projeto de malhas de aterramento através do método dos elementos finitos

Anais do V Simpsio Brasileiro de Sistemas Eltricos, Foz do Iguau PR, Brasil. 22-25/04/2014 ISSN 2177-6164

Projeto de Malhas de Aterramento Atravs doMtodo dos Elementos Finitos

Rooney Ribeiro Albuquerque CoelhoDepartamento de Engenharia Eltrica

Universidade Federal do CearFortaleza, Cear (85) 33669579Email: [email protected]

Ricardo Silva Th PontesDepartamento de Engenharia Eltrica

Universidade Federal do CearFortaleza, Cear (85) 33669647

Email: [email protected]

Maria das Gracas Santos Rufino PontesCentro de Cincias Tecnolgicas

Universidade de FortalezaFortaleza, Cear (85) 34773049

Email: [email protected]

ResumoProjetos convencionais de malhas de aterramentoso baseados na metodologia descrita na norma IEEE Std 80a qual apresenta formulaes para o clculo da resistncia deaterramento e dos limites de segurana para uma pessoa queest na subestao no momento de um curto circuito. Partindoda resoluo numrica do modelo eletromagntico possveldeterminar o comportamento de grandezas eltricas no solo comoo potencial eltrico e de grandezas derivadas das mesmas comoa resistncia eltrica, sendo possvel projetar um sistema deaterramento que se adeque aos valores estabelecidos na normapara diferentes configuraes de aterramento com a vantagem dese conhecer os possveis locais onde o potencial excede os limitesde segurana, possibilitando assim a readequao do projeto.

I. INTRODUO

O projeto de malhas de aterramento feito baseado noequacionamento da norma internacional IEEE Std 80 [1] aqual estabelece o procedimento de clculo da resistncia deaterramento do sistema e dos limites de segurana para amxima diferena de potencial que a maioria das pessoaspodem ser submetidas sem que ocasione fibrilao ventriculare como consequncia a morte.

O fato da norma utilizar fatores de correo para as suasequaes junto a diversas consideraes que foram tomadaspara o desenvolvimento das mesmas podem gerar erros que noso justificveis com o recurso computacional que possumosatualmente. Uma forma de contornar estes problemas autilizao de mtodos numricos como o mtodo dos Ele-mentos Finitos (FEM) para o dimensionamento de sistemas deaterramento, esses mtodos podem nos fornecer informaesimportantes para o projeto como o local onde o potencialest acima do limite, informao essa que pode nos levar aaplicar uma submalha de equalizao para a correo local doproblema ao invs da reformulao total do projeto.

Figura 1. Superfcies equipotenciais gerada por uma malha de aterramentona ocorrncia de uma falta.

A figura 1 nos mostra o perfil do potencial eltrico no solona forma de superfcies equipotenciais gerado por uma malhade aterramento na ocorrncia de uma falta, a mesma foi geradaatravs de uma simulao computacional utilizando o FEM.

II. FORMULAO ELETROMAGNTICA DE PROBLEMASDE ATERRAMENTO ELTRICO

Para o projeto de sistemas de aterramento eltricoconsidera-se os efeitos da corrente eltrica em um meiocondutivo, o solo. Para [2] a corrente eltrica gerada por umcurto circuito fase-terra que est a frequncia industrial mesmosendo um fenmeno variante no tempo pode ser modeladocomo de natureza quase-esttica.

O problema de aterramentos eltricos a frequncia indus-trial se resume a encontrar a soluo da equao de Laplacepara uma regio de estudo sujeita as condies homogneasde Neumann N na interface ar-solo e de Diriclhet D queso aplicadas nas regies que delimitam a soluo.

.(V ) = 0 em V = V0 em D (1)~J.n = 0 em N

Para um domnio no homogneo como um solo estratifi-cado em camadas horizontais a soluo da equao de Laplacedeve tambm respeitar as condies de interface 12 entre doismeios de condutividade eltrica distintas, que so:

V1 = V2 em 12 (2)

1. ~E1.n1 = 2. ~E2.n2 em 12 (3)

A atribuio de uma excitao ao sistema feita atravsdas condies de contorno no homogneas a um domnio ,sendo a condio de Diriclhet para uma fonte de potencial eNeumann quando temos uma fonte de corrente.

III. FORMULAO DE PROBLEMAS DE ATERRAMENTOELTRICO EM ELEMENTOS FINITOS

O mtodo dos Elementos Finitos um mtodo numricopara soluo de Equaes Diferenciais Parciais baseada noclculo variacional. Segundo [3] o mesmo pode ser resumidoem quatro etapas:

Discretizao do domnio em um nmero finito desub-regies.


Seleo das funes de interpolao. Formulao do sistema de equaes. Resoluo do sistema de equaes obtido.

A. Discretizao do Domnio

Nesta etapa o domnio a ser solucionado ser discretizadoem uma quantidade finita de subdomnios que podem ser for-mado por linhas, tringulos, retngulos, tetraedros ou prismas.Para [3] este o passo mais importante para a anlise porelementos finitos, pois ir afetar diretamente na preciso dosresultados na necessidade de armazenamento e no tempo deprocessamento.

Figura 2. Discretizao do domnio em elementos finitos.

A figura 2 mostra a discretizao do domno em estudopara um problema de aterramento eltrico. Note que a regiode interesse que o condutor de aterramento e adjacnciaspossui elementos menores do que regies distantes, isto porqueseu refinamento ir interferir diretamente na preciso dosresultados da simulao.

B. Seleo das funes de interpolao

As funes de interpolao iro aproximar a funo po-tencial eltrico no interior de cada elemento, normalmente sofunes polinomiais de primeiro (lineares) ou segundo grau(quadrticas). Funes de grau mais elevado apesar de maisprecisas resultam em uma formulao mais complicada.

A equao que descreve o potencial interpolado para qual-quer ponto no interior do elemento, sendo n o nmero de nsde cada elemento, V ej o valor do potencial eltrico no n jdo elemento e Nej a sua funo de interpolao (ou funo debase) :

V (x, y, z) =nj=1

Nej (x, y, z)Vej (4)

C. Formulao do sistema de equaes

Para a formulao do sistema de equaes existem duaspossveis formulaes: a de Rayleigh-Ritz e a formulao deGalerkin.

1) Formulao de Rayleigh-Ritz: Segundo [4] esta formu-lao um mtodo variacional com soluo direta para aminimizao de um funcional. Sendo o funcional da Equaode Laplace fisicamente igual a energia do sistema, o mesmoem regime eletrocintico corresponde ao efeito Joule.

A soluo aproximada do problema ento encontradapela minimizao da energia em relao a cada varivel das

funes de base que descrevem os elementos do domnio dis-cretizado, satisfazendo as condies de contorno homognease no homogneas impostas ao problema. Neste trabalho porsimplicidade ser mostrado somente o equacionamento para aformulao residual de Galerkin.

2) Formulao de Galerkin: O mtodo de Galerkin fazparte dos mtodos dos resduos ponderados, sendo o mesmobaseado na minimizao de uma equao residual que para oproblema de aterramento eltrico corresponde a resoluo daequao 5, onde r o resduo:

r = .(V ) (5)sendo o resduo ponderado R dado pelo produto escalar entreuma funo peso e a varivel incgnita , ao adotarmos a funode ponderao igual a funo de base temos que para cada ni de um elemento e:

Rei =

eNei .(V e)d (6)

segundo [2] aps a aplicao da regra da cadeia, teorema dadivergncia e teorema de Green, podemos escrever a equao6 como:

Rei =

eNei V ed

eNei V e.ned (7)

sendo n um vetor normal externo e e a superfcie que delimitae, a mesma pode ser escrita na forma matricial como:

{Re} = [Ke] {V e} {ge} (8)A matriz [K] chamada matriz de elementos ou matriz derigidez onde cada elemento (i, j) da mesma representa oacoplamento entre seus ns.

Tomando uma funo de base linear para um elementotetradrico podemos escrever sua funo de forma para umelemento e como:

Nei (x, y, z) =1

6e(aei + b

eix+ c

eiy + d

ei z) (9)

sendo o termo e o volume do elemento que para as coorde-nadas (x, y, z) dado por:

e =1

6

1 1 1 1

xe1 xe2 x

e3 x

e4

ye1 ye2 y

e3 y

e4

ze1 ze2 z

e3 z

e4

(10)e cada termo da funo de base encontrado por:

ae

be

ce

de

=

1 1 1 1

xe1 xe2 x

e3 x

e4

ye1 ye2 y

e3 y

e4

ze1 ze2 z

e3 z

e4

1

V e1V e2V e3V e4

(11)ao expandirmos a equao 11, cada termo da funo de baseser composto por uma combinao linear entre uma funofi(x, y, z) e um termo de potencial nodal V ei , denotaremosestes termos como aei , b

ei , c

ei e d

ei .

Segundo [3] tomando as componentes da funo de basede cada n i, podemos montar a matriz [Ke] para cada linhai e coluna j como:

Keij =

36e(bei b

ej + c

ei cej + d

eidej) (12)


O vetor coluna ge possui valor no nulo somente para nsno pertencentes ao domnio da soluo onde no so impostasas condies de contorno homogneas, para o caso da condiode Diriclhet no homognea o valor de gei substitudo pelovalor da condio imposta e para a de Neumann o seu valorna superfcie s do elemento para cada n diretamente ligadoao mesmo dado por:

gei =s

bsj s

3j=1

Ksij (13)

O sistema de equaes resultante obtido montando aequao 7 para todos os elementos pertencentes ao problema,sendo montada a matriz de coeficientes global [K] atravsdo mapeamento das matrizes locais de cada elemento. Se omesmo n pertencer simultaneamente a mais de um elemento,o seu respectivo valor mapeado na matriz global ser a somada componente de cada elemento das matrizes locais, o mesmovale para o vetor coluna global {ge} .

Tomando a integral de resduo ponderado associada a cadan como zero, temos :

{R} =Me=1

([Ke]{V e} {ge}) = {0} (14)

ou ainda,[K]

{V}

= {g} (15)

D. Resoluo do sistema de equaes obtido

Para a resoluo do sistema linear obtido na equao 15 possvel a utilizao de diversos algoritmos. Como mostradoem [5] estes algoritmos so divididos em diretos e iterativos.

Os mtodos diretos utilizam fatorao LU de maneiraotimizada para trabalhar com matrizes esparsas atravs detcnicas de preordenamento que buscam permutar as colunasda matriz de coeficientes de tal maneira a minimizar o nmerode elementos no nulos nas matrizes diagonal superior L einferior U. Como o problema simulado do tipo tridimensionaleste mtodo possui um custo computacional superior aosmtodos iterativos [6] no sendo o adotado na simulaorealizada.

Os mtodos iterativos utilizam algoritmos baseados no m-todo do gradiente conjugado com a possibilidade da utilizaode precondicionadores como o mtodo da sobre-relaxao su-cessiva (SOR) e o mtodo de Jacobi como meio de aceleraoda convergncia da soluo.

IV. ANLISE DOS RESULTADOS: PS-PROCESSAMENTO

Os resultados de ps processamento so os obtidos apsencontrar a matriz de potencial nodal. Sendo a excitao dosistema por corrente atribumos uma densidade de corrente aum domnio que pode ser unidimensional, bidimensional outridimensional, esta condio ser imposta ao problema atravsde uma condio de Neumann no homognea.

Para o clculo do campo eltrico a partir da matriz depotencial sendo ~E = V dado pela equao:

~Ee = 16e

4j=1

(bej~x+ cej~y + d

ej~z)V

ej (16)

Para o clculo da corrente eltrica em um domnio sendo~J = ~E devemos resolver a equao:

~J.nd = I (17)

O clculo da resistncia de aterramento dado ao seinjetar uma corrente conhecida calcular a razo entre a mximaelevao de potencial gerada no sistema em relao ao terraremoto, que na literatura conhecido tambm como GPR(Ground Potential Rise) e o valor da corrente de excitao.

V. PROJETO DE MALHAS DE ATERRAMENTO SEGUNDO ANORMA IEEE STD 80

A. Modelo do solo

Para a determinao de um modelo para o solo necessrioa partir das medies locais de resistividade pelo mtodode Wenner obter uma curva de resistividade experimental.A partir do equacionamento desenvolvido por [7] pode-seencontrar aplicando algum mtodo de otimizao como o dogradiente descendente, Quasi-Newton ou com utilizao demeta-heursticas como Algoritmos Genticos, os parmetrosde resistividade e espessura das camadas para um modelo decamadas horizontais, onde o erro entre os pontos medidos euma curva terica minimizado.

Um exemplo de estratificao do solo mostrado na figura3 onde para as leituras realizadas em campo foram encontradasas curvas tericas de um modelo de duas e de trs camadas.

0 5 10 15 20 25 30 3560

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

Espaamento a[m]

Res

istiv

idad

e Ap

aren

te

a [

.m

]

Curva de Resistividade aparente

Curva Terica para 3 CamadasDados de CampoCurva Terica para 2 Camadas

1 = 215 .m2 = 32.2 .m

3 = 10579 .mh1=3.72mh2=8.95m

1 = 247.79 .m2 = 66.406 .m

h1=2.47m

Figura 3. Modelo do solo a partir de dados de campo.

B. Resistividade aparente com a adio de um revestimentosuperficial

Como o equacionamento apresentado em [1] foi desenvol-vido para solos uniformes, para se trabalhar com meios hete-rogneos se faz necessrio encontrar um valor de resistividadeequivalente a de solo uniforme. Para isso podemos utilizar omodelo de [9] onde a partir de um modelo de duas camadas possvel encontrar um modelo equivalente de solo uniformepara uma dado sistema de aterramento. Para a aplicao destemodelo em solo de mais de duas camadas se faz necessrioutilizar a tcnica de reduo de camadas encontrada em [7]conforme equao abaixo:

eq =h1 + h2h11

+ h22heq = h1 + h2 (18)


Tabela I. RESISTIVIDADE DO MATERIAL SUPERFICIAL

Resistividade eltrica de revestimentos superficiais tpicos [.m ]Material Seco midoAsfalto 2 106 a 30 106 104 a 6 104Brita 7 106 3 103

Concreto 106 a 109 1.2 103Borracha 1013 -

muito comum em projetos de aterramentos eltricos aatribuio de uma camada superficial ao solo com um mate-rial de alta resistividade, este material adiciona uma camadaextra para a estratificao do solo. Segundo [1] a formulasimplificada para encontrar o fator de correo Cs de um solouniforme de resistividade e com uma camada superficial deresistividade s e espessura hs, dado por:

Cs = 10.09(1 s )2hs + 0.09

(19)

Para casos onde existem mais de uma camada superficialcomo uma subestao abrigada ou uma sala de comandoque possui uma camada de concreto revestida com borrachaproveniente de um tapete isolante, podemos encontrar umacamada de revestimento equivalente utilizando a equao 18.

De acordo com os valores encontrados nas referncias [1],[10] e [11] podemos obter valores aproximados da resistividadede alguns materiais utilizados para revestimento superficial,sendo os valores secos adotados em reas cobertas e os midospara reas expostas ao tempo como mostra a tabela I.

C. Critrios de aceitao para projetos

Um projeto de sistemas de aterramento tem que satisfazerum limite de resistncia eltrica, que para uma subestao de69kV de 5, e tem que satisfazer os nveis de seguranaaceitveis propostos por [1].

A mxima diferena de potencial entre os dois ps de umapessoa separados a uma distncia de 1m, sendo o peso damesma de 70kg, chamado de potencial de passo Estep70 epara uma durao de curto circuito de ts o mesmo dado por:

Estep70 = (1000 + 6Css)0.157ts

(20)

A mxima diferena de potencial entre os ps de umapessoa e uma carcaa metlica aterrada a uma distncia de1m, sendo o peso da mesma de 70kg, chamado de potencialde toque Etouch70 e a mesma dada por:

Etouch70 = (1000 + 1.5Css)0.157ts

(21)

VI. ESTUDO DE CASO: SISTEMA DE ATERRAMENTO DEUM SUBESTAO DE 69KV

Como estudo de caso foi escolhido um projeto real demalha de aterramento de uma subestao localizada no estadodo Cear no complexo industrial do Pecm.

Para a modelagem e simulao do estudo de caso que serapresentado neste trabalho foi utilizado o software baseado

Tabela II. RESULTADO DA ESTRATIFICAO DO SOLO

Modelo 1[.m] 2[.m] 3[.m] h1[m] h2[m]Duas camadas 247.79 66.41 - 2.47 -

Trs camadas 215 32.2 10579 3.72 8.95

em elementos finitos COMSOL Multiphysics V4.3b em umservidor na arquitetura cluster localizado no Centro Nacionalde Processamento de Alto Desempenho (CENAPAD) da Uni-versidade Federal do Cear . Apesar da complexidade desteproblema especfico no exigir tamanho recurso computacio-nal, o mesmo foi utilizado como teste para trabalhos futurosde maior complexidade.

Para os valores das medies de resistividade realizadas,utilizando o software desenvolvido em [12] podemos obteruma estratificao de trs camadas ou um modelo simplificadode duas camadas. O resultado da estratificao obtida mos-trado na tabela II, onde para as leituras de resistividade do solopelo mtodo de Wenner foram traadas a curva de resistividadeterica que mais se aproximam destes pontos para modelos deduas e trs camadas como mostrado na figura 3.

O projeto do sistema de aterramento a ser estudado composto de uma malha de aterramento em L, onde naramificao da malha ser instalada a casa de comando dasubestao. A subestao possui uma camada superficial debrita de 15cm, sendo que a rea reservada para a casa decomando possui uma camada de concreto de 15cm com umtapete de borracha isolante de 6.4mm de espessura.

Figura 4. Malha de aterramento simulada.

O sistema projetado possui um total de 1890m de cabos decobre de 40mm2 de seo transversal, formando um reticuladode 3m4m e 14 hastes de aterramento de 3m de comprimentodistribudas pela periferia do mesmo. A capacidade de curtocircuito monofsico no ponto de entrega de 3.98kA com umtempo mximo de atuao da proteo de 0.5s.

Resultado da simulao

O domnio que representa o solo modelado por camadashorizontais estratificadas, onde a uma profundidade de 0.5m desua superfcie inserida uma malha de aterramento compostapor elementos unidimensionais horizontais representando oscabos, e verticais representando os eletrodos de aterramento.A geometria do sistema de aterramento simulado mostradaconforme a figura 4.

Para a simulao realizada, inicialmente o sistema ex-citado pela corrente de curto-circuito, que uniformemente


Tabela III. RESULTADOS DE SIMULAO

Parmetro 2 Camadas 3 Camadas LimiteResistncia 1.22 1.79 5

Estep (Subestao) 299V 243V 3048.2839V

Estep (Casa de comando) 650V 638V 9.54 106VEtouch (Subestao) 802V 625V 928.59V

Etouch (Casa de comando) 952V 913V 9.54 106V

distribuda entre os condutores de aterramento, aps o clculoda mxima elevao de potencial gerada por esta corrente, feita outra etapa da simulao onde assumido que oscondutores possuem potencial fixo e igual a mxima elevaode potencial gerada pela passagem de corrente.

Figura 5. Comportamento do potencial eltrico na superfcie do solo.

O comportamento do potencial eltrico na superfcie dosolo devido a conduo de corrente de curto circuito no sistemade aterramento mostrado na figura 5 onde os tons de azulao vermelho representam a intensidade do potencial eltrico,note que as regies internas a malha possuem um tom maisuniforme o que significa que esta regio esta equipotenciali-zada.

Para visualizar as regies que apresentam o maior gradientede potencial, podemos plotar a magnitude do campo eltricona superfcie do solo, como mostra a figura 6. possvelobservar que a regio da periferia da malha a que possuio maior gradiente de potencial, e que a adio de condutoresmenos espaados nas laterais da malha contriburam para auniformizao do potencial nas laterais da malha.

A resistncia de aterramento da malha obtido pela razoentre a mxima elevao de potencial no solo em relaoao terra remoto (limites de simulao) e a corrente de curtocircuito que foi utilizada como excitao do sistema.

Para a determinao do mximo potencial de toque e domximo potencial de passo que uma pessoa estar submetidana subestao, foi feita uma anlise visual do potencial eltricona superfcie da solo com o potencial eltrico presente noscondutores de aterramento, para isso foi traado o potencialeltrico na diagonal da malha na superfcie do solo e nonvel da malha. A mxima diferena de potencial entre doispontos espaados de 1m na superfcie do solo o potencialde passo e com o mesmo espaamento entre um ponto nasuperfcie do solo e outro no nvel da malha o potencial de

Figura 6. Comportamento do mdulo do campo eltrico na superfcie dosolo.

toque. Os valores de potencial de passo e de toque devem sermenores que os valores limites calculados nas equaes 20 e21 respectivamente.

Como resultado da simulao foram calculados a resistn-cia de aterramento e os limites de segurana para o modelodo solo de trs camadas e o simplificado de duas camadas, naregio revestida com uma camada de 15cm brita e na regioda casa de comando, que uma regio abrigada revestida comuma camada de 15cm de concreto com um tapete isolantede 6.4mm. Apesar dos valores de tenses de toque obtidoscomo resultado da simulao no apresentarem sentido se noponto medido no houver alguma carcaa metlica aterrada,neste trabalho foi considerado o pior caso possvel, que naperiferia da malha. Os resultados obtidos so mostrados natabela III.

VII. CONCLUSO

Com este trabalho possvel concluir que ferramentas com-putacionais como o mtodo dos elementos finitos podem seruma forma alternativa para projetos de sistemas de aterramentoeltrico, pois com a soluo numrica possvel de calcularos valores de resistncia de aterramento, potenciais de passoe de toque.

A anlise numrica possui a vantagem de se conhecera distribuio de potencial eltrico no solo, o que tornaeste mtodo mais verstil do que os mtodos tradicionais,possibilitando estudos especiais de sistemas de aterramentoeltrico que aumentam a segurana e possibilitam a reduode custos com material.

Tambm possvel concluir que a aproximao de umsolo caracterstico de trs camadas por um modelo do solosimplificado de duas camadas pode gerar erros de projetoconsiderveis.

AGRADECIMENTOS

Companhia Energtica do Cear (COELCE) pelo apoioao projeto P&D de avaliao de sistemas de aterramentodo programa de ps graduao em engenharia eltrica daUniversidade Federal do Cear e ao Centro Nacional deProcessamento de Alto Desempenho (CENAPAD-UFC) pelosuporte computacional.


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pp. i192, 2000.[2] V. C. SILVA, Mtodo de elementos finitos aplicado soluo de

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[11] W. D. Callister Jr and S. M. S. Soares, Cincia e engenharia demateriais: uma introduo. Livros Tcnicos e Cientficos, 2008.

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projeto de malhas de aterramento através do método dos elementos finitos

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