PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE ANTI-SURGE VIA CONTROLE EMCASCATA DO ACIONADOR

Mateus C. Lucena∗ Joao B. M. dos Santos† Antonio M. N. Lima†

∗Mestrando do Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica - PPgEE/UFCG

†Departamento de Engenharia EletricaCentro de Engenharia Eletrica e Informatica

Universidade Federal de Campina GrandeAv. Aprıgio Veloso, 882, 58429-970 Campina Grande, PB, Brasil

Email: mateus.lucena@ee.ufcg.edu.br,{joaobatista,amnlima}@dee.ufcg.edu.br

Abstract— The phenomenon of surge is characteristic of centrifugal type compressors. This is characterized bythe promotion of oscillations of mass flow and pressure, capable of promoting structural damage and compromisingthe efficiency of the compression process. To mitigate the phenomenon, this work proposes a law of regulatorycontrol. The design of this law considers the use of cascade structures of the variable speed drive system. Thedesign concept uses the velocity-ramp-up methodology and devises the inclusion of an anti-stress filter in thesystem speed feedback loop. The proposed control law is evaluated through typical simulation cases.

Keywords— Centrifugal Compressor systems, Phenomenon of Surge, Cascade Control.

Resumo— O fenomeno do surge e caracterıstico dos compressores do tipo centrıfugo. Este se caracterizapor meio da promocao de oscilacoes de fluxo de massa e pressao, capazes de promover danos estruturais ecomprometer a eficiencia do processo de compressao. Para mitigar o fenomeno, este trabalho propoe uma lei decontrole regulatorio. O projeto desta lei considera a utilizacao de estruturas em cascata do acionador a velocidadevariavel do sistema. A concepcao de projeto utiliza a metodologia ramp-up de velocidade e concebe a inclusaode um filtro anti-surge na malha de realimentacao de fluxo de massa do sistema. A lei de controle proposta eavaliada por meio de casos tıpicos de simulacao.

Palavras-chave— Compressores Centrıfugos, Fenomeno do Surge, Controle em Cascata.

1 Introducao

Os sistemas de compressao centrıfugos sao lar-gamente utilizados na industria petrolıfera, cum-prindo papel fundamental na manutencao das ati-vidades de exploracao de petroleo em plataformasoffshore (Plucenio et al., 2016). Os sistemas decontrole anti-surge tıpicos utilizam valvulas de cir-culacao para a atmosfera ou de recirculacao dadescarga para a succao (de Campos, 2006).

Ha tambem aplicacoes que utilizam a unidadede acionamento para compor solucoes de con-trole anti-surge (Gravdahl et al., 2002) (Bohagen,2007). Outrossim, verifica-se ainda a apresenta-cao de solucoes mistas que associam as valvulasdo sistema ao acionador na composicao de estru-turas de controle (Torrisi et al., 2015), (Lucenaet al., 2016).

As solucoes de controle anti-surge propostaspara o acionador do sistema constituem funda-mentalmente leis de regulacao. A literatura expli-cita ainda que estruturas de controle voltadas aoacionador do sistema sao tipicamente dispostas emcascata. A utilizacao destas estruturas apresentavantagens pois formulam leis capazes de dispensara utilizacao da valvula de reciclo presente nestesistemas (Bohagen, 2007), (Lucena et al., 2016).

As solucoes anti-surge que utilizam a unidadede acionamento na solucao de controle (Bohagen,2007), (Lucena et al., 2016), (Boinov et al., 2006a)demonstram que o surge e mitigado em uma de

suas vertentes, promovendo-se um acrescimo develocidade operacional no sistema; que por suavez aumenta a razao de compressao e expande aregiao de operacao estavel do sistema a pontoslocalizados a esquerda da linha de surge.

Em se tratando do projeto de controlado-res anti-surge, sejam esses destinados a malhasde controle do acionador ou dedicados ao con-trole de valvulas presentes no sistema, a literaturaapresenta tecnicas tradicionalmente revisitadas(Simon and Valavani, 1991), (Gysling et al., 1990),(Billoud et al., 1991), (Krstic et al., 1995), (Liawand Abed, 1996), (Weigl and Paduano, 1997),(Bartolini et al., 2008), (Asadzadeh and Sha-bani, 2018),(Boinov et al., 2006b).

Muito embora essas solucoes proporcionemmaior robustez e desempenho ao sistema, a im-plementacao destas tecnicas requer conhecimentoteorico avancado, muitas vezes incompatıvel ao nı-vel de instrucao do operador destes sistemas. Tor-nando inviavel a aplicacao em cenarios de opera-cao industrial ja em funcionamento.

Neste sentido, levando em conta a pertinenciade agregar o acrescimo de velocidade a solucao decontrole, e tendo em vista a concepcao de uma so-lucao que independa de modelos, enseja-se nestetrabalho a formulacao de uma malha fechada ca-paz de operar em ramp-up quando da identificacaodo fenomeno de surge.

A fim de tornar a malha fechada capaz de ope-rar em funcao da ocorrencia de surge propoe-se a

alocacao de um filtro anti-surge na malha de re-alimentacao de fluxo de massa do sistema. Nestaoportunidade apresenta-se a concepcao e formu-lacao de malha de regulacao proposta, bem comoos elementos do filtro anti-surge concebido. Estetrabalho considera a utilizacao de um acionador avelocidade variavel no sistema.

O presente trabalho esta organizado da se-guinte forma: na Secao 2 e apresentada a mode-lagem do sistema de compressao e o fenomeno dosurge; na Secao 3 apresentam-se a estrategia decontrole proposta; na Secao 4 seguem os resulta-dos de simulacao; na Secao 5 seguem conclusoes econcepcoes de trabalhos futuros.

2 Modelo do Sistema de Compressao

A referencia que da suporte a modelagem apre-sentada para o sistema de compressao utilizado eproposta em (Egeland and Gravdahl, 2002). AFigura 1 apresenta a ilustracao do modelo.

Figura 1: Ilustracao do modelo de compressor.

As equacoes diferencias que descrevem o mo-delo sao:

p1 =a2

V1(mf +mr −m) (1)

p2 =a2

V1(m−mr −mt) (2)

m =A

L(ψ(m,ω)p1 − p2) (3)

ω =1

J(τd − τc) (4)

τc = mr22ωµ. (5)

As valvulas sao modeladas como um fluxoatraves de um orifıcio

mt = Bct√

(p2 − p01)B (6)

mf = cf

√(pup − p1) (7)

mr = cr√

(p2 − p1) (8)

em que

B = tanh(ζ(p2 − p01)). (9)

O fluxo atraves das valvulas e controlado pormeio das variaveis cf , cr e ct ajustadas entre zero

e 100%. A constante ζ e uma constante carac-terıstica do sistema. As grandezas envolvidas esuas unidades sao explicitadas em (Gravdahl andEgeland, 2012).

O controlador PI da valvula de reciclo fun-ciona em compromisso com o mapa de compres-sao do sistema, suas linhas de surge (LS) e linhade controle de surge (LCS). A apresentacao des-tas ferramentas esta fora do escopo deste traba-lho e podem ser encontradas em trabalhos anteri-ores (Lucena et al., 2016), (Gravdahl et al., 2002),(Bastard, 2010).

2.1 Fenomeno do Surge

Para exemplificar este fenomeno, o cenario de si-mulacao descrito em (Lucena et al., 2016) foi ado-tado. As oscilacoes caracterısticas no fluxo e napressao apresentadas nas Figuras 2(a) e 2(b) con-figuram o fenomeno do surge.

As indicacoes apresentadas na Figura 2(a)ilustram os conceitos de surge moderado e surgeprofundo. O fenomeno do surge nos compressorescentrıfugos ocorre quando a vazao do compressorcai abaixo de certo valor, que depende essencial-mente do compressor e do tipo de gas que estasendo comprimido. O surge caracteriza-se poruma fase inicial com oscilacoes de amplitude re-duzida (Surge Moderado). Em seguida, passa areproduzir oscilacoes de maior amplitude, ocasio-nando ainda fluxo reverso no sistema (Surge Pro-fundo).

3 Estrategia de Controle

A estrutura de controle proposta neste trabalhoadmite inclusao no conjunto de solucoes que fazuso do controle de velocidade da unidade de acio-namento. O sistema de controle apresentado con-sidera portanto a utilizacao de uma unidade deacionamento a velocidade variavel.

3.1 Concepcao da Lei de Controle

A concepcao apresentada a seguir e formalizadapor meio de observacoes severas e diversos testesde simulacao. A escolha de fazer uso de proce-dimento empıricos e inicialmente adotada em ra-zao das nao linearidades do modelo implicarem emprocedimentos analıticos custosos.

A fim de explicitar a caracterıstica do acres-cimo de velocidade enquanto solucao de controle,sao apresentados na secao 3.1.1 casos de simula-cao que permitem melhor compreender esta con-cepcao.

Para tornar a malha fechada capaz de ope-rar em funcao da ocorrencia de surge, propoe-seum filtro anti-surge. Tomou-se como decisao deprojeto admitir enquanto referencia deste filtro aobservacao do fluxo de massa. Muito embora os

(a)

(b)

Figura 2: Ciclo de surge.

nıveis de pressao do sistema reproduzam caracte-rısticas semelhantes, e tambem possam ser even-tualmente arbitrados na qualidade de referencia.Esse subsistema e apresentado na secao 3.1.2.

3.1.1 Experimentos a velocidade variavel

As simulacoes realizadas consideram a saıda deum controlador PI enquanto torque idealizado daunidade de acionamento do sistema. No cenarioadotato, o surge e provocado por meio do estran-gulamento da valvula de admissao do sistema apartir de 2 segundos. Os resultados observadossao apresentados na Figura 3; as acoes impostasmanualmente sao identificadas em sua legenda.

As mudancas de velocidade sao experimenta-das apos inicio das oscilacoes do surge (aproxima-damente 6 segundos). Sao adotados diferentes re-ferenciais de velocidade, caracterizando distintosdegraus de velocidade no sistema. Observa-se quea identificacao do limiar de velocidade que deve seratingido para cessar as oscilacoes nao e facilmenteconcebıvel.

Concluı-se que a identificacao do nıvel de ve-locidade a ser atingido para cessar as oscilacoes dosurge e funcao do ponto de operacao do sistema;muito embora estes nıveis possam ser identificadospor meio de severas experimentacoes, esta pratica

0 2 4 6 8 10tempo [seg]

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

velo

cida

de d

o co

mpr

esso

r [r

ad/s

]

Init=3500 -> *=6000rad/s

Init=5500 -> *=5500rad/s

Init= 5500 -> *= 6000rad/s

Init= 3500 -> *= 7000rad/s

Init= 3500 -> *= 4500rad/s

Init= 3500 -> *= 3500rad/s

Figura 3: Sinais de velocidade do experimento avelocidade variavel.

inviabiliza a formulacao de leis de controle de cu-nho geral.

De posse destas informacoes defende-se nestetrabalho uma estrategia que permita elevar a re-ferencia de velocidade do sistema na forma derampa ate que as oscilacoes do surge cessem. Paraidentificar os instantes adequados a este tipo deacao, propoe-se o filtro anti-surge apresentado nasequencia.

3.1.2 Filtro anti-surge

Para fornecer uma rampa de velocidade atravesunidade de acionamento, se faz necessario utili-zar estruturas que promovam uma acao de rampana referencia do controlador de velocidade, tao so-mente durante as oscilacoes de surge. Em compro-misso com estes objetivos propoe-se a estruturaapresentada na Figura 4.

Figura 4: Diagrama de blocos do filtro anti-surge.

Esta estrutura e capaz de produzir referenciasde velocidade adequadas em funcao do sinal defluxo de massa do sistema. A estrutura proposta,doravante filtro anti-surge, sintetiza uma cascatade filtros, sejam estes respectivamente: filtro deri-vativo, quadratico e integrador.

Para demonstrar as acoes do filtro anti-surgeem detalhes, a Figura 4 exibe o comportamentodos sinais antepostos a saıda em um caso de simu-lacao. Antes do ponto A e reproduzida a dinamicatransitoria da unidade de acionamento. No pontoB, o surge e provocado por meio da estrangula-cao da valvula de admissao do sistema(equacao7). Na sequencia, observa-se as caracterısticas dosurge nos sinais.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

tempo [seg]

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Filt

rage

m d

os s

inai

s em

cas

cata

Saída do filtro derivativoSaída do filtro quadráticoSaída do integrador

2 2.2 2.4 2.6

tempo [seg]

0.5

0.6

0.7

Inte

grad

or

A B

Figura 5: Sinais do filtro anti-surge.

O objetivo do filtro anti-surge e somar as areasreproduzidas durante as oscilacoes do surge a fimde produzir uma rampa de velocidade.

A acao derivativa produz um sinal aproxima-damente zero quando o fluxo e aproximadamenteconstante. Durante o surge, as oscilacoes comfluxo reverso sao notadamente reproduzidas.

Neste contexto, a soma de areas negativas re-duziria a referencia de velocidade, o que nao e de-sejado. Para evitar essa caracterıstica, e alocadaem serie uma funcao quadratica, as oscilacoes saoentao reproduzidas com valores positivos apenas.

Apos o filtro quadratico, aloca-se um integra-dor com ganho (ki). O integrador e responsavelpor fornecer a rampa de velocidade enquanto asoscilacoes ocorrem.

O ganho (ki) e aplicado para adequar os uni-versos de discurso (kg/s→ rad/s). A determina-cao dos parametros envolvidos no filtro anti-surgee explicada em detalhes na secao 3.3.

3.2 Lei de Controle

O controle anti-surge proposto constitui uma leide realimentacao que regula os nıveis de veloci-dade da maquina em compromisso com os padroesde comportamento do sinal de fluxo do sistema. Odiagrama de blocos da estrategia e apresentado naFigura 6.

Figura 6: Lei de regulacao anti-surge.

Esta proposicao considera um acionador ideala velocidade variavel. O sinal de saıda do con-trolador de velocidade (u) impoe a referencia de

conjugado para o acionador do sistema, i.e.

τd = u (10)

A malha interna e composta por um simples con-trolador PI, responsavel por efetuar o rastrea-mento assintotico do sinal de erro de velocidade,conforme explicitado nas equacoes 11 e 12.

u = (kp +kis

) · e (11)

e = ω∗ − ω (12)

A malha externa da estrategia compoe umalei de realimentacao, fornecendo referencial de ve-locidade por meio do filtro anti-surge apresentado.As estruturas matematicas que descrevem o filtroanti-surge sao explicitadas nas equacoes 13, 14 e15.

ω∗(m) = δd[f(m)] · kis

(13)

δd[f(m)] = [f(m)]2 (14)

f(m) = (s

τs+ 1) ·m (15)

Esta lei fundamenta notadamente um pro-blema de regulacao em funcao do fluxo de massa.

3.3 Projeto da Lei de Controle

Nesta subsecao sao apresentados os desenvolvi-mentos que justificam a determinacao dos ganhospresentes na Lei de Controle. E discutida inicial-mente a introducao de um ganho de rastreio kt emcompromisso com o chaveamento suave requeridopela estrategia; em seguida justificam-se a esco-lha do ganho ki e da constante τ , advindas do’filtro anti-surge’ proposto. Por ultimo sao teci-dos comentarios pertinentes quanto a sintonia docontrolador de velocidade do sistema.

Para utilizacao da lei de regulacao propostase faz necessario definir uma velocidade inicial dereferencia, e so apos a estabilizacao do sistema eque ativa-se a abordagem. Isso ocorre em razaodo filtro anti-surge proposto traduzir o transitoriode acionamento inicial do sistema (ver Figura 5),indesejavel para a aplicacao proposta.

A Figura 7 apresenta o diagrama de ativacaoproposto. Uma vez que a velocidade do sistemaatinge regime permanente a chave S1 e modificadada posicao A para a posicao B, alocando a lei deregulacao na malha fechada, de modo a compor ocontrole ativo do sistema.

O subsistema CAS (Controle Anti-Surge) sin-tetiza uma estrutura capaz de manipular variaveisauxiliares, e.g. chave S1, em ordem de auxiliar aestrategia de controle.

Figura 7: Diagrama de ativacao da lei de controle.

1. Chaveamento suave

Para fornecer uma transferencia ininterruptadurante a ativacao da malha de realimenta-cao externa, utiliza-se um ganho kt para ras-trear a referencia inicial de velocidade ado-tada. A Figura 8 apresenta a configuracaoempregada nesta estrutura. Esse ganho e de-finido em compromisso com o quao rapido sedeseja chavear a estrategia. Para o modeloadotado, verificamos que um simples ganhounitario e capaz de fornecer chaveamento su-ave em tempo suficientemente adequado.

Figura 8: Diagrama de ativacao com ganho derastreio.

2. Filtro surge

Para alcancar os objetivos da estrategia pro-posta, e sugerido definir o ganho ki com omesmo valor de referencia inicial de veloci-dade (ω∗) adotado. Isso advem da necessi-dade de adequar o nıvel do sinal de controleadvindo do filtro anti-surge com a velocidadeω∗.

A constante τ e definida em compromisso como quao rapido se desejar ajustar a acao deri-vativa. Notadamente, esta escolha afeta di-retamente o desempenho do filtro anti-surge.Em aplicacoes semelhantes, esta constante ea priori definida empiricamente. Para o mo-delo adotado, verificou-se que valores ao redorde 0,2 sintetizam uma boa aproximacao.

3. Controlador de velocidade

A sintonia do controlador de velocidade podeser efetivada por meio de tecnicas classicas

apresentadas na literatura e.g. (Hang et al.,1991), (Skogestad, 2003).

Destaca-se que sintonias menos agressivas saodesejaveis no contexto desta aplicacao. Destaforma, evitam-se eventuais overshoots de ve-locidade, reduzindo assim as demandas ener-geticas do sistema.

E adequado destacar que essa estrutura,como outras estruturas em cascata, precisaser ajustada de dentro para fora. Isso sig-nifica que e necessario ajusta inicialmente ocontrolador de velocidade, e em seguida, de-finir e ajustar os demais ganhos da estrutura.

4 Avaliacao da Estrategia Proposta

Os resultados de simulacao apresentados nestetrabalho utilizam os parametros ambientais e docompressor listados em Bastard(2010). Em com-promisso com o espaco deste trabalho, sao apre-sentados a seguir avaliacoes referente a dois casostıpicos de simulacao.

Em ambos os casos de simulacao, o surge eprovocado atraves da estrangulacao da valvula deadmissao do sistema mf (ver equacao 7); iniciadoa regulacao no ponto A, aos 4 segundos de simu-lacao.

No caso de simulacao 1, realiza-se um estran-gulamento em rampa suave na valvula de admis-sao. No caso de simulacao 2, e promovido umestrangulamento na forma de degrau.

Estes cenarios sao apresentados ensejandoemular pertubacoes severas(degrau), que promo-vem o surge repentinamente, e tenues(rampa), queacarretam surge quando impostas continuamenteao sistema.

O objetivo destas simulacoes e analisar o com-portamento do sistema frente a acao de controlepromovida por meio da estrategia apresentada.

A fim de explicitar o efeito da acao de con-trole proposta, em ambos os casos de simulacao,os resultados sao apresentados em contraste como cenario do controlador de velocidade com refe-rencia constante definido por Bastard(2010).

Os parametros utilizados para ambos os casosde simulacao sao apresentados na Tabela 1. Adefinicao destes parametros e efetivada de acordocom a argumentacao disposta na secao 3.3.

Tabela 1: Parametros da estrutura de controle.Parametros Valor

Kpw 1Kiw 5Cnc 1 · 10−3Nm.s/radki 2709rad/kgkt 3τ 0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t[sec]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Flu

xo d

e m

assa

[kg/

s]

Controle de velocidade fixoLei de controle proposta

X: 3.952Y: 0.4212

X: 10Y: 0.2504

B

A

(a)

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

kg/s

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

c

Ponto de Operação

Ponto de OperaçãoLS

X: 0.25Y: 1.953

X: 0.4334Y: 1.285

A

B

(b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t[sec]

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Vel

ocid

ade

do C

ompr

esso

r[ra

d/s]

Controle de velocidade fixoLei de controle proposta

X: 4.016Y: 2710

X: 10Y: 7032

A

B

(c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t[sec]

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Filt

ro a

nti-s

urge

[rad

/s]

Filtro derivativoFiltro quadráticoIntegrador

X: 4.02Y: 1

X: 10Y: 2.595

(d)

Figura 9: Caso de simulacao 1.

• Caso de simulacao 1: O surge promoveacrescimo de velocidade involuntario mesmono sistema sob controle de velocidade [Lei decontrole - Figura 9(c)].

Observa-se que inicialmente o sistema tentaoperar em um novo ponto de operacao, no en-tanto, as oscilacoes do surge persistem e a leide controle promove o ramp-up de velocidadenecessario para mitigar o fenomeno. O cessardas oscilacoes e confirmado observando-se ofluxo de massa do sistema [Controle de velo-cidade fixo - Figura 9 (a)].

Em contraste, observa-se o sistema sob con-trole de velocidade fixo [Figura 9(c)]. O con-trole de velocidade mantem a referencia fi-xada, porem opera em regime de surge.

• Caso de simulacao 2: O cenario em quea pertubacao que provoca o surge e promo-vido de maneira tenue explicita que, o sistematenta operar em baixa velocidade muito em-bora um acrescimo de velocidade promovidoinicialmente reduza a amplitude das oscila-coes; identificado que este acrescimo e insufi-ciente, o sistema entra em ramp-up de veloci-

dade ate cessar as oscilacoes do surge [Lei deControle - Figura 10(c)].

O cessar das oscilacoes e verificadoobservando-se o fluxo de massa do sis-tema [Figura 10(a)].

Em contraste, o controle de velocidade fixomantem a referencia inicialmente adotada,retardando notadamente o regime de surge,muito embora o sistema alcance o surge pro-fundo na sequencia [Controle de velocidadefixo - Figura 10(c)].

Em ambos os casos observa-se que a estrategiaanti-surge proposta promove elevacao da razao decompressao do sistema [Figuras 9(b) e 10(b)].

A saıda do sinal integrador presente nas Fi-guras 9(d) 10(d) explicita que para cessar as osci-lacoes do surge partindo de um ponto que operainicialmente a ω = 2709rad/s, se faz necessarioimpor uma reproducao de velocidade 2,59 vezesmaior, independente do formato de pertubacaopromovido no sistema.

0 5 10 15

t[sec]

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Flu

xo d

e m

assa

[kg/

s]

Controle de velocidade fixoLei controle proposta

X: 4.07Y: 0.4185

X: 15Y: 0.2534

A

B

(a)

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

kg/s

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

c

Ponto de Operação

Ponto de OperaçãoLS

X: 0.4323Y: 1.281

X: 0.2538Y: 2.01

A

B

(b)

0 5 10 15

t[sec]

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

Vel

ocid

ade

do C

ompr

esso

r[ra

d/s]

Controle de velocidade fixoLei de controle proposta

X: 15Y: 6904

X: 4.026Y: 2710

A

B

(c)

0 5 10 15

t[sec]

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Filt

ro a

nti-s

urge

[rad

/s]

Filtro derivativoFiltro quadráticoIntegrador

X: 4.96Y: 1.002

X: 15Y: 2.548

(d)

Figura 10: Caso de simulacao 2.

5 Conclusoes e Trabalhos Futuros

Este trabalho apresentou a concepcao de uma leide regulacao anti-surge para o acionador a veloci-dade variavel do sistema em estudo. Nesta oportu-nidade apresentou-se tambem a concepcao de umfiltro anti-surge para a malha de realimentacao dosistema.

As analises apresentadas evidenciaram a mi-tigacao do surge quando da utilizacao da lei decontrole proposta. Estas constatacoes sao apoia-das por casos de simulacao tıpicos destes sistemas.

A analise formal da estabilidade do sistemafrente as estrategias de controle apresentadas epassıvel de fundamentacao segundo os criterios deestabilidade de Lyapunov para sistemas nao linea-res. Estes desenvolvimentos sao tema de trabalhosfuturos.

Agradecimentos

Ao Programa da ANP PRH-42, PPgEE-COPELEe a CAPES pelo suporte necessario a realizacao dotrabalho.

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