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©Prof. Lineu MialaretAula 12 - 1/23Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 12: Sistemas de Equações Lineares (2)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Um sistema linear com m equações e n variáveis, escrito usualmente na forma que se segue,

onde o vetor b≠0, é denominado de Sistema Linear Não Homogêneo.

Sistemas Lineares Homogêneos (1)


Um sistema linear com m equações e n variáveis, escrito usualmente na forma que se segue,

onde o vetor b=0, é denominado de Sistema Linear Homogêneo.



Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução a seguir,

que é chamada de Solução Trivial. O sistema possui somente a solução trivial ou tem infinitas

soluções (Solução não Trivial).

Se Am×n é uma matriz de coeficientes tal que m < n, então o sistema homogêneo Ax = 0 tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções.



Se Am×n uma matriz de coeficientes,Se os vetores X e Y são soluções do sistema homogêneo

AX = 0, então X + Y também é solução; eSe X é a solução do sistema homogêneo AX = 0, então kX

também é solução.

Demonstração:



Resolução de um Sistema LinearIdeia básica:

Obter um outro sistema linear que possua o mesmo conjunto de soluções do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver.

Operações elementares sobre as linhas de uma matriz é uma das três operações a seguir,

Operações Elementares (1)


Seja o sistema AX=B apresentado a seguir,

A matriz Aumentada ou Matriz Ampliada é a matriz obtida como mostrada abaixo,



Sistemas EquivalentesSe dois sistemas lineares AX=B e CX = D são tais que a

matriz aumentada [C|D] é obtida de [A|B] aplicando-se operações elementares, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.

Exemplo 1:



Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois grupos: Os Métodos Diretos; e Os Métodos Iterativos.

Os Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio de um número finito de operações aritméticas.

Os Métodos Iterativos são aqueles que geram uma sequencia de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximação inicial x(0). Sob certas condições, a sequencia converge para a solução x*, caso ela exista.

Métodos Diretos (1)


Os Métodos Diretos são métodos utilizados na resolução de sistemas de equações densos de porte pequeno a médio. Um sistema denso é aquele na qual a matriz dos

coeficientes tem um número pequeno de elementos nulos.

São considerados sistemas de pequeno porte aqueles que possuem até trinta equações e de médio porte até cinquenta equações. A partir daí, são considerados sistemas de grande porte.

Pertencem à classe dos Métodos Diretos aqueles estudados no ensino médio, como a Regra de Cramer. Entretanto, tais métodos não são usados em problemas

práticos que exigem a resolução de sistemas de equações lineares com um número relativamente grande de equações porque apresentam problemas de desempenho e eficiência.



Seja D o determinante da matriz formada pela matriz de coeficientes a seguir,

Seja Dxi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes xi (i = 1;2;3;...;n), pelos termos independentes b1;b2;...;bn.

Regra de Cramer (1)


Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante Dxi, ou seja, xi = Dxi/D.

Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,

E seja D o determinante dos coeficientes apresentado a seguir,

Regra de Cramer (2)


Tem-se então,

Onde,

Regra de Cramer (3)


Logo,

Portanto, o conjunto de soluções do sistema linear será x = 5; y = 2; z = 4.

Regra de Cramer (4)


Exemplo 3: Suponha que se esteja interessado em resolver o sistema linear a seguir,

Utilizando a Regra de Cramer, para se calcular x1,

3 x1 – x2 + 2 x3 = 12 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 112 x1 – 2 x2 – x3 = 2

122

321

213

122

3211

2112

1

x 3

22

212

12

311

12

323

22

2112

12

3111

12

3212



O processo de calcular utilizando a Regra de Cramer, o valor de x1, envolve um total de ? operações aritméticas de somas (subtrações) e multiplicações (divisões).

Portanto, para se calcular a solução x1, x2 e x3 são necessárias ? operações aritméticas.


3

22

212

12

311

12

323

22

2112

12

3111

12

3212


A aplicação da Regra de Cramer exige o cálculo de n+1 determinantes (D e Dxi, 1 i n)

Para n = 20 o número total de operações efetuadas será 21×20!×19 multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, um computador que efetue cerca de 100 milhões de

multiplicações por segundo levaria 3x105 anos para efetuar as operações necessárias.

Com isso, a Regra de Cramer é inviável em função do tempo de computação para sistemas muito grandes.



Deve-se observar que no caso de sistemas lineares n×n, com solução única, o vetor x* é dado por x* = A-1b. No entanto calcular explicitamente a matriz A-1 e em

seguida efetuar o produto A-1b é desaconselhável, uma vez que o número de operações envolvidas é grande.

Lembrando:Seja A uma matriz quadrada qualquer.Se |A| = 0, denomina-se a matriz A de Matriz Singular.

Caso contrário, ela é chamada de Matriz Não Singular (|A| ≠ 0).

Seja A uma matriz quadrada de ordem n não singular, então há uma matriz A-1, chamada de Matriz Inversa de A, de tal forma que AA-1 = A-1A = In, onde In é a Matriz Identidade de ordem n.



Dessa forma, o estudo de métodos mais eficientes computacionalmente torna-se necessário, pois em geral, os problemas práticos exigem a solução de sistemas lineares de grande porte, ou seja, sistemas que envolvem um grande número de equações e variáveis.


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