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©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 1/44Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


No escopo dos Métodos Diretos, destacam-se os Métodos de Eliminação, os quais evitam o cálculo direto da matriz inversa e não possuem problemas de tempo de execução como a Regra de Cramer.

Destaca-se o Método de Eliminação de Gauss, o qual consiste em transformar o sistema linear original num outro equivalente com a matriz dos coeficientes num formato de matriz triangular superior, o que facilita a sua resolução.Lembrar que dois sistemas lineares são considerados

equivalentes quando possuem a mesma solução.

Método de Eliminação de Gauss (1)


Seja o sistema linear Ax = b, onde a matriz A, de tamanho n×n, é uma matriz triangular superior, com os elementos da sua diagonal diferentes de zero.

O sistema pode se descrito como a seguir,



Com base na última equação do sistema, tem-se que



A incógnita xn-1 pode ser obtida da penúltima equação, como se segue,



E sucessivamente, a incógnita x1 pode ser obtida da primeira equação, como se segue,



Dado um sistema linear triangular superior n×n com os elementos da matriz A não nulos, as variáveis xn,xn-1, xn-2,...,x2,x1 são obtidas da seguinte forma (Algoritmo 1):1º Passo:

2º Passo:



Algumas observações:Det(A) ≠ 0.Eliminação feita por colunas.Etapa k ou iteração k ou k-ésima iteração ou k-ésima etapa

é a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1, k+2, ..., n.

aij(k) é o coeficiente da linha i e da coluna j no final da k-

ésima etapa.

bi(k) é o i-ésimo elemento do vetor constante b no final da

k-ésima iteração.

Considerando que det(A)≠0, sempre é possível reescrever o sistema linear de modo que o elemento da posição a11 seja diferente de zero, usando a operação elementar i) (lembrar do Teorema 1 anterior).



Etapa 1:A eliminação da variável x1 das equações i = 2,3,...,n é

realizada da seguinte forma a seguir, Da equação i subtrai-se a 1ª equação multiplicada por mi1.

Observar que para esta eliminação seja realizada, a única escolha possível para mi1 é,

Denomina-se de multiplicadores os elementos

Denomina-se de pivô



Ao final dessa etapa (1ª iteração) tem-se,

Onde,



Etapa 2:É sempre possível reescrever a matriz A(1), sem alterar a

posição da linha 1, de tal forma que o pivô a22(1) seja não

nulo.Multiplicadores desta etapa (iteração) são

A variável x2 é eliminada das equações i = 3,...,n da seguinte forma, Da equação i subtraí-se a segunda equação multiplicada

por mi2.



Ao final dessa etapa (2ª iteração) tem-se,

Onde,



Procede-se até a etapa (n-1) e ao final da iteração tem-se,

Onde,



Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,

1ª Etapa Seja Li a representação do vetor linha formado pela i-ésima

linha da matriz A(k)|b(k), sendo a linha L1 apresentada a seguir,

O objetivo é eliminar x1 das equações 2 e 3.



Seja a matriz ampliada do sistema linear a seguir,

Então



Na iteração 1 tem-se como resultado final,

2ª Etapa Objetivo é eliminar x2 da equação 3



Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver o sistema abaixo,

A solução do sistema acima é,



Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss.Hipóteses



Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss.



Número de Operações Primitivas do Algoritmo 2.Fase de Eliminação

Fase de Resolução

Total de operações primitivas



Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,


132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx



Solução do Exercício 1:x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3


132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx




9,88,77,57,2

7,115,43,22,4

103,34,55,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

9,88,77,57,2

7,115,43,22,4

103,34,55,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx



Solução do Exercício 2:x1 = -1,1918

x2 = 1,7121

x3 = -1,1918


9,88,77,57,2

7,115,43,22,4

103,34,55,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

9,88,77,57,2

7,115,43,22,4

103,34,55,1

321

321

321

xxx

xxx

xxx


Sabe-se que para executar o método de Eliminação de Gauss, requer-se o cálculo dos multiplicadores a seguir, em cada k-ésima etapa do algoritmo.

Problemas que podem ocorrer:Pivô nulo

Impossível de se trabalhar.

Pivô próximo de zero Pode conduzir a resultados totalmente imprecisos (erros de

arredondamento).

Deve-se adotar Estratégias de Pivoteamento Adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

Estratégias de Pivoteamento


Estratégia de Pivoteamento ParcialNo início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher

para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes

Trocar as linhas k e i, se for necessário.

Pivoteamento Parcial (1)


Exemplo 2: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir,

Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado



ii) trocar as linhas 2 e 3, e assim,

Os multiplicadores serão



A escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multipicadores, em módulo, se localizem entre 0 e 1, o que evita a ampliação de erros de arredondamento.



Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.

98877572

711543224

10334551

321

321

321

,x,x,x,

,x,x,x,

x,x,x,

98877572

711543224

10334551

321

321

321

,x,x,x,

,x,x,x,

x,x,x,



Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.

Solução do Exercício 3:x1 = -1,1919

x2 = 1,7121

x3 = 3,1252

98877572

711543224

10334551

321

321

321

,x,x,x,

,x,x,x,

x,x,x,

98877572

711543224

10334551

321

321

321

,x,x,x,

,x,x,x,

x,x,x,



Estratégia de Pivoteamento CompletoNo início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher

para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou seja,

Pivoteamento Completo (1)


Exemplo 3: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir,



Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado

Observa-se que o pivô dessa etapa é

O que acarreta a troca das colunas 2 e 4 e em seguida, das linhas 2 e 3.



Isso gera a matriz abaixo,

Essa estratégia envolve uma comparação extensa entre os elementos e troca linhas e colunas.

Esforço computacional maior que a estratégia anterior.



Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo.

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx



Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo.

Solução do Exercício 4:x1 =

x2 =

x3 =

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx



Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,

O referido sistema linear será resolvido de duas formas: Sem pivoteamento parcial; e Com pivoteamento parcial.

Sem Pivoteamento Parcial (1)


Sem pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é,

Então tem-se,



Etapa 1:



Etapa 1:

Solução do sistema




Verifica-se que a solução acima não satisfaz a segunda equação, pois



Com pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é,

Etapa 1:

Com Pivoteamento Parcial (1)


Etapa 1:


Com Pivoteamento Parcial (2)

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