbeneficios
" uit"ru muito pouco a posição do traçado'
As Normas para Projeto de Estradas do DNE'R (5) estabeÌecem:
D: 30 (10 - AC)
cln que:
D : desenvolvimento do trecho circular (nr)
.4C = def lexão --ângulo central (graus)
t2 t rz.Gvv
f - - -
J. eÍJ- o.R p. l .146ò+ e:K'G-f
em que *=#Gé constante'
l , igrrra (r .4 l ìc l : ìção entrc supetelevação e grau'
l ' lrr. lt rrttt cladtl valor def, a superelevação e proporcional a G (grau da curva)'
orr :;t '1:t, sc l. ixitrt l ' tos.1, a rclação entre e e G será l inear' Isso nos permite traçar o
1'r : ì t r t o t lc r 'c l l r l ì r r rçr io c lc (" ' quc' para um coef ic iente de atr i to nulo ' e uma reta
1r;r : , : , r r r r l t r |c l : t ot tL ' ,ct t t . t ' t t io t t l t i ' t i t " t t angular e V'z l l '146'g 'Dalnesma forma' se
( l l l | ' ' ( . I l | | ( ) : ' t r ; | l t | | t l t t t i t r t t t t t , . le l .c | ì ì ( )st l l ì ì l ì t .c laparalelai ìpr in le i ra 'cortandooeixodas
f r l f l ( l Ì .1(1.1"( ' l l l 1, ,
( ) l | . ì | ( | | l t . t l r . t : t1r ' t t ' t I t . | ; t : t . ; r l t t ; t : ; I r t t l l t ' t t ' : t t t ' | : tq. : . l r r t ' t t l Ier , t ' ( i l l l t r : t t t t r t t lc lcr t t l i t l l t t l t . l
t ,1rr , ; , , ' ,1" 1 l l r l ' l l " ' l r '1" r ' l r l l " / t l i l r ' /
Cap. 6 Superelevaçáo e Super largura 75
6.2.1 Paralelogramo dos Valores Aceitáveis
Impostasasl imitagõesaocoef ic ie l tedeatr i toeàsupereievação'ográf icodee
emfunçãodeGfrcareduzidoaumparalelogramo,sendoquehásegurançaparatodosos pares de valores
"":o po*" conespor-tdente esteJaem sexl":ïït^-" os valores
cuja representação grátìËa se encontra fora do paralelograrno' não se pode garanttr a
segurança do veículo'
.,e-(
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a???l)nV
í,-
G-
D t""
l ' igura 6.5 Paralelogramo dos vaìores aceltavels'
6.2.2 Cri tér io para Escolha da Superelevação
no Trecho Circular
Uma vez estabelecida a velocidade de projeto e a superelevação máxima para
o trecho, fiça deterrntnado o raio mínimo e' conseqüentemente' o grau náximo'
Para uma curva qualquer' desde que o raio seja maior que o tlínimo' porlanto
G < G,..,,existe uma innniauA" de valores aceitáveis para a superelevação' desde
que corresponda a um ponto interno ao paralelogramo' É necessário estabelecer
um criterio para a "'"oihu
do valor mais conveniente'
Vamosanal isarosquatrocr i ter iosmaisut i l izadosparadeterminaçãoda
superelevação das curvas circulares'
Critério 1Oferecer o máximo conforlo possível aos veículos q* ttuftllt^t na velocidade
de projeto. Quanto menor o atrito' maior o conforlo dos passageiros e a estabilidade
doveículodevidou-", 'o, tendônciaaodesl izamelr to 'omaiorconfortopossívelocorre quando o pont; ;; sobre a reta AB do paralelogr"i"
9:,Ïa 6'5 ou u
!'T:
0).Ut i l izarestecr i ter ioser iaescoiherasuperelevaçãodenatreiraqueopontocalascll lnrc sobre as retas AB ou BC'
76 Projeto Geométrico de Rodovias Càp. 6
Este criterio oferece confofto máximo para veículos que trafegam à velocidadede projeto.
Critério 2Consiste em escolher a superelevação de forma a proporcionar o conforto máximo
ao veículo que percorer a eskada na velocidade média de operação vm,istoé, escolhera superelevação de fonna que o ponto caia sobre a reta AE ou EC da Fisura 6.6.
A reta obtida nas condiçõe s V : Vnt e -f : 0 tem equação
Vnt2 .G
'- s 1146
ern que:
G : grau da curva
g : aceleração da gravidade
um exemplo de uso deste criterio e o método de Barnett, usado no projetode muitas estradas. Barnett (2) usa o critéric 2, defininclo o valor v : 3Á vn.
Critério 3Escolher a superelevação de maneira que o ponto caia sempre sobre a diagonal
maior do paralelogramo (Figura 6.6).
Neste critério, a superelevação e o coeficiente de atrito variam semprc namesma proporção. Oferece mais conforto que os criterios anteriores para veículosque têm velocidade abaixo da média.
Este criterio tem sido adotado em projetos de estradas onde e significativoo tráfego de veículos pesados ou são esperados altos volumes de tráfego comfreqüência. Foi adotado pelo DERSA do Estado de São paulo no projeto das rodoviasdos Imigrantes e dos Bandeirantes.
Critério 4o critério conl.recido como metodo da AASHTo (l) consiste em rraçar a rera
AE da Figura 6.6 (mesma reta do critério 2) e concordá-la com a reta EC, no pontoc (G,,0,), por meio de uma parábola. A l inha assim obtida (l inha 4 da Figura 6.6)dará a superelevação em função do grau.
Este método proporcìona maior conforto aos veículos que trafegam próximos davelocidade média de percurso vm nas curvas horizontais de raios grandes ou pequenos.Para curvas de raios médios, fomece valores intermediários entre os critérios 2 e 3. Ométodo da AASHTo (l) é o critério mais utilizado em projetos de estradas.
Cap. 6 Superelevação e Super largura 77
A Figura 6.6 mostra o pararelogramo (ABCD) dos valores aceitáveis para e e aslinhas que fornecem osvalores da superelevação em função do grau da cu.a para osquatro critérios analisados (l 1).
A Figura 6.7 mostra como varia o coeficiente de atritol nos quatro criteriosapresentados, para um veículo que percoÍrer a curva na verocidad e de proleto vp.
Figura 6.6I
I
t
I
I
I
I
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Figura 6.7 Variação do atrito.
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7A Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 6
As Figuras 6.8, 6.9, 6.10, 6.11 e 6.l2 mostram as curv'as da superelevação (e)
em função do grau da curua (G), catculadas pelo metodo da AASHTO (1) para e,,, ^
1 2 3 4 5 6 7 I I 10
Grau da curva G (graus)
Figura 6.8 Valores da superelevação. Metodo da AASHTO, e,..*- 4Yo.
123456749
Grau da curva G (graus)
Figura 6.9 Valores da superelevação. Método da AASHTO, e,,,- 60Á
igual a 40Á,60/0,80Á,l0oÁ e l2oÁ, respectivamente.
Cap. 6 Superelevação e Super iargura 79
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Cap. 6 Superelevação e Super largura g1
80 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 6
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Cap. 6 Superelevaçáo e Super largura 8382 Proieto Geométrico de Rodovias Cap 6
6.3 SuperlarguraA pista de uma estrada muitas vezes é alargada nas cÌrrvas, a fìm de dar ao motonsta
ur rrr"rÃu, condições de operação do veículo encontradas nos trechos em tangente'
O alargamento da pista em certas curvas e necessário porque:
a) Quando o veículo percolTe ulÌ]a cuwa circular, o ângulo que SuaS roclas dianteiras
Íbrmam "o,r,
o "iio
longitudinal do veículo é constante e a trajetória de cada
pontodoveículoecircular.oanelcircularfomladopelatrajetótìadeseuspontosexternosemaislargoqueogabar i totransversaldoveículoenl inhareta.
b)omotor istatemmaiordi f iculdadeemmanteroveículosobreoeixodafaixade tráfego.
Devidoalsso,estradascompiStxsestrc i tasoucomcurvasfechadasnccessl ta lnde um arargamento nos treçhos em Çurva, mesmo que a velocidade seja baixa.
Cálculo da suPerlarguraA Figura 6. l3 mostra uma estrada
com largura I no trecho em tangente e
Conhecido o valor 7: )t l + 4c
de pista única com duas faixas de tráfego,
larsura Lc > L no trecho circular'
I : largura da Pista em tangente
U : largura do veículo-Padrão
c : espaços de segurança
larguradotrecho circular, Lc: L+ M:2(U+ ^LD
+ 4c+ LI t + B + z 'ea
em
: largura da pista no trecho circular
: açrescimo de largura do veículo devido à diferença de trajetória entre
as rodas dianteiras e traselras
- acréscimo de largura devido à diferença de trajetória entre a borda
externa do pneu e a frente do veíçulo
distânciaentreabordaexternadopneutraseiroealateraldoveículo
cspâço dc segurança para compensar a maior di Í - rculdade de operação
tlo vcíoulo nas curvas
: f suf)( ' f l : r t t r t t r l t t l t t cstr l t t l l t no t rccho circular será: ÂL : Lc - L '
que:
Lc
AU
AFFigura 6.13 Esquema da superlargura
Da Figura 6.13 temos:
Lu=Rc- . t íê-s '
I-+
Esquema da pista com alargamento no trecho circular
r - Ì -Àr \bco -> AU : Rc- {(Hc - > )
Áabo..-> ^F
= nF"l . qzs. 1-n"
.---{ï'à:\ ---\
--..---:_\ \Rc
^U -ì>-O
+ F.(2S + F) - Rcsr ' ; r r . , \ / . . " \ l / | ^ / ' '
| / i ì
a4 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 6
em que:
Rc : raio da curva circular
S : distância entre eixos do veículo-padrão
F : distância entre o eixo dianteiro e a frente do veículo-oadrão
Para z, aconselha-se o seguinte valor:
V- roJ&-
em que:
z : espaço de segurança (m)
Vp : velocidade cle projeto (km/h)
Rc : raio da curva circular (m)
Para determinação do valor de Â/. é necessário, inicialmente, escolher o veículorepresentativo do tráfego esperado para a estrada, que servirá de base para o proleto(veículo-padrão). Nas estradas de tráfego misto - veículos de passeio e caminhões _é aconselhável o uso de um caminhão para veículo-padrão, pris e a condição maisdesfavorável.
Há uma grande diferença de dimensões entre os diversos veículos, o queinflui de forma significativa no projeto de interseções e de vias urbanas, mas,nas estradas que possuem raios maiores que 200 m e velocidade de projetcl acimade 60 km/h, o espaço ocupado peros diversos t ipos de caminhões na pista epraticamente o l] lesmo; nem a existência de caminhões articulados precisa serconsiderada
A AASHTO (1) recomenda os seguintes vaiores para as dimensões do veícuro-padrão:
Veículo de passeio:
largura
distância entre eixos
frente do veículcr
distância lateral
espaços de segurança (para pista de 7,20 m)
Caminhão SU:
largura
distância entrc eixos
frente do veícuìo
u:1,80m
s :3,40 mF:1,50m
B :0,15 mc:0,90m
U :2,60 mS :6,10 m.F - 1,80 m
distância lateral
espaços de segurança (para pista de 7 ,20 m)
Cap. 6 Superelevação e Super largura g5
B =0,00m
c =0,50mPara o cárcuro do alargamento nas curvas de rodovias, pode_se usar o caminhão_padrão SU.
Para pistas com mais de duas faixas de tráfego, pode-se usar o mesmo processode cálculo adotado para as rodovias de duas fàixas, resultando:M: N AU + (N,1) (^r+ B) + ,Lc: N (U + tU + 2c) +(N_ l ) (AF+ s1 a,
em que: N: número de faixas de tráfego da pista.Estudos mostram que' em um trecho reto de estrada, o espaço de segurançalateral necessário para,a ultrapassagem de veicuros em pistas de duas Íàixas commão única de trireção ó menoi qu. J n.r"rrário para o
"*ru*"n,o de veículos tresentidos opostos nas pistas de ãuas faixas com dois sentidos de tráfego. Não háevidência de que exista essa <Jiferença nos trechos em curva.
Por essa razão, o processo de cárcuro de rc apresentado pode ser usado tantopara pistas com sentido único de tráfego como para pistas com .ois sentidos.A parte fixa do custo de execução do alargamento da pista é sempre significa-tiva; por isso, recomenda-se urru*i. o uulor 0,60 m sempre que o cárculo indicarvalor menor que esse. por outro rado, superlarguras menores que 0,20 m podemser desprezadas porque o benefício é-muìto pequeno.
6.3.1 Distr ibuição da SuperlarguraA Figura 6'13 mostra que, para a obtenção da largura Zc no treçho circular,há um trecho com largura variávei onde, de forma gradativa, a pista passa da rargura
I:ï:],1"i.ï"i:],Lc' o processo de obtenção dessa variação é chamadá de dìstribulção
Nas curvas circulzdacurva*u,.,u*u, jl",iì:iffi ï1'ffi r,".1ï:iffi::ïIj:ï: jïlïi"j::do lado interno- No primeiro
"urà, rúorou ã"r"-u da pista poderá apresenrar umapequena curva reversa' No segundo caso, a curya terá um aspecto melhor, arémde execução mais fácil. Em aÀbos os métodos, a pintura de sinalização divisóriadas faixas de tráfego deverá ficar no meio ãa prsta.
,^--,-n_uru uma operação confortável, é desejável que o comprimento do trecho detar_gura
.variâvel seja grande, fazendo "o*
qu" a variação da largura por metro deptsta seja pequena. uma boa sorução é fazerà oirt iuuição d"rrd;;;g"ra coincidircom a distribuição da superelevação, entretanto, devido uo "urto
ãe construçao,muihs vezes a distribuição da sr,pería.gr.u J r"iru em trechos menores.
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86 Proieto Geométrico de Rodovias Cap. 6
Figura 6.14 Variação da superelevação ao longo de uma cut'r'a giro cm torno da borda ìntenia
6.4 Distribuição da Superelevação em Pistas Simples
Já vimos que, para passar da seção normal para a seção com a superelevação
calculada para o trecho circular, necessitamos de uma certa extensão a fim de que
a variação da inclinação transversal seja feita gradativamente, garantindo um aspecto
que inspire confiança ao motorista. Também e irnportante para evitar que o giro sofrido
pelo veículo, ao redor de seu eixo longitudinal, seja rruito rápido.
Cap. 6 Superelevaçãc e Super largura a7
O comprimento mínimo necessário para a variação da seção transvelsal foi calculadona Seção 4.5, criterio estético:
Lt, , , , : e. l r l (0,9 -0,005-Vp)
Lt u,,, : e - lrl(0,7 | - 0,0026 . Vp)
para Vp g 80 km/h
para Vp 2 80 krwh
A AASHTO (1) recomend4 aind4 que o compúnento assin-r obtido seja usado tambénr
como comprirnento mínimo para a curv'a de transição, a hm de evitar valores diferentes,ou seja, recomenda que o gío seja feito na curva de hansição. Foi exatarnente o que fizemos
ao incluir no cálculo do comprimento rnínirno de transição o critério estetico ou de rampa
relativa. Assirn, basta fazer a variação da inclinação fansversal ao longo da espiral, adotandovalor zero no TS.
6.4"1 Var iação da Incl inaçáo Transversal
A variação da inclmação será linear com o compúr-rento, pois. como vimos na Seção4.2,se acuwaadotada para a transição for uma espiral, o grau da cun'a varia linearmente
com o comprimento perconìdo.
Na reía, teoricamente não deveria haver inclinação transversal, entretanto, na prática
adota-se uma pequena inclinação, geralmente deloÁ,paraescoamento das águas pluviais.
Estamos adotando a convenção de sinal positivo quando sobe do eixo para a borda e negativoquando desce. Assirn, na ret4 temos una inclinação negativ4 que chamaremos de inclinação
normal (e,).
Como adotamos inclinação zero no TS, é necessária una extensão na tangente (Il)para eliminar a inclinação negativa, o que o feito com a mesma taxa de variação da cuntade transição. Designaremos por SN (seção normal) o último ponto da tangente que possuiinclinação normal. Poftanto, tSNl : [TS] -IL
A inclinação da faixa intema, isto é, a que fica do lado do centro da cruva, será negativano trecho circular e na tangente. Assim, é convenienle manter esse valor ate o pot.tto errÌ que
ocorreria se paftisse de zero do TS, em vez de aunentar para depois diminuir. lsso ocon'eno ponto erÌì que a inclinação da faixa extema tem valor simébico de e,, e fica na espiral, auma distância Zl do TS. E o ponto em que as duas faixas passam a Íbnnar um só plano e quedesignaremos por SP (seção plana). SP é simetnco de SN em relação ao TS.
A variação da inclinação de cada faixa na transição de entrada esú representa<la noesquema da Figura 6.15. A transição de saída é análoga e simétrica.
84 Prôiê+^ Gô^mÁ+' i-^ r^ h I
88 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap 6
Faixa extírm
Cap. 6 Superelevaçáo e Super largura 89
Observe que, apesar de a taxa de variação da inclinação ser a mesma' a pafiii do
Sp dobra a taxa de va.ação da cota da borda externa (Figura 6.20). Isso porque' a
partir desse ponto, dobra o braço de giro' como pode ser visto na Figura 6' 17'
A vantagem dessa distribuição é que netúum ponto da pista desce em reìação ao
perf i ldereferência.Eomelhorp'o"""odopontodevistada<lrenagemsuperhciaÌ 'Esse processo gera uma boa conàição estética e a superelevação e mais visível' o que
dá maior conltança ao molorista'
t
ì
t
ì
I
t
,l
t
Faixã inÌerna
LS
Figura 6.15 lnclinação transversal das faixas de tráfego'
6.4.2 Variação das Cotas do Eixo e das Bordas
Para obter a seção superelevada' devemos girar cada faixa de tláfeeo ao redor
de um ponto fixo. Co"fo*" o ponto da pista qJe adotamos como fixo' temos três
*u, ,e i ,usdedistr ibuirasuperelevaçãoaolongodacurva'
Giro ao redor do eixo
Nessecaso,abordaexternasobe'abordainternadesceeoeixofrcaf ixoem relação ao perfil de referência'
A Figura 6. 16 e uma sucessão de algumas seções entre o SN e o SC' mostrando
a inclinação das faixas e a posição relativa do eixo e das bordas'
oesquemadavariaçãolongitudinaldascotasemrelaçãoaoperfi ldereferênciapode ser visto na Figura 6'19'
A vantagem dessa distribuição é que a cota do eixo não se altera com a
superelevação e a variação das cotas das bordas é pequena'
Giro ao redor da borda interna
Neste caso, a borda interna' que é o ponto mais baixo' perÍnanece fixa' o etxo
sobe e a borda externa sobe mais ainda em relação ao perfil de referência'
A Figura 6'17 mostra uma sucessão de seções ao longo da curva'
oesquemadavar iaçãolongi tudinaldascotaspodeservistonaFigura6.20.
Figura 6.16 Giro ao redor do
elxo.
Figura 6.17 Giro ao redor da Figura 6.18
borda intema
Giro ao redor da
borda externa.
Figura 6.19 Variação das cotas das bordas e do eixo - giro ao redor do eixo'
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90 Proieto Geométr ico de Rodovias Cap' 6
Figura 6.20 \hr iação das cotas das borclas e do eixo giro ao redor da borda intcrna'
Giro ao redor da borda externa
Alrordaexterna'queeopontomaisal to,pemaneceÍ lxaeosoutrospontosdescem.
A Figura 6.18 mostrauma sucessão de seções ao longo da curva'
O esquema de variação clas cotas está i lustrado na Figura 6'21'
Apesar de ser o pior processo quanto à <lrenagem' e o que melhor se presta
Dara ramos de interacesso em entroncamentos' Tem aplicação tambem ern alguns
iasos de pista duPla
I
Figura 6.21 Variação das cotas das bordas e do eixo - giro ao redor da borda extema
Cap.6 5uperelevaçáoeSuperlargura
6.5 Superelevação em Estradas com Pista Dupla
Noprojetodeestradascompistadupla,ainclusãodermseparadorcentralalterao tratarnento a ser dado para a aplicação da superelevação'
Dependendo da largura e da forma do separador central, um dos seguntes processos
pode ser utilizado para obter a seção superelevada:
l. Toda a seção transversal, inclusive o separador centtal, gira em tonlo de um
ponto, deixando as duas pistas em un-Ì mesmo plano (Figura 6'22)'
Cota de gtro
l"- ISeparador
Figura 6.22 Giro ao redor do eixo da cstrada'
2.oseparadorcentralemant idonalror izontal(comexceçãodavaÌetadeescoamento de águas pluviais) e as duas pistas giram separadamente em torno das
bordas do separador (Figura 6'23)'
cota de gìro ì--ì:4=- ----=l l
Canteiro
Figura 6.23 Giro ao redor das bordas da pista'
3. As duas pistas são trata<las separadamente, o que resulta em uma diferença
de cotas entre as bordas do separador central (Figura 6'24)'
Cota de giro
l l 'Canteiro -
Figura 6.24 Ciro ao redor do ccntro das pistas'
o primeiro processo só e utilizado para separadores estreitos e valores baixos
da superelevação, quando sua aplicação não leva a diferenças substanciais entre
as cotas das bordas externas da pista. É adequado, para esse caso, unl separador
de concrelo com guias.
O segundo processo é aplicável a separadores de qualquer largura' scndo mais
usados para os de largura -eaiu.
Mantem as bortlas do separador no mesmo nível'
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90 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 6
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Perf i ì de referência
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SNÏS
Figura 6.20 \ 'ar iação das cotas das bordas e do eixo giro ao rcdor da borda interna.
Giro ao redor da borda externaA borda externa, que é o ponto mais alto, permanece fixa e os outros pontos
descem.
A Figura 6.18 mostra uma sucessão de seções ao longo da curva-
O esquema de variação das cotas está i lustrado na Figura 6.21.
Apesar de ser o pior processo quanto à drenagcm, é o que melhor se presta
para ramos de interacesso em entroncamentos. Tem aplicação tambem em alguns
casos de pista dupla.
LS
Borda Ìnterna
Figura 6.21 Variação das cotas das bordas e do eixo giro ao redor da borda externa.
Cap. 6 5uperelevacáo e Super largura 9.1
6.5 Superelevação em Estradas com Pista Dupla
No projeto de estradas com pista dupla, a inclusão de um separador central alterao tratalnento a ser dado para a aplicação da superelevação.
Dependendo da largura e da forma do separador central, um dos seguintes processospode ser utilizado para obter a seção superelevada:
1. Toda a seção transversal, inclusive o separador central, gira ern tomo dc umponto, deixando as duas pistas em ull1 mesmo plano (Figura 6.22).
cgQ Çe sirg
t - lSeparador
Figura 6.22 Giro ao redor do eixo da estrada.
2. O separador central é rnantido na horizontal (corn exceção da valeta deescoamento de águas pluviais) e as duas pistas giram separadamente em torno dasbordas do separador (Figura 6.23).
t\
Cota de giro
Canleìro
Figura 6.23 Giro ao redor das bordas da pista.
3. As duas pistas são tratadas separadamente, o que resulta em uma difercnçade cotas entre as bordas do separador central (Figura 6.24).
Cota de giro --ìì-.-
I c;;u.o J
Figura 6.24 Giro ao redor do centro das pistas.
O primeiro processo só é utilizado para separadores estreitos e valores baixosda superelevação, quando sua aplicação não leva a diferenças substanciais entreas cotas das bordas externas da pista. E adequado, para esse caso, unr separadorde concreto com guias.
O segundo processo é aplicável a separadores de quaiquer largura, sendo maisusados para os de largura média. Mantém as bordas do separador no mesmo nível,
92 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 6
obtendo a superelevação com giro somente das pistas. Observe que uma pista sofre
giro ao redor da borda interna e a outra ao redor da borda externa. São adequados
para esse caso tanto separadores de concreto quanto canteiros gramados.
O terceiro processo e usado para canteiros largos, quando o espaço elltre as bordas
e a drenagem central não tem inclinações muito fortes.
Alguns projetos de auto-estradas com mais de uma pista tratam-nas como se fosseln
estradas independentes, isto é, cada pista pode ter o perfil ou o traçado diferente das
demais. Os canteiros centrais podem ter largura variável. Nesse caso, a Superelevação
e projetada separadamente para cada pista.
6.6 Superelevação com Superlargura
Nas curvas com superelevação e superlargura concomitautcs, quauclo a superlatgura
e colocada no lado interno da curva, as cotas podem ser calculadas da seguinte maneira:
l. Giro ao redor do eixo:
cota do eixo - cota p.r.
cota b.i. : cota p.r. - lel(lr+LL)cota b.e. : cota P.r. + lell,
Figura 6.25 Giro ao redor do eixo.
Observação.. o valor da inclinação transversal de cada faixa de tráfego e positivo
quando sobe do eixo para a borda, e negativo quando desce.
2. Giro ao redor da borda intema:
b.e
cotab. i . : cota p.r . - le, , l l r - le lLLcota do eixo : cota p.r. -l",.Vr+ Vlt,cota b.e. : cota do eixo + lell,
3. Giro ao redor da borda extema:
e. "o'P:t .
l iì lI , l l ,
Figura 6.27 Giro ao redor da borda extema
Cap. 6 Superelevação e Super largura 93
cota b.e. : cota p.r. ln,llrcota do eixo : cota b.e. - lelfcota b.i. : cota do eixo - lel(f + AI)
AL
b. l
b.e
6.7 Condição de Visibi l idade nas Curvas Horizontais
Vmos na Seção 2.3.1 que a distância de visibil idade de frenagem (Dl) tem
de ser respeitada ao longo de todo o percurso da estrada.
Nas curvas horizontais dentro de cortes, onde o talude interno impede uma
visão total da curva (Figuras 6.28 e 6.29), ou nas curvas em aterro, onde existem
obstáculos à visibilidade, é necessário que o motorista que percorre a faixa de tráfego
interna da curva possa ver um obstáculo sobre sua faixa a uma distância suficiente
para paraf o velculo com seguranç4.
Assim, todas as curvas do traçado devem, necessariamente, garantir
distância de visibilidade maior ou igual à distânçia de frenagem (Dl).
Eixo da estÍada
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Fieura 6.26 Giro ao redor da borda tnternaFigura 6.28 Visibilidade na curva horizontal - planta.
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94 Proieto Geométrìco de Rodovias Cap. 6
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Figura 6.29 Visibilidade na cun'a horizontal - seção-
Cálculo da distância mínima (M) entre o eixo da estrada e oeventual obstáculo
M : distância mínima entre o eixo da estrada e o obstáculo (m)
Mf : disïãncia entre o eixo da faixa interna e o obstáculo (m)
d : distância entre o eixo da estrada e o eixo da faixa interna (m)
Rc : raio da cutwa horizontal (m)
Rf : raio do eixo da faixa de tráfego intema (m)
Df : arco AÌl - distância mínirna de frenagem (m)
M:d+Mf
Rf:Rc-d
a : DflRf (rad)
Mf : Rí(\ - cosul2) : Rí (1 cosD.f l2Rf1
I nr)M,,, , t l r (Rc-r ,
l ' -cos.o.- , r ) |
Quando a distância M entre o eixo da estrada e o obstáculo for menor que
M,,i,, é necessário afastar a curva do obstáculo ou aumentar o raio de forma a obter
M 2 M,,,,,,.
Quando o obstáculo for um talude, pode scr desprezada a parte localízada
abaixo do ponto C (ponto do taluiÌe 0,75 m acima da bolda intema do pavimento).
pois essa parte do talude não bloqueia a visibil idade do motorista.
CAPITULO 7
Perfi l Longitudinal
7.1 IntroduçãoO perfil longitudinal, ou simplesmente perfil, ó o corte do tereno e da estrada
projetada por ulna superfície vertical que col.ìtem o eixo da planta'
Deve ser escolhido de tal forn-ra que permita aos veículos que percorrerem a
estrada uma razoável uniformidade de operação.
A escolha do perf i l ideal está int imatnente l igada ao custo da estrada,
especialmente ao custo da terraplenagem. Condições geológicas e geotecnicas das
áràas atravessadas pela estrada terão grande influência na escolha do perfi1' pois,
tanto na execução dos cortes como dos aterros, condições desfavoráveis do solo
natural podem exigir a execução de serviços especiais de alto custo, conto escavações
em rocha, obras especiais de drenagem, estabilização de taludes e outros.
Assim, muitas vczes, a diminuição da altura de um corte ou de um aterro pode
reduzir sensivelmente o custo de um determinado trecho da estrada.
Nem sempre essas reduções são possíveis, devido às características técnicas
mínirnas exigidas, à existência de pontos obrigados collìo concordância col.n outras
estradas, aos gabaritos de obras civis, às cotas rrínimas de aterro necessárias à
colocação do leito da estrada acima dos níveis de encheute etc'
Como exemplo, lembrarnos os serviços complemelltares necessários à redução
de recalques ou à garantia de estabilidade de aterros constmídos sobre solos moÌes,
à estabilização de taiudes de cortes altos, à execução de cortes etn rocha etc' Todos
esses serviços são dispendiosos etn relação ao custo normal da terraplenagem'
Da mesma forma que no projeto em planta, é sempre desejável que o perfil
seja razoavelmente homogêneo, a fim de permitir uma operação unifonne, isto é,
que as rampas não tenhatn grande variação de inclinação e que as curvas de
concordância vertical não tenham raios muito diferentes'
96 Projeto Geométrico de Rodovias Cao.7
Entretanto, a existência de variações acentuadas na topografia da regiãoatravessada obriga, muitas vezes, a execução de trechos de perfil cà caracteristicastécnicas bem diferentes.
Para o projeto do perfil longitudinal da estrada é necessário que inicialmenteseja levantado o perfil do terreno sobre o eixo do traçado escolhido.
Na fase de anteprojeto, a escala horizontal l:10.000 é suficiente.como as diferenças de altitude são pequenas em relação às clistâncias
horizontais, sempre é adotada uma escala vertical dezvezesmaior que a horizontala fim de possibil i tar uma boa visualização do perfi l . Assim, qrunao for adotadaescala hor izontal l :10000, a escala ver l ical deverá ser l ; i .00ô.
Na fase de projeÍo, é importante um niveÌamento do eìxo com maior precisão;nonrralmente o elnpfego de escala horizontal l:2.000 c vertical 1:200 esuficiente.
o perfil do terreno assim obtido é inadequado ao tráfego de veícuros por váriosmotivos: é irregular, pode ter inclinação muito forte, falta de visibilidade, probremasno escoamento de águas pluviais nas baixadas etc. Por isso, é necessário substituira superficie natural por uma superficie convenientemente projetada. o novo perfiÌé chamado perfil do projeto ou greide.
o greide da estrada é composto por uma seqüência de rampas,concordadasentre si por curvas verticais. o projetista deve, sempre que possivel, usar rampassuaves e curvas verticais de raios grandes, de forma a permitir que os veícuiospossam percoïïer a estrada com velocidade uniforme.
_ Projetos desse tipo são possíveis em regiões de topografia pouco acidenlada.
conforme o terreno vai ficando mais acidenàdo, o usodJru-pà, suaves e curvasde grandes raios começa a exigir um aumento do movimento de terra (maiorescortes e ateros) e, conseqüentemente, maiores custos.
Nesses casos, a escolha do greide é uma decisão entre melhores condiçõestecnicas com maior custo ou rampas mais acentuadas e curvas de menor ralo comum custo menor.
, Em temos mais práticos, o perfil de uma estrada é um gráfico cartesiano no
qual representamos, em abscissas, o estaqueamento do eixo e, em ordenadas, ascotas do teffeno e do projeto, além de outros eremenlos que completam as infor_mações necessárias à construção da estrada.
um exemplo de projeto de perfi l longitudinal é mostrado na Frsura 7.1.
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000+ZtZ=rudnU
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98 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap.7
7.2 Rampas
7.2.1 Comportamento dos Veículos nas Rampasa Veículos de passageiro.s: conseguem vencer rampas de 40Á a 5%o com perda
de velocidacle muito pequena. Em rampas de aÍe 3o/o, o comportamentodesses veículos é praticamente o mesmo que nos trechos em nível-
n Camüthões: a perda de velocidacle em rampas é bern rnaior do que a dosveículos de passageiros.
Nas rampas ascendentes, a velocidade desenvolvida por um can-iinhão dependede vários fatores: inclinação e comprimento da rampa, peso e potência do carninhão,velocidade de entrada na rampa, habil idade e vontade do motolista.
O tempo de percurso dos caminhões em uma determinada rampa cresce àrnedida que cresce a relação peso/potência. Assim, veículos com a Íìesffra relaçãopeso/potência têm aproximadamente o rÌesmo comportamento llas ran.Ìpas.
Caminhões medios conseguem manter velocidades da ordern de 25 km/h errrampas de ate loÁ e caminhões pesados, apenas velocidades da ordem de 15 km/h, nessas rampas.
7.2.2 Controle de Rampas para Projetos
7.2.2.1 Incl inações Máxima e Mínima das RampasCom base no comportamento dos veícuios nas rampas, podemos obter
elementos para a determinação das inclinações máximas admissíveis.
Rampas máximas com ate 3%o pennitem o movimento de veículos de passa-geiros sem restrições, afetam muito pouco a velocidade dos caminhões leves e médiose são indicadas para estradas com alta velocidade de projeto.
Rampas máximas com até 60Átèmpouca influência no movirnento dos veículosde passageiros, mas afetam bastante o movimento de caminhões, especialmentecaminhões pesados, e são aconselháveis para estradas com baixa velocidade de projeto.
Rampas com inclinação superior a 7o/o só devern ser utilizadas em estradassecundárias, com baixo volume de tráfego, em que a perda de velocidade doscaminhões não provoque çonstantes congestionamentos, ou em estradas destinadasao tráfego exclusivo de veículos de passageiros. Nessas estradas, em regiões detopografia acidentada, tôm srdo utilizadas rampas de ate 12Yo.
Quando a topografia do teneno for desfavorável, poderão ser adotados valoresmaiores que os indicados para as rampas máximas, de forma a dar maior liberdadeao projetista, evitando, assim, pesados movimentos de terra, cortes e aterros
Cap.7 Perf i l Longi tudinal 99
excessivamente altos, ou tnesmo viadutos e túneis que encarecerão a construção da
estrada.
A Tabela 7.I mostra os valores de inclinações máximas para rampas rccornendados
pelas Normas para Projeto de Estradas de Rodagern <1o DNER (5).
Tabela ?.1 lnclinação máxima das rampas (%).
Classe doprojeto
Relevo
Plano Onduìado Montanlroso
Classe 0
Classe I
Classe II
CÌasse II I
Classe IV
33
3
3
3
4
4.5
5
5a6
5 a j
5
6
6
t ]a /
6a9
A AASHTO ( l) recomenda ran'ìpa máxima de 5uÁ para estradas con.r velocidade
<le projeto de 110 km/h. Para velocidade de projeto de -50 krn/h, rampa nráxima
delo/o a 12oÁ, dependendo das condições topográficas. Para velocidades de pro;eto
entre 60 km/h e 90 kmih, adotar inclinações intermediárias.
Para rarnpas com comprimento l l lenor que 150 m ou em trechos cm declive,
de pistas com um único sentido de tráfego, os valores máximos adotados podem
ser acrescidos de ate 17o, c em estradas com baixo volume de tráfego, o acréscimo
pode ser de atê,20Á.
Rampas com inclinações mais fortes poderão ser usadas em casos especiais.
como ramos de acesso etc., desde que sejarrr suficientementc cutlas'
Nos trechos onde a água de chuva não pode ser retirada no sentido transversal
à pista, por exemplo, em cortes extensos ou em pistas com guias laterais, o perfi l
deverá garantir condições mínimas para o escoalÌlento no sentido longitudinal. Nesses
casos, é aconselhável o uso de rampas com inclinação não inferior a0,5'Á em estradas
com pavirnento <je alta qualidade e 1o/o ern estradas com pavimento de média e
baixa qualidade.
Quando a topografia da região atravessada for favorável e as condições locais
permitirem, poderão ser usados trechos em nível (rampa com inclinação 0%), desde
que haja condições para a perfeita dreuagern da pista.
7.2.2.2 Comprimento Crí t ico da RampasTrechos de estrada com sucessão de rampas muito cufias devern ser evitados,
nois criam a necessidade de um grande número de curvas verticais e' conseqüerl-
100 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 7
teu'ìente, problemas de visibilidade para ultrapassagem, que reduzeln a capaÇidade detráfego e afetam a segÌlrança da estrada.
Por outro lado, a utilização de rampas com grande extensão provoca a reduçãode velocidade dos veículos pesados, dif icultando o l ivre movimento dos veículosmais rápidos e reduzindo, também, a capacidade de tráfego e a segurança da estrada.
O comprimento máximo de uma rampa não é um elemento que possa serprefixado de uma maneira geral, pois em regiões montanhosas a topografia podeexigir rampas de grande extensão.
O termo contprintento crítico de wna rantpa e usado para definir o máximocotnprimento de uma detenninada rampa ascendente na qual o veículo-padrão podeoperar sem perda excessiva de velocidade.
O valor do comprimento critico deve ser determinado enr função dos seguintesfatores:
a Relação peso/potência do caminhão tipo escolhido como representativodo tráfego da estrada.
n Perda de velocidade do caminhão tipo na rampa.
n Velocidade de entrada na rampa, fator que depende das condições do trechoque precede a rampa considerada.
o Menor velocidade com a qual o caminhão tipo pode chegar ao final da rampasem prejuízo acentuado do fluxo de tráfego.
O gráfico da Figura 7 .2, obtido para um caminhão nacional de 154 kg/kW evelocidade de entrada na rampa de 80 km,4r, permite a determinação do comprimentoçrítico em função da inclinação da rampa e do valor estabelecido para a perda develocidade.
A Figura 7.3 mostra o rnesmo gráfico publicado pela AASHTO (l) para urncaminhão americano de 180 kg/kW e velocidade de entrada na rampa de 90 km/h.
Detenninação do comprirnento crít ico com o uso da Figura I .2 ou 7 .3:
l. O uso do gráfico implica a aceitação do caminhão tipo e da velocidadede entrada utilizados para a elaboração do gráfico.
2. Escolhe-se a maior perda de velocidade aceitável (gerahnente 25 km/h).
3. Entra-se no gráfico com o valor da incÌinação da rarnpa e tira-se o compri-mento crítico em função da curva de redução de velocidade escolhida.
Os gráficos das Figuras 7.2 e 7.3 também podern ser uti l izados para deter-nrinação do comprimento crítico mesmo quando a rampa é precedida por outrarampa ascendente. Nesse caso, devemos usar o seguinte procedimento:
u Fixar a redução máxima de velocidade (Ln.
Cap. 7 Perf i l Longi tudinal 10' l
Calcular a redução na rampa precedente, entrando no gráfico com a inclinação
e o comprimento, obtendo a redução de velocidade nessa rampa {L'r).
Calcular o comprimento crítico da rampa analisada, entrando novamente no
gráfico com a inclinação, utiiizando a perda de velocidade correspondente a(LV - L',n.
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Comprimento da râmpa (m)
Figura 7.2 Comprimento crít ico das rampas - caminhão nacional de 154 kg/kW
I'0 '100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Comprimento da rampa (m)
Figura 7.3 Con-rprirnento crít ico das rampas - carninhão americano de 1 80 kg/kW.
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102 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 7
Quando a rampa analisada e precedida por uma rampa descendente que petmite
o embalo dos veículos pesados, estes, geralmente, aumentam a velocidade na entrada
da rampa de forma a vencê-la com menor perda.
Quando projetamos rampas com comprimento maior que o crítico e desejamos
que o tráfego tenha um escoamento normal, precisamos criar, a pafiir do ponto
onde a rampa atinge o cotnprimento crítico, uma faixa adicional para o tráfego
dos veículos lentos.
Em estradas com múltiplas faixas de tráfego, as velocidades baixas de caminhões
podem ser mais toleradas do que em estradas de duas faixas e dois sentidos, pois
há mais oportunidades de ultrapassagem, o que reduz os congestionamentos
provocados peia espera para ultrapassar veículos lentos'
As estradas devctn serprojetadas de forma que a redução dc velocidacle dos
caminhões nas subidas não cause condições intolerávejs para os veículos que tentam
ultrapassá-los.
O comprimento crít ico obtido nos gráficos das Figuras 1 .2 e 1 .3 corresponde
ao comprimento do trecho em rampa. Quando uma curya vefiical fazparte do trecho
em subida, o valor obtido para o comprimento crít ico deve ser corrigido levando
em conta a interferência da curva veftical.
Nas rampas precedidas por curva vertical compreendida entre duas rampas
ascendentes, quando a difercnça entre as inclinações não é muito grande, a medida
do comprimento crítico deve ser determinada a partìr do ponto central da curva.
Quando a rampa em estudo vem após uma curva Vefiical prccedida por rampa
descendente e a diferença entre as inclinações e grande, 25o/o do comprimento da
curva vertical deve ser considerado como paÍe do comprimento critico.
7.3 Curvas Verticais de Concordância
As curvas verticais têm por objetivo concordar as rampas projetadas e devetn
ser escolhidas de forma a atender às condições de segurança, boa aparôncia e
visibil idade, e permitir a drenagem adequada da estrada-
Problemas de drenagem devem ser cuidadosartente analisados em cada caso
específico, especialmente nas curvas côncavaS compreendidas entre uma rampa
descendente e uma ascendente.
As curvas uti l izadas para concordância vertical podem ser circunferências
ou parábolas. A parábola simples dc eixo veftical e a mais utilizada por proporcionar
boa aparência à curva e boa concordância entre as tangentes, e possibil i tar fáci1
cálculo de suas cotas.
Cap. 7 Per{ i l Longi tudinal '103
7.3.1 Propr iedades da Parábola
n o ponto de interseção (I) de duas tangentes à parábola, traçadas a parttr
de dois pontos quaisquer P, e P, pertencentes à parábola, possui abscissa
cujo valor é a media elltre as abscissas dos pontos P, c P2 isto é, sua
projeção horizontal localiza-se exatamente no centro das projeções dos
pontos P, e P, (Figura 7.4).
u A variação da tangente à curva e linear porque a curva e um polinômio
do segundo grau, portanto a derivada é do primeiro grau'
Figura 7.4 ParáboÌa.
7 .3.2 Curvas Vert icais Paraból icasPIV
Figura 7.5 Curva verlical parabólica
Elementos da curva vertical
PIV : ponto de interseção das tangentes
PCV = ponto de curva vertical : início da curva vertical
PTV = ponto de tangente vertical: fim da curva vertical
Iv : pomprimento da curva vertical (projeção horizontal)
l, : inclinação da Primeira rampa
(+) ascendente; ( ) descendente
l, : inclinação da segunda rampa
(+) ascendente; (-) descendente
104 Projeto Geométrico de Rodovias Cao.7
ô : diferença algébrica de inclinação : ir.- i,
Importante'. toda medida em perfil é feita na projeção horizontal e não ao lonso dasrampas ou das curvas.
Propriedades da curva verticalPelo que foi visto na Seção 7.3.1, podemos inferir:o Em projeção horizontal, a distância enhe o pCV e o pIV é ieual à distância entre
o PIV e o PTV e ambas são iguais à metade do comprimáto da curva rv.n A estaca do PCV e igual à estaca do pIV menos Lv/2.o A estaca do PTV e igual à estaca do pIV mais Lvl2.
o A cota do PCV é igual à cota do PIV menos f .a A cota do PTV é igual à cota do pIV mais ir l i .
a A variação da inclinação da tangente em cada2ponto da curva é linear aolongo do comprimento.
A variação total de inclinação e ôi.Podemos calcular a variação de inclinação por unidadc de comprimento(m) por meio da relação õi/Lv,valor que chamaremos de razão de)ttudancade rctmpa (rmr): rmr : 6i/Lv.o inverso da relação anterior, k - Lv/õì, tomando õi emoÁ,fomece a distânciahorizontal necessária para obter 10Á devariação tle inclinação. o valor de À eútil na determinação do ponto máximo ou do ponto mínimo nas curvas queligam rampas de sinais diferentes. chamando de L^ a distância enhe o pcve o ponto de rnáximo ou ponto de mínimo da curva. temos: Lo - _ k . ì t.o inverso da mesma relação, com ôi tomado em número decimal. fomece oraio de curvatura no vértice da parábola.
D
o
Rv:
Esse parâmetro é muito imporlante porque influi diretamente na visibilidade ouea curya proporciona e, conseqüentemente, na segurança da estrada.
Da equação anterior temos:
Lv: Rv . õí
em que:
Lv : comprimento da curva (m) (projeção horizontal)Ru : raio no vértice da parábola (m)
â : diferença algóbrica de rampas (número decimal)
LvlÒl rnu'
Cap.7 perf i l Longi tudrnal 105
Equação da curvaSendo a cutva uma parábola de eixo vertical, a equação geral é:
! :a 'x2+b'x- tc
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Figura 7.6 Terntos da equação da parábola.
uma posição 'ruito
favorável para o cárculo da curwa e a colocação da origernno PCV, pofianto, sobre a curva; o termo in<lepenciente (c) ficaigual a zeto.paradeterminar os coeficientes a e b impomos a condição de que u p-abotu concordecom as rampas, isto e, que as tangentes à curva nos pontos pcv e prV tenham amesna inclinação das rampas i, e ir, respectivarnente. considerando que a derivadada parábola tem equação y - 2 . a . x *lr, temos:
noPCV ï : , , :2.a.0+b + b: i ,
i , - i, õi
2.Lv 2.Lv
x2 +ìr 'x
A equação fornece a ordenada;, em qualquer pontodìstância do PCV ao P e y : diferença de cota entre o pobter a cota do ponto, basta somar y à cota do pCV querampa anterior.
Pontos de máximo e de mínimoSeja v o ponto de ordenada máxima ou mínima da curva, para os casos de ralnpas
com sinais diferentes, e Z^ sua abscissa.
no PTV,
Então,
dv,k: í r :2-a.Lv+b +
P da curva, sendo ;r:e o PCV. Assim, paraé obtida no cálculo da
2.Lv
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106 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 7
Derivando a equação da curva, temos: *
: Y
* r,
igualando a zero, porque no ponto extremo a inclinação é nula, tcmos:
**u=o + Lr=-" ' í?
e a ordcnada do ponto V será: ,r=-T#
Coordenadas, em relação ao PCV de alguns pontossingulares da curva
Figura 7.7 Pontos singuÌares da curva.
Tabela 7.2 Coordenadas dos pontos singulares da curva.
Ponto x vPCV 0 0
PTV Lv (i1 + i2) Lt,/2
PIV Lv/2 i1 Lvl2
M Lvl2 6i . Lvl8 + i| Lvl2
V - iy . Lvlõi - iÌ Lrtl2 õi)
a equação cla cur:r,a fomece:
Cap. 7 PerÍ i l Longi tudinal 107
Cálculo das cotas dos pontos da curva em relação àprimeira tangente
Em reìação ao sistema de coordenadas da Figura 7 .7, as ordenadas dos por.rtosda prirneira rarnpa serão y = i, r.
ôt) .Y-I r v
t-' 2-Lv
conseqüenten-ìente, o valor da flecha/para qualquer ponto da cura será:
ôií - i , ' . , t f r r r ' I i r .x)
^õi1ou ,/ = - * -i '- a parlir da ralnpa.l . Lv
Em parlicular, no PIV (x : LvD),temos: -F: 9L!õ
t24.X
ouseja, J = , z ' rLV
7.3.2.1 Comprimento Mínimo das Curvas Vert icaisO comprimento de uma curva vertical Iv e escolhido em função de urna análisc
cuidadosa dos diversos fatores condicionantes do projeto, com o objetivo de obterurn greide econômico com características tecnicas satisfatórias.
A parábola simples, uti l izada para curvas verticais, e muito próxima de umacircunferência. Por isso, é usual referir-se ao valor do raio Rv da curva vertical,que deve ser entendido como o raio da circunferência equivalente à paráboia, istoé, uma circunferência de raio Rv igual ao raio instantâneo no vértice da parábola.
A equação que relaciona o raio ao comprimento da curva é:
Lv: õ i .Rv
Um processo prático para a escolha do valor Iv mais indicado para o caso,consiste no uso de gabaritos especiais para curvas verticais que, colocados sobreo desenho das rampas preestabelecidas, defìnem o r,alor do raio (Àv) que melhoratende às condições do projeto. Obtido Rv, o valor Iv poderá ser calcuiado com aequação anterior.
108 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 7
Curvas verticais convexasO comprimento mínimo de uma curva vertical convexa é detemrinado em função
das condições necessárias de visibil idade da curva, isto é, é escolhido de fonna aproporcionar ao motorista o espaço necessário para uma frenagem segura quando esteavista um obstáculo em sua faixa de tráfego. Condições de conforlo e boa aparênciasão normalmente alcançadas quando a cula atende às condições mínimas de visibilidadc.
Assim, para todas as curvas convexas da estrada dcvemos ter:
S>Dí
erÌì que:
S : distância de visibilidade do motorista
Dl' : distância minima dc fi'enagem
Para determinar o menor comprimento da curva vertical, de fonna a ser respeitadaa inequação anterior, fazemos S -- Df e estabelecemos a altura da vista do motoristaem relação à pista (/2,) e à altura do obstáculo (hr).Hâ dois casos a considerar:
l Quando a distância de visibiiidade (,5) é menor que o colnprimento da curva(Zv). Nesse caso, na condição mais desfavorável, tanto o veículo quantoo obstáculo estarão sobre a curva (Figura 7.8).
2. Quando a distância de visibilidade (,ç) é maior que o comprimento da curva(Zv). Nesse casol o veículo e o obstáculo estarão sobre as ranlpas (Figura7e)
n'J ry-.-ír",
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< L . --\
Figura 7.8 Esquema de visibilidade para veículo e obstáculo sobre curva convexa.
n,J a-;)-n 'nr '(# ír* t*H=.=
-/-'--<Lv
Figura 7,9 Esquema de visibilidade, erÌ curva convexa, para veículo e obstáculo sobre rampas
Cap. 7 Perf i l Longi tudinâl 109
le Caso: S = Df 1Lv
Lv,,ín - la4 oí'
em que:
Lv,,i,, : menor comprimento da curva vefiical em metros6i : ir* i, em número decimal
D/ : distância de frenagem em metrosh, : a\tura da vista do motorista em relação à pista em metrosIt, - alfrira do obstáculo em metros
Para os valores recomendados pela AASIITO ( l ) , h, :1,07 m e hr:0,15 m.temos:
Llrrí,' =
20 Caso: S = Df> Lv
164 Dr'4,04
com Lv,,,.,e Df em metros
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Para os valores recomendado s, h r: I ,07 m e hr:O, I 5 m, temos:
Lvu,íu:2 Dí- +: con Lr,,,,,,e D.f emmerros" lô i l
O v_aÌo1 de Lv,,.,para h r: | ,07 m e hr: 0,15 m pode ser obtido com o gráfico dasFiguras 7.12e7.13.
Entrando com a diferença algébrica das rampas ô; (em porcentagem) e com avelocidade de projeto vp, oucom a distância de frenag em dis ej ável Dl obtemos ocomprimento desejavel para curvas convexas no gráfico rta Figura 7.12.
Os valores assim obtidos são muito seguros, rnas bastante altos. A adoção dessesvalores desejáveis como critério de projeto pode gerar custos elevados em estradasque cluzam regiões de topografia acidentada.
Para que o projeto não crie estradas com custo de construção excessi\,o, pode-seusaq ainda com segurança, o valor mínimo para a distância de frenagem calculada para avelocidade media de perÇurso na condição de baixo volume de tráfego. o compnmentomínimo paracÌÌwas convexas nessa condição pode ser obtido por meioão gráfico da Figura
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1 10 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap.7
7.13, entrando com a diferença algebrica das rampas ôi (em porcentagem) e a velocidade
de projeto Vp, oua distância de visibilidade mínima Df.
Curvas verticais côncavasO comprimento mínimo das curvas côncavas deve ser determinado em função
da visibilidade noturna (alcance dos farois), das condições de conforto e da drenagem
superficial.
Quando um veículo percorre uma curva côncava à noite, a extensão iluminada
pelos faróis depende da altura destes em relação à pista e da abertura do facho
luminoso. Aconselham-se os valores /2, : 0,6 m para a altura dos faróis em relação
à estrada e u: 1o para o ângulo de aberlura do facho luminoso em relação ao eixo
longi tudinai do veículo (Figuras 7.10 e 1 .11).
Lv
Figura 7.10 Esquema de visibiÌidade para veículo e obstáculo sobre curva côncava
Figura 7.ll Esquenra de vjsibilidade, em curva côncava, para veículo e obstáculo sobre rarnpas
lqCaso:5=Df<Lv
la| ní'LY u,íu z.(n.+ Df tgu)
Para os valores recomendados, /t. :0,6 m e u:1o, temos
lõ4 Df'Ll u,ru 1,2+0,035.Df
com Lv,,,,e Df em mctros.
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Cap. 7 Perf i l Longi tudinal 11t
2s caso: S = Df> Lv
Lru'u=2 Df -',,,P#"4
Para os valores recomendados, /r" : 0,6 rì e d: 1o, tefftos:
Lv,,,i,, = 2' Df -1,2+0,035.Dfcom Lr',,,-,, e Df ent Inelfos.
Não é aconselhável o uso de curvas veúicais de comprimento muito pequeno.
Por isso, o comprimento das culas, tanto couvexas cotno côncavas, deve atender
à condição:
Lv. . , - : 0,6 Vp
em que:
Lr,,,,, : comprimento mínimo (m)
Vp : velocidade de projeto (km,at)
Como ocorre nas curvas convexas, o comprimento desejável paÍa as curvas
côncavas pode ser obtido por meio do gráfico da Figura 7.14, entrando com a
diferença algébrica das rampas ôi (em porcentagem) e com a velocidade de projeto
Vp, ou com a distância de frenagem desejável Df.
O menor comprimento das curu'as côncavas a ser adotado como criterio de projeto
pode, tambem, ser obtido por meio do gráfico da Figura 7. 15, entrando coin a diferença
algébrica das rampas ôi (em porcentagem) e com a velocidade de projeto Vp, ou cottt
a distância de frenagem mínima.
Em curvas com mesmo raio, o conforto nas curvas convexas e maior que nas
côncavas porque, nas primeiras, o efeito das forças de gravidade e inercia (centrífuga)
tendem a se compensar, ao passo que nas côncavas esses efeitos se somam.
7.4 Considerações Gerais sobre o Traçado e oPerfi l Longitudinal
A estrada é um ente tridimensional formado por uma planta e um perfil que
devem ser estudados em conjunto.
O motorista que percoffe a esí?da em seu veículo não vê uma planta ou urn perfil,lnas uma série de retas e curvas que se sucedeln no espaço à medicia que o vcículo sedesloca.
lôi I
Assim' o perfil da estrada tem de ser escolhido em ha'nonia com a planta, ouseja, na escolha do traçado o projetista já teú de adotar soluçõ", q,r" p."*iram o projetode um bom perfil.
A observação de estradas bem e malsucedidas fomece arguns criterios básicosque podem orientar o projetista na elaboração de novos p.oi.tor.o um greide balanceado, composto por rampas e curvas verticars de grandes
raios, é preferível a um projeto de rampas muito extensas ou a um greìdecontendo uma seqüência de curvas verticais muito próximas.
o Não são desejáveis traçados com grandes retas combinad.s corn perÍir demuitas curvas verticais, assim como não são desejáveis traçados com muitascurvas horizontais combinados com perfil de rampas extensas. Soruçõesintemediárias entre esses extremos são melhores.
o Trechos extensos com traçado reto e perfi l composto por uma sucessãode lombadas são antiestéticos, gerammaior custo a"'op".ução para osveículos e dif icultam a ultrapassagem nas estradas de prsta única. Essesprojetos costumam gerar depressões ocultas nas regiões ã"
"r*u côncava,
onde os veículos aí rocalizados não conseguem ser vistos pelos motoristasque trafegam no sentido oposto. Nesses
"uror, o motorista pode ter a falsa
impressão de que a-estrada está rivre, quando há veículos na depressão.Esse defeito pode não existir se o traçaão contiver curyas horizontais.
o Rampas extensas geram problemas para o escoamento do tráfego quandohá caminhões pesados e incentivam os motoristas a descer em velocidadeexcessiva.
D curvas verticais sobrepostas a curvas horizontais, ou vice-versa, geramcuryas tridimensionais que, geralmente, representam uma boa solução. umacurva vertical de grande comprimento contida em uma curva horizontalde grande raio é sempre uma boa solução. curva horizontal contida emcurva vertical deve ser evitada; entretanto, se ocorrer, é importante que omotorista tenha informação de seu início (para os dois sentidos de tráf.ego).
o Nas estradas com dois sentidos de tráfego são necessários espaços segurospara ultrapassagem a intervalos não muito longos. A superposição de curvashorizontais e verticais reduz os espaços sem visibilidade.
o curvas horizontais de pequeno raio não devem ser colocadas próximas ao topode curvas convexas' pois o motorista pode não perceber a mudança de direçãodo traçado, principalmente à noite, quanào o facho Ìuminoso não atingl diretamentea pista.
Cap. 7 perf i l Longi tudinal t13
o Também'ão é aconserháver a combinação de curvas côncavas corlÌ cur\/ashorizontais de peque'o raio; camiúões costumam aumentar a verocidadenesses pontos, podendo ter dificurdade para percorer a curua horizontar.
o Nas curyas cô'cavas, e importante que existarn condições de drenagem nospontos mais baixos: assim, esses ponros devcrn fica, enr siruaçâo que pcrnrir,o eficiente escoamento de água, transversal ou rongitudhal'rentá. Essa condiçãoimpossibilita a colocação de curvas côncavas em coiles.
o Nos trechos em níver ou em rampas muito suaves tambérn são necessárioscuidados especiais corrÌ o escoamento de águas superÍiciais; em cortes extensosque não permitam o escoamento transversal, rampas com inclinação inferiora loÁ devem ser evitadas. Alem disso, em trechos cre baixa declivrdade, asuperelevação pode criar pontos de depressão na borda intema das curvaslÌorlzontals.
Condições gerais
um bom proieto oferece o máximo de segurança, não restringe a capacrdadede tráfego, permite uma operação fácir e uniforme e dá boa aparência à estracra,a.lustando-a ao terreno.
A escolha adequada do traçado e do greide e de fundamental importância,pois, depois de a estrada estar construída, quãlquer alteração do projeto geometricoimpÌica a perda dos .emais serviços e, cánseqüentemente, altos custos.
F' importante que a estrada seja agradáver para os motoristas que a percorrem,para isso, as soluções adotadas no projeto geométrico devem g.ru, un'u estradaem harmonia com a paisagen local.Pode ser que' ao combinar a planta e o perfil com superelevação, superlarguraetc., surjam situações especiais, difíceis de ser visualizad,as.Para uma boa análise é importante uma visão tridimensional do pro;eto; paraisso, é recomendáver o uso de programas gue geram rmagcns tr id imensronais.
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Cap.7 Perf i l Longi tudinal 115
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112 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap.7
116 Proieto Geométrìco de Rodovias Cap T
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CAPITULO 8
Projeto da Terraplenagem
8.1 Cálculo de Áreas e Volumes
O teneno como se encontra na natureza não e adeouado ao tráfeso cle rreículospor vários motivos:
n e irregular, não permitindo velocidade aceitável;
n pode apresentar inclinação longitudinal excessiva para um bom desempenhodos veículos que sobem e para a segurança dos que descem,
o pode apresentar curvatura que tome a visibil idade insufuciente;
u não apresenta condições de escoamento de águas pluviais sem danificara superfície de rolamento;
o falta de capacidade para suportar a catga do tráfego etc.
Para criar as condições necessárias ao bom funcionamento da estrada, asuperfície natural deve ser substituída por ulna superfície projetada, considerandoa segurança, o confoúo e o desempenho dos veículos.
Ao conjunto de operações que realizaln essa transfonnação damos o nomede terraplenagem, que consta de:
a desmatamento e limpeza da faixa a ser usada pela estrada;
D raspagem da vegetação superficial;
u execução de estradas de serviço;
a escavação do solo que se encontra acima da cota de projeto;
a transporte do material escavado;
e ateÍïo nos locais onde o terreno está abaixo do projeto;
D compactação dos aterros;
a conformação da plataforma e dos taludes;
o abertura de valas para serviços de drenagen-r;
a abertura de cavas para fundações de obras civis.
119
I
120 Proieto Geométrico de Rodovias Cap' 8
Geralmente, os itens que mais pesam no custo da terraplenagem são: escavação'
medida em m3; transporte, medido em m3 'km; e compactação, medida em m3 de aterro
pronto.
ocustodaterraplenagemfreqüentementeésignificativoemrelação'aocustototal da estrada, principalmente em terrenos ondulados ou montanhosos' E
conveniente racionalizarìua execução no sentido de diminuir, o máximo possível,
o custo sem prejuízo das condições técnicas. Assim, deve-se procurar, semple que
possível, upioulitu. o material escavado nos cortes pata a construção dos aterros,
evitando duplicidade de escavação, e organizar a distribuição entre os cortes e os
aterros de forma a conseguir o menor transporte total'
8.1.1 Seçóes Transversais
Definido o traçado da estrada e o perfil longitudinal do terreno, são levantadas
as seÇões transversais (veja Seção 1'5)'
Figura 8.1 Levantamento de seções'
Após o projeto do greide, da superelevação e da superlargura' temos a definição
da platàforma Oa estrada. Plataforma, terreno e taludes formam o polígono chamado
deìeção transversal (Figura 8.2). Em cada estaca temos uma seção transversal
cujo conjunto definirá os volumes dos cortes e dos aterros'
Figura 8.2 Seção transversal
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 121
As seções podem ser de três tipos: seções em colte, seções em aterro e seções
mistas. Este último caso, quando há parle em corte e parte em aten'o.
8,1.2 Cálculo das Áreas
O cálculo das áreas das seções e o primeiro passo para a obtenção dos volumes.
Quando a seção e totalmente em coÍte ou totalmente em ateno, calcula-se
simplesmente aârea do polígono e o valor obtido entra no processo de cálculo
dos volumes.
Quando a scção é mista, deve-se calcular separadamenteaâtea de cofie e a
área de aterro ou a Soma das áreas de cofte, se houver mais de u[Ìa, e a sotna das
áreas de aterro.
O cálculo das áreas pode ser feito por qualquer método informatizado. Dois
processos são práticos e eficientes e podem ser facilmçnte programados.
a) Pela fórmula de Gauss'.
Ia : l ; f (xryr+ x;r+ . . .x! , ) - ( )"xr+ l l r+ / , , Ì r ) l l
L
sendo (x_,y,) as coordenadas dos pontos que definem a seção, tomados em seqüência
sempre em um mesmo sentido ao longo do perímetro.
b) Petct divisão emJìguras geométricas'. divide-se a seção em vários trapezios,
calcula-se a ârea de cada um e soma-se.
A divisão em trapezios é mais prática para separar as áreas de corte e de aterro
nas seções mistas. Os lados paralelos do trapézio são diferenças de cotas entre o terreno
e a plataforma, e a distância entre eles e o espaçamento entre os pontos conhecidos.
Existem programas prontos no mercado que fazem o cálculo completo do proleto.
8.1.3 Cálculo dos Volumes
lnicialmente, calculamos o volume de cada segmento compreendido entre
duas seÇões consecutìvas. Se as duas seções forem de corte, teremos um volume
de corte. Se as duas seções forem de aterro, teremos um volume de aterro. Se tivermos
um seção de corte e uma de ateÍro ou se pelo menos uma seção for mista, teremos
volume de corte e volume de aterro no mesmo segmento, que deverão ser calculados
separadamente.
O volume do segmento é calculado de forma simplificada, multiplicando a média
das áreas pela distância entre as seções. Se as seções forem mistas, multiplicando a
média das áreas de code pela distância, obtém-se o volume de corte, e multiplicando
a média das áreas de aterro pela distância, o volume de aterro.
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122 Proieto Geométrico de Rodovias Cap. 8
Figura 8.3 Seções transversats.
Se o terreno entre as seções consideradas não for muito irregular, o eÍTo lnerente
ao processo é desprezivel. Quando o terTeno apresenta uma irregularidade signifi-
cativa é necessário criar seções intemediárias em posições convenientes.
Se uma Seção for mista e a outra não, segue-se o mesmo procedilÌìento,
considerando zero o valor da área inexistente nesta última seção. Esse procedimcnto
introduz um erro em relação a um cálculo matematicamente rigoroso, entretanto,
como iSSo OcOlTe onde normalmente oS volumes São pequenos, o eÍïo e desprezível.
Os volumes dos cortes e dos aterros são obtidos pela somatória dos volumes
dos segmentos elttre seções.
8.2 Distr ibuição do Material Escavado
Já dissemos que, sempre que possível, o material escavado nos coftes deve
ser aproveitado nos aterros para evitar nova escavação, o que aumentaria o custo
da construção desnecessariamente. A esse aproveitamento do material dos cortes
para constnrção dos aterros damos o nolne de compensação longitudinal de volumes
ou, simplesmenÍe, compensação de voluntes.
Há casos em que o material do corte não serve paÍa a construção de aterros,
por exemplo, Se se tratar de rocha ou de solo brejoso. Nesse caso, o material é
clescartado, devendo ser transportado e depositado em local conveniente. A essa
opcração damos o nome de bota-fora. Tarnbém ocolre bota-fora quando o volume
clos cortes é maìor que o volume de terra necessário para a construção dos aterïos.
Quando, ao contrário, o volume dos cortes e insuficient(^ pata a construção
tkrs aterros, efetua-se escavação (ou escavações) complementar em local escolhido
cnt função da localização, da distância e da qualidade do solo e transporta-se o
rrurtcrial até o aterro, em operação denominada empréstínto.
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 1?3
Casos em que há material disponível no colte, mas o atero Ìocaliza-se a utna
distância em que o custo do transporte é maior que o custo de nova escavaçào,
deve-se, por mot ivos econômicos, fazer bota-fora e et t rprést imo em vez de
cornpensação longitudinal.
Quando há corte e aterro no mesmo segmento entre seções consecutit,as, o
volume que puder ser compensado no próprio local não deve ser transportado,
evitando, assim, o transporte desnecessárìo. A compensação no mesmo segmento
e chamada de contpensação transversal ou compensação lateral.
Se o volun.re de çorte for maior que o volume necessário para aterro no meslro
segmento, o aterro deve ser fe i to com mater iaÌ do local , sendo ut i l izado na
compensação longitudinal apellas o volume excedente. Pode ainda, conforme o Çaso,
ser feito bota-fora desse volume.
Se, por outro lado, o volume de corte for insuficiente para a construção do
aterro naquele segmento, deve permanecer todo ele no local, vindo de outro segmento
do mesmo corte, de outro corte (compensação longitudinal) ou de en.rpréstirno o
volume que falta. Nesse caso, temos um volume excedentc negativo.
O volume da compensação transversal é sempre o menor entre o volume de
corteeovolumenecessár ioparaoaterro; eovolumeexcedcnteésempreadi ferença
errtre os dois.
8.3 Redução
Quando o material escavado nos cortes e colocado nos aterros- precisa ser
compactado a fim de atingir densidade suficiente para a estabil idade do aterro.
Geralmente, a densidadc do solo conrpactado e maior que a densidade natural do
solo escavado. Assim, a compactação dos aterros acarreta diminuição no volume
do material escavado. Chamamos de redução a diferença relativa entre o volume
natural do corte (Vn) e o volume do mesuo material depois de compactado no
aterro, chamado volume reduzido (V7) (12).
p -Vtt-Vr
sendo:
Yn
R : redução, normalmente indicada em 0Á
Vn : volume natural
Zr : volume reduzido
cnrão temos: v, ,=) ^.hl - - t (
124 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 8
IO fator f, =
- e chamaclo /a tor de redução ou coeficìente de redução e
l - l (indica por quanto deïeinos multiplicar o volume geométrico do aterro para obter o volume
necessário para construí-lo.
O valor do coeficiente de redução depende do tipo e da densidade nahral do material
do corte e do grau de compactação exigido para o aterro.
E possível obter o fator de ledução por meio de ensaios do material em laboratório,
porém, usualmente é adotado um valor medio com base no tipo do material-
Nos casos mais comuns, esse valor f,tca entre 1,05 e 1,20.
8.4 Compensação de Volumes
Para calcular a compensação longitudinal dos volumes, podemos construrr uma
planilha como a Tabela 8.1.
Tabela 8.1 Cálculo de tenaplenagem - para coeficiente de redução - 1.20.
Est.Off-set esq. Off-set dir. Areas Volumes Comp.
trans.Comp.Iong.
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Dist. Cota Dist Cota Corte Alerro Corte Aterro Corr.
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-3046
t777
146
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2154
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 125
As áreas e os volumes têm sinal positivo quando correspondem a coftes e negativoquando correspondem a atelÏos.
A coluna volume de corte contém o volume seometrico de cada segmento de
corte.
A coluna volume de aterro contém o volume geométrico de cada segmento
de aterro, ao passo que a coluna volume corrigido contem o volume de materiai
ao passo que a coluna volume corrigido contem o volume de material necessário
para construir cada segmento de aterro. E a coluna anterior multiplicada pelo
coeficiente de redução.
Na últirna coluna temos os volumes acumulados a partir da estaca inicial.
Acumulamos apenas o volume excedente (compensação longitudinal) com o
respectivo sinal, uma vez que o volume da compensação transversal é usado no
próprio segmento, não estando mais disponível.
Essa coluna indica quanto está sobrando (se positivo) ou faltando (se negativo)
desde a estaca inicial até a estaca local.
Assim, se para movimentar a terra escavada dos cortes para os aterros as
distâncias a serem vencidas não ultrapassarem a distância econômica de transporte,
o volume acumulado da última estaca indica quanta terra sobra ou falta em todo o
trecho. Caso contrário, deverão ser feitos bota-fora e emprestimo, aumentando essa
quantidade.
Outra maneira de obter a coluna final dos volumes acumulados, emvez de deduzir
a Çompensação transversal e acumular o volume excedente, é acumular o volume
total de corte e o volume necessário para os aterros (com os respectivos sinais).
A coluna frnal dos volumes acumulados, nesse caso, é obtida pela soma algébrica
direta dos dois volumes anteriores (exemplo na Tabela 8.2).
Contra a vantagem da primeira forma de calcular, que é apresentar separadamente
o volume compensado transversalmente e o volume transportado para outros segmentos,
esta segunda forma tem como vantagem apresentar, a cada passo, o volume total
escavado e o volume necessário para os aterros, permitindo por simples diferença
obter o volume de cada corte e de cada aterro.
lI
A)
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l-???
126 Projeto Geomátrico de Rodovias Cap. 8
Tabela 8.2 Cálculo de terraplenagem - para coeficiente de redução : 1,20
EsLOff-set esq. 0ff-set dir. Areas Volumes
Vol. ac.corte
Vol.nec.
âterro
LinhaBruckDist. Cota Dist. Cotâ Corte Aterro Corte AteÌTo
0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l l
t2
l3
t4
l5
l6
-7 ,45
-9,09
1 0,21
' t1 11
-.1 ? )q
-r 0,66
,'t,93
- t1)4
,13,7 6
15,71
,-18,1 I
- 15,05
10,93
..1 I ,20
-11,38
10,40
'7 A\
640,200
64) \4\
643,968
646,472
646,846
645,461
642,889
637,845
637,445
63 6,000
Á14 )45
636,237
639,037
646,000
646,431
645,800
643,250
7,45
8, l4
8,13
9,55
I 1,69
l 1,48
9,83
o ta
9,23
t5,71
13,20
8,18
12,81
t\)a
12,71
10.40
1 .45
640,200
64 l ,393
641,88r
643,7s8
646,249
646,28',7
644,187
644,t28
640,469
636,000
63't,521
640,8 1 8
647,469
650,049
647,196
645,800
643,250
|,15
I 9,93
32,01
64,09
90,11
70,21
26,66
j ,88
0,00
0.00
0,00
0,00
31,44
l0l ,93
90,36
54,37
I 75
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
24.69
64,14
- l 36,50
,1 )4 ))
-44,8'1
10,37
0,00
0,00
0,00
0,00
0
2t-7
519
961
1549
1610
969
305
39
U
0
0
1391
1923
t44'/
561
0
0
0
0
0
0
0
888
2006
2607
t ó91
552
-104
0
U
0
0
217
'736
t.697
3.246
4.856
5.825
6.t31
6.170
6.110
6.110
6.t70
6.5M
7.938
9.861
I 1.308
l l . t tó9
0
0
0
0
0
U
-296
1.362
-3.170
í.898
8.928
9.590
,9.715
-9.7 | 5
9.715
--9.115
0
7t7
736
|.691
3.246
4.856
5.825
5.835
4.801
2.400
-'r29
-2.758
3.046
-t .171
146
1 59i
2.154
8.5 Diagrama de Massas
O exame da últirna coluna nas Tabelas 8.1 e 8.2 fornece-nos informaçõesinteressantes, como, por exemplo, o início e o fim aproximado de cada code ouaterro, o volume de solo necessário ou disponível entre dois pontos quaisquer deum mesmo corte ou aterro etc. A representação gráfrca desses volumes nos forneceessas e outras informações de maneira direta, mais rápida e eficiente. A liúa obtidadessa forma é chamada de linha de Bruckner.
Com o desenho da linha de Bruckner na mesma folha do perfil e na mesmaescala horizontal, de maneira que as estacas con'cspondentes hquem na mesma
vertical, temos o Diagrama de Massas que e um instrumento muito eficientc para
o planejamento do movimento de terra.
Já vimos que as operações que niais pesaln na terraplenagem são: a escavação,o transporte e a compactação. Uma vez definido o perfil, o volume dos cortes e
Cap. 8 Projeto da TerÍaplenagem iZ7
dos atenos fica definido, o volume a ser compactado fica fixo e o volume escavado sómuda se houver empréstimo. Confudo, o transporte pode variar muito, dependendo dadistribuição da terra dos coftes.
Figura 8.4 CoÍes e aterros,
Podemos, em uma análise simples, transportar a tetra do corte I para o aterro
1, do cofie 2para o aterro 2, do corle 3 para o aterro 3, botando fora o corte 4. A
lnesma terraplenagem poderia ser executada transpoúando do corte 2 para o atero
1, do corte 3 para o ateno 2, do corte 4 para o ateÌ:ro 3, sobrando o corte I em
vez do 4. O custo seria diferente porque as distâncias de transporte não devem
ser iguais. É importante lembrar que o custo do transporte do solo em descida é
menor que o custo em subida.
Poderíamos, ainda, transportar parte de cada corte para o aterro anterior e
parte para o aterro posterior, obtendo distâncias e custo diferentes das soluções
anteriores, e corìo a proporção dessas partes pode variar à vontade, teríamos infinitas
maneiras de distribuir o material escavado.
O custo da terraplenagem dependerâ da solução adotada paÍa a distribuição
da terra. Como cada solução teln um custo diferente, se não adotanlos a de menor
custo estaremos desperdiçando recursos.
O instrumento que dispomos para otimizar a distribuição do solo e o diagrama
de massas, que tem, ainda, a finalidade de medir o momento de transporte, que é
o produto do volume escavado pela distância de transporte.
O diagrama de massas é, portanto, um instrumento indispensávcl na progra-
mação do movimento de terra.
8.6 Linha de BrucknerUsando a escala horizontal do perfil e uma escala vertical conveniente para
os volumes, a linha de Bruckner é construída com os valores da coluna volutles
acumulados da Tabela 8.1 ou 8.2.
8.6.1 Propriedades da Linha de Bruckner
a) Todo trecho ascendente corresponde a corte e todo trecho descendente
corresponde a ateno.
128 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 8
b) Todo máximo relativo corresponde a um ponto de passagem de corte para aterroe todo mínimo relativo a um ponto de passagem de aterro para corte.
c) Segmentos com inclinação mais forte (entendendo, aqui, a inclinação forte comoaquela que se aproxima da vertical) correspondem a maior volume por unidadede comprimento. Mantidas a largura da plataforma e a inclinação dos taludes,obtem-se a maior altura de corte ou aterro.
d) A diferença de ordenada entre dois pontos de um mesmo trecho ascendenteou descendente representa o volume disponível ou necessário entre essespontos.
e) Uma reta horizontal que corta dois trechos consecutivos, um ascendente eum descendente (em qualquer ordem), determina dois pontos entre os quaisexiste compensação de volume. Esse volume e dado pela diferença de ordenadaentre o ponto extremo da linha de Bruckner e a reta horizontal de compensação.
I A posição da linha de Bruckner em relação à linha de compensação indicao sentido do movimento de terra. Linha de Bruckner acima da linha decompensação indica movimento no sentido do estaqueamento; l inha deBruckner abaixo indica sentido contrário.
g) O momento de transporte de um trecho compensado é dado pcla área dafigura compreendida entre a linha de compensação e a linha de Bruckner.
Para demonstrar esta última propriedade, tomemos um trecho de corte e umtrecho de aterro cujos volumes se compensam (veja a Figura 8.5).
F'igura 8.5 Momento de transporte de um trecho compensado.
A terraplenagem e feita em diversas viagens sucessivas, nas quais volumesde terua são escavados no corte e transportados para o aterro.
Cap. B Projeto da Terraplenagem 129
Acompaúando o exemplo da Figura 8.5, imaginemos que um cefio volume l', foi
escavado no fim do corte e depositado no início do aterro. O voiume transporlado é
representado, no diagrama, pela altura da faixa 1 e a distância de transporle, peio
comprimento módio da faixa. Logo, o momento de transporte e reprcsentado pela
área da faixa l. A seguir, um volume Z, e transportado, sendo seu momento
analogamente representado pela âtea da fatxa 2. Quando o último volutne for
transportado, seu momento, que corïesponde à faixa n, completa a área compreendida
entre a l inha de Bruckner e a l inha de compensação.
8.7 Distância Econômica de Transporte
E a distância crítica, para a qual o custo da compensação iongitudinal e iguai ao
custo do bota-fora nrais o custo do emprestimo-
Para distâncias menores que a distância econômiça de transpoúe, ó mais econôrnico
transportar a terra dos cortes para os aterros; para distâncias maiores, e mais barato
fazer bota-fora do matcrial do corte e tìova escavação para construção do aterro.
A distância econômica de transporle (d",) e função dos custos de escavação e
transporte e das distâncias médias de transpofie para empréstimo e bota-fora.
Chamando de C, e C, os custos das duas alternativas' temos:
C, : V . C"+ V d C,= custo para compensação longitudinal
C, : Y . C"+V - doí - C,+V' C"+ V.do,o' C,:custoparabota-fora+
empréstimo
sendo:
Z : volume transporlado (m3)
d : distância méclia de transporte (km)
C' : custo da escavação ($/m3)
C, - custo do transporte t#t]dr, : distância média para bota-fora (km)
d ",,r:
distãncia media para emprestimo (km)
igualando os dois custos, temos: d = dur.* d",,,r* -u
Por exemplo, se o custo de escavação fot 2,6 R$/m3, o custo do transporte
1,3 R$/(rnr.km) e as distâncias medias de bota-fora e de empréstimo 0,2 km e 0,3 krn,
respectivamente, d",será (base de preços - 1q semestre de 2000):
dn,:0,2 + 0,3 + 2,611,3: 2,5 km
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130 Projeto Geométr ico de Rodovias Cap. 8
8.8 Linha de Distr ibuiçãoE uma linha horizontal, contínua ou não, que corta todos os trechos ascendentes
e todos os trechos descendentes da linha de Bruckner, cobrindo toda a extensão
do projeto, com exceção dos bota-fora e empréstimos. Em outras palavras, é o
conjunto das linhas de compensação que demarca todos os volumes compensadoS'
bota-fora e emprestimos.
Assim, rro exemplo s i r t tp les da Figura 8.6, se quisermos tomar o eixo x. que no
diagrama é chamado de linha dc terra, como liúa de distribuição (Zl), é perfeitamente
possível porque satisfaz as condições do parágrafo anterior. Se quisermos tomar a lfuha
que passa pelo ponto final (L2), também será possível. o mesmo vale para qualquer
lìnha intertnediária, como, por exemplo, a 13.
Adotar a linha Li como linha de distribuição significa fazer o movimento de terra
indicado na Figrira 8.6(a). Cada par de pontos consecutivos em que a linha de distribuição
corta a liúa de Bruckner determina um segmento compensado. Bairando perpendiculares
por esses pontos, podemos visualizar no perfi l os volumes de corte e aterro que se
compensam.
Da mesma forma, adotar a linha L2 ou a Z3 como linha de distribuição, significa
fazer as compensações indicadas na Figura 8.6(b) e (c), respectivamente.
8.8.1 Escolha da Linha Econômica
Vemos que a linha /. I fazbota-fora no ftnal do trecho, alinha L2, no Çomeço e a
linha 13 ïazparte no começo e parte no fim, sendo o volume total de bota-fora igual
nos três casos.
Admitindo que os momentos de transporte para os bota-fora sejam iguais.
podemos dizer que a liúa mais econômica das três apresentadas é aquela que possui
o menor momento, isto é, a menor soma das áreas compreendidas entre a linha
de Bruckner e a linha de distribuição. No caso, e a linha 13.
E fácil ver que alinha L3 e melhor que a 11, pois a faixa (l ), compreendida entre
as duas linhas no primeiro segmento do diagrama, e maior que a faixa (2) do segundo
(Figura 8.7). Para passar da l inha Ll para a l inha 13, eliminamos a faixa (1) e
acrescentamos a faixa (2), que e menor, diminuindo a área total, o que significa menor
rìromcnto de transpofl e.
Porém, para passar da liúa L3 paraa linha 12, eliminamos uma faixa menor (3)
c acrescentamos uma faixa maior (4), ficando a área final maior que a anterioq aumentando
o momento de transPotle.
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 131
L2
L3
L1
(a)
(b)
(c l
Figura 8.ó Linbas de distr ibuição.
1?2 Projeto Geométrìco de Rodovias Cap.8
Figura 8.7 Comparação er.rtre linhas de distribuição.
Vejamos agora se há alguma linha rnelhor que a 13. Se tomarmos uma nova linha
abaixo desta, com pequena diferença de ordenada, veÌemos que a área (a) aumenta ea área (b) diminui (ver Figura 8.8). Como o segmento AB é maior que o BC , a parcela
acrescida à área (a) será maior que a parcela subtraída da ârea (b), Íìcando a soma
total das áreas maior que a anterior. A nova linha será, poÉanto, antieconômica.
Figura 8.8 Avaliação do momento por meio das áreas do diagrama.
Se, no entanto, tomarmos a nova liúa um pouco acima da liúa 13 a diminuiçãoda area (a) será maior que o aumento da ârea (b), sendo a nova linha mais econômica.Se tomarmos uma nova liúa acima desta última, será ainda melhor. Enquanto SC for
menor que AB, quanto mais subirmos a linha, mais econômico resultará. A partir disso,se subirmos mais, o aumento da área (b) será maior que a diminuição daârea (a), sendoantieconômico. Portanto, a melhor posição da linha de distribuição, neste caso simples,e aquela em que AB : BC.
A Figura 8.9 é uma generalizaçáo do caso anterior. A linha mais econômicaé aquela para a qual a soma dos segmentos que ficam abaixo da linha de Bruckneré igual (ou que mais se aproxima) à soma dos segmentos que ficam acima. Essaafrrmação é válida quando há linhas que cortam todos os trechos ascendentcs etodos os trechos descendentes da linha de Bruckner e quando as distâncias detransporte não são maiores que a distância econômica.
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 133
Figura 8,9 Linha de distribuição para vários cortes e aterros.
Casos especiais
Quando uma linha horizontal de colnpensação gera trechos com distâncias de
transporte maiores que a distância econômica, mesmo cortando todos os Segmentos
ascendentes e descendentes, não deve ser adotada como linha de distribuição, pois e
antieconômica (Figura 8. 10).
Figura 8.10 Distâncias rtaiores que d,.
O volume Z, do trecho a não deve ser transportado para o trecho ò. E mais
econômico fazer bota-fora do primeiro e empréstimo para o segundo. lsso nos daria
compensação entre os pontos A e B, C e D, D e E, oom bota-fora de V, e empréstimos
de tr/, (entre B e C) e V, (.no final), conforme ilustra a Figura 8.11.
Figura 8.11 Definição dc bota-fora e empréstimos.
Entretanto, o volume Z, do trecho ó pode ser trazido do corle seguirtte porque
está dentro da distância econômica. Isso nos daria outra solução, que seria prolongar
a reta AB até o último aterro,
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134 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 8
Adotar a reta AB e fazer o bota-fora no trecho c é, sem dúvida, coneto. Porem,
daípara a frente vale o que vimos no caso anterior (Figura 8.8) e a melhor solução e
a que determina segmentos CD e DE iguais.
A solução mais econômica está mostrada na Figura 8.12.
Figura 8.12 Linha de distr ibuição do caso em estudo.
Outro caso interessante e quando temos um atcffo e um corte menores compreen-didos entre um corte e um aterro maiores. A linha de tena não pode ser utilizada comolinha de distnbuição porque não corta os segmentos corespondentes a todos os codese aterros. A linha de Bruckner ten.ì um ponto de mínimo acima da linha de terra (situação
análoga seria um ponto de máximo abaixo).
Tracemos uma horizontal passando pelo ponto de mínimo conforme a Figura 8.13.Chamemos de A o ponto onde esta horizontal cofia a linha de Bruckner no corte rnaior;B onde corta no aterro maior; C o ponto de mínimo; O a origem; e P o ponto onde alinha de Bruckner corla a linha de tera.
Caso (b)
Caso (c) oer --------->
F-igura 8,13 Atcno e corte ÌneÌÌores compreendidos er.Ìtre corte e aterro maiores.
Temos três situações diferentes:
Caso (a):4. > ReNesse caso, o material escavado pouco antes do ponto A pode ser transpoúado
cconomicamente para o segundo aterro, pouco depois do ponto B.
o^,
Caso (a)
Cap. B Projeto da Terraplenagem 135
Consideremos duas altemativas para a linha de distribuição: a linha (t1) que tan-Sencia
o ponto C (Figura 8.14) e a linha (L2), acima da anterior (abaixo não serve), em un-ìa
posição generica (Figura 8.l5). Comparemos a área do diagrama con"espoudente ao
momento de transporte de cada altemativa.
Figura 8.14 d,.,maïor que AB - linha na cota do ponto de mintmo.
O momento que teríamos na primcira altemativa é mostrado na Figura 8.14. A
ârea Arcorresponde ao transporte de parte do primeiro corte para construir o primeiro
aterro; a ârea Arcorresponde ao transporte do segundo cortc para consttuir prrte tlo
segundo aterro: a ârea A, abaixo da linha de distribuição, corresponde ao transpofie
do restante do primeiro corte para continuar o segundo aterro ate o ponto P.
O momento que teríarnos na segunda altemativa, para construir o mesmo trecho,
pode ser visto na Figura 8.15. Cornpreende, de maneira análoga, as três áreas, Ao,
A, e Au, entre a linha de Bruckner e a linha de distribuição, mais a área A-, entre
esta e a linha de terra.
Figura 8.15 d, maior que AB - linha acima do ponto de rnínimo.
Observe que esta última altemativa tem um momento rnaior que a primeira, sendo
a diferença izual a duas veze; a área A. da Figura 8.15. Portanto, nesse caso' a solução
mais econômica e a linha que tangencia o ponto de mínimo.
Caso (b): AB ) d*> ACNeste caso, o material escavado antes do ponto A não e transportado para o segundo
ateffo, devendo ser feito o bota-fora.
136 Projeto Geométrico de Rodovias cap. 8
O momento do bota-fora, mais o do empréstimo, mais o equivalente à novaescavação, pode ser representado no diagrama pela área A, da faixa entre a linha dedistribuição e a linha de terra, cujo comprimento é d",.
Na Figura 8.16 representamos o momento da linha (Il) e, na Figura 8.17, o momentoda linha (L2),lembrando que a área mais escura aparece duas vezes (as linhas têm omesmo sisnificado do caso anterior).
Figura 8.1ó AB maior que d",maior qu. AC - l inhu no ponto de mínimo.
Figura 8.17 AB maior que d,maior que ÀC l inha acima do ponto de mínimo.
Superpondo os dois diagramas e eliminando o sombreado das áreas comuns, vemos,na Figura 8.18, que a linha (I l) tem a ârea Ara mais que a linha (L2); e ahnha (L2)tem a mais duas vezes a ârea A,^.
Figura 8.18 AB maior que d",maior que AC - comparação entre as duas linhas.
Cap. 8 Projeto da Terraplenagem 137
Se colocarmos a l iúa (L2)bempróxima da linha (L1) e a deslocarmos grada-
tivamente para cima, vemos que, no início, a área An é maior que o dobro da área A,u,
pofianto e vantajoso subir a liúa de distribuição. A parlir do ponto cm que e área An
ior igual ao dobro da área A,o, se continuar subindo, a área total aumenta mais que
diminui. Pofianto, a melhor pôsição da liúa de distribuição e aquela em que a ârea Ao
é igual ao dobro da área A,o.
Caso (c): a distância econômica é menor que ocomprimento dos cortes e dos aterros
Neste caso, teremos bota-fora em todos os coftes e emprestirno em todos os
atelTos, ficando os trechos compensarJos isolados uns dos outros. A solução e muito
simples e pode ser vista na Figura 8'19.
Há, ainda, variações em torno dos casos aprcsentados, criando outros trpos
de solução.
No caso mais geral, principalmente quando o trecho é longo, temos uma mistura
dos casos apresentados, salientando que, sempre que há bota-fora ou emprestimo
em posição forçada, os trechos por ele separados devem ser tratados de fonna
independente.
Figura 8.19 d.,menor que os comprimentos dos cortes e dÕs aterros
g.g cálculo simplif icado do Momento de Transporte
O cálculo do momento de transporte por meio da área compreendida entre a linha
de Bruckner e a l iúa de distribuição e muito trabalhoso. Por essc motivo, é comum
calculá-lo de uma maneira não muito rigorosa, porém bem mais simples e rápida.
Tomemos um trecho onde há compensação de volume entre um corte e um ateffo
(ou entre parte deles), conforme ilustra a Figura 8.20.
O volume transportado é dado pela diferença de ordenada entre a linha de
Bruckner no ponto extremo e a linha de distribuição. Se traçarmos luÌìa horizontal
pelo ponto -ãdio
do segmento que representa o volume, esta reta ençontrat"á a liúa
de Bruckner em dois pontos; um no corte e outro no aterro (A e B na Figura 8.20).
14O Pro.jeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
9.2 Elementos Básicos para o Projeto
9.2.1 Exercícios Propostos
Exercício 2.1Calcular as distâncias de visibilidade desejável e mínima para frenagem em uma
rodovia com velocidade de projeto de 100 kmlh, estando o veículo em rampa ascendentede 5o/o.
ResposÍa: jável :784,7 m
mínima:142,4m
Exercício 2.2Calcular a distância de visibilidade desejável e a mínima para frenagem em uma
rodovia com velocidade de projeto de 100 larÀ, estando o veículo em ÍïÌmpa descendentede 5Yn.
Resposta: desejável: 232,5 m
mínima =176,9m
9.3 Curvas Horizontais Circulares
9.3.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 3.1Em uma curva çircular são conhecidos os sesuintes elementos:
PI : 148 + 5,60 m
AC :22'36'
R : 600,00 m
Pede-se: calcular a tangente. o desenvolvimento. o grau e as estacas do PCe do PT.
Resolução:
AC:26"36'
^ACI - 1( ' tP-"2
: ) )6o
22.6:6uu' tg ^
:119,89mz
Pl . tr' ': 1)'AC
^ r .R-ACl )= _
180x .600.22,6
_236,61m180
Cap. 9 Exercícios 1141
PC:U42+ 5,711
PT: [154 + 2,38
- _ 1.145,915ó 1.145,9156
à 600
[PC]: tPrl - r : [148 + 5,60]- [s + 19,89] +
tPTl: tPCl + D -1142+ 5,711+ l lr + 16,671 Ê)
,flblgvaeão: o desenvolvimento pode, também, ser calculado pela relação
n=-" c'". Queremos alerlar para o seguinte probiema: se o grau for.calculado
t.ttt p.H.itão suficiente, por exemplo, pela fórrnula muito utilizada c =$ e nãocomo foi feito anteriormente, poderá ocorrer erro no valor cle D. Na crirva cladateríamos: D:2-0++ :236,65 m, com erro de 2 centímetros.1.1461600
Exercício 3.2calcular a tabela de locação païa a curva do exercício anterior.Resolução:
Deflexão para o PT : AClz : 22,612 : I 1,3 graus
Deflexão para I metro : 71,31236,67 :0,041745g06 sraus
E stacaCorda
(m)Distância
(m)Def lexão(graus)
Def lexão(gr. min. seg.)
142 + 5 ,71143
r44
145
146
147
148
149
150
151
r52
153
t54
154 + 2,38
0
14 )q
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
? ìR
0
14,29
34,29
54 )q
7A )q
94 )a
114,29
134,29
| 54,29
17 4,29
144 )q
214,29)14 )q
236.67
0
0,682288
1,637204
2,592120
3,s47036
4,50t952
5,45 6868
6,411'7 84
7,366700
8,32r617
9,27 6533
10,23t449
r r ,1 86365
I 1,300000
00 00
40 56
38 14
35 32
32 49
30 0l
27 25
24 42
22 00
t9 18
16 36
13 s3
l t l l
18 00
0
U
l
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
Ì
142 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Exercício 3.3i
No traçado anterior, em que as curvas são circulares, calcular a estaca final do
Resolução:
4c 46T = R, Íp " ' | = 1.200 re j" 2 "2
u\ -
PC,
PT,
n.R,-AC, _t t '1200-46180 180
- 1.080,00 - 509,31
: 570,63 + 963,42
= 509,37 m
:963,42 m
- 510,63 m
-1514O5m
: 428,72 mÁ (- 3t)
f , ' = R. . to" ' ' = 1.600 ts:"2 '2
^ r R,- AC. z 1.600 30,, = -ff =
180 - 837.76 m
PCz: PTr + 2.141,25 - T,- Tr- 1.534,05 + 2.141,25 - 509,37 - 428,72
PCr: 2.737,21 n
PT. : 2.737,21 + 831,1 6 : 3.51 4,97 n
Est. Final: PT2 + 1.809,10 - T2:3.574,97 + 1.809,10 - 428,72:4955,35 n
Estaca final: [247 + 15,35]
Exercício 3.4Em um traçado com curvas horizontais circulares, confonne o esquerna a seguir,
desejando-se que os dois raios scjarn iguais, pergunta-se:
a) Qual o maior raio possível?
Cap. 9 ExercÍcios 143
b) Qual o maior raio que conseguiremos usar, deixando um hecho reto de 80 meflosentre as curvas?
Resolução:
Considerando que a tangente da cuwa aumenta proporcionaltnente ao raio, para
conseguiÍmos o maior raio possível, deverentos usar a maior tangente dentro do espaço
disponível. Assim, na condição d terell los PTr - PC2 e na condição b,PC2= PT, + 96
a) T +7":120
40T, = R.ts:' "2
)RT. = R.ts:' "2
R ' tg20 + R' tg14:720,00
b) l+r+80:120,00
R. tg20 + R. rgl4:640,00
R : 1.173,98 m
R : 1.043,54 m
Exercício 3.5
I
I
1M Projeto Geométrico de Rodovias Cap 9
Dadas as cìtrvas horizontaiS cirCulares consecutivas, conf0rme esquema antenor,
desejamos substituí-las por uma só, nas seguintes condições:
a) Usando o maior raio, sem que a nova curva saia do intervalo entre o PC, e o
PTr '
b) Usando o raio cujo valor é a média dos raios das duas curvas'
Calcular o raio da nova curva e as estacas do PC e do PT em cada caso.
Cálculos iniciais:
Curva 1:
D1 -* l l22 + 8,001 - [105 + 12,90]: 335,10 rn
AC, :49'
R, : 180' Dl(n 'AC):180 335'10l(n '48):400,00 m
I, : 400,00 . tgg8lz): 178,09 m
Curva 2:
D, -- ll3l + ll,26l - ll22 + 8,001 : 183,26 m
AC, :35"
R, :180 'Dl( t r 'ÁC):180' 183,261(rc 3s):300,00 m
r, : 300,00 . tg(3512):94,59 m
solução a): se a curva não pode sair do intervalo entre o PC,e o PT2 as
tangentes externas devem ser mantidas e o novo PI hcará na interseção destas'
Consideremos o triângulo formado pelos PIs antigos e o novo:
a : T, + Tr= 272,68 m Í
b : 151,58 m
c :204,16 m
T,+ b :335,67 m
Tr+ c -- 298,75 m
O PT, fica mais perto do PI do que o PC,;(f será igual a Tr'r c -- 298,75 m.
lPr l : [PC,] + r Í b: [105 +
AC: 49" * 35" : 93"
T:298,15 m
R: 298,751tg(8312)
12,901 + 335,61 m: l l22 + 8,571
PI
portanto, a tangente da nova curva
+ F=3?S8'"1
D : n. 331 .68' 83/180 : 489,17 m
lPCl : 1122 + 8,s71 - 298,1 s
lPTl : [107 + 9,82] + 489,17
Solução b):
R:(400,00+300,00y2
r : 350,00 tg (8312):309,65 m
A estaca do PI é a nresma : [122 + 8,57]
Então, lPCl : ll22 + 8,511- 309,65
D: t ' 350,00'83/180:507,02 m
[PTl - [106 + 18,92] + s0'1,02
9.3.2 Exercícios ProPostos
Cap. 9 ExercÍc ios 145
PC: [107 + 09,82]
PT:[31+18.99]
+ tì - ro,oo rl]
PC-1106+18,92
4 Eil@
Exercício 3.6Em uma curva horizontal circular, conhecem-se os seguintes elementos:
G:7'
PC: [55+9,83]PT : [8] +9,83]
Se alterarmos o raio para 2.000 m, conservando as duas tangentes, qual será a
estaca do novo PT?
Resposta: PT:[9] +0.22]
Exercício 3.7Em um trecho de rodoüa temos duas curvas circulares simples: a primeira começando
na estaca [10 + 0,00] e terminando na estaca 120 + 9,44) com 300,00 m de raìo e a
segunda começando na estaca [35 + 14,60] e tenninando na estaca [75 + 0,00] com
1500,00 m de raio. Deseja-se aumentar o raio da primeira curva para 600,00 Íì sem
alterar a extensão do trecho. Qual será o raio da segunda curva?
^ t ; - ; - rResposta: 1117, '38m I
Exercício 3.8No trecho a seguir, queremos alterar os raios das curvas, mantendo a proporção
entre eles, de forma a criar um espaço de 80 metros entre aS curvas' sem alterar a
poligonal. Quais os raios das novas curvas?
R1 = 1200,00 m
146 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
32.
ResposÍa: R, = 1.036,32 mRr:518,16 m
Exercício 3.9
Temos um trecho de rodovia com duas curvas circulares conforme esquema antenor.Pergunta-se: qual a distância entre os PIs?
á
-â
A
-
-
-
-
-
-
-
-)
-w'
Resposta: tlJ45J0 -l
Exercício 3.10curya 1
AC = 32"
Conheçendo-se os elementos indicados no croqui anteriol calcular a estaca finaldo trecho"
ResposÍa'. trt. Io,órf l
o_
-\ .-f AC=24"
pT. =[49+2,89]
Cap. 9 Exercícios 147
Exercíc io 3.11Na poligonal da figura, queremos projetar três curvas horizontais circulares. de
maneira que o menor dos raios tenha o maior valor possír,el e, defilido esse valor, osoutros dois raios tenham o maior valor possível. A distância n.rinima entre duas cu11'asconsecutivas deverá ser de 80 metros.
Qual a estaca do primeiro PC?
.,^o*no){lo*". ^1^"--//--t
----------4 sooqooÌh
'---t Y; uoo,ó.Estaca t- \
Resposta PCt: [27 + 18,39]
Exercício 3.12Em um trecho de estrada há três curvas consecutivas, conforme esquema a seguir.
Pretende-se fazer uma alteração de traçado, ligando diretamente um ponto da cunya 1ao PI da curva 3. Qual a estaca do ponto P a partir da qual será iniciada a alteração dotracado?
148 PÍojeto Geométrico de Rodovias Cap 9
Dados:
ÁCr:60'R,:500,00 m
AC":45" Rr:500,00 m
ACr:30" R.: 500'00 m
PCÌ: [73 + 16,40]
PCr: [114 + 12,89]
PCr=[152+11,63]
Resposta'. l[8g. ?B8l-l
Resposta.
Exercício 3.13
Queremos projetar Ìrm ramo de entroncamento com duas curvas circulares reversas'
conformeesquemaanterior.Aestacazerodoramocoincidecomaestaca[820+0'00]e o PT, coincide com a estaca [837 + 1'42] da estrada tronco'
Calcular os valores de R,, Rr, PI2' PT2'
g.4 Curvas Horizontais com Transição
g.4.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 4-1
Estamosprojetandoumarodoviaparal00km/h.Calcularocomprimentodetrarrsiçãomínimo,omáximoeodesejávelparaumacurvahorizontalcujoraionotrechociÍcularé 600,00 m, a supereleuaçaã e g7o, o ângulo central é 60" e a largura da faixa de tráfego
e 3,6 m.
Resolução'.
Comprimento minimo:
0,036 ' Z3 - 0,036'1003 : 60,00 ma) Critério dinâmico: Ls,,í,=
* 600
t
í
b) Critério de temPo:
c) Criterio estético:
Comprimentomáximo: Is,,a,
Comprimento desejável :
CaP. 9 Exercícios 149
v 100Ls,, í ,=
i ,g =
l ,S :55,56m
Ls,,í,: e,' l, I (0,7 l- 0,0026' VP)
Lr- ,n:3,6 '9 I (o '71 - 0,0026 ' 100) : 12'oo m
n' R' AC n'600'UO- : Urr,rr^= --80 =- l8o
0.01 . v3 0,07'1003/ " . = - ' " '*d4
Rc 600
ú
é
vé
d
í
á
I
t
ú
ú
rÍ
í
Lso", = 120,00 m< Ls,,^ +oK
Conclusão: Lt^, , :72,00m
Ls^^ :628,32m
Lso", :120,00 m
Observaçãol:ocomprimentodesejávelnãopode'evidentemente'sermarorqueo máximo. Se isso acontecer no cálculo, deve ser assumido Ls 0",: ls.á,' Sempre que
L'^,nt L'o",tls,,r' apesar de ser perfeitamente possível o uso de um ls > Ls on" não
érecomendadoporrazõesdeordemprática,umaVezqueacurvaficariamuitolonga
t
t
í
í
t
I
t
t
I
I
I
e se afastaria muito das tangentes'
Observação 2: o Ls desejável serve apenas
comprimento de transição. Portanto, não requer
ser árredondado para um valor mais cômodo'
Exercício 4.2
Com os dados do exercício anterior, adotando Is: 120'00 m' calcular os
seguintes elementos da curva: 0s, Xs, Ys, Q, p' TT'
Fazer um croqui indicando os elementos calculados'
Resolução'.
Ls 120,00Ht=-
2 Rc 2'600,00
(e"Xs=Lsl ì - ;
\ . '
como orientação na escolha do
a precisão do cálculo, Podendo
t
{
t
í
I
í
gso ìL--- l'216
)
: 0,100000 rad
:119,88m
:4,00 m(et gsr ìys= Ls l ; - ;n I/
T
-í
a)
a)
)
aaa)
-)
)
-
-
-
-)
-
-)
)
)
)
)
)
)
)
-)
)
aa
1 50 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Q= Xs-Rc'sen1s
p=Ys-Rc.(1*cos0s)
r r =Q+(Rc+ ò ry#2Observação'. para ângulos de espiral (9s) usuais, a curya de transição passa
irproximadamente no meio do afastamento (p) e a abscissa do centro (.Q) ó apro-ximadamente metade do comprimento de transição. Assim, se quisennos estimartlc antemão qual a tangente total aproximada para ulxa detenninada curva, bastast rrnar I * R E
+ .o,r-r !I e teremos uma idéia aproxirnada da tar.rgente necessária.
es-*!L,:asr \
, 60"2'---ì-\
Exercício 4.3Com os dados do exercício anterior e sabendo que a estaca do PI e igual a847 +
12,20 m, calcuÌar as estacas do TS, do SC, do CS e do ST.
Resolução:
Temos: Pf :[84] + 12,201
Ls :120,00m : [6+0,00]
TT :406,97 m :120 + 6,971
AC :60" :1,047198 rad
Exercício 4.4Fazer a tabela de locação para a primeira espiral do exercício anterrorResolução:
veja Figura 4.1 I no Capítulo 4
tu:AC-2.0s
6c:1,041198-2.0,100000 :0,g47l98radDc : ü .Rc -- 0,847198 . 600,00 :508,32 m
Cálculo das estacas notáveis:TS : Pr - TT : 1847 + 12,201_ 120 + 6,971SC : TS + Ls : [827 + 5,23] +[6 + 0,00]CS : SC + Dc : [E33 + 5,231+ 125 + 8,32]ST : CS +Zs : [858 + 13,55] + [6 + 0,00]
:59,98 m
: 1,00 m
:406,97 m
Cap.9 Exercíc ios 151
TS:827 + 05,23 mSC:833 + 05,23 mcs:858 + 13,55 mST:864+ 13,55m
e= t E2- Rc- Ls 2 . 600. 120 144.000
X=L.(r-u ' * "
- . . . ì\ 102t6 )
arctg{
. - , (o d ìI - L ' l - - - - t . . . I
13 42 )
deflexão :
t ï ï " z(m) g(rad) x (m) / (m) DelÌexão
' (graus)Deflexão
(gr. min.)
TS:827 + 5,23
828
829
830
831
832
833
sc:833+5,23
0,00 0,00
14,77 14,77
20,00 34,77
20,00 54,77
20,00 74,77
20,00 94,77
20,00 114,77
5,23 120,00
0,000000
0,001515
0,008396
0,020832
0,038823
0,062371
0,091473
0. I 00000
0,000000
0,028933
0,160342
0,397853
0,741460
1,19i 148
1,746885
|,90969s
0,00
14,77
34,77
54,77
74,76
94,73
t14,67
I r9,88
0,00
0,01
0, 10
0,38
0,97
1,97
3,50
4,00
0
2
10aÁ
44
itÁ<
55Cálculo do desenvolvimento çircular Dc:
152 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Exercício 4.5Em uma curva de uma interseção, conforme esquema, temos Rc: 50,00 m e Zs
: 60,00 m. A estaca da estrada A no cruzamento ê 1122 + 15,54].
Calcular as estacas dos quatro pontos notáveis, adotando estaqueamento em
continuação à estrada A, até o ST da curva.
Resolução:
^ Ls 60,00t/.s - -
2 'Rc 2 ' 50,00
(. os2 oso ìXs=ls +-+. . . I
[ 10216 )
(o ' os3 ì, r ,ç=Ls t - - r . . . 1\3 42 )
: * íg{-sqì[3 42)
: 0,6 rad
: oo [r-o; Í . ï r) :57,88 m
: 11,69 m
Q= Xs-Rc'sen9s
p=Ys-Rc'( l -cosgs)
: 57,88 * 50 ' sen (0,6 rad)
: 11,69 - 50. (1 - cos(0,6 rad))
:29,65 m
:2,96 m
t_
Cap.9 Exercíc ios 153
77= g+(nc+ n) tsf :2e,65+ (50+ z,sq ry(+):-or,n, -
tTSl: tPr l - t r r l : [122 + 15,54] +4s,e8 :1122+ 1s"541+ [2+5,98]lTSl:1125+1,521
tSCl: [TS] +Zs :1125 + 1,52)+60,00 :[tZ5 + 1,52]+ [3 +0,00]
lscl : [128+1,s2)
Cálculo do desenvolvimento circular:
Dc : Rc (AC ,2 . 0s) sendo ÁC e 0s em radianos
()so.o \Dc - 50,00 | -# -2.0.61 - r58.17 m\ luu ) - - ' ' '
tCSl: [SC]+ 158,17m : [128 +1,52]+[7+ 18,17]
tcsl: i l35 + 19,691
tsr l : [cS] +zst-s
Resposta'.
: [135 + 19,69]+ [3 + 0,00]
lsTl :n38+19,691
TS:[ l25+1,52fsc: [128+1,52]cs: [ l35+19,69]sT:n38+19,691
Exercício 4.6PI,
lò eô)u CS
--__x-- --
Sï
Curva 1
pt =[72+o9,Z7lAC = 1'1o36'Rc ='1.000,00 mTS=[65+15,26]SC = [69 + 00,1 0]CS= [75 + 17,72]ST=[29+02,56]
DI
Curua 2pt =[93+00,00]AC = 40'Rc = 600,00 me. =7%
No lrecho anterior, sendo a velocidade de projeto igual a 100 km,4r e a largura dafaixa de tráfego 3,60 m, verificar se é possível projetar a curva 2 d.e maneira que avariação da aceleração centrípeta por unidade de tempo seja a mesma nas duas çurvas.
I
rtaÒ
ataaaa)
aa)
a)
)
)
-)
)
-
-)
)
)
)
)
-)
)
)
-)
)
a
154 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Resolução'.
le curva - cálculo do J
Ls : 169+ 0,101 -165 + 15,261 : 64,84m
, Y3 (1oo'3.0) 'J=_ _ \" ' t - , " r :0 ?1m./s2/s
ls ' Rc 64,84 1.000
2a curva - cáÌculo do Zs para proporcionar o mesmo ,f
v3 ( too/ l .o) 'Ls-___:.- ; - :108.25m
. I . Rc U' JJ oUU
- veril icação da tangente
^ Ls 108.25as=-= _:0.09021rad
2'Rc 2 600,00
( A.2 Flra \xs=108.25 . I 1-" :" : +=, l=108,16 m
t10216)/ '^
ost ìYs=ro8,2s l+- ;+. . .1 :3,25m\3 - . )
Q : 108,16 - 600 ' sen9s:54,11 m
p :3,25 - 600 (1 - cos9s) :0,81 m
rr = 54,11+(600+0,81),r+ :212,19m
o cspaço disponível para TT ê igual a [PIr] - [STr]: [93 + 00,00] - 119 + 02,561:217 ,44 m> 2J2,19 m 4 OK
- verificação do comprimento de transição (108'25 m)
Critério dinâmico:
Criterio de tempo:
Critérioestético; Lt.,,
( 'omprimento máximo:
sabemos que J: 0,33 < 0,6
Lt^,n-* 100/1,8 : 55,56 m
=3,6 .7 I (0,11 - 0,0026 ' 100) : 56,00 m
r.6f f i '401-s* =
tgo : 418,88 m
+oK+oK+oK
+oK
Cap.9 ExercÍc ios 155
Conclusão: a tângente to*úl cabe no espaço disponível e o comprimento de fi-ansiçãoe maior que o mínimo e menor que o máximo; portanto é possível projetar as duas curvascom o mesmo J.
Exercício 4.7Temos duas tangentes com um ângulo central de I 20 graus, cujo pI fica na estaca
1248 + 6,20]. Queremos concordá-las com duas curvas circulares e três espirais detransição de maneira que o ângulo entre a prirneira tangente e a reta que passa peloscentros das curvas circulares (9,) seja igual a 62 graus. Determinar os pontos notáveisda curva.
Dados: Ls , : 320 m; Rc, : 800 m; Zs : 400 m; Rc,
Resolução:
, _ Lt .R, _ 400. 500 _ Ls.Rc.L'= Rc-Rcr=8oo - 5oo
:666'6lm t '=f f i
:500 m;Isr :360 rn.
400. 800800 - 500 -
r.066,67
1.066,61m
2 -00
:1,06667rcd^ L. 666.61a'=
2 'Rc,=2 8oo -o '4166687rad
x, = L, (t-t* jLì' ^ r " '
l ' 10' ztoJ -6ss. t l -
Y,=1,(q-q*-4 ì' , - " , I t - 42- r32o):91,45 m
8, : X, - R", ' sen), = 331,42 m
pr: Yr- R"r ' ( l - cosg,) : 23,00m
0. =arcÍP, Q?-9,(Rc, + p,)-(ncr+ pr)
^L"" , -
2.Rr,
Xr:951,70 m
Y.:349,55 m
Qr: 513,90 m
Pr:91,08 m
: 0,6666473 rud
Cálculo das espirais de entrada e saída
e,, =5=:+:o,2rad' 2. Rc, 2 .800
Xs, :318,12 mYs, :21,27 m
Qs, : 159,79 m
Ps, :5,33 m
^ Ls. 360asz = 2. pç,
= 2 J00
-- 0.36 rad
Xs, :355,36 mYs, - 42,80 m
Qt, : 1J9,23 mps, :10,75 m
156 Proieto Geométrico de Rodovìas Cap' 9
a= 0c - et:0,2499786 rad 9: 0,- 0c:0'400a227 rad
er: 62' : 1,0821041 rad q2: AC- 9' : 58": 1 '0122910 rad
õcr: Qr- d.- 0s, :0 '6321255rad
fur: Qr- g- 0tr:0,2522683rad
p ":
(Rir- Rc,) - 1iRc, + l r) - (Rcr+ pr) l lcos1c: 4 '90 m
DT : Rc' - Rcr- P": 800 - 500 - 4 '90 : 295'10 m
Bl: Rc,+p, : 800 + 5,33 = 805,33 m
82 = Rcr+ p, + IDT ' cos4zl: 500 + 10'75 + 2g5 'lO' cos 58' : 6(t7 '13
m
m: (BI - B2)lsen 120" : (805'3 3 - 667 'L3)lsen 120" : 159'58 m
T,: Bl tgACl2- /,? : 805,33 ' tg 60'. - 159'58 : I'235',29 m
Tr: BZ' tgAClZ + m= 66'1,13 ' tg 60" + 159'58 : 1 '315'08 m
ff r= f r+ Qsr:1.235,29 + 159"79 = 1 '395'08 m
T r: Tr+psr - IDT' senErl: 1'3 I 5'08 + 1'7 g'23 - 2g5'10' sen 58o : l '244'05 m
D', : Rr. , ' &' = 800 'o '6321255:505'70 m
Dc'^-- Rc"' &" : 500 '0'2522683: 126'13 m
TS : PI - TT,: 4 '966'20 - 1 '395'08 :3 '5 l l '12
SCI : TS + lsÌ : 3.5'71,12 + 320'00 :3 '891'12
CSI : SC, + Dct: 3 '891,12+ 505'70 : 4 '396'82
SCr: CS' n Ls.- 4.396,82 + 400'00 -- 4J96'82
CS, : SC, + Dcr: 4196,82 + 126'13 : 4'922'95
ST: CS. + Ls":4'922,95 + 360'00 -- 5 '282'95
+ TS : [17S + 11'12]
+ scr --1194 + 11,121
+ csr --1219 + 16.821
+ sc2 :1239 + 16,821
+ cs2 :1246 + 02,95)
+ sT -- 1264 + 02,951
J
Cap. 9 Exercícios 157
I
f,,1\I '
À-'Z\v2 I
l
DÍ
ÌII ,
. l '
i."'
158 Projeto Geométrico de Rodovias Cap 9
9.4.2 Exercícios Propostos
Exercício 4'8
Dadaacurvahorizontaldoesquemaaseguir,calcularavariaçãodaaceleraçãocentrípeta que sofrerá um veículo ao percorrê-la a 100 km/h'
e1 ' \o,s rao/ ' \ TS=[212+0,00]
gÇ=[!15+10,00]CS=[222+0,00]gf=[ !25+10,00]
Resposta'. J : 0,765 m/s'?/s
Exercício 4.9
Na curva do exercício anterior, quai a rnaior velocidade que pode ser desen-
volv idaSemqueavar iaçãodaaceleraçãocentr ípetaul t rapasse0'5m/s2is?
Resposta'.
Em uma curva horizontal
Pr: [190 + 15,00]; lc :
Calcular as coordenadas
Exercício 4.10são conhecidos os seguintes elementos:
60"; Rc: 350,00 m; Ls: 150,00 m
X e Y para locar a estaca 200.
Resposta'. X: 53.01 m; Y: 0,47 m
Exercício 4.11
Dados:
ACr:45"
O PI, frca na estaaa [238 + 0'00] da rodovia'
O PT2 fica na estaca [245 + 4,85] da rodovia'
Resposta'.
Exercício 4.12
STz
Deseja-se fazer uma variante paralela a uma rodovia, ligada à primeira por meio
de duas curvas reversas com transição total confoÍÏne esquema' Qual a distância (fl
entre os dois eixos?
Dados: ts:60,00 m; Rc: 80'00 m; (para as duas curvas)
r , - ^ : ^- lResposla: ld
: Ü4'oJ m I
Exercício 4.13
CaP.9 Exercíc ios 159
um ramo que sai de uma rodovia, confotme croqui anterior, tem duas cÌrr'as com
mesmo Rc. A primeira curva tem transição total; a segunda e circular simples' Caicular
a extensão do trecho reto entre as duas curvas'
Queremosprojetarumdesvioparaleloaumarodoviaexistente,l igadoàmesmapor duàs curvas iguais e reversas com transição total, conforme esquemâ. A distância
entre os dois traçados é d: 60,00 m. Qual será o raio e o comprimento de transição
SÍa
das curvas?
Resposta'.
1 60 Projeto Geométrrco de Rodovias Cap. 9
9.5. Seção Transversal
9.5.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 5.1
5 _* 3.5 2,4 ^ '1,0.
Em um trecho em tangente temos a seção tipo do esquema acima. Conhece-sc acota do greide no eixo, igual a 727,42 m. Calcular as cotas nas bordas da pista, doacostamento e da valeta de drenasem.
Resolução:
bordas da pista:
bordas do acostamento:
valetas de drenagem:
1,0 3,5 3,6 1,0 5,0
Na seção tipo anterior, a cota no eixo da pista esquerda é 644,16 e da pista direitaé 645,16. Calcular a inclinação (em%) do lado direito do canteiro central.
Resolução'.
Cota da valeta central -- 644,1 6 - 0,02.3,6 - 0,05 . 1,0 - 0,2. 5,0 : 643,03 8 m.
Cotadabordadafaixadesegurançadapistadirei ta:645,16-0,02.3,6-0,05.1,0:645,038 m.
Inclinação : (645,038 - 643,038)15,0 : 0,4
Resposla: a incl inação e l+OVrl
Observação: neste caso particular, como as pisüas são iguais, a resolução do exercíciopoderia ser simplificada adotando-se, para as bordas do canteiro central, cotas relativasarbitrárias com a mesma diferença enhe as cotas dos eixos (1.00 m no caso).
<_ _*>2% 2%
127,42 0.02. 3,5 --127,35 m
727,35 - 0,05 . 2,4 : 721,23 m
727,23 - 0,25 . 1,0 : 726,99 m
Exercício 5.2
Cap.9 Exercíc ios 161
9.5.2 Exercícios ProPostos
Exercício 5.3Em um trecho em tangente, temos uma seção em que o canteiro centraÌ mede
12.00 m: o valor mínimo da inclinação do canteiro e 1:5 e o máximo é 1:2. A cota
do greide na pista esquerda é,222,14 m e na pista direita é 224,18 m. Qual a menor
distância que se consegue entre a valeta central e o centro do canteiro?
Resposta'.
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t
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ç
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a
í
I
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I
I
I
I
í
Exercício 5.4Em uma seção em tangente com canteiro central
da inclinação l:4 e valor máximo 1:2, queremos que
valeta e a borda da pista mais baixa seja 1,60 m. Qualque pode haver entre as Pistas?
Resposta'.
9.6 Superelevação e SuPerlargura
9.6.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 6.1calcular o menor raio que pode ser usado com segurança, em uma curva
horizontal de rodovia, com velocidade de projeto 60 km/h em imediações de cidade'
Resolução'.
Temos a seguinte relação pata V em km/h e .R em metros:
v2t tmin - .^- ttzt \e, ,ár+í .^)
Para zonaurbana ou trechos de baixa velocidade:
e^. :0,06 (ver Capitulo 4, Seção 6.2 -"Yalores-limite da Superelevação")
. f -* :0,15 (Tabela 6 ' l )
Substituindo, R-ín:
R^., : 134,98 m
de 10,00 m, valor mínimo
a menor distância entre a
a maior diferença de cotas
60'
em que
127.(0,0ó + 0,1 5)
162 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Exercício 6.2Em uma estrada onde a superelevação máxima é l0%o, temos uma curva horizontal
com -R : 360 m. calcular a maior velocidade que esta curya permite com segurança econforto.
Resolução:
R:360 Í f i , €*^:0,10
W2R= ' ,para V en7 km.4r e R em metros
r27.(e+ f)
conseqüentemente ún :127 . R.(e +fl
Para obter a máxima velocidade, utilizamos a máxima superelevação e o máximoatrito.
Vp' : 121 ' R' (n,^ | f^o)
A AASHTO adotaparaf,,o, os valores da Tabela 6.1, que correspondem àsequaçoes:
f^a, :0,24-Vp/800
í^^ :0,188 - Vp/1667
Para a escolha d".f,,o, vamos supor inicialmente que a velocidade desejadaseja menor que 80 km/h, ou seja:f,,,*: 0,188 - Vp/l667
v],a, = 127 .360. 0, 10 + 12i . 360.( 0,188 - %t ì\ 1661 )
V:ó, : 4.572 + 8.595,36 - 27,43 . V.á,
V_. : 101,85 km,{t > 80 km/h, o que não çonfirma a hipótese.
Vamos, então, adotar -f_. :0,24 - Vp/800
Vio, = 127. 360. 0,10+ 121 360 ( 0,24 -L*\\ ' 800/
Vla, = 4.572 + 10.972,8 - 57 ,75.V,,á,
V^. -*99,34kn1h
V . :ggklr ,Jh
para Vp ) 80 km/h
para Vp < 80 km/h
Resposta'.
Cap.9 Exercíc ios 163
Exercício 6.3Para a curva do exercício anterior, fazer um gráfico de e -- f(V) usando atrito
nulo e atrito máximo. Respeitar os limites da superelevação, adotando e : 0 quandofor negativo c € : ê,,o, quando for maior que este.
Resolução:
r12v
R=,^-, -
para V em km/h e R em metrostzt ' \eïJ )
I/2e+f=m +
(a) considerando/: 6
v2 v2 y2
t l2e--- I
12'7.R
127.R 121.360 45120
(b) considerando í = f,,a,vação para tr/ > 80 km/h
nulo.
=0,24 - g00, calculamos os valores da superele-
"= ' ' - ,0.24+ v = v ' - o.zq+ v
127.R 800 4s720 800
Observação: não foi neçessário usar a outra fórmuia paraf^. porque e seria
I/ (kn/h) 0 '70 80 90 100
e (%) 0 0 0 50 10.0
164 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Exercício 6.4Calcular a superelevação no freçho circular das curvas a seguir, pelo método da
AASHTO, sendo Zp: 100 km/h e e^. :10%o.
Verificação do raio mínimo:
V: 100 krnlh f . - - 0.12
=357,91 mp-
127'(0,10 + 0, l2)
Os raios são compatíveis com a velocidade e a superelevação máxima.
Resolução:
A partir do raio de cada curva, calculamos o grau (G) para permitir melhorinterpolação no ábaco da AASHTO G -1146 .
I00'?
curva l : R, : 521,00 mcurva2'. Rr:365,00 mcurva 3: Rr:1348,24m
ÀÒ G. : 2.20. g#nco
+ G^:3.14" gráí ìco- -+ G- - 0.85" gráf icoJ _
Exercício 6.5Para a curva 1 do exercício anterior, calcular:
a) O coeficiente de atrito que efetivamente está sendo "utilizado".
b) Se quisermos operar na condição de maior conforto, qual será a superelevaçãoe o coeficiente de atrito?
Resolução:
V2a) R=
w1 t i l, . , '1"- 1)+ f =9-e
127.R
í = _4 _- 0,083 = 0,068" 121 521,00
R3 = 1.348,24 m
Cap.9 Exercíc ios 165
b)Fazendof:0, temos
v2 loo2e= - f - - ' " -0=0. i5" t21.R ' 727.521,00
Paraf:0 teríamos €) €,,á,, não satisfazendo as condições de segurança. Comoo maior conforto ocorrerá para o menor valor de/ teremos de adotar e: e-."_.:0.10 e recalcular f
I
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T!
Ff, /
^ 1002l= _ -0,10=0,05" 127 .521.00
VT=i{1tP:10%I::Y)
Resposta:
Exercício 6.6Dados Vp: 60 km,rh e e,,. : 10oÁ, traçar o paralelogramo dos valores aceitáveis
e - í(G).Traçar a reta correspondente ao atrito nulo considerando-se a velocidademédia de percurso - o volume de tráfego médio e traçar a curva da AASHTO.
Resolução:
+ Vm: 5l km/h
r r2
senoo K = -114Ã. o- - ' "ó
a) Velocidade de projeto:
K- :0,0241083,62.1146-g,gl
atrito nulo (f : 0)
e:0,024708 . Gpata e:0
para e: 0,10
atrito máximo (f : í.*)
e^. , : l }Yo
Vp:60 km/h
e:K'G-f
V: 60 kÍn/h E)
e:0,024708.G*0,15
para e:0 +
para e: 0,10 +
+ G:0"+ G: 4,05'
f , :0.1s
G: 6, lo
G: 10,1"
602
4aaa)
)
)
)
)
)
-)
Â
-â
-,)
-
-
-
-
-
-)
-)
)
)
-
-
-
-
-Â
v
1 66 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
b) Velocidade média de percurso
sf3,62.n46.9,91
atrito nulo
e:0,011852 . Gpara e:0,10
= 0,017852
+ G:5 6o
G (graus)
5
Exercício 6.7
Com o perfil dado na tabela a seguir, supondo-se que o alinhamento horizontal éo representado no esquema e, conhecendo-se e, : -2oÂ, e":8o/o e a largura da pista :
7.00 m. calcular as cotas das bordas em todo o trecho onde há irúluência da suoerelevacão.aplicando o giro em tomo do eixo.
I' t12
I
108
Estaca Cota Estaca Cota
Cap. 9 Exercícìos 167
Estaca Cota
t04
105
r06
t07
108
r09
546.88
s46,48
546,08
545,68
545,28
544,88s44 \7
544,28
544 l1
541,08544 11
544 )9.
544 57
544,88545 ì?
545 RR
120
t2l
122
t23
t24
125
126
t2'7
546,53
547,28
548,08
s48,88
549,68
550,48
551,28
552,08
Resolução:
lq passo determinação do trecho onde há influência da superelevação, ou seja,cálçulo dos pontos SN e NS.
A variação da inclinação transversal das faixas de tráfego na primeira espiral émostrada no esquema a seguir:
- Ls.O.O2LÍ: =
e
SN : TS -I t : F08 + 0,001 - [ t + 0,00]NS : ST + Lt : 1123 +0,001 + [1 + 0,00]
SN = '107 ÌS = iO8 Sp = 109
r-Fa-ixã&t.
ec = 0,08
(1r2-108) .20.0,02= 20,00 m
+ sN: [107 + 0,00]+ NS : [124 + 0,00]
SC = 112
0,08
ii -nôÂ
i
. , Faixa int .
2q passo - cálculo das inclinações e cotas:
ooRA variação da inclinação transversal por estaca e
.-::: ' 20 = 0,02=2o/o.
80
com as inclinações assim calculadas, preenchemos a quarta e a sexta colunas databela a sesuir.
1 58 Pro,eto Geométrico de Rodovias Cap. 9
EstacaPerf. ref.
(m)Eixo(m)
Incl.esq. (%)
Bordaesq. (m)
Incl. dir.(%)
Bordadir. (m)
SN: 107 545.68 54s,68-2,0000 545,61 -2,0000 545.61
TS: 108 \45 )R 545 ?R -2,0000 \45 ) l 0,0000 54s,28
SP: IO9 544,88 544,88 -2,0000 544,81 2,0000 544 95
l l0 s44 5l 544 5? -4,0000 544 79 4,0000 544,67
l l l 544,28 \44 )?. -6,0000 544 07 6,0000 544,49
SC:I12 544,t3 \44 17 -8,0000 543,85 8,0000 544 4l
113 544.08 s44,08-8.0000 543,80 8,0000 544,36
tt4 544,13 544.r3-8.0000 543,85 8.0000 544,41
l l5 \44 )? 544,28 -8,0000 544,00 8,0000 544,56
l l6 s44 51 s44 51 -8,0000 \44)5 8,0000 544,81
1t7 544,88 544,88-8,0000 544,60 8,0000 545,16
118 545.33 54s 11 -8,0000 545 05 8,0000 545,61
CS : 119 545.88 545,88-8,0000 s45,60 8,0000 546,16
t20 546,s3 s4Á 5ì -6.0000 546,32 6,0000 546,74
t21 547,28 54'7.28-4,0000 54'7,14 4,0000 547,42
PS: I22 548,08 548,08-2,0000 548,01 2,0000 548, I 5
ST: 123 548,88 s48,88-2,0000 s48,81 0,0000 548,88
NS: 124 549,68 549,68 -2,0000 549.61 -2,0000 549,61
As colunas da tabela foram obtidas com o seguinte procedimento:
Coluna 2: O greide dado.
Coluna 3: A cota do eixo é sempre igual à do perfil de referência porque, neste
método, o eixo é o ponto f,txo.
coluna 4: A inclinação da faixa esquerda (interna) é negativa, sendo -o,02 até o
SP, -0,08 : e" (dado) no SC e variando linearmente entre esses dois pontos. Entre o
SC e o CS é cónstante e na segunda espiral tem variação simétrica em relação à primeira
espiral.
coluna 5: col. 3 + col. 4 . I sendo lr:largura da faixa: metade da largura da
pista.
Coluna 6: A faixa direita, no nosso caso, é a externa. Sua inclinação é -0,02 no
SN, +0,08 no SC, variando linearmente entre esses dois pontos. Entre o SC e o CS é
constante.
CaP.9 Exercíc ios 169
Coluna l: col.3 + col. 6 . lr
Observação'. outra maneira de resolver este exercício seria, em vez de interpoiaras inclinações transversais e multiplicar por I calcular as cotas no SP e SC e interpolarnas demais estacas segundo o esquema a seguir.
Borda dir
:9 '*' ' - - - - - - : À-. .
--l -
:110
qeí reÍEixo
I i 0,28- l i
- - i-v ,.,,Bptd.?_,e_sq.
r l r SC = 112
Exercício 6.8Resolver o exercício anterior com giro ao redor da borda interna.
Resolução'.
O esquema de variação da inclinação transversal é o mesmo do exercício anterioq
portanto, as estacas do SN, SP, PS e NS são as mesmas.
sN:[07+0,00];PS:[122+0,00];
sP:[109+0,00]NS:n24+0,001
A variação de inclinação por estaca também é a mesma, igual a 0,02 ou2o/o.
A variação das cotas do eixo e das bordas já segue esquema totalmente diferente,
conforme a figura seguinte.
Bordâ dir./ / -*----- r - -
I
i 0,28
lEixo v
. . - .1---" ' - - ' ' - " - 'n- '
---"'í1 . . '" " )"" '
, pu,n ,"r o'28
,--Rôrdâ ê<d
SN = 107 ïS = 108 SP = 109 11O 111 SC = 112 -- "- ' - -
aaaaaa
-aaaa)
)
)
Â
-
-)
)
)
-
-
-
-)
)
)
)
)
)
)
)
â
7av
170 Proieto Geométrico de Rodovias Cap' 9
EstacaPerf. ref.
(m)Borda
esq. (m)Incl. esq.
(%)Eixo (m)
Incl. dir.(%)
Bordadir. (m)
SN: 107 545.68 545.61 -2,0000 545.68 -2,0000 545.61
TS: IO8 545,21 -2,0000 s45 ?R 0,0000 545,28
SP: 109 544,88 544,81 -2,0000 544,88 2.0000 \44 95
110 s44 51 544,46 -4,0000 \44 60 4,0000 \AA'74
I I Ì 544,28 \44 ) l -6,0000 \44 4) 6,0000 544 67
SC: I12 s44l ì 544,06 -8,0000 544.34 8,0000 544,62
113 544,08 544,01 -8,0000 \44 )9 8,0000 \44 51
114 5A4 11 544,06 -8,0000 \44 74 8,0000 \44 6)
I t5 544.28 \44)1 -8,0000 544,49 8,0000 <44'71
110 s44 51 544,46 -8,0000 544,74 8,0000 545,02
tt7 544,88 544,81 -8.0000 545,09 8,0000 545,31
118 54\ )6 -8,0000 s45 54 8,0000 s45 R?
CS : 119 54s,88 545,81 -8,0000 546,09 8.0000 s46 1'7
120 546,46 -6,0000 546,67 6,0000 546,88
t21 541,28 547,21 -4,0000 \47 1\ 4,0000 54',1.49
PS: 122 548,08 548,0 -2,0000 548.08 2,0000 548, I 5
ST: 123 548,88 548,8 -2,0000 548,88 0,0000 548,88
NS: 124 s4q ÁR s49,6 -2,0000 549,68 -2,0000 549,61
Observações'.
L A ordem clns colunas esú diferente daquela do exercício anterior. Estão colocadas
na ordem em que são calculadas. Neste caso, calcula-se primeiramente a borda intema
(esquerda); a partir desta, e da inclinação da faixa esquerda, calcula-se o eixo, a partir
do eixo e da inclinação da faixa direita, calcula-se a borda direita.
2. As colunas das inclinações das faixas são exatamente as mesmas do exercício
anterior, pois não dependem do método de giro.
Exercício 6.9Resolver o exercício anterior com giro ao redor da borda externa'
Resolução:
O esquema de variação da inclinação transversal é o mesmo dos exercícios
anteriores, portanto, as estacas do SN, SP, PS e NS são as mesmas.
Cao. 9 Exercíc ios 171
SN:[107+0,00]; SP : [09+0,00]PS : [122 + 0,00]; NS : [24 + 0,00]
A variação de inclinação por estaca também é a mesma.
A variação das cotas do eixo e das bordas é mostrada no esquema a seguir.
SN = 107 TS = 108 SP = 109 110 1'11 SC = 112 ped. ret
Fire;ì""^- " '
i r0,28
EstacaPerf. ref.
(m)Borda
dir. (m)IncÌ. dir.
(%\Eixo (m)
Incl.esq. {%)
Bordaesq. (m)
SN: IO7 545.68 545.61 -2.0000 545,68 -2,0000 545.6r
TS i08 54S ?R 545,21 0,0000 545,21 -2,0000 <A\ IA
SP: 109 544,88 544,81 2,0000 544,74 -2,0000 544.6'7
l l0 544 5',ì 544,46 4,0000 544,32 -4,0000 544,18
l l l \44 )9. \44) l 6,0000 544,00 -6,0000 s43,79
sc:112 544,t3 544,06 8,0000 543.78 -8,0000 s4? 50
113 544,08 544,01 8,0000 543.73 -8,0000 s4t 45
t t4 \44 17 544,06 8,0000 543,78 -8,0000 54i 50
t15 544,28 544,21 8.0000 s4ì q3 -8,0000 543,65
116 544 5ì 544,46 8,0000 544,18 -8,0000 543.90
117 544,88 544,81 8,0000 544 S7 -8,0000 544,25
118 545.33 \4\ )6 8,0000 544,98 -8,0000 544,70
CS= l19 545,88 545.8r 8,0000 -8,0000 s45 ?5
120 546 57 s46,46 6,0000 \46, )< -6,0000 546,04
t2l 547,28 54'l,21 4,0000 54'7,07 -4,0000 s46 qi
PS: 122 548,08 548,0r 2,0000 \4'7 q4 -2,0000 s47,8'7
ST: I23 s48,88 548,81 0,0000 548,81 -2,0000 548,74
NS: 124 54q ÁR s49,61 -2,0000 54q ÁR ,2,0000 549.61
172 Projeto Geométrico de Rodovias Cap' 9
Observações'.
1. As colunas estão coÌocadas na ordem em que são calculadas. Neste caso, calcula-
se primeiramente a borda externa (direita); a partir desta e da inclinação da faixa direita,
"aiçula-se o eixo; a partir do eixo e da inclinação da faixa esquerda, calcula-se a borda
esquerda.
2. As colunas das inclinações das faixas são exatamente as mesmas dos exercícios
anteriores, pois não dependem do método de giro.
9.6.2 Exercícios ProPostos
Exercício 6.10No trecho cirçular de uma cun'a horizontal, conhecemos'. vp: 100 kmih; Ãc :
500 m; e,: -2%o; e " : 9o/o;largura da pista : 7,00 m; veículo-padrão do proj eto : caminhão
SU.Calcular a cota relativa (diferença de cota em relação ao perfil de referência) da
borda interna aplicando superelevação com giro em tomo da borda intema e superlargura
no lado interno da curva.
Resposta:
a) utilizando o valor calculado para a superlargura +
b) tomando a superlargura de 60 cm (min. prático) +
Exercício 6.11Para uma rodovia projetada para Vp: tOO krn/h e superelevação máxima de 8oÁ,
pergÌrnta-se:
a) Qual o raio mínimo?
b) Em um criténo em que a superelevação e o atrito variam na mesma proporção.
quais serão estes dois valores para um raio de 458,12 m?
Resposta:
a) --393,10 m
b\v= 69 14
Exercício 6.12Em uma rampa descendente de 40Á Íemos uma curva para a esquerda em que se
coúecem:
Cao. 9 Exercíc ios 173
TS: [80 + 0,00]; SC = [86 + 0,00]; l , :3,50 m; e,, : -2o/o;
cotas na estaca [86 + 0,00] : borda esq. : 863,61 m; borda dit' = 864,24 m
Sabendo-se que o giro foi feito em torno da borda intema, pedem-se as cotas das
bordas e do eixo na estaca [83 + 0,00].
Resposta: esq.:866,01 m . dir. : 866,33 m
Exercício 6.13Construir a curva da AASHTO para Vp: 80 km/h e e,.',: 8oÁ
Verificar alguns pontos comparando com a Figura 6' 10'
Exercício 6.14Temos uma curva horizontal em que coúecemos: TS : [408 + 12,00]; SC : [413
+12,001;Vp:SOkm/h;Rc:320m;e,:-2oÁ;e, :8o/o; larguradapista:7 '20m;
,.rp"."l"uução com giro em torno do eixof superlargua no lado intemo da cuwa; veículo-
padrão: SU.
calcular a cota da borda intema na estaca [41 1 + 0,00], sabendo-se que a cota
do perfrl de referência é 628,44 m.
Resposta'.Fr8rúl
9.7 Perfi l Longitudinal
9.7.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 7.1
I
1
ì
!
I
!
i
ì
:È,
rN: lL_. , ; . - ) .
i
, Estaqql l! a
^ô! Í?54 + íR í ì01
[0 + 0,00] [82 + 2.00] [120 + 8,00]
Sendo coúecidos os dados constantes do croquis anterior, calcular as cotas dos
PIVs e a rampa desconhecida.
tIJaaaaaaaaaa)
)
)
-
-)
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-i.I
f-??FV
174 Pro.ieÌo Geométrico de Rodovias Cap' 9
Resolução'.
Cálculo das distâncias
-----------ì-,-t l,'<- "- " 1 642 m ->< 766 m = B80m
Cálculo das cotas dos PIVs
PIV, = 745,23 + ll 100' 1642
PIV2: '761,65 - 4,51100 '166
PIV, : 812,81 -2,21100' 1.810
Cátculo da terceira rampa
i": ('7'73,05 -727,18) I 880
t " : ' , ,Exercício 7.2
Com os dados <to exercício anterior e, adotando-se os raios (em módulo) Rì: 6'000
m, Rr:4.000 m, Rr: l0'000 m, calcular as estacas dos PCVs e PTVs'
Resolução:
Temos: õi - ir- i,
Iv :R'õi
PCV: PIY - Lvl2
PTV: PIY + Lvl2
observaçao:usÍÌremos a convenção da geometria analítica, em que curva côncava
tem raio positivo e convexa, negativo'
Exercício 7.3
Dadootrechodeper|rldafigura,çalcularascotasdogreide(perf,i ldereferência)da estaca 103 à estaca 125'
Resolução'.
lnicialmente, calcularemos as cotas do PTV' e PCV, a partir da única cota coúeçida
que é o PIVr.
PCV, : 542,48- (-0,02) ' (115 - 109) ' 20:544'88 m
PTV. : s42,48- (-o,02) ' (11s-l03) ' 20 :541'28m
Cálculo do trecho entre o PTV' e o PCV, (rampa)
Narampa,olncrementodecotaentreumaestacaeaseguinteéconstante'Emnosso caso, é igual a --0,02 ' 20 : -0,40 m' Assim' çada cota e iguai à anterior menos
0.40 m.
:161,65 m:127 ,18 m:771 05 m
:o05?1?5
IIIII
Curva I 2 -l
2i r
-0,045 0.052125 0,022
0,01 .-0 045 0,0s2 i 25
-0.030 i 25IR
-0,05 s a,09'7l2s
-6.000,00 4.000,00 -10.000,00
Lv 330,00 3 88,50 301.2s
Lt12 r 65,00 194,2s 150,63
u64 + 8,001PIV
PCV
182 + 2.001 [120 + 8.00]
[73 + 17,00] i l 10 + 13,751 [1s6 + 17,37]
[171 + 18.63]PTV [90 + 7,00] [130 + 2,25]
176 Projeto Gêométrico de Rodovias Cap. 9
Cálculo da curva verticâl 2
Lv : l12l + 0,001 - [09 + 0,00] : 240 m
l -a 'x2+b'x; " :* :
b- í l
0,06y:
t ;40' x2-0,02' x :1,25' 10-a'x2-0,02'x
A cota de um ponto P qualquer é a cota do PCV maisy no refèrido ponto.
Cálcufo do trecho entre o PTV, e a estaca 125 (2a rampa)
O incremento em cada estaca é 0.04 . 20 :0.80 m.
OEstaca
@
x
o0,02 .x
@z
X
o1,25 . l }a.xz
@
v=o-@@
Cota :544,88+/
0 o o o ot10 20 0.40 400 0.05 *0.35 544 57
t11 40 0.80 16.000 0.20 -0.60 544.28tt2 60 t.20 36.000 0-45 0.75 544.13I tJ 80 1.60 64.000 0,80 -0.80 544
114 100 2.00 10.000 I ?5 -0.75 544.13I l5 t20 2.40 t4.400 1.80 -0.60 544.28l16 140 2,80 19.600 )4\ -o ' ì5 \44 S7
t17 r60 3.20 25.600 3.20 0.00 544.88118 180 3.60 32.400 4.05 0.45 545.33119 200 4.00 40.000 5.00 1.00 545120 220 4,40 48.400 6.05 1.65 546.53l l l 240 4.80 57.600 1.20 2.40 54'7.28
Cap. 9 Exercícios 177
Exercício 7.4Dado o trecho de perfil a seguir, queremos substituir aS duas curvas por uma só,
usando o maior raio possível, sem que a nova curva saia do intervalo entre as estacas
58 e 87. Calcular o PIV o raio, o PCV e o PTV da nova curva.
@ü
Resolução:
t_ï*-*".rrl
Iv,: -6OOO,O0 ' (0,01 - 0,06) :300,00 m
PTV,: [58+0,00]+300,00m : [58+0,00]+[15+0,00]: [73+0,00]
Zvr: -8000,00 ' (--0,02 - 0,01):240,00 m
PCV,: [87+0,00]-240,00m : [87+0,00] [12+0,00]: [75+0'00]
Se o objetivo é substituir as duas curvas por uma, subentende-se que o restante
do trecho, antes da estaca 58 e depois da 87, não será alterado, devendo ser
conservadas as rampas extremas e eliminada a rampa intermediária.
Adotando o PCV, como origem do sistema de referência, temos (ver a figura
a seguir):
O PIV da curva nova será a interseção das rampas extremas.
Equação da lu rampa:
Coordenadas do PIV,:
y :0,06 ' x
x: 150,00 m
y:0,06 . 150,00:9,00 m
Coordenadas do PIVr: x: 300,00 + 40,00 + 120,00 :460,00 m
aaaaaaaaaaaaa)
)
)
)
)
)
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-)
)
)
)
)
)
)
-
I
?laa?Fv
178 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
y:9,00+ (150,00+40,00 + 120,00) . 0,01 : 12,10 mEquação da2?rampa'. | -lo: í. (x - xo) + y -12,10 : -0,02. (x-460,00)
y:4,02.x+21,30
k 1so,oo x 1so,oo >éa-ok 120.00 - x 120,00
No ponto de interseção temos: 0,06 . x : 2l,30 - 0.02 . xassim: -r --266,25 m
PIV : [58 + 0,00] + 266,25m : [58 + 0,00] + [13 + 6,25]: UI + 6,25)
O PIV fica no centro da curva. O maior raio coÍresponde ao maior Zv.Portanto, queremos uma curva qom centro na estaca [i1 + 6,25), aom maior
comprimento possível, sem sair do intervalo entre [58 + 0,00] e [87 + 0,00].A menor distância entr€ o PIV e uma das estacas anteriores serâ Lvl2.
ut + 6,251- [58 + 0,00] : 266,25 m
[87 + 0,00] - l7 | + 6,251 : 3 13,75 m
Lv/2:266,25 4 Lv : 532,50 mô,:-0,02-0,06 =-{,08
5?? 5n
\::ffiãPCV: [58 + 0,00]PTV: [58 + 0,00] +
Resposta:
:4.656,25 m
PIV: [7] + 6,257PCV: [58 + 0,00]PTV: [84 + 12,50]Rv : 6.656,25 m (convexo)
532,50 m:[58+0,00] +126+12,501: [84+ 12,50]
Exercício 7.5Dadas as cotas do greide de um trecho que compreende uma cuwa vertical, determinar
o PIV, o PCV o PTY o comprimento da curva e o raio'
Resolução'.
lq passo: determinar onde é rampa e onde é curva com certeza:
começando na primeira estaca (estaca 75), calculando a difcrença de cota entre
estacas consecutivas temos Â: 331,240 -330,240: l'000 m que se mantém constante
até o intervalo entre as estacas 18 e'79. Portanto, ate a estaca 79 estamos em rampa'
A estaca 80 já está em curva, porém não conhecemos a posição do PCV'
Analogamente, da estaca 100 para trás, vemos que a diferença entre 332,840 e
333,440,que é igual a -0,60, se mantem constante até a estaca 93 que está em rampa.
A estaca 92jâficana curva vertical.
2a passo: determinar as Íampas e a diferença entre elas:
i, : diferença de cota entre duas estacas que sabemos estar em rampa dividida
pela distância entre eÌas.
t , : leEM:0,05 + i , :5,0oÁ
Analogamente,
334.040
, , :13ryY9:-0,03 í r : -3 ' }Yo
!
Cap.9 Ëxercícìos 181 I180 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
ôi: i r_1, :_0,03_0,05 + ôi : -0,08
3q passo: na Çurva, determinar duas cordas e suas inclinações:
Tomemos as cordas cr entrç as estacas 83 e 84 eac2entÍe aS estacas 88 e 89.
Suas inclinações são, respectivamente:
338,084 _ -33',1,s64 :0,a2620
338,764_338,884 :_0,00620
4q passo: calcular arazão de mudança de rampa (o inverso do raio):
Existe um teorema que diz que, se por dois pontos quaisquer de uma parábola
traçarmos uma corda, sua inclinação será igual à da tangente à curva no ponto de
abscissa média.
Segundo o teorema, os pontos onde a curva apresenta inclinações de 0,026
e -0,006 são, respectivamente, estaca [83 + 10,00] e [88 + 10,00], sendo a distância
entre eles igual a 100 metros. Ora, se em 100 metros a inclinação varia de 0,026
a -0,006, arazão de mudança de rampa ê
-0,006 - 0,026: -0,00032 m-lrïnr =
5e passo: calcular o raio e o comprimento da curva:
Se a taxa de variação da inclinação e igual ao inverso do raio,
-0.024t =
-opo*, = /) m
Portanto o PCV fica na estaca [83 + 10,00] -75,00 m +
PTV : PCV + Ly = U9 + 15,001 + 250,00 +
7a passo'. Determinar o PIV:
Sabendo-se que a abscissa do PIV e a média das abscissas do PCV e PTV,
PIV : PCV + Lvl2: U9 + 15,001 + 125,00 m + Ptv: [86 + 0,00]
Exercício 7.6I Terreno
PCV: [79 + 15,00
PTV: [92 + 5,00]
t!
!
I
n
!
q
q
t
t
t
I
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I
I
(
t
t
I
{
I
I
I
I
I
t
I
I
I
I
I
I
I
vem:
Rv: 3125,00 m
6q passo: calcular o PCV e o PTV:
Sabendo-se que a variação da inclinação é linear por ser a derivada de uma curva
do segundo grau, temos:
inclinação no PCV : l, :0,05
inclinação na estaca [83 + 10,00] : 0,026
variação por metro : -0,00032 m '
-o,ooo32 (o,ozo - o,os)Então, =l-j- j-J , em quex é a distância entre o PCV e a estaca
t83 + lo,ooi. x
+ F:r5qoo-l
Estamos projetando uma rodovia com pista dupla e vr:700 km/h. As rampas
estão definidas conforme o esquema anterior. Deseja-se que, na estaca 144, a altura
de corte seja a menor possível, respeitando-se a condição de distância de frenagem
mínima. Sabendo-se que a cota do terreno na estaca 144 é 653,1 | m, determinar
a altura de corte, o raio da curva vertical e as estacas do PCV e do PTV-
Resolução'.
Para obtermos a menor altura de corte, a cota do greide deve ser a maior
possível, o que se consegue com o menor raio e, conseqüentementg' o menor
comprimento de curva.
Sendo pista aupl-?l só vai interessar a distância de visibilidade para frenagem
DÍ'=0,1.r /+0,0039 ! ' - , podendo ser desprezada a inf luência da incl inação
transversal '. r '"
Da Tabela 2.2, para Vp: 100 km/h, temos f :0 '29 e Vm:85 kmih (essa
velocidade pode tambem ser obtida no gráfico da Figura 2.2 comvolume de tráfego
baixo) '
Rs2Então, Dí =0,7.85+0,0039
,r :157 m.
100
Rv: 1/0,00032
e o comprimento da curva é
Lv: Rv. ôi : -3125,00 ' (-0,08)
o,oioi ç
S:R< i ' i
, , t6
õl
aaaaaaaaaa)
aaaaí)
íf
aaaaaaaaaaaaaaaaav
1a2 Projeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
Calculo do comprimento mínimo da curva: lJsaremos a fórmula do caso S < Lvpor nos parecer mais provável que a distância de úsibilidade seja menor que o comprìmentoda curva.
:610 m4,04 4,04
Confirmado que S< Zv, o valor encontrado é o correto.
Ei . Lv -0.1 '610Calculo da flecha n(l eslaca do PIV: : 7,63 m
A çota do greide na estaca 144 serâ a cota do PIV menos a flecha F.
cota do greide : 654,28 7,63 -- 646,65 m
altura de corte : 653,1 1 - 646,65 : J,06 m
Rv : Lvl õi - 61 0/-0,1 : - 6100 m
PCV:PIY -Lv/2:1144 +0,001-610,00/2: [28 + 15,00]
PTV: PIY + Lv/2: l l44 + 0,001 + 670,0012: [159 + 5,00]
Resposta'. Altura de corte :7 ,06 m
Rv=6100,00m(convexo)
PCV: [128 + 15,00]
PTV: [159 + 05,00]
Observação: emvez de calcular pela formula, podemos usar o gráfico da Figura7.13. Na linha correspondente à velocidade dc 100 km/h podem-se ler os valores de1/b Rv encontrados no cálculo. E o cruzamento dessa ünha com a ordenada corespondentea uma diferença de rampas igual a 10% determina, no eixo das abscissas, o valorZv_,- :
610 m.
9.7.2 Exercícios Propostos
Exercício 7.7
Cap.9 Exercíc ios 183
calcular a inclinação da última rampa.
Exercício 7.8Em um perfil de estrada, conhecemos os PIVs e aS rampas conforme a ltgura a
segurr. Se adotarmos raios de 6000,00 m e 8000,00 rnpam as çun'as I e 3, respectivamente,
qual é o maior raio que conseguiremos colocar na cuwa2?
Resposta:
Exercício 7.9Dado o treçho de perfil da figura a seguir, calcular os raios das duas curvas.
Resposta'. Rv, :6.400,00 m Rvr:4.000,00 m
Exercício 7.14
Dado o esquema
Resposta'.
antenor,
@
o-@:
.Èi l j
d: f
L '
:Ej3IS_
:@
:E>:õ
:@
o:
,ç
l :O
-:o
L
>o
Rvr = 6.960 t
ó+
184 Projeto Geométrico de Rodovias Cap' 9
Dadootrechodeperfi lanteríor,determinarosraiosdasduascuryaseaestacado ponto mais alto do greide
Resposta'. Rv, :6.000,00 m Rv, = 5.000,00 m\,'9
!-Itl"l'i"ü
tpg
g
I
t
t
t
í
t
olO,ìoir iN' ,N
L
Ár: rN
NìË
6iõt l I
OL
Cap.9 Exercíc ios 185
À
gÕíi lÉ
>iÈ
, + i
2r * lt l :
No trecho de perírl anterior, queremos que as duas rampas intermediarias tenham
inclinaçãodeS,/o,umadescendenteeoutraascendente.Determinaraestacaeacota
Curua 2
Resposta:tr+o;l
Exercício 7 '14
No trecho de perfil da figura a seguir' deseja-se substituir as duas curvas por uma
."rìài" t..1" a media doi dois raios atuais' sem alterar as rampas externas'
Calçuìar a estaca e a cota do PCV e do PTV da nova curva'
Exercício 7 -15
----i
JÈ
+i@i
>iL
o-ooì-- SO,
do PIV'.ResPosta'.
Resposta'.
estaca [204 + 12,80i -
ì l
+ i + oó =tr&r ì ì :
+i È: YiÈ
N::dN' :
oi
+t9
>iõl
I
I
I
I
í
I
II
I
I
Exercício 7.12
Em um pequeno ffecho de rodovia' conhecemos os seguintes elementos:
pontoinic ia l :estaca:[0+0,00];cota:633,55m;rumpa:1o/o
ponto final: estaca = [34 + 0,00]; cota = 630'55 m; rampa = 3o/o Resposta"
O greide deverá apresentar duas curvas verticais cujos PIVs ficarão nas estacas
[9+0,00]e[24+0,00] 'Sabendo-sequenaestaca|24+0,00]acotadogreidenãopoderáser infer ior
a 627,19 m. calcular o maior raio que poderemos uti l izar na primcira curva'
588.00 m
ot+ ios io-oi@
n i '
&Exercício 7.13
Noperhldat iguraaseguir ,queremosmodif icaraincl inaçãodarampai 'para
570 sem alterar ur ru*pu, ;f" i,,ot raios das curvas' a estaca e a cota do PCV''
Determinar o comprimento da nova rampa l, (distância entre o PTV' e o
PCV,).
Notreçhodeperfi lanterior'determinaromenorraioparaqueogreidefiqueno
mínimo 2,00m acima do nível da enchente prevista' igual a 588'00 m'
iI
i
I
ô
i i@í :
Resposta'.
ItaaaaaaaaL
aalaa)
-aaa)
)
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-)
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-
-
186 Projeto Geométrico de Rodovias Cap 9
9.8 Projeto da TerraPlenagem9.8.1 Exercícios Resolvidos
Exercício 8.1Calcular a distância econômica de transporte conhecendo-se:
Cap.9 Exercíc ios 187
pede-se: desenhar a tinha de Bruckner, sendo o coeficiente de redução : 1,20.
Resolução'.
Acompanhemos o cálculo pela planilha a seguir'
custo de escavação:
custo de transporte:
3,20 R$im3
1,60R$(m3.hrr)
distância média para bota-fora: 300 m
distância media para empréstimo: 400 m
Resolução:
Temos a seguinte relação:
, "" ! , *dVcl-_^ '"erp
" t
cm que:
d", : distância econômica de transporte em km
c" : custo da escavação em R$/m3
c, : custo do transporte em R$/(m3' km)
d, - : distância média de transporte para bota-fora em km
Dl
d : distância média de transporte para empréstimo em km
Substituindo, temos:
3,20R$/m3
4,: 1r6oRq;tk-) + 0,4 km + 0,3 km
d",:2,0 km + 0,4 lcÌl + 0,3 km
Exercício 8.2Em um pequeno trecho de estrada, cujo perfrl é dado a seguir, corthecemos as
áreas de corte e aterro conforme a tabela a seguir'
!
Estaca Área corte (m2) Área aterro (m2)
0 0 0
I l6 0
2 30 0
3 }L 0
20 0
t2 l0
6 0 l4
7 0 20
8 0 28
9 0 32
l0 0 aÁLA
l l 0 18
l2 10 l4
IJ.+o 0
l Í 58 0
t5 z+ 0
t6 0 0
'188 Pro.ieto Geométrico de Rodovias Cap' 9
I
Estaca
0
Areâ
corte
0
J
Áreaaterro
0
4
Volume
corte
0
5
Volume
âterro
0
6
Aterroreduzido
0
7
Comp.transv.
0
8
Comp.Longit.
0
9
Linha de
Bruckner
0
lo 0 t60 0 0 0 160 Ì60
2 30 0 460 0 0 0 460 620
l 0 670 0 0 0 620 t.240
20 0 520 0 0 0 520 1.760
5 11 IO 320 100 t20 t20 200 1.960
6 0 Ì4 t20 240 288 t20 -1 68 t.792
7 20 0 340 408 0 -408 I 384
E 0 28 0 480 s76 0 576 808
9 0 32 0 600 120 0 724 88
t0 0 0 560 ott -472 -584
11 0 l8 0 420 504 0 ,504 -t .088
t2 l0 t4 100 320 184 100 -284 - l ]77
t l 46 0 560 140 168 t68 397 -980
t4 58 0 1.040 0 0 0 1.040 60
l5 0 820 0 0 0 820 880
lo 0 0 240 0 0 0 240 t. 120
As três primeiras colunas contêm os dados do problema'
Na quarta coluna colocamos, em Cada estaca, O volume de Corte existente entre
a referida estaca e a anterior. Esse volume e obtido multiplicando-se a média das áreas
pela distância entre as estacas.
Por exemplo, na estaca 3, Vc: (30 + 32)12 * 20: 620 m3 '
Na quinta coluna colocamos, em cada estac4 o volÌÌme geométrico de ateno existente
entre a referida estaca e a anterior, obtido de maneira análoga à da quarta coluna.
Na coluna 6 colocamos os volumes reduzidos (ou corrigidos) de aterro, ou seja,
os volumes da coluna 5 multiplicados pelo coeficiente de redução. Por exemplo, na
estaca 5, Vr : 100 . 1,20 :120 m3. Observe-se que este é o volume necessário para
conslruir o ateÍTo entre as estacas 4 e 5'
Na coluna 7 colocamos os volumes compensados lateralmente, isto é, os volumes
escavados e aplicados na mesma estaca que, poúanto, não entram na compensação
longitudinal. E sempre o menor enhe o volume disponível (coluna 4) e o volume necessário
paã o aterro (coluna 6) em cada estaca. Por exemplo, na estaca l2 são necessários
ãg+ -,,
mas temos disponíveis apenÍÌs 100 m3. Esses 100 m3 são aproveitados na própria
estaca, operação que chamamos de compensação transversal'
Cap. 9 Exercíc ios 189
Na coluna 8 colocamos os volumes que excedem a compensação trausversal e
são aproveitados na compensação longitudinal. No exemplo anterior, eram necessários
384 m3 e tíúamos apenas 100 m3. Os 100 m3 foram aproveitados e "sobraram" -284
m3. Estamos introduzindo, aqui, o sinal menos para indicar sobra negativa, ou seja, falta
de material.
Na coluna 9 temos a ordenada da linha de Bruckneq que é a coluna I acumulada,
indicando, em cada estaÇa, a quantidade de material que está sobrando ou faltando
desde a estaca inicial ate a estaca atual.
Conclusão:
2.000
1.500 //,/
a--\
r t \, / \\
\ Linha de BruckneÍ.1.ooo/: \ /
; / \ /! - roo , / \ /R/\/a./ \ãs\/! -soo \ , 'õ\t>\ t
-1 ooo tr . / /
-1.500
0 Estacas 5
Exercício 8.3No diagrama do exercício anterior, escolher a linha de distribuição mais econômica.
Resolução:
Como as distâncias de transporte são pequenas, não precisamos nos preocupar
com a distância econômica de transporte, que certamente será maior.
â
-â
-
-Atl)
AAÂ
â
Â
aaá
r€)aá
a
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â
â
â
)
?FfppF.FFv.v
190 Projeto Geométrìco de Rodovias Cap. 9
O problema resume-se em encontrar a horizontal que corta a liúa de Bruckner
em três pontos, determinando dois segmentos de comprimentos iguais ou que mais
se aproximem dessa condição.
Encontramos para esta reta a ordenada 560 m3, que corta a linha de Bruckner
nas estacas 2 + 0,00, 8 + 6,00 e 74 + 12,00.
A representação grâfica está na f,tgura a seguir.
2.000
1.500
1.000
soô
. -500
-1.000
..1.500
0
Exercício 8.4No diagrama de massas da figura a seguir, escolher a linha de
mais econômica e calcular o momento de transporte (aproximado).distribuição
Resolução:
la passo - escolha da linha de distribuição.
Pelo exame do diagram4 vemos que a horizontal que tangencia a linha de Brucknerna estaca 90 (volume : -5000 m3) corta os rarnos vizinhos nas estacas 30 e 145. Sendoa distância entre essas estacas igual a 2300 m, menor que a distância econômica detransporte, estamos no caso em que o material escavado logo após a estaca 145 deveser transportado para o aterro pouco antes da estaca 30. Neste caso, a linha maiseconômica é exatamente a de ordenada -5000, entre as estacas 30 e 145.
Entre as estacas zero e 20, não há compensação a ser feita. E obrigatório oempréstimo.
Resta ver, no trecho entre as estacas 145 e 160, até onde será aproveitado noaterro e a partir de onde será feito bota-fora. A partir da ordenada-5000, consideremossucessivas horizontais, medindo o comprimento entre o ramo descendente e o ramoascendente do diagrama, até obter a distância de 2500 m que é a distância econômicade transporte. Vemos que isto ocoÍre na ordenada -4000, entre as estacas 25 e 150.
Portanto, o material escavado entre as estacas 145 e 150 deve ser transportadopara o aterro, entre as estacas 25 e 30. Da estaca 150 até o final deve ser feitobota-fora e da estaca 0 à estaca 25 deve ser feito emprestimo.
A hgura a seguir mostra a liúa de distribuição escolhida. Observe que qualqueroutra linha seria antieconômica.
Cap.9 Exercíc ios 191
Diagrama de massas
10050 Estacas
:200 m:300m
:2.500 m
Dados: distância média para bota-fora
distância média para empréstimo
distância econômica de transporte
E
!_q)Ef,
o
oÊlõ
100
1g2 Pro.jeto Geométrico de Rodovias Cap. 9
2e passo: Cálculo aproximado do momento de transporte.
a) primeira compensação (estacas 30 a 90)
Z :3.000 m3
d : ( t s - 31).20: 760 m
Mt :2.280 mr'km
b) segunda compensação (estacas 90 a 145):
tr/ :4.000 m3
d :(136 - 110).20:520m
Mt :2.080 mr'km
c) transporte longo: das estacas (145 a 150) para as estacas (25 a 30):
tr/ : 1.000 rn3
d : (r48 - 28) . 20: 2.400 m
Mt :2.400 m3 'km
d) bota-fora (estacas 150 a 160):
Z : 1.000 m3
d :200m
Mt :200 m3'km
e) empréstimo (estacas 0 a25):
Z :4.000 m3
d:300m
Mt :1.200 m3'km
Resposta:
O momento de transpofte e igual a 8160 mr 'Krn
Cap. 9 Exercic ios 193
Exercício 8.5Resolver o exercício anterior admitindo que a distância econômica de transporte
seja 1.700 m.
Resolução'.
Vemos, desta feita, que a distância enfte as estacas 30 e 145 é maior que a distância
econômica de transporte, não sendo econômico o transporte de material escavado após
a estaca 145 para o aterro, antes da estaca 30. Nesse caso, será feito bota-fora e
emprestimo, sendo que o momento de transporte, incluindo a parte equivalente à nova
escavação, é igual ao volume multiplicado pela distância econômica de transporte e
não mais pela distância entre os ramos ascendente e descendente do diagrama.
Tracemos. então. uma linha auxiliar (não necessariamente reta) paralela ao rafiÌo
ascendente, à distância d., deste último.
O problema, agora, é encontrar a horizontal que determine, entre o primeiro ranlo
descendente e a linha auxiliar, uma área (cinza-claro na figUra) que seja igual ao dobro
da ârea(cinza-escuro na figura) formada com a linha de Bruçkner nas imediações dtl
ponto de máximo. Esta liúa será a mais econômica e pode ser vista na figura a seguir
Naturalmente, todo o restante será emprestimo ou bota-fora'
Exercício 8.6Dada alinha de Bruckner da figura a seguir, ttaçat alinha de distribuição mais
econômica e calcular o momento de transporte.
d,:1.100m
distância média para bota-fora : 100 m
distância média para empréstimo:200 m
Estacas
, l -
Dados:
I|laaaaaaa)
aaaíì
aaGí)
a)
-
-aÕ
a
-
-
-
-
-
-â
taIpv
1g4 Projeto Geométrico de Rodovias Cap' 9
50 100
-dsr+
Resolução'.
le passo - Escolha da linha de distribuição:
50
20 passo - Cálculo do momento de
Neste caso, a distância econômica de transporte e pequena e não e
possível traçar uma linha de distribuição contínua' Devemos traçar na liúa
ãe grucknei segmentos horizontais com comprimento igual a d"tque liguem
trechos ascendentes e descendentes, sem remontar trechos de compensação'
Estamos, assim, transportando o máximo volume possível sem ultrapassar
a distância econômica. o restante coresponderá abota-foras ou empréstimos.
A liúa de distribuição assim obtida está na figura a seguir'
15
10
5
.0
-5
b) segunda compensação:
:8 mil mr:0,2 km: 1600 m3 'km
= 6 milm3:0,1Ìan
:600 m3 'km
Momento total : 8.760 + 11 .840 + 1.600 + I '800 + 600
Resposta:
Cap.9 Exercic ios 195
Y : IO I i l lm-
d :O,i4fun
Mt :11.84A m3'km
cr) Z :9 mil m3
d :A,2kn
Ml = 1.800 m3
c) emprestimos: c,) ,/
a
Mt
d)bota-fora: V
d
km
Mt
transporte aproximado:
a) pnmetra compensaçao: V :12 mi l m3
d :0,73wír
Mt :8;160 m3. lon
. t - : lúo
3ËÉ.ã5 iE ãË ã, i !=! ' ta álá
€g ËËËãË;= z= sE 7ã 6_1;É: i ì r F"Ë ãs ' ,gEËÈtT Eí ãÊ Ë'EuF* áb 33 ã5 '3FrãÉEi gP È€ ;
' - ãgsË íá N :Ë nrì ;€egío -- í7r ;g; ;E,r rËËãÊE 3ãí=ëEE 'ú t? :3 Ea' í |E,? IEÊEÉ ËÈ I iá ü.g ËEãE H õ iZiZÈË õ E? 'ã i l ,Z FiË ËiËË:; 3Ë Ëi ;ËIË
-r t r22,4 iÊ EË:gE 'ú 3X
Fi l :Eã$Ë :3 tË; iËf i Ë==Ëi i ëÉ +€ËË-
- *=!ËSÊ z\ {ËïrE
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I €EËãfr ËË;Ei *Ë,ã* i iã[ã: áEË*Ë ãFF;p ãlã-.5 ÊÉê?? :^É3Ë.ã .sãõ:È(õ^-r : . . : . ;aJocÉ.
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r r r , l f Sl t \ ' . ( ' . t l l l lwl ls, l . l . l t i .qhut1,s l ingint 'er ing. . lohn Wilcy & Sons, lnc-
l ( ) ( ' ì
r r f f V f l f ( 4. M l ' ( ' t ' t ! , . t t t t l ) ( t t t t t t l ' . .s t o l l t , t t l t t ( ' t tml t r i . t r t t t t lo dt : Trr tn,s iç 'ãt t t '
( ' r t l r t r l r t , l , l ' t t t v t t .s I l t t r i . ' t t t t l t t t \ J ì t ) t ( ' t t t t t l t t t l t t t l r t t ' l Jr l ivcrs i t l l t t lc dc Sã<l l ' l r r r lo '
l i . to ( ' : r t l r t : , . l t ) / ( t
f ' f l \ l l N f , ' \ , ( l t I l ' to1r ' l r t ,1, ' l ' . t l t r t , l , ts Nrt l t ts r l r ' " Í r r / r r ' \ t r l t r r l r t 's l ' ' ì c ì '
I l t r t r t t ' , t r l : t , lc r l t 'S, t , r l ' ; t t t l , r . Sl to ( ' ; t t lo: ; ' l ' )SI
f ' f l \ l f l '1 l . ' \ , ( l i I l t t , r l t r , ' ( r t t r t l t l l l t r l t t t t t l r ' I r t l i ' r r r t t l t tnr t r t l : " ' l l r ' t ' l ' t
\111",1, l r t , t , . , t r ' t l r t " I t l t , t , l , t t , l , l l , t t l t t . t , . t 'nt I l t t t r , ' t , t , l , t , l t ' r l r l - . t , ' l ' . t t t l " ' i r .
( . r t l r ' , l ' r l ,
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