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Anais do V Simpósio Brasileiro de Sistemas Elétricos, Foz do Iguaçu – PR, Brasil. 22-25/04/2014 ISSN 2177-6164

Projeto de Malhas de Aterramento Através doMétodo dos Elementos Finitos

Rooney Ribeiro Albuquerque CoelhoDepartamento de Engenharia Elétrica

Universidade Federal do CearáFortaleza, Ceará (85) 3366–9579Email: [email protected]

Ricardo Silva Thé PontesDepartamento de Engenharia Elétrica

Universidade Federal do CearáFortaleza, Ceará (85) 3366–9647

Email: [email protected]

Maria das Gracas Santos Rufino PontesCentro de Ciências Tecnológicas

Universidade de FortalezaFortaleza, Ceará (85) 3477–3049

Email: [email protected]

Resumo—Projetos convencionais de malhas de aterramentosão baseados na metodologia descrita na norma IEEE Std 80a qual apresenta formulações para o cálculo da resistência deaterramento e dos limites de segurança para uma pessoa queestá na subestação no momento de um curto circuito. Partindoda resolução numérica do modelo eletromagnético é possíveldeterminar o comportamento de grandezas elétricas no solo comoo potencial elétrico e de grandezas derivadas das mesmas comoa resistência elétrica, sendo possível projetar um sistema deaterramento que se adeque aos valores estabelecidos na normapara diferentes configurações de aterramento com a vantagem dese conhecer os possíveis locais onde o potencial excede os limitesde segurança, possibilitando assim a readequação do projeto.

I. INTRODUÇÃO

O projeto de malhas de aterramento é feito baseado noequacionamento da norma internacional IEEE Std 80 [1] aqual estabelece o procedimento de cálculo da resistência deaterramento do sistema e dos limites de segurança para amáxima diferença de potencial que a maioria das pessoaspodem ser submetidas sem que ocasione fibrilação ventriculare como consequência a morte.

O fato da norma utilizar fatores de correção para as suasequações junto a diversas considerações que foram tomadaspara o desenvolvimento das mesmas podem gerar erros que nãosão justificáveis com o recurso computacional que possuímosatualmente. Uma forma de contornar estes problemas é autilização de métodos numéricos como o método dos Ele-mentos Finitos (FEM) para o dimensionamento de sistemas deaterramento, esses métodos podem nos fornecer informaçõesimportantes para o projeto como o local onde o potencialestá acima do limite, informação essa que pode nos levar aaplicar uma submalha de equalização para a correção local doproblema ao invés da reformulação total do projeto.

Figura 1. Superfícies equipotenciais gerada por uma malha de aterramentona ocorrência de uma falta.

A figura 1 nos mostra o perfil do potencial elétrico no solona forma de superfícies equipotenciais gerado por uma malhade aterramento na ocorrência de uma falta, a mesma foi geradaatravés de uma simulação computacional utilizando o FEM.

II. FORMULAÇÃO ELETROMAGNÉTICA DE PROBLEMASDE ATERRAMENTO ELÉTRICO

Para o projeto de sistemas de aterramento elétricoconsidera-se os efeitos da corrente elétrica em um meiocondutivo, o solo. Para [2] a corrente elétrica gerada por umcurto circuito fase-terra que está a frequência industrial mesmosendo um fenômeno variante no tempo pode ser modeladocomo de natureza quase-estática.

O problema de aterramentos elétricos a frequência indus-trial se resume a encontrar a solução da equação de Laplacepara uma região de estudo Ω sujeita as condições homogêneasde Neumann ΓN na interface ar-solo e de Diriclhet ΓD quesão aplicadas nas regiões que delimitam a solução.

∇.(−σ∇V ) = 0 em Ω

V = V0 em ΓD (1)~J.n = 0 em ΓN

Para um domínio não homogêneo como um solo estratifi-cado em camadas horizontais a solução da equação de Laplacedeve também respeitar as condições de interface Γ12 entre doismeios de condutividade elétrica σ distintas, que são:

V1 = V2 em Γ12 (2)

σ1. ~E1.n1 = σ2. ~E2.n2 em Γ12 (3)

A atribuição de uma excitação ao sistema é feita atravésdas condições de contorno não homogêneas a um domínio ∂Ω,sendo a condição de Diriclhet para uma fonte de potencial eNeumann quando temos uma fonte de corrente.

III. FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS DE ATERRAMENTOELÉTRICO EM ELEMENTOS FINITOS

O método dos Elementos Finitos é um método numéricopara solução de Equações Diferenciais Parciais baseada nocálculo variacional. Segundo [3] o mesmo pode ser resumidoem quatro etapas:

• Discretização do domínio em um número finito desub-regiões.


• Seleção das funções de interpolação.

• Formulação do sistema de equações.

• Resolução do sistema de equações obtido.

A. Discretização do Domínio

Nesta etapa o domínio a ser solucionado será discretizadoem uma quantidade finita de subdomínios que podem ser for-mado por linhas, triângulos, retângulos, tetraedros ou prismas.Para [3] este é o passo mais importante para a análise porelementos finitos, pois irá afetar diretamente na precisão dosresultados na necessidade de armazenamento e no tempo deprocessamento.

Figura 2. Discretização do domínio em elementos finitos.

A figura 2 mostra a discretização do domíno em estudopara um problema de aterramento elétrico. Note que a regiãode interesse que é o condutor de aterramento e adjacênciaspossui elementos menores do que regiões distantes, isto porqueseu refinamento irá interferir diretamente na precisão dosresultados da simulação.

B. Seleção das funções de interpolação

As funções de interpolação irão aproximar a função po-tencial elétrico no interior de cada elemento, normalmente sãofunções polinomiais de primeiro (lineares) ou segundo grau(quadráticas). Funções de grau mais elevado apesar de maisprecisas resultam em uma formulação mais complicada.

A equação que descreve o potencial interpolado para qual-quer ponto no interior do elemento, sendo n o número de nósde cada elemento, V ej o valor do potencial elétrico no nó jdo elemento e Ne

j a sua função de interpolação (ou função debase) é:

V (x, y, z) =n∑j=1

Nej (x, y, z)V ej (4)

C. Formulação do sistema de equações

Para a formulação do sistema de equações existem duaspossíveis formulações: a de Rayleigh-Ritz e a formulação deGalerkin.

1) Formulação de Rayleigh-Ritz: Segundo [4] esta formu-lação é um método variacional com solução direta para aminimização de um funcional. Sendo o funcional da Equaçãode Laplace fisicamente igual a energia do sistema, o mesmoem regime eletrocinético corresponde ao efeito Joule.

A solução aproximada do problema é então encontradapela minimização da energia em relação a cada variável das

funções de base que descrevem os elementos do domínio dis-cretizado, satisfazendo as condições de contorno homogênease não homogêneas impostas ao problema. Neste trabalho porsimplicidade será mostrado somente o equacionamento para aformulação residual de Galerkin.

2) Formulação de Galerkin: O método de Galerkin fazparte dos métodos dos resíduos ponderados, sendo o mesmobaseado na minimização de uma equação residual que para oproblema de aterramento elétrico corresponde a resolução daequação 5, onde r é o resíduo:

r = ∇.(−σ∇V ) (5)

sendo o resíduo ponderado R dado pelo produto escalar entreuma função peso e a variável incógnita , ao adotarmos a funçãode ponderação igual a função de base temos que para cada nói de um elemento e:

Rei =

∫Ωe

Nei ∇.(−σ∇V e)dΩ (6)

segundo [2] após a aplicação da regra da cadeia, teorema dadivergência e teorema de Green, podemos escrever a equação6 como:

Rei =

∫Ωe

Nei σ∇V edΩ−

∮Γe

Nei σ∇V e.nedΓ (7)

sendo n um vetor normal externo e Γe a superfície que delimitaΩe, a mesma pode ser escrita na forma matricial como:

Re = [Ke] V e − ge (8)

A matriz [K] é chamada matriz de elementos ou matriz derigidez onde cada elemento (i, j) da mesma representa oacoplamento entre seus nós.

Tomando uma função de base linear para um elementotetraédrico podemos escrever sua função de forma para umelemento e como:

Nei (x, y, z) =

1

6νe(aei + beix+ ceiy + dei z) (9)

sendo o termo νe o volume do elemento que para as coorde-nadas (x, y, z) é dado por:

νe =1

6

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1

xe1 xe2 xe3 xe4ye1 ye2 ye3 ye4ze1 ze2 ze3 ze4

∣∣∣∣∣∣∣∣ (10)

e cada termo da função de base encontrado por:ae

be

ce

de

=

1 1 1 1

xe1 xe2 xe3 xe4ye1 ye2 ye3 ye4ze1 ze2 ze3 ze4

−1

V e1V e2V e3V e4

(11)

ao expandirmos a equação 11, cada termo da função de baseserá composto por uma combinação linear entre uma funçãofi(x, y, z) e um termo de potencial nodal V ei , denotaremosestes termos como aei , b

ei , c

ei e dei .

Segundo [3] tomando as componentes da função de basede cada nó i, podemos montar a matriz [Ke] para cada linhai e coluna j como:

Keij =

σ

36νe(bei b

ej + cei c

ej + deid

ej) (12)


O vetor coluna ge possui valor não nulo somente para nósnão pertencentes ao domínio da solução onde não são impostasas condições de contorno homogêneas, para o caso da condiçãode Diriclhet não homogênea o valor de gei é substituído pelovalor da condição imposta e para a de Neumann o seu valorna superfície s do elemento para cada nó diretamente ligadoao mesmo é dado por:

gei =∑s

bsj −∑s

3∑j=1

Ksij (13)

O sistema de equações resultante é obtido montando aequação 7 para todos os elementos pertencentes ao problema,sendo montada a matriz de coeficientes global [K] atravésdo mapeamento das matrizes locais de cada elemento. Se omesmo nó pertencer simultaneamente a mais de um elemento,o seu respectivo valor mapeado na matriz global será a somada componente de cada elemento das matrizes locais, o mesmovale para o vetor coluna global ge .

Tomando a integral de resíduo ponderado associada a cadanó como zero, temos :

R =M∑e=1

([Ke]V e− ge) = 0 (14)

ou ainda,[K]

V

= g (15)

D. Resolução do sistema de equações obtido

Para a resolução do sistema linear obtido na equação 15 épossível a utilização de diversos algoritmos. Como mostradoem [5] estes algoritmos são divididos em diretos e iterativos.

Os métodos diretos utilizam fatoração LU de maneiraotimizada para trabalhar com matrizes esparsas através detécnicas de preordenamento que buscam permutar as colunasda matriz de coeficientes de tal maneira a minimizar o númerode elementos não nulos nas matrizes diagonal superior L einferior U. Como o problema simulado é do tipo tridimensionaleste método possui um custo computacional superior aosmétodos iterativos [6] não sendo o adotado na simulaçãorealizada.

Os métodos iterativos utilizam algoritmos baseados no mé-todo do gradiente conjugado com a possibilidade da utilizaçãode precondicionadores como o método da sobre-relaxação su-cessiva (SOR) e o método de Jacobi como meio de aceleraçãoda convergência da solução.

IV. ANÁLISE DOS RESULTADOS: PÓS-PROCESSAMENTO

Os resultados de pós processamento são os obtidos apósencontrar a matriz de potencial nodal. Sendo a excitação dosistema por corrente atribuímos uma densidade de corrente aum domínio que pode ser unidimensional, bidimensional outridimensional, esta condição será imposta ao problema atravésde uma condição de Neumann não homogênea.

Para o cálculo do campo elétrico a partir da matriz depotencial sendo ~E = −∇V dado pela equação:

~Ee = − 1

6νe

4∑j=1

(bej~x+ cej~y + dej~z)Vej (16)

Para o cálculo da corrente elétrica em um domínio sendo~J = σ ~E devemos resolver a equação:∮

Γ

~J.ndΓ = I (17)

O cálculo da resistência de aterramento é dado ao seinjetar uma corrente conhecida calcular a razão entre a máximaelevação de potencial gerada no sistema em relação ao terraremoto, que na literatura é conhecido também como GPR(Ground Potential Rise) e o valor da corrente de excitação.

V. PROJETO DE MALHAS DE ATERRAMENTO SEGUNDO ANORMA IEEE STD 80

A. Modelo do solo

Para a determinação de um modelo para o solo é necessárioa partir das medições locais de resistividade pelo métodode Wenner obter uma curva de resistividade experimental.A partir do equacionamento desenvolvido por [7] pode-seencontrar aplicando algum método de otimização como o dogradiente descendente, Quasi-Newton ou com utilização demeta-heurísticas como Algoritmos Genéticos, os parâmetrosde resistividade e espessura das camadas para um modelo decamadas horizontais, onde o erro entre os pontos medidos euma curva teórica é minimizado.

Um exemplo de estratificação do solo é mostrado na figura3 onde para as leituras realizadas em campo foram encontradasas curvas teóricas de um modelo de duas e de três camadas.

0 5 10 15 20 25 30 3560

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

Espaçamento a[m]

Resis

tivid

ade A

pare

nte

ρa [

Ω.m

]

Curva de Resistividade aparente

Curva Teórica para 3 Camadas

Dados de Campo

Curva Teórica para 2 Camadas

ρ1 = 215 Ω.m

ρ2 = 32.2 Ω.m

ρ3 = 10579 Ω.m

h1=3.72mh2=8.95m

ρ1 = 247.79 Ω.m

ρ2 = 66.406 Ω.m

h1=2.47m

Figura 3. Modelo do solo a partir de dados de campo.

B. Resistividade aparente com a adição de um revestimentosuperficial

Como o equacionamento apresentado em [1] foi desenvol-vido para solos uniformes, para se trabalhar com meios hete-rogêneos se faz necessário encontrar um valor de resistividadeequivalente a de solo uniforme. Para isso podemos utilizar omodelo de [9] onde a partir de um modelo de duas camadasé possível encontrar um modelo equivalente de solo uniformepara uma dado sistema de aterramento. Para a aplicação destemodelo em solo de mais de duas camadas se faz necessárioutilizar a técnica de redução de camadas encontrada em [7]conforme equação abaixo:

ρeq =h1 + h2

h1

ρ1+ h2

ρ2

heq = h1 + h2 (18)


Tabela I. RESISTIVIDADE DO MATERIAL SUPERFICIAL

Resistividade elétrica de revestimentos superficiais típicos [Ω.m ]Material Seco ÚmidoAsfalto 2 × 106 a 30 × 106 104 a 6 × 104

Brita 7 × 106 3 × 103

Concreto 106 a 109 1.2 × 103

Borracha 1013 -

É muito comum em projetos de aterramentos elétricos aatribuição de uma camada superficial ao solo com um mate-rial de alta resistividade, este material adiciona uma camadaextra para a estratificação do solo. Segundo [1] a formulasimplificada para encontrar o fator de correção Cs de um solouniforme de resistividade ρ e com uma camada superficial deresistividade ρs e espessura hs, é dado por:

Cs = 1−0.09(1− ρ

ρs)

2hs + 0.09(19)

Para casos onde existem mais de uma camada superficialcomo uma subestação abrigada ou uma sala de comandoque possui uma camada de concreto revestida com borrachaproveniente de um tapete isolante, podemos encontrar umacamada de revestimento equivalente utilizando a equação 18.

De acordo com os valores encontrados nas referências [1],[10] e [11] podemos obter valores aproximados da resistividadede alguns materiais utilizados para revestimento superficial,sendo os valores secos adotados em áreas cobertas e os úmidospara áreas expostas ao tempo como mostra a tabela I.

C. Critérios de aceitação para projetos

Um projeto de sistemas de aterramento tem que satisfazerum limite de resistência elétrica, que para uma subestação de69kV é de 5Ω, e tem que satisfazer os níveis de segurançaaceitáveis propostos por [1].

A máxima diferença de potencial entre os dois pés de umapessoa separados a uma distância de 1m, sendo o peso damesma de 70kg, é chamado de potencial de passo Estep70

epara uma duração de curto circuito de ts o mesmo é dado por:

Estep70= (1000 + 6Csρs)

0.157√ts

(20)

A máxima diferença de potencial entre os pés de umapessoa e uma carcaça metálica aterrada a uma distância de1m, sendo o peso da mesma de 70kg, é chamado de potencialde toque Etouch70 e a mesma é dada por:

Etouch70= (1000 + 1.5Csρs)

0.157√ts

(21)

VI. ESTUDO DE CASO: SISTEMA DE ATERRAMENTO DEUM SUBESTAÇÃO DE 69KV

Como estudo de caso foi escolhido um projeto real demalha de aterramento de uma subestação localizada no estadodo Ceará no complexo industrial do Pecém.

Para a modelagem e simulação do estudo de caso que seráapresentado neste trabalho foi utilizado o software baseado

Tabela II. RESULTADO DA ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO

Modelo ρ1[Ω.m] ρ2[Ω.m] ρ3[Ω.m] h1[m] h2[m]

Duas camadas 247.79 66.41 - 2.47 -

Três camadas 215 32.2 10579 3.72 8.95

em elementos finitos COMSOL Multiphysics V4.3b em umservidor na arquitetura cluster localizado no Centro Nacionalde Processamento de Alto Desempenho (CENAPAD) da Uni-versidade Federal do Ceará . Apesar da complexidade desteproblema específico não exigir tamanho recurso computacio-nal, o mesmo foi utilizado como teste para trabalhos futurosde maior complexidade.

Para os valores das medições de resistividade realizadas,utilizando o software desenvolvido em [12] podemos obteruma estratificação de três camadas ou um modelo simplificadode duas camadas. O resultado da estratificação obtida é mos-trado na tabela II, onde para as leituras de resistividade do solopelo método de Wenner foram traçadas a curva de resistividadeteórica que mais se aproximam destes pontos para modelos deduas e três camadas como mostrado na figura 3.

O projeto do sistema de aterramento a ser estudado écomposto de uma malha de aterramento em L, onde naramificação da malha será instalada a casa de comando dasubestação. A subestação possui uma camada superficial debrita de 15cm, sendo que a área reservada para a casa decomando possui uma camada de concreto de 15cm com umtapete de borracha isolante de 6.4mm de espessura.

Figura 4. Malha de aterramento simulada.

O sistema projetado possui um total de 1890m de cabos decobre de 40mm2 de seção transversal, formando um reticuladode 3m×4m e 14 hastes de aterramento de 3m de comprimentodistribuídas pela periferia do mesmo. A capacidade de curtocircuito monofásico no ponto de entrega é de 3.98kA com umtempo máximo de atuação da proteção de 0.5s.

Resultado da simulação

O domínio que representa o solo é modelado por camadashorizontais estratificadas, onde a uma profundidade de 0.5m desua superfície é inserida uma malha de aterramento compostapor elementos unidimensionais horizontais representando oscabos, e verticais representando os eletrodos de aterramento.A geometria do sistema de aterramento simulado é mostradaconforme a figura 4.

Para a simulação realizada, inicialmente o sistema é ex-citado pela corrente de curto-circuito, que é uniformemente


Tabela III. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO

Parâmetro 2 Camadas 3 Camadas LimiteResistência 1.22Ω 1.79Ω 5Ω

Estep (Subestação) 299V 243V 3048.2839V

Estep (Casa de comando) 650V 638V 9.54 × 106V

Etouch (Subestação) 802V 625V 928.59V

Etouch (Casa de comando) 952V 913V 9.54 × 106V

distribuída entre os condutores de aterramento, após o cálculoda máxima elevação de potencial gerada por esta corrente,é feita outra etapa da simulação onde é assumido que oscondutores possuem potencial fixo e igual a máxima elevaçãode potencial gerada pela passagem de corrente.

Figura 5. Comportamento do potencial elétrico na superfície do solo.

O comportamento do potencial elétrico na superfície dosolo devido a condução de corrente de curto circuito no sistemade aterramento é mostrado na figura 5 onde os tons de azulao vermelho representam a intensidade do potencial elétrico,note que as regiões internas a malha possuem um tom maisuniforme o que significa que esta região esta equipotenciali-zada.

Para visualizar as regiões que apresentam o maior gradientede potencial, podemos plotar a magnitude do campo elétricona superfície do solo, como mostra a figura 6. É possívelobservar que a região da periferia da malha é a que possuio maior gradiente de potencial, e que a adição de condutoresmenos espaçados nas laterais da malha contribuíram para auniformização do potencial nas laterais da malha.

A resistência de aterramento da malha é obtido pela razãoentre a máxima elevação de potencial no solo em relaçãoao terra remoto (limites de simulação) e a corrente de curtocircuito que foi utilizada como excitação do sistema.

Para a determinação do máximo potencial de toque e domáximo potencial de passo que uma pessoa estará submetidana subestação, foi feita uma análise visual do potencial elétricona superfície da solo com o potencial elétrico presente noscondutores de aterramento, para isso foi traçado o potencialelétrico na diagonal da malha na superfície do solo e nonível da malha. A máxima diferença de potencial entre doispontos espaçados de 1m na superfície do solo é o potencialde passo e com o mesmo espaçamento entre um ponto nasuperfície do solo e outro no nível da malha é o potencial de

Figura 6. Comportamento do módulo do campo elétrico na superfície dosolo.

toque. Os valores de potencial de passo e de toque devem sermenores que os valores limites calculados nas equações 20 e21 respectivamente.

Como resultado da simulação foram calculados a resistên-cia de aterramento e os limites de segurança para o modelodo solo de três camadas e o simplificado de duas camadas, naregião revestida com uma camada de 15cm brita e na regiãoda casa de comando, que é uma região abrigada revestida comuma camada de 15cm de concreto com um tapete isolantede 6.4mm. Apesar dos valores de tensões de toque obtidoscomo resultado da simulação não apresentarem sentido se noponto medido não houver alguma carcaça metálica aterrada,neste trabalho foi considerado o pior caso possível, que é naperiferia da malha. Os resultados obtidos são mostrados natabela III.

VII. CONCLUSÃO

Com este trabalho é possível concluir que ferramentas com-putacionais como o método dos elementos finitos podem seruma forma alternativa para projetos de sistemas de aterramentoelétrico, pois com a solução numérica é possível de calcularos valores de resistência de aterramento, potenciais de passoe de toque.

A análise numérica possui a vantagem de se conhecera distribuição de potencial elétrico no solo, o que tornaeste método mais versátil do que os métodos tradicionais,possibilitando estudos especiais de sistemas de aterramentoelétrico que aumentam a segurança e possibilitam a reduçãode custos com material.

Também é possível concluir que a aproximação de umsolo característico de três camadas por um modelo do solosimplificado de duas camadas pode gerar erros de projetoconsideráveis.

AGRADECIMENTOS

À Companhia Energética do Ceará (COELCE) pelo apoioao projeto P&D de avaliação de sistemas de aterramentodo programa de pós graduação em engenharia elétrica daUniversidade Federal do Ceará e ao Centro Nacional deProcessamento de Alto Desempenho (CENAPAD-UFC) pelosuporte computacional.


REFERÊNCIAS

[1] “Ieee guide for safety in ac substation grounding,” IEEE Std 80-2000,pp. i–192, 2000.

[2] V. C. SILVA, “Método de elementos finitos aplicado à solução deproblemas de aterramento elétrico,” Ph.D. dissertation, Universidade deSão Paulo, 2006.

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[4] M. N. Sadiku, Numerical techniques in electromagnetics. CRC press,2010.

[5] A. Comsol, “Comsol multiphysics user’s guide,” Version: 4.3b, 2013.[6] S. De and J. White, NUMERICAL METHODS FOR PDE Lecture 4.

Massachusetts Institute of Technology Open Course, 2003.[7] E. D. Sunde, Earth conduction effects in transmission systems. Dover

Publications New York, 1968, vol. 7.[8] “Ieee guide for measuring earth resistivity, ground impedance, and earth

surface potentials of a grounding system,” IEEE Std 81-2012 (Revisionof IEEE Std 81-1983), pp. 1–86, 2012.

[9] J. Endrenyi, “Evaluation or resistivity tests for design of station groundsin nonunirorm soil,” Power Apparatus and Systems, IEEE Transactionson, vol. 82, no. 69, pp. 966–970, 1963.

[10] A. B. de Normas Técnicas, Sistemas de aterramento de subestações —Requisitos. Substation earthing systems – ,Requirements. ABNT NBR15751, 2009.

[11] W. D. Callister Jr and S. M. S. Soares, Ciência e engenharia demateriais: uma introdução. Livros Técnicos e Científicos, 2008.

[12] R. R. A. Coelho and R. S. T. Pontes, “Análise da norma nbr 7117baseado na estratificação otimizada do solo a partir do algoritmo desunde e algoritmos genéticos,” XI Simpósio Brasileiro de AutomaçãoInteligente (SBAI), 2013.

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