professor_algebra linear e calculo diferencial e integral

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Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009

INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA

Use apenas caneta esferográfica azul ou preta.

Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado nesta capa.

A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as questões do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas.

Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal.

O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas 3 (três) horas do início da aplicação da prova.

Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando o número de questões contidas e se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura.

A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir:

Tipo de questão Total de questões

Pontuação por questão

Total de pontuação

Discursiva 02 questões 15 pontos 30 pontos

Múltipla escolha 20 questões 3,5 pontos 70 pontos

INSTRUÇÕES REFERENTES ÀS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA

Confira, com máxima atenção, se os dados (nome do candidato, inscrição, número do documento de identidade, matéria/disciplina e opção de campus) estão corretos.

Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala.

Assine, no espaço apropriado, a Folha de Respostas.

A Folha de Respostas não poderá ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese alguma, será substituída.

Para cada questão, há apenas uma resposta certa.

Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando não mais pretender fazer

modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos.

OBSERVAÇÃO:

As instruções referentes às questões discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas Discursivas.

NOME COMPLETO: DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO: _____________________________

CONCURSO PÚBLICO – GRUPO MAGISTÉRIO

EDITAL Nº. 04/2009-DIGPE/IFRN

PROFESSOR_ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.DOC 1

QUESTÕES DISCURSIVAS

ESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CÁLCULO, QUANDO FOR O CASO.

1. (15 pontos) Considere F uma função real definida no intervalo [ a, b ] por F(x )=x

)(a

dttf ,para

alguma função real contínua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F é uma função limitada em [ a, b ].

2. (15 pontos) Considere o espaço vetorial V = R

3 sobre R e seja T: V → V um operador linear

definido por T(x, y, z) = (2x – y, y, z). Demonstre que T é um isomorfismo e determine T-1

.




FOLHA PARA RASCUNHO




QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA

AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA.

1. (3,5 pontos) Seja R o corpo dos números reais e considere o espaço vetorial V =R

3={ ( x, y, z ) / x, y ,z

R } sobre R. Sejam W = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )], o subespaço de V gerado pelos vetores ( 1,

1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 ), e S = { (x + y, y, x) / x, y R } também subespaço de V. O subespaço intersecção de W e S é dado por

a) [( 1, -1, 1)]. b) [( 2, 1, 1)]. c) [( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 )]. d) [( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2, )].

2. (3,5 pontos) Seja f uma função real definida por f(x) = 2

2

x

x. Sobre )(lim 2 xfx

, é correto afirmar

que

a) o limite existe e é igual a 2 .

b) o limite existe e é igual a 22 .

c) o limite não existe, face a função não ser definida no ponto x = 2. d) o limite não existe em virtude dos limites laterais para a função f embora existindo não serem iguais.

3. (3,5 pontos) Sendo f : R → R uma função diferenciável, é correto afirmar que

a) f é uma função contínua e limitada. b) f possui ponto de máximo ou mínimo absoluto. c) f é uma função contínua. d) Necessariamente f possui pontos críticos.

4. (3,5 pontos) Considerando o espaço vetorial V = R2 sobre R, α = { ( 1, 2 ), ( 2, -1) } e

δ = { ( 1, 0), ( 1, 1 ) } bases de V, a matriz de transição de α para δ corresponde a

a) 12

31

b) 12

31

c) 12

31

d) 12

31




FOLHA PARA RASCUNHO




5. (3,5 pontos) Seja f: R R uma função real diferenciável tal que dx

df(x) – 3x

2 + sen(x) = 1. Assinale a

alternativa correta para f(x) sabendo que f(0) = 1.

a) f(x) = x3 + cos(x) + x + k , k R

b) f(x) = x3 + cos(x) + x

c) f(x) = x3 + sen(x) + x + k , k R

d) f(x) = x3 + sen(x) + x

6. (3,5 pontos) Considere V = { f : R → R / f é função contínua } o espaço vetorial das funções contínuas sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funções f e g definidas por f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x). Assinale a alternativa correta.

a) S é um conjunto de vetores linearmente dependentes. b) S gera o espaço vetorial V. c) V é um espaço de dimensão finita. d) S é um conjunto de vetores linearmente independentes.

7. (3,5 pontos) Considerando f e g funções reais de uma variável tal que o ))().((lim xgxfax existe, é

correto afirmar que

a) as funções f e g são limitadas.

b) pode não existir um dos limites: )(lim xfax ou )(lim xgax

.

c) os limites das funções f e g existem no ponto x = a. d) necessariamente as funções são continuas no ponto x = a.

8. (3,5 pontos) Considere f : R → R uma função definida por f( x ) =2 xse 5

2 xse 32

pxx. O valor de p

para que f seja contínua no ponto x = 2 corresponde a

a) -1. b) 1. c) 2. d) 3.

9. (3,5 pontos) Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K e T: V → W uma transformação linear. Se dim(V) > dim(W), é correto afirmar que

a) T transforma base em base.

b) Se α e δ são bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T , é uma matriz

quadrada. c) N(T) ≠ { 0 }, ( N (T) = núcleo de T ). d) T necessariamente é sobrejetiva.

10. (3,5 pontos) Sendo f: R → R uma função real definida por f(x) = 3

1x

3 – 4x

2 + 12x + 1, é correto afirmar

que

a) x = 2 e x = 4 são pontos críticos de f. b) x = 2 é um ponto de máximo relativo de f. c) x = 6 é um ponto de máximo relativo de f. d) (6, 1) é um ponto de inflexão do gráfico de f.




FOLHA PARA RASCUNHO




11. (3,5 pontos) Seja V = M2x2(F) o espaço das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere o

subespaço vetorial W = { A V; At = –A } de V, formado pelas matrizes anti-simétricas. Em relação à

dimensão de W é correto afirmar que o seu valor é

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

12. (3,5 pontos) Considere o sistema de equações lineares:

0323

02

02

zyx

zyx

zyx

Seja S o espaço solução deste sistema. É correto afirmar que

a) A dimensão de S é 2. b) S = { (0,0,0) }. c) S = [ ( -1, 3, 1 )]. d) S = [ ( 1, -3, -1), ( 2, 6, 2 )].

13. (3,5 pontos) A área da região compreendida entre as curvas y = x3 e y = 3x – 2 corresponde a

a) 4 u.a.

b) 6 u.a.

c) 4

25 u.a.

d) 4

27 u.a.

14. (3,5 pontos) Seja R+

= { x R; x > 0} e considere f: R+ → R uma função definida por f(x) =

x

t1

1dt .

A função derivada, dx

df(x), de f corresponde a

a) x – 1

b) x

1 – 1

c) x

1

d) 2

1

x




FOLHA PARA RASCUNHO




15. (3,5 pontos) Considere a função real, y = f(x), dada implicitamente por x3 + y

2 = 2, cujo gráfico passa

pelo ponto ( 1, 1 ). A derivada da função f no ponto x = 1 corresponde a

a) 3

b) 2

3

c) 2

3

d) 2

5

16. (3,5 pontos) Seja V = R2

e W = R3

espaços vetorias sobre o corpo R e T : V → W uma transformação linear tal que T( 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 ) e T ( -1, 0 ) = ( 3, -1, 2 ). É correto afirmar que

a) T( 2, 3 ) = ( 5, 4, 1 ).

b) T =

20

12

31

, com α = { ( 1, 1), ( -1, 0 ) } e δ = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } .

c) N(T ) ≠ { 0 }. d) Im(T ) = [ ( 1, 2, 0 ), ( 3, 1, 2 ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T.

17. (3,5 pontos) Considere o espaço vetorial V = R3 sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V.

Sabendo-se que a matriz de transição da base E para a base F é P e que a matriz de transição da base E para a base G é Q, é correto afirmar que a matriz de transição da base F para a base G é

a) Q.P

-1

b) P.Q c) P

-1.Q

-1

d) Q.P

18. (3,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a função real definida por f(x) = x, obtido por uma rotação do gráfico de f em torno do eixo x, e raios de base inferior e superior, respectivamente, 1 cm e 2 cm corresponde a

a) 7 cm

3.

b) 7

3 cm

3.

c) 3

cm3.

d) 3

7 cm

3.

19. (3,5 pontos) A reta tangente à curva y = – x4 + 2x

2 + x no ponto ( –1, 0 ) é também tangente à essa

mesma curva em outro ponto P. É correto afirmar que P corresponde a

a) ( 0, 0 ) b) ( 2, –6 ) c) ( 1, 2 ) d) ( –2, –10 )




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20. (3,5 pontos) Seja T : V → V um operador linear definido num espaço vetorial V sobre o corpo R de dimensão finita. Supondo que exista um autovalor c = 0 de T, é correto afirmar que

a) T é um isomorfismo. b) T é injetivo. c) T é sobrejetivo. d) T é não-injetivo.

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