calculo diferencial em r. christian q.pinedo

Christian Q. Pinedo

ii Christian Quintana Pinedo

A minha esposa: Karyn SiebertA meus filhos: Milagros, Andr,

Matheus, Nykolas e Kevyn.

iii

iv Christian Quintana Pinedo

Ttulo do originalClculo Diferencial em R

Direitos exclusivos para lngua portuguesa:GEPEM

UFT - CAMPUS DE PALMAS

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Biblioteca da Universidade Federal do Tocantins

Campus Universitrio de Palmas -TO

Q7 Quintana Pinedo, Christian JosClculo diferencial em R / Christian Jos Quintana Pinedo. -

Palmas - TO, 2008.322 p.: il.

ISBN-13: 978-84-691-8556-8.

1. Clculo diferencial. I. Ttulo.

CDD 515.3

SUMRIO

PREFCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 SISTEMA DE NMEROS REAIS 11.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistema de Nmeros Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Exerccios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Relao de Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exerccios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Inequao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 A Reta Ampliada. Intervalos Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exerccios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exerccios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Axioma do Supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7 Induo Matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Propriedades dos Nmeros Inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8.1 Divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8.2 Mximo Divisor Comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8.3 Nmeros Primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exerccios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Miscelnea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 FUNES 512.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Relaes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1 Domnio e Imagem de uma Relao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2 Relaes de R em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Exerccios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1 Definio Formal de Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

v

vi Christian Quintana Pinedo

2.3.2 Domnio e Imagem de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.3 Obteno do Domnio de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.4 Grfico de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.5 Construo do Grfico Cartesiano de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . 622.3.6 Funo: Biunvoca; Sobrejetiva; Bijetiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.7 Funo Real de Varivel Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Exerccios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Funes Especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.1 Funo Afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.2 Funo Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.3 Funo Identidade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.4 Funo Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4.5 Equao de uma Reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4.6 Funo Mximo Inteiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.7 Funo Raz Quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.8 Funo Sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.9 Funo Valor Absoluto de x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.10 Funo Quadrtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.11 Funo Racional Inteira ou Polinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.12 Funo Racional Fracionria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.13 Funes de Oferta e Demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Exerccios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.5 Operaes com Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.1 Composio de Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.2 Funo Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.5.3 Relao entre o Grfico de f e de f1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exerccios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.6 Outros Tipos de Funes Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.1 Funes Implcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.2 Funo Peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.3 Funo Par. Funo mpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.6.4 Funo Monotnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.6.5 Funo Limitada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.6.6 Funes Elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6.7 Funes Algbricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Exerccios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.7 Funes Transcendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.1 A Funo Exponencial de Base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.2 Funo Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Exerccios 2-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7.3 Funes Trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Clculo Diferencial em R vii

2.7.4 Funes Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.7.5 Funes Hiperblicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exerccios 2-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Miscelnea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3 LIMITES 1293.1 Vizinhana de um Ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.2 Limite de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Exerccios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2.1 Propriedades dos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Exerccios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.3 Limites Laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4 Limites ao Infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Exerccios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.5 Limites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.6 Limite de Funes Transcendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.6.1 Limites Trigonomtricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6.2 Limites das Funes Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 1603.6.3 Limite da Funo Exponencial e Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . 162Exerccios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Miscelnea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 CONTINUIDADE 1754.1 Conceitos Bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Exerccios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2 Continuidade em Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.2.1 Funes Contnuas em Intervalos Fechados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Exerccios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Miscelnea 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5 DERIVADAS 1995.1 Conceitos Bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.2 Derivada de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.2.1 Reta Tangente. Reta Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.3 Derivadas Laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.4 Derivabilidade e Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.4.1 Regras de derivao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.4.2 Derivada de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.4.3 Derivada da Funo Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4.4 Regra da Cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4.5 Derivada de uma Funo Implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Exerccios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

viii Christian Quintana Pinedo

5.5 Derivada de Funes Transcendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.5.1 Derivada das Funes Trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.5.2 Derivada das Funes Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 2275.5.3 Derivada das Funes: Exponencial e Logartmica. . . . . . . . . . . . . . 229Exerccios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.6 Aproximao Local de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.6.1 Funo Diferencivel e Diferencial de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . 2365.6.2 Propriedades do Diferencial de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.6.3 Significado Geomtrico do Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.7 Teorema Sobre Funes Derivveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.7.1 Interpretao Geomtrica do Teorema de Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . 2445.7.2 Interpretao Geomtrica do Teorema do Valor Mdio. . . . . . . . . . . . 246Exerccios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Miscelnea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6 APLICAES DAS DERIVADAS 2556.1 Velocidade Instantnea. Acelerao Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.1.1 Velocidade Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.1.2 Acelerao Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Exerccios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.2 Estudo do Grfico de Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.2.1 Funo: Crescente ou Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.2.2 Assntotas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Exerccios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.3 Formas Indeterminadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2836.3.1 Formas Indeterminadas Redutveis Forma

00

ou . . . . . . . . . . . . 288

Exerccios 6-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2936.4 Aplicaes Diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Exerccios 6-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Miscelnea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

PREFCIO

O propsito de um primeiro curso de Clculo Diferencial ensinar ao estudante as noesbsicas da derivada assim como as tcnicas e aplicaes bsicas que acompanham tais conceitos.

Esta obra representa o esforo de snteses na seleo de um conjunto de problemas que, comfreqncia se apresenta quando um estudante de engenharia comea a estudar clculo. O objetivodeste trabalho introduzir os principais conceitos do clculo diferencial de uma varivel e suasaplicaes, assim como orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e construir ummodelo matemtico e logo resolv-lo.

Cada captulo se inicia com os objetivos que se pretende alcanar; a farta variedade dosexerccios resolvidos e apresentados esto classificados de menor a maior dificuldade.

A variedade dos problemas e exerccios propostos pretende transmitir minha experinciaprofissional durante muitos anos de exerccio como Consultor em Matemtica Pura e Aplicada,assim como professor de ensino superior, com atuao na graduao e ps-graduao da docnciauniversitria.

Fico profundamente grato com os estudantes dos diversos cursos onde difundi as idias e ocontedo das notas deste trabalho. Tambm agradeo as contribuies e sugestes dos leitores,em particular dos meus colegas pela sua constante dedicao para a reviso e soluo dos pro-blemas propostos.

Christian Quintana Pinedo.

Palmas - TO, Maro de 2008

ix

x Christian Quintana Pinedo

A matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satis-fazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.

R. Descartes (1596 1650)

"No adianta ter um mar de conhecimentos, com a profundeza de um milmetro".

Ch. Q. Pinedo (1954)

Captulo 1

SISTEMA DE NMEROS REAIS

Eratstenes

Eratstenes nasceu em Cirene (276 a.C. 197 a.C.), o que hoje a Lbia. Depois de estudar em Alexandria e Atenas ele se tornoudiretor da famosa Biblioteca de Alexandria. .

Ele trabalhou com geometria e nmeros primos. Eratstenes mais conhecido pelo seu crivo de nmeros primos (o Crivo de Er-atstenes), o qual, com algumas modificaes, ainda um instru-mento importante de pesquisa na Teoria dos Nmeros.

Eratstenes tambm fez uma medio extremamente precisa da cir-cunferncia da Terra, comparando as sombras produzidas pelo Sol domeio-dia no vero em Siena e Alexandria. Ele calculou a circunfern-cia da Terra em 250.000 estdios (medida de comprimento usada napoca), a distncia at o Sol em 804.000.000 estdios e a distncia daTerra Lua em 780.000 estdios. .

Ele tambm mediu a inclinao do eixo da Terra com grande preciso, encontrando o valor de 23graus, 5115. Tambm organizou um catlogo astronmico contendo 675 estrelas.

Eratstenes ficou cego em idade avanada e diz-se que teria cometido suicdio, recusando-se a comere conseqentemente morrendo de inanio.

A palavra crivo significa peneira. O que Eratstenes imaginou foi uma peneira capaz de separar osnmeros primos dos compostos. A idia do Eratstenes foi a seguinte: j que um nmero primo aqueleque somente possui dois divisores inteiros - o 1 e ele mesmo - poderia haver uma peneira que pudesseseparar estes nmeros (que s tm dois divisores, e portanto so primos) dos outros, que possuem maisde dois divisores (e so chamados de "compostos").

1.1 Introduo.

Penso que a matemtica em geral sustenta-se em duas pilastras:

1o Uma delas a lgica matemtica" que se desenvolve por meio de proposies (frases) asquais podemos atribuir um valor lgico de verdade ou de falsidade (somente um destesvalores). Por exemplo:

A terra tem a forma arredondada (v = verdade). A terra de forma quadrada (f = falso)

1

2 Christian Quintana Pinedo

Na lgica matemtica, a negao de uma proposio no implica a afirmao do contrrio.

2o O outro ponto de apoio da matemtica o clculo, que ser objeto de nosso estudo.

O estudo fundamental do clculo est orientado a conceitos de diferenciao, integrao esuas aplicaes em diversos campos do conhecimento matemtico. Por exemplo:

Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas sem tampa, usando pedaos quadra-dos de papelo com 40 cm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e virandoverticalmente (para cima) os quatro lados. Achar o comprimento dos lados dos quadradosa serem cortados a fim do obter uma caixa com o maior volume possvel.

Um distribuidor atacadista tem um pedido de 30.000 caixas de leite que chegam a cada5 semanas. As caixas so despachadas pelo distribuidor a uma razo constante de 1.800caixas por semana. Se a armazenagem numa semana custa 5 centavos de real por caixa .Qual o custo total de manuteno do estoque durante 10 semanas ?

Para compreender bem as operaes fundamentais do clculo, estudaremos algumas pro-priedades dos nmeros reais, bem como as operaes que so permitidas com os mesmos.

1.2 Sistema de Nmeros Reais.

O estudo dos nmeros reais pelo mtodo axiomtico, consiste em definir este sistema numricomediante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de nmeros: naturais, inteiros,racionais e irracionais sejam formados por subconjuntos prprios do conjunto de nmeros reaisR.

Ha outro modo de se estudar os nmeros reais, podemos defini-los em termos de nmerosracionais, usando os clssicas cortes de Dedekind 1 ou as sucesses de Cauchy2 . Porm, parao nosso estudo de - Clculo Diferencial em R - suficiente introduzir o sistema pelo mtodoaxiomtico.

Consideremos os seguintes conjuntos numricos:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, , n , } . . . naturais.Z = { - ,3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, +} . . . inteiros.Q = { a

b/. a, b Z, b 6= 0} . . . racionais.

Q = { ,2, 32, ,1, 0, 1, 5

2, 3,

114, +} . . . racionais.

I = {2, pi, e, 3

7,5, } . . . irracionais.

R = QI . . . reais.

1Richard Dedekind (1831 1916) quem foi aluno de Carl F. Gauss (1777 1855) e Dirichlet (1805 1859).Estudou o problema dos nmeros irracionais, mais bem conhecido pelo seu trabalho nos fundamentos do sistemade nmeros reais.

2Augustin Cauchy (17891857) foi o fundador da anlise moderna, aportou importantes resultados em outrasreas da matemtica. Alm de suas atividades polticas e religiosas, escreveu 759 trabalhos em matemtica.

Clculo Diferencial em R 3

C = {a+ bi; a, b R onde i = 1} . . . complexosC = {1 + 2i, 3 + 2i, 5 4i, 1 i, i, 2, 8i, 7, } . . . complexosQualquer nmero real pode ser considerado como um nmero racional ou nmero irracional.

Estes nmeros racionais consistem dos seguintes:

a) Os inteiros positivos, negativos e o zero: 6, 5, 4, , 1, 0, 1, 2, 3, , 12, 13, 14, .

b) As fraes positivas e negativas:

85, 1

2, , 96

15 , 8

5,1314, .

c) Os nmeros decimais limitados (positivos e negativos):

5, 37 =537100

, 3, 2841 = 3284110000

, 0, 528 =5281000

d) Os nmeros decimais ilimitados (positivos e negativos):

0, 333333 39, 3, 745745745 3 745

9992, 5858585858 2+ 58

99,

8, 9999999 8 + 99

importante lembrar que o smbolo significa aproximadamente. Observe:Se consideramos que 0, 999999 = 9

9= 1 isto um absurdo j que o nmero 1 inteiro e

0, 999999 um nmero decimal com uma infinidade de dgitos nove. Assim melhor entenderque 0, 999999 9

9= 1

Os nmeros irracionais so aqueles nmeros decimais no peridicos. Por exemplo:5 = 2, 2360679774997896 ; 19 = 4, 35889894354067

pi = 3, 14159265358979323846 ; - 328 = 3, 03658897187 A Figura (1.1) mostra mediante diagramas de Venn3 a relao de incluso entre os conjuntos.

C R'&

$%

NZ'

&

$

%QI

Figura 1.1: Conjunto Numrico

Notaes:N+ = N {0} = { 1, 2, 3, 4, 5, , n, }Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, +} importante destacar que o nmero zero no nmero positivo nem negativo.

3John Venn (1834-1923) publicou Lgica Simblica em 1881 e Os Princpios de Lgica Emprica em 1889. Osegundo destes bastante menos original, mas o primeiro foi descrito por Keynes como provavelmente o trabalhomais duradouro em lgica.

Suponha que tenhamos a realizar operaes aritmticas elementares (adio, subtrao, mul-tiplicao, diviso, potenciao e radicao) com dois nmeros quaisquer de um subconjunto dosnmeros reais, e desejamos que o resultado pertena ao mesmo subconjunto.

Observe que, com os nmeros naturais 4 e 7 no possvel efetuar a operao 47 (subtrao),pois sabemos que 4 7 no pertence ao conjunto N. Assim, em geral temos que em:

N somente possvel efetuar operaes de adio e multiplicao.

Z somente possvel efetuar operaes de adio, subtrao e multiplicao.

Q possvel efetuar operaes de adio, subtrao , multiplicao e diviso (desde que o divisorno seja zero).

I possvel efetuar operaes de modo restrito.

R podemos efetuar operaes de adio, diferena, multiplicao e diviso (desde que o divisorno seja zero).

C possvel efetuar operaes de adio, diferena, diviso (com divisor no zero), multiplicao,potenciao e radicao.

O conjunto dos nmeros complexos C tem mais propriedades que o conjunto dos nmerosreais R. Nosso objetivo neste captulo ser estudar as propriedades importantes do conjunto R.

Aos elementos de x R possvel associar um ponto de uma reta, de modo que a este nmeroreal x corresponda um, e somente um, nico ponto P como indica a Figura (1.2).

-+R

0 1 2 3 x

1234r rrrr r r r r

Figura 1.2: Reta numrica

Dizemos "sistema de nmeros reais"ao conjunto R, que satisfaz as operaes de adio (+),multiplicao (?), uma relao de ordem (< ) que se l menor que e o axioma do supremo.

O sistema de nmeros reais pode ser denotado como (R, +, ?, < ) ou simplesmente escreve-seR.

Outra notao para a multiplicao um ponto. Assim, por exemplo, se a, b R, tem-seque a b significa multiplicao (produto) dos nmeros a e b.

1.2.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais.

Aceitamos que em R, esto definidas duas leis de composio interna:Adio (Soma):

Para todo nmero real a e b temos que a+ b tambm um nmero real.Multiplicao (Produto):

Para todo nmero real a e b temos que a b tambm um nmero real.A adio e a multiplicao de nmeros reais satisfazem os seguintes axiomas:


A1 a, b R a+ b = b+ a . . . . . (comutativa)A2 a, b, c R (a+ b) + c = a+ (b+ c) . . . . (associativa)A3 0 R /. a+ 0 = 0 + a = a a R . . . . .(neutro)A4 a R, a R /. a+ (a) = (a) + a = 0 . . . . (inverso)P1 a, b R a.b = b.a . . . . . (comutativa)P2 a, b, c R (a.b).c = a.(b.c) . . . . (associativa)P3 1 R /. a.1 = 1.a = a a R . . . . (neutro)P4 a R, a 6= 0, a1 R /. a.a1 = a1.a = 1 . . . . (inverso)D1 a, b, c R a.(b+ c) = a.b + a.c . . . . . (distributiva)D2 a, b, c R (a+ b).c = a.c + b.c . . . . (distributiva)

Propriedade 1.1.Para todos os nmeros reais a, b, c temos as seguintes propriedades :

1. Os elementos neutro, inverso aditivo e multiplicativo, so nicos.

2. a = (a).

3. Se a 6= 0 ento a = (a1)1.

4. a.0 = 0.a = 0.

5. a = (1).a.

6. a.(b) = (a).b = (a.b)

7. (a).(b) = a.b

8. a+ c = b+ c se, e somente se a = b.

9. Se a.c = b.c e c 6= 0, ento a = b.

10. a.b = 0 se, e somente se a = 0 ou b = 0.

11. a2 = b2 se, e somente se a = b ou a = b.

Demonstrao. (2)Pelo Axioma A4, tem-se que: a R existe a R que satisfaz a igualdade a +

(a) = (a) + a = 0. Assim para todo (a) R existe (a) R que satisfaz a igualdade(a) + ((a)) = ((a)) + (a) = 0. Ento a+ (a) + ((a)) = ((a)) + a+ (a); isto a = (a).

Demonstrao. (4)a.0 = a(0 + 0); pois 0 = 0 + 0Logo, pelo Axioma D1 segue que a.0 = a (0 + 0) = a.0 + a.0, ento a.0 = 0


Demonstrao. (5)a+ (1)a = 1.a+ (1).a isto de a = 1.a

= [1 + (1)].a distributividade= 0 [1 + (1)] = 0 e a.0 = 0

ento, aplicando o Axioma A4 para a, segue (1)a = a

Demonstrao. (9)a = a(c.c1) isto de a = a.1 e 1 = c.c1 pois c 6= 0= (a.c).c1 = (b.c).c1 por hiptese.= b(c.c1) = b c c1 = 1 e b 1 = b

Demonstrao. (10)Suponhamos que a = 0 ou b = 0. Ento pela Propriedade (1.1)-(4) segue que a.b = 0.Por outro lado, suponha.Suponhamos que a.b = 0 e que a 6= 0. Ento a1(a.b) = a1.0 = 0, isto (a1.a).b = 1.b = 0;

logo b = 0. De modo anlogo, suponha que b 6= 0. Logo a = 0.

Definio 1.1.A diferena e o quociente de dois nmeros reais definido por:

1. a b = a+ (b) . . . . diferena.

2.a

b= a.b1 se b 6= 0 . . . . quociente

Propriedade 1.2.Para todos os nmeros reais a, b, c, d, tem-se:

1. a b = (b a).

2. a b = c , ento a = b+ c.

3. a.(b c) = a.b a.c.

4. Se b 6= 0 e d 6= 0, ento ab+c

d=ad+ bcbd

.

5. Se b 6= 0 e d 6= 0, ento ab cd=ad bcbd

.

6. Se a 6= 0 e ax+ b = c , ento x = c ba

.

Demonstrao. (1)Sendo a e b nmeros reais, ento a b um nmero real. Logo existe seu oposto aditivo

(a b). Assim (a b) + ((a b)) = 0.Pela Definio (1.1) segue-se:

(a b) (a b) = 0 ou a+ (b) (a b) = 0 (1.1)


Por outro lado, (b a) um nmero real, logo existe seu inverso aditivo [(b a)], logo(ba) + {[(ba)]} = 0. Assim pela Propriedade (1.1)-(2) temos que: (ba)+(ba) = 0ento

(b a) + b+ (a) = 0 (1.2)

De (1.1) e (1.2) temos que (a + (b) (a b)) + ((b a) + b + (a)) = 0, isto (a b) + ((ba)) = 0; donde pela Propriedade (1.1)-(8) do oposto aditivo de (a b) resultaque (b a)) = (a b).

Demonstrao. (6)Sejam a 6= 0 e ax+ b = c, ento pela Propriedade (1.2)-(2) conclumos que ax = c b.Pelo oposto multiplicativo do nmero a 6= 0 temos a1(ax) = a1(c b) e, pelo Axioma P3

e Definio (1.1)-(2) resulta x =c ba

Demonstrao. (2) - ( 5)Exerccio para o leitor.

Exemplo 1.1.

Emprestei os23dos

56dos

35de um dinheiro que tinha e ainda tenho de um

15de milho de

reais. Que quantidade de dinheiro emprestei ?Soluo.

O significado matemtico das palavras "dos", "das", "do", "de"em matemtica, podemosentender como se se tratar de uma multiplicao.

Suponha que tinha x reais. Emprestei (23)(56)(35)x, logo tenho (

15)(1000, 000). Assim: x

(23)(56)(35)x = (

15)(1000, 000) x 1

3x = 200, 000 2

3x = 200, 000 x = 300, 000.

Portanto, tinha 300, 000 reais e emprestei R$100, 000.

Exemplo 1.2.Ao chegar a minha casa encontrei vrias aranhas e baratas, depois de matar estes 16 insetos

contei o nmero de patas e observei que eram 108. Calcular, quantas baratas e aranhas encontreiao chegar a casa.Soluo.

suficiente sabermos o nmero de patas que cada inseto possui, e em seguida analisar osdados e o que se pede no problema.

Suponha, que existam b baratas e (16 b) aranhas. Como, cada barata tem 6 patas e cadaaranha tem 8 patas, temos que: 6b+ 8.(16 b) = 108. Logo, b = 10.

Portanto, o total de baratas que encontrei foram 10 e as aranhas totalizaram seis.

Exemplo 1.3.Um fabricante de latas, deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 10cm

de raio e 6283, 2 cm3 da capacidade. Determine sua altura.Soluo.


Sabemos que o volume V , do cilindro circular reto de raio r e altura h dado pela fr-mula V = pir2h. Pelos dados do problema temos r = 10 cm, V = 6283, 2 cm3. Assim nafrmula 6283, 2 cm3 = pi(10cm)2.h 6283, 2 cm3 = (3, 1416)(100 cm2).h 6283, 2 cm3 =(314, 16 cm2).h h = 6283, 2 cm

3

314, 16cm2= 20 cm.

Portanto altura do cilindro dever medir 20 cm.

Exemplo 1.4.

Quantos litros de leo devem ser adicionados a 10 litros de uma mistura que contm 15% deleo, para obter outra mistura que contenha 25% de leo?Soluo.

25%

15%- leo

leox -

@@@I

10

@@R

Figura 1.3:

Suponha que na mistura original tenhamos que adi-cionar x litros de leo. Ento observando a Figura (1.3),temos:

10(15100

) + x =25(10 + x)

100

Resolvendo a equao temos que x =43.

Portanto, teremos que adicionar43litros de leo.

Exemplo 1.5.A mdia aritmtica de 8 nmeros 6; j a mdia

aritmtica de outros 6 nmeros 8. Ento a mdia aritmtica desses 14 nmeros :Soluo.

Suponhamos temos os nmeros a1, a2, a3, , a7, a8 e b1, b2, b3, b5, b6 . Pelos dados doproblema temos que:

a1 + a2 + + a7 + a88

= 6 eb1 + b2 + + b5 + b6

6= 8

Ento, a1 + a2 + + a7 + a8 = (8)(6) e b1 + b2 + + b5 + b6 = (6)(8), logo:[a1 + a2 + + a7 + a8] + [b1 + b2 + + b5 + b6] = (8)(6) + (6)(8) = 96.

Assim,[a1 + a2 + + a7 + a8]

8 + 6+[b1 + b2 + + b5 + b6]

8 + 6=

9614

= 6, 84.

Portanto, a mdia aritmtica desses 14 nmeros 6, 84.


Exerccios 1-1

1. Seja, N o conjunto de nmeros naturais, e Z o conjunto de nmeros inteiros. Determinequais dentre as seguintes proposies verdadeira (v) e qual a falsa (f).

1. N = Z+ 2. N+ = Z 3. N+ = Z+ 4. N Z

2. Das seguintes proposies qual verdadeira (v) ou falsa (f).

1. N Z Q R 2. I R 3. Q I = 4. RQ = I 5. N (Q Z) 6. N Z = Q7. Z+ = N 8. Z Q+ = N

3. Verifique quais das seguintes proposies so verdadeiras:

1. 7, 43333... I 2.32 Q 3. 5, 41 (Q Z) 4. 5 / Q

5. 2, 71854 / I 6. 0 / Z 7. 7 / R 8. 35 (RQ)

4. Construa um diagrama contendo os conjuntos N, Z, Q e I e situe os seguintes nmeros:

1.

32

2.3 3. 0 4. 3

85. 8, 43

6.pi

27. 5 8. 0, 60 9. 2, 573 10. 0, 333

11. 103

12.03

13. (52)2

5. Mostre que, se x2 = 0, ento x = 0.

6. Mostre que, se p nmero mpar, ento p2 mpar.

7. Mostre que, se p nmero par, ento p2 par.

8. 1. Se a racional e b irracional, a+ b necessariamente irracional?

2. Se a irracional e b irracional, a+ b necessariamente irracional?

3. Se a racional e b irracional, ab necessariamente irracional?

4. Existe nmero real a tal que a2 seja irracional, porm a4 racional?

5. Existem dois nmeros racionais tais que sua soma e produto sejam racionais?

9. Mostre que2 um nmero irracional.

10. Um subconjunto A R diz-se estvel aditivamente se, a, b A tem-se que (a+ b) A;e estvel multiplicativamente se, a, b A tem-se que (a.b) A.


1. Dados os conjuntos A = { 2, 4, 6, 8, } e B = { 1, 3, 5, 7, 9, }, determine se elesso conjuntos estveis aditiva e multiplicativamente.

2. Dados os conjuntos: N, Z, Q e R determine quais so estveis respeito das operaesde: i) adio; ii) multiplicao.

11. Mostre que 2 e 3 so as nicas razes da equao x2 5x+ 6 = 0.

12. Sejam a, b, c, d, m, n e p nmeros reais positivos. Mostre que sea

m=

b

n=

c

pento

am+

bn+

cp =

(a+ b+ c)(m+ n+ p) .

13. Determine a condio para que seja possvel expressara+

b na forma

x+

y , onde

a, b, x e y sejam nmeros racionais.

14. H seis anos, a idade de Alberto era quatro vezes a idade de Pedro. Calcular suas idadesatuais sabendo que, dentro de quatro anos, Alberto s ter o dobro da idade de Pedro.

15. A idade de Maria 12(metade) de

23da idade de Marisa. Se Marisa tem 24 anos. Quantos

anos tm Maria?

16. A soma das idades de 3 pessoas 97. A maior tem 29 anos mais que a menor, e a do meio18 anos menos que a maior. Calcular a idade de cada uma.

17. Quanto de gua deve ser adicionada a 100 cm3 de 80% de uma soluo de cido brico,para reduzir-la a 50% da soluo ?

18. Ao dividir o nmero D por d obtemos como quociente q e como resto r. Se aumentarmoso dividendo D em 15 unidades e o divisor d em 5 unidades, o quociente e resto originaispermanecem iguais. Qual foi o quociente?

19. Compram-se cadernos de forma progressiva da seguinte maneira: no primeiro dia 14 cader-nos; no segundo dia 15 cadernos; no terceiro dia 16 cadernos e assim sucessivamente. Depoisde 30 dias consecutivos comprando, quantos cadernos foram comprados no total ?

20. O denominador de uma frao decimal 3 a menos que o dobro do numerador. Se onumerador aumenta em 5 e o denominador em 13, o valor da frao 7/15. Determine afrao.

21. Expedio: Planeta KInforme: Ao chegar ao planeta K, achamos seres vivos como em nosso planeta, emboratambm tenham 20 dedos, eles tm um membro a menos, e um dedo a mais em cadamembro.Pergunta-se: Possivelmente que tipo de seres habitam o planeta K ?

22. Determine dois nmeros tais que sua soma, produto e quociente sempre sejam iguais.

23. Uma lebre seguida por um galgo leva uma vantagem de 50 saltos. O galgo d 5 saltosenquanto que a lebre d 6 saltos, mas, 9 saltos da lebre equivalem a 7 do galgo. Quantossaltos dar a lebre antes de ser alcanada pelo galgo ?

1.3 Relao de Ordem.

Axioma 1.1. De existncia.No conjunto R, existe um subconjunto denotado R+, chamado, conjunto dos nmeros reais

positivos, que satisfaz o seguinte:

i) Todo nmero real a satisfaz uma e somente uma das seguintes condies:

a R+, a R+, ou a = 0

ii) Se a R+ e b R+, ento a+ b R+ e a b R+.

Definio 1.2.Sejam a, b R, diz-se que a menor que b e se escreve a < b, somente quando (ba) R+.

Desta definio temos que a R+ se, e somente se, (a 0) R+, logo 0 < a.

Observao 1.1.

i) Se a < b, podemos escrever b > a, e se l b maior que a.

ii) Diz-se que a menor ou igual que b e se escreve a b se e somente se a 0}.

iv) a R+ se, e somente se, 0 < a, tambm podemos escrever a > 0.

Propriedade 1.3.Para todo nmero real a, b, c, d tem-se:

1. a = b ou a b . . . . tricotomia

2. a2 0, a R a2 > 0 se a 6= 0) . . . . positividade

3. Se a 0 , ento a.c < b.c . . . . . monotonia no produto

7. Se a b.c.

8. Se a b.

9. Se a > 0 , ento a1 > 0 (Se a < 0, ento a1 < 0)

10. Se 0 < a b1 > 0 (Se a a1 > b1)

11. ab 0 se e somente se (a 0 e b 0) ou (a 0 e b 0)

12. ab 0 se e somente se (a 0 e b 0) ou (a 0 e b 0)

13. Se a 0 e b 0; a b se e somente se a2 b2.

14. a2 + b2 = 0 se e somente se a = 0 e b = 0.

15. Se a2 b , ento - b a b

16. a2 b , ento a b ou a b

Demonstrao. (1)Sejam a, b R. Ento, a b R, pelo Axioma (1.1)-(i), temos que uma e somente uma das

seguintes condies se cumpre: a b R+ ou (a b) R+ ou a b = 0.Ento, a b > 0 ou b a > 0 ou a = b, isto , a > b ou b > a ou a = b.Em particular, se a R, ento a > 0 ou a < 0 ou a = 0.

Demonstrao. (2)Se a R ento a = 0 ou a 6= 0.

a = 0 a2 = 0 (1.3)

Se a 6= 0 , ento a R+ ou a R+, logo a2 = a.a R+ ou

a2 = (a)(a) R+ a2 > 0 (1.4)

De (1.3) e (1.4) segue que a2 0.

Demonstrao. (6)Se a 0 ento b a R+ e como c R+, logo c(b a) R+.Assim, (bc ac) R+, logo (bc ac) > 0, ento bc > ac ou ac < bc.

Demonstrao. (9)Seja a > 0 , ento existe a1 e pelo Axioma (1.1) tem-se a1 > 0 ou a1 < 0 ou a1 = 0. Este

ltimo caso a1 = 0 impossvel, pois teramos que a.a1 = a.0 = 0 o que levaria igualdade1 = 0 que um absurdo.

Se a.a1 < 0, ento pela propriedade da monotonia do produto resulta: a1.a < 0.a , ento1 < 0, que um absurdo.

Assim, resulta que se a > 0, ento a1 > 0.

Demonstrao. (11)Pela Propriedade (1.1)-(10), se ab > 0 ento a 6= 0 e b 6= 0. Portanto quando a > 0 tem-se

a1 > 0. Assim b = a1(a.b) > 0.Analogamente, se a < 0 ento a1 < 0 e b = a1(a.b) < 0.Portanto, se a.b > 0 ento (a < 0 e b < 0) ou (a > 0 e b > 0)

As demais propriedades so exerccios para o leitor.

Definio 1.3.Uma equao uma expresso algbrica que contm smbolo de igualdade.

So exemplos de equaes: x+ 7 = 3; x2 5 = x; 2x 5 = x4 6x.No que segue, entenderemos que resolver uma equao E(x) = 0, onde E(x) uma expresso

algbrica, significa determinar nmeros x = a R de modo que a igualdade E(a) = 0 sejaverdadeira.

Por exemplo, ao resolver a equao 4x 8 = 0 obtemos x = 2, pois 4(2) 8 = 0. Por outrolado ao resolver a equao x2 + 9 = 0 obtemos que x2 = 9 , a qual no tem soluo em R.Lembre-se que x2 0 x R.

Observao 1.2.Sejam a, b R tais que b > 0. Se a2 = b diz-se que: a raiz quadrada de b e denota-se

a =b.

Por exemplo4 = 2 ou 2, pois 22 = (2)2 = 4.

No que segue entenderemosb como a raz quadrada positiva e -

b como a raz quadrada

negativa. Assim,4 = 2 e -

4 = 2.

Se b < 0, pela Propriedade (1.3)-(2) no existe a R tal que a2 = b. Portanto em R noexiste raz quadrada de nmeros negativos.

Propriedade 1.4. Frmula de Bhaskara.4.Sejam a, b, c R , onde a 6= 0, ento a soluo da equao: ax2 + bx+ c = 0, dada pela

expresso:

x =bb2 4ac

2a

Demonstrao.

Dividindo a equao ax2 + bx+ c = 0 por a 6= 0 resulta a expresso x2 + ( ba)x +

c

a= 0.

Completando quadrados x2 + 2b

2ax+

c

a+ (

b

2a)2 = (

b

2a)2 temos

(x+

b

2a

)2=

c

a ( b

2a)2 =

b2 4ac4a2

Obtendo a raz quadrada resulta: x =bb2 4ac

2a

Exemplo 1.6.Resolver a seguintes equaes:

a) 3x+ 2 = 14 x b) x2 2x 3 = 0c) x4 13x2 + 12 = 0 d) x3 3x2 + x+ 2 = 0

Soluo. (a)3x+2 = 14x, ento (3x+2)+x = (14x)+x, logo (3x+x)+2 = 14, ento 4x+2 = 14.

Pela Propriedade (1.2) - (6) vem que x =14 24

, logo x = 3 soluo da equao.

4Bhaskara Acharya (l114 - l185), nascido na ndia. Foi ele quem preencheu algumas lacunas na obra deBrahmagupta dando uma soluo geral da equao de Pell e considerando o problema da diviso por zero.

Soluo. (b)x2 2x 3 = 0, ento (x+ 1)(x 3) = 0, pela Propriedade (1.1)-(10) segue que x = 1 ou

x = 3.De outro modo, completando quadrados x2 2x 3 = 0 ento x2 2x+ 1 3 = 0 + 1 isto

x2 2x + 1 = 4, logo (x 1)2 = 4. Da definio de raz quadrada x - 1 = 2 ou x - 1 = -2 .Portanto x = 3 ou x = 1 soluo da equao.

Soluo. (c)x413x2+12 = 0 ento (x212)(x21) = 0, assim temos que x212 = 0 ou x21 = 0.

De x2 1 = 0 segue que (x 1)(x+ 1) = 0 , ento x = 1 ou x = 1 soluo. De x2 12 = 0segue que (x12)(x+12) = 0 e x = 12 ou x = 12 soluo.

Portanto, x = 1, x = 1, x = 12 ou x = 12 so solues da equao.

Soluo.(d)x33x2+x+2 = 0, escrevendo na forma de fatores x33x2+x+2 = (x2)(x2x1) = 0,

ento x 2 = 0 ou x2 x 1 = 0, completando quadrados a esta ltima igualdade resulta:(x 1

2)2 =

54.

De x2 = 0 segue que x = 2 soluo; de (x 12)2 =

54segue que x =

12+52

ou x =1252

soluo.

Portanto, x = 2, x =12+52

ou x =1252

soluo da equao.

Exemplo 1.7.Determinar o menor nmero positivo M de modo que, para todo nmero real x, acontea

6x x2 M .Soluo.

De 6xx2 M completando quadrados temos que 3232+6xx2 M . Assim 9(x3)2 M . Quando x = 3 teremos que o menor nmero positivo M = 9. Observe que, quando M > 9tambm satisfaz as condies da desigualdade.

Definio 1.4. Parte inteira.A parte inteira de um nmero real x denotada por [|x|] o maior nmero inteiro que no

ultrapassa x.

Desta definio resulta que o nmero [|x|] nico, e sempre [|x|] < x. Por outro lado, como[|x|] o maior inteiro que cumpre esta desigualdade, e temos que x < [|x|] + 1. Portanto, [|x|] o nmero inteiro que cumpre as desigualdades: [|x|] x < [|x|] + 1 ou (x 1) < [|x|] x.

Exemplo 1.8.

Das desigualdades: 3 < pi < 4, 5 0 e b > 0 so nmeros reais, ento existe um inteiro positivo n tal que a n > b

Demonstrao.

Se a > 0, ento1a> 0, sendo b > 0 temos que

b

a> 0.

Definimos o nmero n =[1+ b

a

]; isto a parte inteira do nmero real (1+ ba). Da Definio

(1.3) temos que (1 +b

a) 1 b.

Exemplo 1.10.Sejam a, b R+, tais que a b = 1. Mostre que a+ b 2.

Soluo.

Da hiptese a.b = 1 tem-se que 0 < a 1 e 1 b, ento 0 (1 a) e 0 (b 1) 0 (1 a)(b 1) = b 1 a.b+ a = b 1 1 + a.

Portanto, a+ b 2.

5Arquimedes (287 212 a.C.), chamado o maior intelecto da antiguidade, foi um dos primeiros fundadoresdo mtodo cientfico.

Observao 1.3. importante lembrar algumas propriedades bsicas de nmeros reais:

i) a0 = 1 somente se a 6= 0; caso a = 0 a expresso 00 no existe.

ii)a

b R, somente se b 6= 0; caso b = 0 ento a

0no existe.

iii)a.b =

a.b desde que a e b sejam positivos, suponha a = 1 e b = 1, ento 1 =

(1)(1) = 11 no existe em R.

iv) A expresso + a idia de um nmero positivo o maior de todos, porm (+) - (+) =?, ou

++ = ? so formas indeterminadas. No se deve operar com os smbolos +, ,

como se fossem nmeros, pois no o so.

Exemplo 1.11.

Em ambas as margens de um rio crescem palmeiras, uma em frente a outra. A altura de uma de 30m, e da outra 20m. A distncia entre seus troncos de 50m.

Na copa de cada palmeira descansa um pssaro, de sbito os dois pssaros avistam um peixeque aparece na superfcie da gua, entre as duas palmeiras. Os pssaros voaro e alcanaramo peixe ao mesmo tempo. Supondo a mesma velocidade; a que distncia do tronco da palmeiramenor apareceu o peixe?Soluo.

@@

@@

@@

@@@u

u20m30m

(50 x) x

50m

Figura 1.4:

Suponhamos que o peixe apareceu a umadistncia de xmetros do p da palmeira menorFigura (1.4), ento pelo teorema de Pitgoras:

202 + x2 =302 + (50 x)2

202 + x2 = 302 + (50 x)2

x2(50x)2 = 302202 2x50 = 10 x = 30

Portanto, o peixe apareceu a uma distncia de 30m da palmeira menor.

Exemplo 1.12.

Mostre a desigualdade x =12.34.56 99

100 b1.

5. Dados os nmeros reais a e b, mostre que 2ab a2 + b2.

6. Mostre que, se a > 0 ento (a+1a) 2.

7. Mostre que, se a+b+c = 1 onde, a > 0, b > 0, c > 0, ento temos que, (1a)(1b)(1c) 8abc.

8. Mostre que: Se 0 < a < b, ento a ab a+ b2

b .

9. Mostre que:ab 2ab

a+ bquando a, b > 0.

10. Mostre que, quando a, b, c, d R, ento a4 + b4 + c4 + d4 4abcd.

11. Mostre que: a3 +1a3

> a2 +1a2

se a > 1.

12. Mostre que, se a, b, c > 0 entobc

a+ac

b+ab

c> a+ b+ c.

13. Determinar o menor nmero positivo M de modo que, para todo nmero real x, tenha-se2x x2 M .

14. Determinar o maior nmero positivo M de modo que, para todo nmero real x, tenha-seM x2 + 16x.

15. Sejam a e b positivos, mostre quea

b2+

b

a2 1a+1b.

16. Demonstrar que, se a e b so nmeros inteiros positivos entoa3 + b3

2(a+ b2

)3.

17. Mostre que, se x3 + y3 + z3 = 81, x > 0, y > 0, z > 0, ento xyz 27.

18. Mostre a desigualdade:x2 + 3x2 + 2

2.

19. Resolver em R:11 4x2

x< 3.

20. Mostre que se ab 0, ento ab min .{a2, b2}.

21. Mostre que a mdia geomtrica de n nmeros positivos no ultrapassa a mdia aritmticadestes mesmos n nmeros.


22. Determine todos os valores reais de r para os quais o polinmio: (r21)x2+2(r1)x+1,seja positivo para todo x R.

23. A receita da venda de q unidades de um produto R = 240q e o custo de produo de qunidades C = 190q+1500. Para que haja lucro, a receita de vendas h de ser maior queo custo. Para que valores de q este produto dar lucro?.

24. Alm do custo administrativo fixo, (dirio) de R$350, 00 o custo de produo de q unidadesde certo produto de R$5, 50 por unidade. Durante o ms de maro, o custo total daproduo variou entre o mximo de R$3.210 e o mnimo de R$1.604 por dia. Determineos nveis de produo mximo e mnimo por ms.

25. Estabelea para que valores reais de x a rea de um crculo de raio x:a) maior que 400pi cm2 b) no superior a 400pi cm2.

26. Uma piscina infantil deve ter 1 m de altura e o formato de um bloco retangular. O seucomprimento precisa superar largura em 0, 2 m. Com quanto de largura essa piscinacomportar mais de 2000.000 litros? (Lembrete: 1m3 = 1.000 litros).

27. Sabe-se que sobre certas condies o nmero de bactrias que contm o leite se duplicaa cada 3 horas. Calcular o nmero pelo qual necessrio multiplicar a quantidade debactrias do inicio, para obter o nmero de bactrias ao final de 1 dia.

28. Os alunos da UFT, organizaram uma rifa somente para alunos. Dos quais 45 compraram2 nmeros, e o total de alunos que compraram um nmero era 20% do nmero dos rifasvendidas, 80 no compraram nmero nenhum e outros compraram 3 nmeros. Se o totalde rifas vendidas excedeu em 33 ao nmero de alunos, diga quantos alunos compraramsomente um nmero da rifa.

29. Em uma fazenda, existia um nmero de cabeas de gados. Depois de duplicar esse nmero,foi roubado 1 cabea sobrando mais de 54. Meses depois observou-se que triplicou o nmerode cabeas de gado que existia no incio e foram roubadas 5 restando menos de 80. Quantascabeas de gado existiam no incio?

30. A mdia aritmtica das idades de um grupo de mdicos e advogados 40 anos. A mdiaaritmtica das idades dos mdicos 35 anos e a dos advogados 50 anos. Pode-se, ento,afirmar que:

31. Uma pessoa compra um apartamento por R$10.000, 00 em seguida o aluga. Deixando

1212% da renda anual para reparaes e manuteno, pagando R$325, 00 de IPTU e 5

12%

descontando por conta de investimento. Qual a renda mensal?

32. A soma das idades de trs pessoas 96. A maior tem 32 anos mais que a menor e a domeio 16 anos menos que a maior. Calcular a idade de cada uma das pessoas.

33. Eu tenho a idade que tu tinhas, quando eu tinha a metade da idade que tu tens. A somade nossas idades hoje igual a 35 anos. Qual a minha e a tua idade?

1.4 Desigualdades.

Os nmeros reais podem ser relacionados biunivocamente com os pontos de uma reta L. Comesta identificao, dados os nmeros x, y R de modo que x < y, geometricamente na reta L,o ponto x esta esquerda de y a uma distncia (y x) unidades.

Grficamente.

-- y xyx

LrrDefinio 1.5.

Uma expresso que contm relaes do tipo , ou chamada uma desigual-dade

1.4.1 Inequao.

Uma inequao uma expresso algbrica que contm as relaes , ou .So exemplos de inequaes:

3x 4 < 2 + x . . . Inequao de primeiro grau

3x2 4x 5 0 . . . Inequao de segundo grau

x2 5x+ 4x2 4 = 2 . . . Inequao racional

3x 4 < 2 + x 3x2 4x . . . Inequao mista

ax bx a b . . . Inequao exponencial

sen 2x cos2 x 1 . . . Inequao trigonomtrica

Resolver uma inequao significa determinar um conjunto de valores que a varivel (incgnita)tem que assumir para satisfazer a desigualdade em estudo. O conjunto em referncia chamadoconjunto soluo.

Observao 1.4.

Se tivermos as desigualdades x < y e y < z detona-se x < y < z.De igual modo:

a) x < y z significa x < y e y z.

b) x y z significa x y e y z.

c) x y > z significa x y e y > z.

d) x y z no tem significado, melhor escrever y z e y x.

1.4.2 Intervalos.

Sejam a e b nmeros reais tais que a b. So chamados de intervalos os seguintes subcon-juntos de R.

(a, b) = { x R /. a < x < b} intervalo aberto de extremos a e b, isto , o conjunto denmeros reais compreendidos estritamente entre a e b.

[a, b] = { x R /. a < x < b} intervalo fechado de extremos a e b, isto , o conjunto denmeros reais compreendidos entre a e b (incluindo os pontos a e b).

(a, b] = { x R /. a < x b} intervalo semi-aberto pela esquerda de extremos a e b isto ,o conjunto de nmeros reais compreendidos entre a e b (incluindo o ponto b).

[a, b) = { x R /. a x < b} intervalo semi-aberto pela direita de extremos a e b, isto oconjunto de nmeros reais compreendidos entre a e b (incluindo o ponto a).

1.4.3 A Reta Ampliada. Intervalos Infinitos.

Reta ampliada o conjunto numrico R = R{, +}, onde (menos infinito) e +

(mais infinito) so smbolos que se comportam segundo as seguintes convenes.

1. < x < + x R

2. x+ () = () + x = ()

3. () + () = ()

4. x.() = ().x = () x R x > 0.

5. x.() = ().x = () x R x < 0.

Os intervalos infinitos so definidos como:(a, +) = { x R /. a < x } [a, +) = { x R /. a x }(, b) = { x R /. x < b } (, b] = { x R /. x b }

Os smbolos -, + e somente so idias de nmeros porm no so nmeros.

Exemplo 1.18.

Dados os intervalos A = [3, 5], B = (4, 7] e C = [8, 10] ento:

a) A C = [3, 5] [8, 10] b) A B = [3, 7]c) A C = d) A B = (4, 5]

Observamos que a unio ou interseco de dois intervalos no sempre um intervalo.

Exemplo 1.19.

Seja x (1, 2] , mostre que x2 2x (1, 0].Soluo.

Da hiptese x (1, 2] temos que 1 < x 2, ento 0 < x 1 1.Logo pela propriedade para nmeros reais positivos 0 < (x1)2 1, assim1 < (x1)21

0, isto 1 < x2 2x 0.Portanto x2 2x (1, 0].

Exemplo 1.20.

Se x (0, 2), determine nmeros m e M de modo que: m < x+ 2x+ 5

< M .Soluo.

Se x (0, 2), ento 0 < x < 2 , logo 5 < x+ 5 < 7.Da propriedade do inverso de nmeros reais temos:

17 3} x (2, 3) ou x x (2, 3)

Portanto, o conjunto soluo da inequao (2, 3)2o Mtodo.Completando quadrados.

x2 4 < x+ 2 x2 x < 6 x2 x+ 14< 6 +

14

(x+ 12)2 a, logo x est direita de a.Se, o sinal de (x a) negativo, ento (x a) < 0 e x < a, logo x est esquerda dea.

2) O mtodo dos pontos crticos consiste em transformar a inequao dada E(x) < 0 em outraequivalente E1(x) da forma E1(x) > 0 ou E1(x) 0 ou E1(x) 0.

3) Para determinar o sinal de um produto, considere que: (+)(+) = +, (+)() = , ()(+) = e ()() = +.

Logo devemos determinar os pontos crticos de E1(x); isto , os valores do numerador edenominador de E1(x) os quais sejam iguais a zero, para assim determinar na reta real R osintervalos respectivos.

Por ltimo temos que determinar o sinal de E1(x) em cada um dos intervalos que satisfazema inequao.

O comportamento dos sinais em uma inequao, provem do grfico de funes polinomiaisnum sistema de coordenadas cartesianas, sendo este tpico tratado posteriormente.

Exemplo 1.23.

Determine o conjunto soluo da inequaox2 925 x2 0.

Soluo.

Tem-se quex2 925 x2 =

(x 3)(x+ 3)(5 x)(5 + x) 0 se e somente se

(x 3)(x+ 3)(x 5)(x+ 5) 0, so pontos

crticos: { 5, 3, 3, 5 }.

-+ 5 3 3 5

r r r r+ + + + ++ + + + + + + + + + ++ Logo o conjunto soluo o intervalo semi-aberto (5, 3] [3, 5)As inequaes do prximo exemplo devem ser estudadas com muita ateno, uma vez que

so freqentes os equvocos nas solues por parte dos estudantes na fase inicial do estudo doclculo.

Exemplo 1.24.Resolver as seguintes inequaes:

a) x2 < 16 b) x2 < 9c) x3 < 27 d) (x+ 1)4 < (x+ 1)2

Soluo. (a)Da inequao E(x) : x2 < 16 tem-se a inequao E1(x) : x2 16 < 0, ento na forma de

fatores resulta (x 4)(x+ 4) < 0.

-+ 44

r r+ + + + + + ++ + + + ++ Considere o seguinte quadro:

Intervalos Sinal de E1(x) Conjunto soluo de E1(x)

(, 4)(4, 4)(4, +)

+

+

(4, 4)

Portanto, conjunto soluo da inequao (4, 4).

Soluo. (b)Da inequao x2 < 9, tem-se x2 + 9 < 0, isto absurdo; logo no existem nmeros reais

que satisfazem a inequao.Portanto a soluo o conjunto vazio.

Soluo. (c)Considere a inequao E2(x) : x3 < 27.

Tem-se x333 < 0, isto (x3)(x2+x+9) < 0. Observe que x2+x+9 = x2+212x+

14+91

4=

(x+12)2 +

14> 0 x R, ento x2 + x+ 9 > 0 x R.

Logo na inequao (x 3)(x2 + x+ 9) < 0 segue que x 3 < 0; isto x < 3.Portanto o conjunto soluo o intervalo (, 3)

Soluo.(d)Temos aqui a inequao E(x) : (x+ 1)4 < (x+ 1)2.(x+ 1)4 < (x+ 1)2 (x+ 1)4 (x+ 1)2 < 0 (x+ 1)2.[(x+ 1)2 1] < 0(x+ 1)2(x2 + 2x) < 0 x(x+ 1)2(x+ 2) < 0Sendo (x + 1)2 0 para todo nmero real, a inequao E(x) transformou-se na inequao

E1(x) : x(x+ 2) < 0.Seus pontos crticos so 2 e 0.

-+ 02

r r+ + + + + + + + + + ++ + + + ++


Observe o seguinte quadro:

Intervalos Sinal de E1(x) Conjunto soluo de E1(x)

(, 2)(2, 0)(0, +)

+

+

(2, 0)

Propriedade 1.7.Temos que: se a > 0 e ax2 + bx+ c 0 x R se e somente se b2 4ac.

Demonstrao.

Dividindo na inequao ax2 + bx + c 0 por a > 0 resulta a expresso: x2 + bax +

c

a 0.

Completando quadrados x2 + 2b

2ax +

c

a+ (

b

2a)2 ( b

2a)2 ento

(x+

b

2a

)2 b

2 4ac4a2

, pela

Propriedade (1.3)-(16) de nmeros reais temos que

(x+b

2a)

b2 4ac2a

ou (x+b

2a)

b2 4ac2a

Como x R ento, tem que ser b2 4ac.Reciprocamente. Exerccio para o leitor.

Exemplo 1.25.Resolver as inequaes:

a) 8x x2 20 0 b) x2 + x+ 9 > 0

c) x6 1 0 d) xp 1 > 0 onde p primo.

Soluo. (a)Temos 0 x2 8x + 20, como (8)2 4(1)(20), segue pela Propriedade 1.5, a soluo o

conjunto de todos os nmeros reais.

Soluo. (b)Da inequao x2 + x + 9 > 0, segue que (1)2 4(1)(9), ento, pela Propriedade (1.5), a

soluo o conjunto de todos os nmeros reais.

Soluo. (c)A inequao x6 1 0 podemos escrever sob a forma (x2)3 13 0 ento, da diferena de

cubos tem-se (x212)[(x2)2+x2+1] 0 isto (x+1)(x1)(x4+x2+1) 0; pela Propriedade(1.7) segue que (x4+x2+1) 0, logo a inequao original se reduz a calcular (x+1)(x 1) 0que tem como soluo o intervalo [1, 1].

Portanto o conjunto a soluo de x6 1 0 o intervalo [1, 1].

Soluo. (d)

A inequao xp 1 > 0 onde p primo, podermos escrever na forma de fatores como(x1)(xp1+xp2+xp3+ +x2+x+1) > 0, o fator (xp1+xp2+xp3+ +x2+x+1sempre positivo x R pois um polinmio irredutvel de grau par (todas suas razes sonmeros no reais).

Ento resolver nossa desigualdade original reduz-se a resolver (x 1) > 0 cuja soluo x (1, +)

Portanto a soluo de xp 1 > 0 onde p primo o conjunto (1, +).

Exemplo 1.26.Resolver em R o seguinte:

a) x2 + 6x+ 10 = 0 b) x2 + 6x+ 10 0

c) x2 + 6x+ 10 < 0 d) x2 + 10 0

Soluo. (a)

Como resultado da Propriedade (1.4) (frmula de Bhaskara) segue que x =64

2, e

como no nmero real, ento o problema no tem soluo em R; isto x / R.Soluo. (b)

Pela Propriedade (1.7) temos que 62 4(10), logo o problema tem soluo em R; isto x R temos que x2 + 6x+ 10 0Soluo. (c).

Como resultado da Propriedade (1.7) temos que 62 4(10), logo x2 + 6x+ 10 0 x Rassim, nunca poder ocorrer que x2 + 6x+ 10 < 0.

Logo a desigualdade em estudo no tem soluo em R.

Soluo. (d)A soluo de x2 + 10 0 imediata, no precisa da Proposio 1.7, pois x R, x2 0

ento x2 + 10 10 0, isto x R, x2 + 10 0.Portanto, o conjunto soluo da inequao x2 + 10 0 so todos os nmeros reais.

Exemplo 1.27.

Um terreno deve ser lotado. Os lotes, todos retangulares, devem ter rea superior ou igualque 1.500m2 e a largura de cada um deve ter 20m a menos que o comprimento. Determine asdimenses do menor dos lotes que satisfazem tais condies.Soluo.

Suponhamos que o comprimento de cada lote seja x metros, ento a largura mede (x 20)metros; logo sua rea mede x(x20)m2. Por outro lado, tem que ser superior ou igual a 1.500m2;assim x(x 20) 1.500 onde x2 20x 1.500 0, isto (x 50)(x + 30) 0 x 50ou x 30.

Desconsiderando x 30, temos que as medidas do menor dos lotes : comprimento 50m elargura 30m.

Exemplo 1.28.

Uma galeria vai organizar uma exposio e fez duas exigncias: i) a rea de cada quadro deveser no mnimo de 2.800 cm2; ii) os quadros devem ser retangulares e a altura deve ter 30 cm amais que a largura.

Dentro dessas especificaes, em que intervalo de nmeros reais devem se situar as largurasdos quadros?.Soluo.

Da segunda condio, suponha a largura do quadro seja x cm, ento sua altura mede (30 +x)cm e sua rea mede (30 + x)xcm2; pela primeira condio 2800 (30 + x)x , onde 0 x2 + 30x 2800 0 (x + 70)(x 40) (x 70 ou x 40). Desconsideramosx 70.

Portanto as medidas do quadro so: largura 40 cm e altura 70 cm.

Exemplo 1.29.

Dada a equao de razes x1 e x2 : (m2 5m + 6)x2 + (4 m2)x + 20 = 0. Determine osvalores do parmetro m tal que x1 < 1 < x2.Soluo..

Seja ax2 + bx+ c = 0, pelas propriedades das razes da equao de 2o grau sabe-se que:Se a > 0 ento, a(1)2 + b(1) + c < 0 se e somente se x1 < 1 < x2; ouSe a < 0 ento, a(1)2 + b(1) + c > 0 se e somente se x1 < 1 < x2.Concluso a.[a(1)2 + b(1) + c] < 0 se e somente se x1 < 1 < x2.Para nosso caso observe que a = (m2 5m+ 6) e, desejamos que x1 < 1 < x2 isto acontece

se e somente se: (m2 5m+ 6).[(m2 5m+ 6)(12) + (4m2)(1) + 20)] < 0; logo (m2 5m+6).(30 5m) < 0 isto 5(m 2)(m 3)(m 6) > 0; os pontos crticos so 2, 3 e 6 .

Portanto, 2 < m < 3 ou m > 6.

Exerccios 1-3

1. Expresse cada um dos intervalos abaixo usando outra notao adequada (duplas desigual-dades por exemplo)

1. (1, 14) 2. (4, 7) 3. [pi, pi] 4. [53, 8]

5. [10, 2] 6. (0, 4) 7. [3pi, pi) 8. (16, 16]

2. So dados os conjuntos A = { x N / x impar }, B = { x Z /. 3 x < 4 } eC = { x N /. x < 6 }. Prove que o conjunto D, tal que D = (A B) C , vazio.

3. Resolver as seguintes equaes:

1. 3x+ 2 = 4 x 2. x2 2x 3 = 0 3. x4 13x2 + 36 = 04. x3 3x2 + x+ 2 = 0 5. 5x2 3x 4 = 0 6. x4 x2 + 20 = 0

4. Determine o conjunto soluo em R para cada uma das seguintes desigualdades:

1. x2 1 2. x3 x2 3. 2x 7 < 5 x4. 2(x 4) + 3x < 5x 7 5. 3 x < 5 + 3x 6. 2 > 3 3x 17. 4x 3(x+ 5) < x 18 8. x2 4 < x+ 2 9.

x2 + x 2 < 4

10. 2x 6 < 3x+ 85

11.2x+ 63

x4< 5 12.

x2 + 4x+ 10x2 x 12 > 0

13. x2 + 3x+ 8 0 2. (x 2)(x+ 2) 0 3. x(x+ 1) 0

4. (x 1)(x+ 1) 0 5. x 1x

0 6. x+ 1x 1 < 0

7. x < x2 12 < 4x 8. 3 x < 5 + 3x 9.x2 + x 2 < 4

10. (x 5)2 < (2x 3)2 11. x2 + 3x > 2 12. 3x 4 < 2 + x13. (x 1)3(x2 4)(x 5) > 0 14. 2 5 3x < 11 15. x2 3x+ 2 > 016. 5x 4(x+ 5) < x 24 17. 3x 5 < 3

4+1 x3

18. 3 x < 5 + 3x19. x5 2x4 15x3 > 0 20. 2x2 x 10 > 0 21. x2 3x+ 2 > 022. x2 + 8x 65 < x 18 23. x2 + 3

5x+

9100

< 0 24. x2 2x 5 > 025. 3(x+ 4) + 4x < 7x+ 2 26. 3x2 7x+ 6 < 0 27. x2 2x 8 < 028. (x5 1)(x+ 1) 0 29. x2 + 20x+ 100 > 0 30. 3x 4 < x+ 6

31. (x3 5x2 + 7x 3)(2 x) 0 32. (x2 3)3(x2 7)(x2 2x 3) > 0

6. Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes:

1.x

a2 b2 +3xa+ b

b > 0

2.x

a+x

b> 1 +

x

cse c > b > a > 0

3.2x3a

+ 4 >5x6b

+ 2x se b > a > 0

4. 11(2x 3) 3(4x 5) > 5(4x 5)

7. Resolver as seguintes inequaes racionais:

1.x

x 1 +x 1x

0 e 3x2 +5xy + 3y2 > 0.

9. Determine o valor de: S = 1 +13+

132

+133

+ + 13n

, se n

10. Suponha que b2 4c 0. Mostre que os nmeros b+b2 4c2

ebb2 4c

2satisfazem ambos a equao: x2 + bx+ c = 0.

11. Suponha que b2 4c < 0. Mostre que no existe nenhum nmero real que satisfaz aequao: x2 + bx+ c = 0.

12. Suponha a, b, c e d nmeros reais. Mostre a desigualdade de Schwartz: ac + bd a2 + b2.

c2 + d2.

13. Mostre que:x2 2x 15 x+ 1 x (, 3].

14. Mostre que:14 x2 + x+ 2 8 x [1, 2] {1}.

15. Os nmeros positivos a1, a2, a3, an no so iguais a zero e formam uma progressoaritmtica. Mostre que:

1a1 +

a2

+1

a2 +a3

+1

a3 +a4

+ + 1an1 +

an

=n 1a1 +

an

16. Dentre os paraleleppedos com soma fixa de suas trs arestas simultaneamente perpendic-ulares, achar o paraleleppedo de volume mximo.

1.5 Valor Absoluto.

Definio 1.6.O valor absoluto de um nmero real x denotado por | x |, o prprio nmero x se for

positivo ou igual a zero, e igual a seu oposto aditivo x se for negativo. Isto :

| x |=x se x 0,x se x < 0.

Por exemplo, | 3 |= 3, | 0 |= 0, | x 4 |= (4) = 4Propriedade 1.8.

1. | a | 0, a R e | a |= 0 se a = 0.

2. | a |2= a2

3. | a |=| a |

4. | ab |=| a | . | b |

5. | a+ b || a | + | b | . . . . . Desigualdade triangular

Demonstrao. (2)Suponha a 0, ento | a |= a , logo | a |2= a.a = a2.Suponha a < 0, ento | a |= a, logo | a |2= (a)(a) = a2.Apresentamos duas demonstraes da desigualdade triangular.

Demonstrao. (5)Do fato ser, o valor absoluto de um nmero real sempre positivo, segue que:

ab | a | . | b | (1.7)

Pela 2a parte desta propriedade e de (1.7) temos que | a+ b |2= (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 =|a |2 +2ab+ | b |2| a |2 +2 | ab | + | b |2= (| a | + | b |)2 , isto | a+ b |2 (| a | + | b |)2 sendotodos este ltimos nmeros positivos conclumos que | a+ b | (| a | + | b |).

Observao 1.6.

i) A distncia entre os pontos reais a e b denotamos por | b a |.

ii) Geometricamente, | b a | a distncia do ponto a at a origem.Graficamente.

-a br r| b a |=| a b | -

0 ar r| a |

Propriedade 1.9.

i) Se b > 0 e | b |= b, ento a = b ou a = b.

ii) | a |= | b |, ento a = b ou a = b.

iii)a2 = | a | onde

a2 a raz quadrada positiva de a2.

iv) | ab|= | a || b | se b 6= 0

Demonstrao. (ii)Da hiptese | a | = | b | e da definio de valor absoluto do nmero b, segue que | a |= b ou

| a |= b. De modo anlogo, da definio de valor absoluto para o nmero a segue de | a |= bque, a = b ou a = b; e de | a |= b segue que a = b ou a = b.

Portanto a = b ou a = b.

Propriedade 1.10.

i) | x | b se e somente se x > b ou x < b.

iv) Se b 0, | x | b se e somente se x b ou x b

v) || a | | a ||| a b || a | + | b |

A demonstrao desta propriedade exerccio para o leitor.

Exemplo 1.30.Resolver as seguintes equaes:

a) | 2x 4 | = 6 b) || 5 2x | 4 | = 8 c)3x+ 1x 1

= 4d) | x2 4 | = | 2x | e)| x 1 | + 4| x 3 | = 2| x+ 2 |

Soluo. (a)

Da definio, de | 2x 4 |= 6 segue-se que 2x 4 = 6 ou (2x 4) = 6, ento x = 6 + 42

ou

x =6 42 . Portanto x = 5 ou x = -1.

Soluo. (b)Pela definio de valor absoluto, segue que | 5 2x | - 4 = 8 ou | 5 2x | -4 = -8, ento 5-2x

= 12 ou 5 - 2x = -12 ou | 5 2x | = -4, sendo esta ltima um absurdo.Logo, de 5-2x = 12 obtemos x = -

72, e de 5-2x = -12 obtemos x =

172.

Portanto x = -72ou x =

172

soluo do problema.

Soluo. (e)Da equao | x 1 | + 4| x 3 | = 2| x+ 2 | temos o seguinte diagrama:

-+ 2 1 3

r r rSe x < 2 ento, | x+ 2 | = -(x+2), | x 1 | = -(x-1) e | x 3 | = -(x-3), logo a equao

equivalente a -(x-1) - 4(x-3) = -2(x+2) onde x =173

e, como x =173

no pertence ao intervaloda condio, segue que x / R.

Se 2 x < 1 ento | x + 2 |= x + 2, | x 1 |= (x 1) e | x 3 |= (x 3), logo aequao equivalente a (x 1) 4(x 3) = 2(x+ 2) onde x = 9

7e, pela condio x / R.

Se 1 x < 3 ento | x + 2 | = x+2, | x 1 | = x - 1 e | x 3 | = -(x-3), logo a equao equivalente a x-1 - 4(x-3) = 2(x+2) onde x =

75.

Se x 3, ento | x+2 |= x+2, | x1 |= x1 e | x3 |= x3, logo a equao equivalentea x 1 + 4(x 3) = 2(x+ 2) onde x = 17

3.

Portanto, x =75, e x =

173

so solues da equao.

Exemplo 1.31.Dados: A = { x R /. | 12x 4 |< 10 }, B = { x R/. | 3x 1 | 1 } e C = { x

R /. | x2 4 |< 2 }. Expressar na forma de intervalos o conjunto (A B) C.Soluo.

Para o conjunto A temos que | 12x 4 |< 10, ento 10 < 12x 4 < 10 logo - 12< x 0onde y =| x 1 |, ento | x 1 |< 2 ou | x 1 |> 4.

Se | x 1 |< 2 segue que

1 < x < 3 (1.8)

Se | x 1 |> 4 segue que

x > 5 ou x < 3 (1.9)

De (1.8) e (1.9) tem-se que x (-, -3) (-1, 3) (5, +).Portanto, x(-, -3) (-1, 3) (5, +) resolve o problema.

Observao 1.7.

a) O mximo de dois nmeros a e b denotamos max .{a, b} e o mnimo de min .{a, b}.Por exemplo max .{1, 4} = 4 e min .{6, 3} = 3.

b) Se a < x < b, ento | x |< max .{| a |, | b | }.Por exemplo, se 2 < x < 6, ento | x |< 6 e se 12 < x < 6, ento | x |< 12.

Exerccios 1-4

1. Resolver as seguintes equaes:

1. | 2x 4 |= 6 2. || 5 2x | 4 |= 8 3. | x2 4 |=| 2x |

4.3x+ 1x 1

= 4 5. | x2 4 |= 3x+ 4 6. | x2 + 4 |=| 2x |7. | 4x+ 3 |= 7 8. | x2 + 2 |= 2x+ 1 9. | 2x+ 2 |= 6x 1810. x2 2 | x |= 3 11. | x 4 |=| x 2 | 12. | x2 x 6 |= x+ 213. | 2x 5 |= 3 14. | x 2 |=| 3 2x | 15. 2 | x 1 | x2 + 2x+ 7 = 0

16. 2|x+2| | 2x+1 1 |= 2x+1 + 1 17. | x 1 | + 4 | x 3 |= 2 | x+ 2 |

2. Represente cada um dos conjuntos seguintes atravs de desigualdades envolvendo valoresabsolutos.

1. A = { x R /. x < 4 ou x > 4 } 2. B = { x R /. x 6 ou x 4 }3. C = { x R /. x > 9 ou x < 9 } 4. D = { x R /. x 9 ou x 7 }

3. Represente geometricamente os seguintes conjuntos, para logo em seguida express-los naforma de intervalos.

1. A = { x R /. 8 < x < } 2. B = { x R /. 14 x < 5 }3. C = { x R /. 13 x < 15 } 4. D = { x R /. | x |< 6 }5. E = { x R /. | 9 x |< 7 } 6. F = { x R /. | x+ 5 | 8 }7. G = { x R /. x > 9 oux < 9 } 8. H = { x R /. | 9 x | 4 2. | x2 4 | + | 2x 5 |< 63. | 3 | 2x+ 3 ||< 2 4. | 3x 2 || 4x 4 | + | 7x 6 |

5. Encontrar o conjunto soluo em R.

1. | 2x+ 3 | +4 = 5x 2. | x2 4 |= 2x+ 4 3. | 3x 1 |= 2x+ 5

4. | 5x 3 |=| 3x+ 5 | 5. | 2x+ 6 |=| 4 5x | 6.6 5x3 + x

127.

16 3x 2| x+ 3 | 8. | x | 2

7. Sejam a e b nmeros reais, mostre que:

max .{ a, b} = a+ b+ | b a |2

min .{ a, b} = a+ b | b a |2

8. Suponha > 0 mostre o seguinte:1. Se | x x0 |< min{ 2(| y0 | +1) , 1} e | y y0 | 0 e todo x R; se 0


9. Mostre atravs de um exemplo que se existe uma seqncia {xn}nN+ de nmeros reais taisque f(xn) > n, ento no necessariamente existe o limite de f(xn) quando n .

10. Sejam f : [a, b] R e g : [a, b] R funes tais que:

limxc

f(x)g(x)

= 1 limxc f(x) = limxc g(x)

para c (a, b).

Captulo 4

CONTINUIDADE

Theodor Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, nasceu em Ostenfeld, nodistrito de Mnster Alemanha, no 31 de outubro de 1815, e faleceu emBerlin em 19 de fevereiro de 1897.

Com 14 anos, ingressou ao Instituto Catlico de Paderborn. Suaatuao na Escola foi brilhante, conquistando, com regularidade es-pantosa todos os prmios que almejava, chegando a obter sete em umano.

Matriculou-se na Escola de Mnster em 1839, conhecendo aliChristoph Gudermann (17981851), especialista em funes elpticas.Conta-se que 13 alunos compareceram aula inaugural de Gudermanne que segunda aula compareceu apenas um ouvinte - Weierstrass.

Em 1841, Weierstrass apresentou-se para os exames finais, com-postos de uma parte escrita e uma parte oral. Para o exame escrito,

trs temas foram sugeridos. Um dos problemas era extremamente complicado: Determinar desenvolvi-mentos em srie de potncias das funes elpticas.

Karl, depois de um ano de trabalhos, conseguiu resolv-lo, recebendo elogiosas referncias de Gu-dermann. Passando em seguida, pelo exame oral, Weierstrass obteve afinal, seu ttulo de professor,acompanhado de um certificado especial, por suas contribuies matemtica.

Em 1842, Weierstrass foi professor auxiliar de matemtica e fsica no Pro-Gymnasium de Deutsch-Krne, na Prssia Oriental. Seis anos mais tarde, foi transferido para o instituto de Braunsberg, ondepermaneceu de 1848 a 1854. O catlogo da escola, do ano de 1848, contm um trabalho de WeierstrassContribuies para a teoria das integrais Abelianas, que certamente h de ter provocado o espanto deseus colegas.

Weierstrass obteve, do ministro da Educao, uma licena de um ano, a fim de que pudesse continuaros seus estudos. Foi nomeado professor de matemtica da Escola Politcnica de Berlim em julho de 1856.

em Braunsberg que Weierstrass recebe o ttulo de doutor honoris causa, conferido pela Universidadede Knigsberg.

O estudo da matemtica, em moldes mais ou menos intuitivos, sofreu um srio choque no momento emque Weierstrass inventou: Uma curva contnua que no admitia tangente em qualquer de seus pontos.

Weierstrass deduz o sistema de nmeros reais R a partir dos nmeros naturais. Dedekind utilizaos cortes, enquanto que Weierstrass emprega as classes de racionais. As duas teorias esto sujeitas mesma crtica que os lgicos aplicam s idias de Cantor. Weierstrass representa uma espcie de sntesedo movimento em favor de maior rigor na matemtica.

As obras completas de Weierstrass foram editadas, de 1894 a 1927, em sete volumes, pela Academia

Prussiana de Cincias, sob o ttulo GesammelteWeke.

175

4.1 Conceitos Bsicos.

Sejam f e g funes definidas num mesmo intervalo, segundo os grficos mostrados na Figura(4.1).

-

6

g(a)

a

...

...

...

...

y

x

y = g(x)

-

6

f(a)

a

...

...

...

y

x

y = f(x)

Figura 4.1:

Observe-se que estas funes tem comportamentos distintos no ponto x = a. Entanto ogrfico de f varia continuamente nas proximidades de x = a, (no tem furos); o grfico de gapresenta um salto no ponto de abscissa x = a.

-

6y

x

B(f(a), )f(a)f(a) +

f(a)

a+ a a

y = f(x)

Figura 4.2:

A propriedade que tem a funo f de ter o grficovariando continuamente nas proximidades do ponto a,pode ser descrita do modo seguinte:

> 0, > 0 /. x D(f) se acontecea < x < a+ ento:

f(a) < f(x) < f(a) + (4.1)

Geomtricamente significa que, se x esta prximo dea ento f(x) esta prximo de f(a), isto lim

xa .f(x) =f(a) (Figura (4.2)).

A expresso (4.1) pode ser escrita do modo seguinte: > 0, > 0/. | f(x) f(a) |< sempre que | x a |< .Se a funo f(x) cumpre esta condio, dizemos que f contnua no ponto x = a.

Definio 4.1.Seja y = f(x) funo definida no conjunto A R, e a A; diz-se, que f contnua no ponto

x = a, se:

i) Existe f(x).

ii) Existe limxa .f(x).

iii) limxa .f(x) = f(a).

Se alguma das trs condies no se cumpre, diz-se que f descontnua em x = a.

Exemplo 4.1.Determine se a funo f(x) contnua em x = 3:

f(x) =

x2 9

x2 2x 3 , se, 0 < x < 5, x 6= 332, se, x = 3

Soluo.

i) f(3) =32.

ii) limx3

.f(x) = limx3

x2 9x2 2x 3 = limx3

(x+ 3)(x 3)(x+ 1)(x 3) =

32, existe o limite.

iii) limx3

.f(x) =32.

Portanto, f(x) contnua em x = 3.

Exemplo 4.2.Suponha que o custo de transporte de taxa postal seja: R$0, 30 at 300 gramas, e R$1, 70 se

o peso for maior que 300 gramas e menor ou igual a 500 gramas. Se x gramas representa o pesode uma carta (0 < x 500), expresse a taxa postal como funo de x.Soluo.

Temos f(x) = 0, 30x se 0 < x 300; f(x) = 1, 70x se 300 < x 500; isto :

f(x) =

{0, 30x, se, 0 < x 3001, 70x, se, 300 < x 500 ;

observe que a funo no contnua em x = 300.

Exemplo 4.3.

Dada a funo: f(x) =

x2 6x+ 1, se, 1 < x 22x+ 6, se, 2 < x 3x3 15, se, 3 < x < 5

Determine a continuidade de f em x = 2 e x = 3.Soluo.

Para o ponto x = 2.

i) f(2) = 7 existe.

ii) Para o clculo de necessrio calcular os limites laterais.

limx2

.f(x) = limx to2

(x2 6x+ 1) = 7

limx2+

.f(x) = limx2+

(2x+ 6) = 10

Portanto, no existe limx2

.f(x); assim, f(x) no contnua em x = 2.

Para o ponto x = 3.

i) f(3) = 12 existe.

ii) Para o clculo de necessrio calcular os limites laterais.

limx3

.f(x) = limx to3

(2x+ 6) = 12

limx3+

.f(x) = limx3+

(x3 15) = 12

Portanto, limx3

.f(x) = 12; existe.

iii) limx3

.f(x) = 12 = f(3).

Observao 4.1.

i) Suponha f(x) descontnua em x = a, de modo que limxa .f(x) existe porm limxa .f(x) 6= f(a) ,

ento diz-se que a descontinuidade evitvel ou removvel ; pois podemos redefinir a funof(x) de modo que lim

xa .f(x) = f(a) , isto a funo f redefinida resulta ser contnua emx = a.

ii) Se a descontinuidade em x = a no evitvel ou removvel, chama-se descontinuidade essen-cial ; este casso ocorre quando lim

xa .f(x) no existe ou no finito.

Exemplo 4.4.

Determine os pontos de descontinuidade da funo: f(x) =6x+ 24

x2 + 3x 4 .Soluo.

Observe que x2+3x4 = (x+4)(x1). O denominador da funo zero quando x = 4 oux = 1, esses so os possveis pontos de descontinuidade, pois f no esta definida nesses pontos eos limites respectivos so: lim

x4.f(x) = 2 e lim

x1.f(x) =.

A descontinuidade em x = 1 essencial e no ponto x = 4 evitvel; para os demais valoresde x a funo contnua.

Podemos redefinir a funo f(x) assim: g(x) =

6x+ 24

x2 + 3x 4 se, x 6= 465

se, x = 4Observe que g(x) contnua em x = 4, entanto a descontinuidade em x = 1 essencial.Para algumas demonstraes de propriedades de funes contnuas, algumas vezes til a

seguinte definio, equivalente Definio (4.1).

Definio 4.2.Seja y = f(x) funo definida no conjunto A R, e a A; diz-se, que f contnua no ponto

x = a, se:Dado > 0, > 0/. x B(a, ), ento f(x) B(f(a), ); ouDado > 0, > 0/. | f(x) f(a) |< sempre que | x a |< .

Definio 4.3.Uma funo f : A R, diz-se que contnua no conjunto B A, se e somente se

contnua em x = a a B.

Exemplo 4.5.Mostre que a funo constante contnua em todo seu domnio.

Soluo.

Seja f : A R definida por f(x) = k x A, onde k uma constante real; entof(a) = k a A; logo dado > 0, > 0/. | f(x) f(a) |=| k k |= 0 < sempreque | x a |< , sendo x = a um elemento arbitrrio, tem-se que f(x) = k contnua em todoo conjunto A.

Exemplo 4.6.Mostre que a funo f(x) = x2 contnua em todo seu domnio.

Soluo.

Seja f : A R definida por f(x) = x2 x A, ento f(a) = a2 para x = a, onde a A;assim dado > 0, > 0/. | f(x) f(a) |=| x2 a2 |=| x a | | x+ a | 0

no so contnuas em x = 0.Porm, x R tem-se f(x) + g(x) = 1, f(x) g(x) = 0 e | h(x) |= 1.

Propriedade 4.2.

i) Seja f : R R uma funo polinomial, isto f(x) = a0xn + a1xn1 + a2xn2 + +an1x+ an, a0 6= 0 ento f(x) contnua x R.

ii) Seja f : R R uma funo racional, isto :

f(x) =a0x

n + a1xn1 + a2xn2 + + an1x+ anb0xm + b1xm1 + b2xm2 + + bm1x+ bm

ento f(x) contnua no conjunto:

{ x R/. b0xm + b1xm1 + b2xm2 + + bm1x+ bm 6= 0 }

A demonstrao desta propriedade trivial, exerccio para o leitor.

Exemplo 4.8.Determinar os valores de x, para os quais as funes dadas sejam contnuas:

a) f(x) =x2 1x2 9 b) g(x) =| x

2 16 | c) h(x) = x5(x+ 3)7Soluo.

(a) Tem-se que f(x) funo racional e seu domnio o conjunto D(f) = { x R/. x 6= 3 };logo ela contnua em D(f).

(b) A Propriedade (4.1) v), garante que g(x) =| x2 16 | seja contnua para todo x R.

(c) A funo h(x) = x5(x+ 3)7 polinmica, ento ela contnua para todo x R.

Propriedade 4.3.Considere f : A R e g : B R funes reais tais que Im(f) B, sendo f contnua

em x = a e g contnua em y = f(a), ento gof contnua em x = a.

Demonstrao.A mostrar que dado > 0, > 0 /. | g(f(x)) g(f(a)) |< sempre que | x a |< .Com efeito, do fato g contnua em f(a) = b tem-se que, dado > 0, 1 > 0/. se y

B, | g(y) g(b) |< sempre que:| y b |< 1 (4.4)

Por outro lado, f contnua em x = a, ento dado 1 > 0, em particular posso considerar1 = 1, existe > 0 tal que se x A, | f(x) f(a) |< 1 sempre que

| x a |< (4.5)

Do fato Im(f) B podemos efetuar a composio entre as funes g e f para obter(gof)(x) = g(f(x)) para todo x A e y = f(x); ento de (4.4) e (4.5) obtm-se que, dado > 0, > 0 /. se x A, | g(y) g(b) |=| g(f(x)) g(f(a)) |< sempre que | y b |=|f(x) f(a) |< 1 sempre que | x a |< .

Portanto, dado > 0, > 0/. se x A, | g(f(x)) g(f(a)) |< sempre que| x a |< .

Propriedade 4.4.Sejam f : A R e g : B R funes reais tais que Im(f) B e:

i) limxa .f(x) = b

ii) g contnua em y = b.

ento limxa g(f(x)) = g( limxa .f(x)) = g(b)

Demonstrao.

Definimos h(x) =

{f(x), se, x 6= a0, se, x = a

da hiptese i) tem-se que h contnua em x = a; pela Propriedade (4.3) a funo goh contnuaem x = a, isto : lim

xa(gof)(x) = (goh)(a) = g(h(a)) = g(b) = g( limxa .f(x)).


Por outro lado, as funes f e h so diferentes somente no ponto x = a, ento limxa(goh)(x) =

limx toa

(gof)(x).

Portanto, limxa(gof)(x) = limxa .g(f(x)) = g( limxa .f(x)).

Exemplo 4.9.Uma determinada lagoa pode suportar um mximo de 14.000 peixes, e a taxa de crescimento

deles conjuntamente proporcional ao nmero presente e diferena entre 14.000 e a quantidadeexistente. a) Se f(x) peixes por dia for a taxa de crescimento quando houver x peixes, escrevauma funo que defina f(x). b) Mostre que f(x) contnua em todo seu domnio.Soluo. a)

Pela Definio 2.4 (Vol. 1) temos que, f(x) = kx(14.000 x), onde k uma constante nonula.Soluo. b)

bvio, a funo f(x) = kx(14.000x) = 14.000kxkx2 um polinmio, que contnuo emtodo seu domnio.

Exerccios 4-1

1. Mostre utilizando e que cada uma das seguintes funes contnua no ponto indicado.

1. f(x) = 5x+ 6, a = 2 2. f(x) = 3x2 + 5, a = 33. f(x) = x4, a = 1 4. f(x) = x2 + 5x+ 6, a = 1

2. Suponha que exista uma vizinhana B(a, r) e um nmero real M > 0 tal que satisfaz acondio: | f(x)f(a) |M | xa |, x B(a, r). Mostre que f contnua em x = a.

3. Mostre que se limxa .f(x) = L > 0, ento limxa .

nf(x) = n

L.

4. Mostre que f(x) = x contnua em todo x = a onde a R Z.

5. Usando o princpio de induo, mostre que se: fi i = 1, 2, 3, n so funes contnuasem x = a, ento:

1. f1 + f2 + f3 + + fn contnua em x = a.2. f1 f2 f3 fn contnua em x = a.

6. Para cada uma das seguintes funes. Determine se ela contnua nos pontos indicados.

1. f(x) =

{3x 3, se, x 6= 12, se, x = 1

a = 1

2. f(x) =

{x2, se, x 11 | x |, se, x < 1 a = 1

3. f(x) =

1 x2, se, x < 11 | x |, se, x > 11, se, x = 1

a = 1, a = 1

4. f(x) =

x+ 2, se, 2 x 11, se, 1 < x < 12 x, se, 1 x

a = 1, a = 1

5. f(x) =

x2 x 2| x2 4 | , se, x 6= 243, se, x = 2

a = 2, a = 2

6. f(x) =

1, se, 3 x 0x 1, se, 0 < x < 25 x2, se, 2 x

a = 0 a = 2

7. Dar exemplo de uma funo f definida em R que no seja contnua em nenhum pontox R, porm que, | f(x) | seja contnua em todo R.

8. Para os seguintes exerccios, determine se possvel determinar um nmero L para que afuno f seja contnua no ponto x = a. No caso afirmativo determine L, caso contrriojustificar sua resposta.

1. f(x) =

x2 3x 4

x 4 , se, x 6= 4L, se, x = 4

a = 4.

2. f(x) =

| x |, se, x > 01 x2, se, x < 0L, se, x = 0

a = 0.

3. f(x) =

1 x2, se, | x |< 1| x | 1, se, | x |> 1L, se, | x |= 1

a = 1.

4. f(x) =

x 2x 4 , se, x 6= 4L, se, x = 4

a = 4.

5. f(x) =

| x | 2, se, | x |< 24 x2, se, | x |> 2L, se, | x |= 2

a = 2, a = 2.

6. f(x) =

Sgn(9 x2), se, | x |> 4| x2 16 | 1, se, | x |< 4L, se, | x |= 4

a = 4.

7. f(x) =

| x2 2x 3 |

x 3 , se, x 6= 3L, se, x = 3

a = 3.

8. f(x) =

{4 x2, se, | x |< 2L, se, | x |> 2 a = 2, a = 2.

9. Determine o conjunto de pontos de continuidade da funo y = f(x):

f(x) =

0, se, x < 0x, se, 0 x < 1x2 + 4x 2, se, 1 x < 34 x, se, x 3

10. Estude a continuidade da funo f(x) =1

2 + 2tanxno ponto x =

pi

2.

11. Estude a continuidade da funo g(x) =sen ( 1x)1 + x

eno ponto x = 0.

12. Para todo nmero real x = a, achar uma funo que seja contnua em no ponto x = a,porm que no seja contnua em nenhum outro ponto.

13. Suponha f(x) satisfaz f(x+ y) = f(x)+ f(y), e que f seja contnua em x = 0. Mostre quef contnua em x = a a R.

14. Determine uma funo definida em todo R que seja descontnua em 1,12,13,14, e que

seja contnua nos demais pontos.

15. 1. Suponha f uma funo que satisfaz | f(x) || x | x R. Demonstrar que f contnua em 0 (lembre que f(0) tem que ser 0).

2. Dar um exemplo de uma funo f que no seja contnua em nenhum x = a.

3. Suponha-se que g seja contnua em x = 0 e | f(x) || g(x) | x R. Mostre que f contnua em x = 0.

16. Os raios de trs cilndros superpostos medem 3, 2 e 1m respectivamente. As alturas decada um dos cilndros 5m. Expressar a rea da seo transversal do corpo engendradocomo funo da distncia que relaciona a seo e a base inferior do cilndro que ocupa aparte baixa do corpo. Ser esta funo contnua? Construir o grfico.

17. Como deve-se eleger o nmero para que a funo f(x) seja contnua em R?. Construir

seu grfico. f(x) =

{x+ 1, se, x 1, se, x > 1

.

18. Determine os nmeros A e B de modo que a funo g(x) seja contnua no conjunto denmeros reais R.

g(x) =

2sen x se, x pi

2Asen x+B, se, pi

2< x 3

20. Determine os valores de b e c de modo que a funo f(x) seja contnua em toda a reta

real. f(x) =

{x+ 1, se, 1 < x < 3x2 + bx+ c, se, | x 2 | 1

21. Se limxa .f(x) existe, porm diferente de f(a), dizemos que f tem descontinuidade evitvel

em x = a .

1. Se f(x) = sen1x

para x 6= 0. A funo f tem descontinuidade evitvel em x = 0 ? Queacontece se f(x) = x sen 1

xpara x 6= 0 e f(0) = 1 ?

2. Suponha que g tenha descontinuidade evitvel em x = a. Seja h(x) = g(x) para x 6= ae seja h(a) = lim

xa .g(x). Mostre que g contnua em x = a.

3. Seja f(x) = 0 se x Q, e f(pq) =

1qse

p

q uma frao irredutvel. Qual a funo g

definida por g(x) = limyx .f(y)

22. Numa comunidade de 8.000 pessoas, a razo segundo a qual um boato se espalha conjun-tamente proporcional ao nmero de pessoas que ouviram o boato e ao nmero de pessoasque no o ouviram.


1. Se o boato est se espalhando a uma razo de 20 pessoas por hora quando 200 pessoaso ouviram, expresse a taxa segundo o qual o boato esta se espalhando como funodo nmero de pessoas que o ouviram.

2. Quo rpido o boato est se espalhando quando 500 pessoas o ouviram?


4.2 Continuidade em Intervalos.

Definio 4.4.Uma funo f : (a, b) R contnua no intervalo (a, b) , se contnua em todo x (a, b).

Definio 4.5.

a) Uma funo f : (a, b) R contnua pela direita de x = a, se limxa+

.f(x) = f(a).

b) Uma funo f : (a, b) R contnua pela esquerda x = b, se limxb

.f(x) = f(b).

Definio 4.6.Uma funo f : (a, b] R contnua no intervalo (a, b], se cumpre as duas condies:

1a f contnua em (a, b).

2a f contnua pela esquerda em x = b.

Definio 4.7.Uma funo f : [a, b) R contnua no intervalo [a, b), se cumpre as duas condies:


2a f contnua pela direita em x = a.

Definio 4.8.Uma funo f : [a, b] R contnua no intervalo [a, b] , se cumpre as trs condies:


2a f contnua pela direita em x = a.

3a f contnua pela esquerda em x = b.

Exemplo 4.10.Seja f(x) = x , x R, mostre que f contnua pela direita em todo n Z e que no existe

limxn .f(x).Soluo.

Pela definio de f(x) = x , tem-se que x [n, n+ 1), ento x = n logo limxn+

.f(x) =

limxn+

x = limxn+

n = n = f(n) assim, f contnua pela direita de x = n.

Por outro lado, para todo x [n 1, n) tem-se que f(x) = x = n 1, logo limxn

.f(x) =

limxn

x = limx ton

(n 1) = n 1.

Como os limites laterais so distintos ento no existe limxn .f(x).

Exemplo 4.11.Um fabricante pode obter um lucro de R$30, 00 em cada item se no mais de 1.000 itens forem

produzidos por semana. O lucro em cada item baixa R$0, 30 para todo item acima de 1.000. a)Se x itens forem produzidos por semana, expresse o lucro semanal do fabricante como funo dex. Suponha lucro no negativo. b) Mostre que a funo da parte a) contnua em x = 1.000;portanto contnua em todo seu domnio.Soluo.

Seja L(x) o lucro semanal a cada x itens produzidos, ento temos L(x) = 20x se 0 x < 1000e L(x) = (20 0, 30)x se 0 x < 1.000.

Logo L(x) =

{30x, se, 0 x < 1.00029, 7x, se, x 1.000 .

Portanto a funo no contnua em x = 1.000.

Exemplo 4.12.

Determine os intervalos de continuidade da funo: f(x) =

x2 925 x2 .

Soluo.

O domnio da funo so todos os nmeros reais para os quais a raz quadrada dex2 925 x2

seja um nmero real, resolvendox2 925 x2 0 segue que o domnio

D(f) = { x R /. x (5, 3] [3, 5) }

Estudo da continuidade no intervalo (5, 3].

i) f contnua no intervalo (5, 3).

ii) limx3

.f(x) = 0 = f(3).

Portanto , f contnua no intervalo (5, 3].

Estudo da continuidade no intervalo [3, 5).

i) f contnua no intervalo (3, 5).

ii) limx3+

.f(x) = 0 = f(3).

Portanto , f contnua em [3, 5)

4.2.1 Funes Contnuas em Intervalos Fechados.

Propriedade 4.5.Considere f : R R funo contnua e seja xn uma sucesso de nmeros reais tais que

calculo diferencial em r. christian q.pinedo

Documents