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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio

Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo

http://www.cce.ufes.br/anderson

[email protected] ltima atualizao: 23/07/2005 09:48 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 1

Captulo 7 - Trabalho e Energia

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

Problemas Resolvidos

10. Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfcie horizontal sem atrito sob

influncia de uma fora que varia com a posio, como mostra a Fig. 15. Qual o trabalho

realizado pela fora quando o bloco se move desde a origem at x = 8,0 m?

(Pg. 136)

Soluo.

O trabalho de uma fora unidimensional dado por:

0

( )

x

xx

W F= dxIsso significa que num grfico de F(x) x o trabalho a rea entre a curva e a coordenada zero do eixo da fora, sendo que as reas acima da coordenada zero (Asuperior) so positivas e as que ficam

abaixo (Ainferior)so negativas. O clculo da rea deve ser feito utilizando-se as escalas da ordenada e

da abscissa. Vale notar que cada clula da malha do grfico corresponde a um trabalho equivalente

a 10 J. Portanto:

superior inferior 30 J 5 JW A A= =

25 JW =

[Incio]

17. Um objeto de massa 0,675 kg est em uma mesa sem atrito e ligado a um fio que passa atravs

de um buraco da mesa, no centro de um crculo horizontal no qual o objeto se move com

velocidade constante. (a) Se o raio do crculo for 0,500 m e a velocidade da massa for 10,0 m/s,

calcule a tenso no fio. (b) Verifica-se que se puxarmos o fio para baixo mais 0,200 m,

reduzindo assim o raio do crculo para 0,300 m obtm-se o mesmo efeito que se multiplicarmos

a trao do fio original por 4,63. Calcule o trabalho total realizado pelo fio sobre o objeto

girante durante a reduo do raio.

(Pg. 137)

Soluo.

Considere o seguinte esquema da situao:

m

v0

R0T0

m

v

RT

(a) A fora centrpeta do movimento circular do objeto vale:

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4

a Ed. - LTC - 1996. Cap. 7 Trabalho e Energia

2


2

c

mvF

r=

Como Fc = T0:

2

00

0

mvT

R= (1)

0 135 NT =

(b)

2

04,63mv

T TR

= = (2)

Dividindo-se (1) por (2):

2

0

2

0

4,63R v

Rv=

2

2 0

0

4,63Rv

vR

= (3)

Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cintica:

( 2 20 12

oW K K K m v v= = = ) (4) Substituindo-se (3) em (4):

2

0

0

14,63 1 60,007 J

2

RW mv

R

= =

A

60,0 JW

[Incio]

28. Um projtil de 0,550 kg lanado da beira de um penhasco com energia cintica inicial de

1.550 J e em seu ponto mais alto est a 140 m acima do ponto de arremesso. (a) Qual a

componente horizontal de sua velocidade? (b) Qual era a componente vertical de sua velocidade

logo aps o lanamento? (c) Em um instante durante o seu vo encontra-se o valor de 65,0 m/s

para a componente vertical de sua velocidade. Neste instante, qual a distncia a que ele est

acima ou abaixo do seu ponto de lanamento?

(Pg. 138)

Soluo.

Considere o seguinte esquema:



3


m

g

y

x

K0

h

(a) Vamos partir da definio da energia cintica inicial do projtil:

(2 20 1 12 2

o xoK mv m v v= = )2yo (1)

2 02

yo xo

Kv

m= 2v

o

(2)

Na Eq. (1) foi usada a igualdade que representa o mdulo da velocidade inicial do projtil:

(3) 2 2 2

o xo yv v v=

Multiplicando-se (3) por m/2, em que m a massa do projtil:

2 21 1 1

2 2 2o xomv mv mv=

2

yo

0

0 0x yK K K= +

Como o movimento do projtil pode ser estudado independentemente nas coordenadas x e y, de se

esperar que a energia mecnica do projtil, que depende de sua posio e velocidade, tambm possa

ser analisada independentemente em x e em y. Portanto, vamos analisar a conservao da energia

mecnica em y:

0y yE E=

0y yK U=

20

1

2ymv mgh=

(4) 2

0 2yv g= h

Substituindo-se (2) em (4):

202

2xoK

v gm

= h

00 2 53,7546 m/sxK

v ghm

= =

A

2 53,8 m/sxov

Pode-se demonstrar a validade do procedimento acima. Aplicando-se a equao de movimento de

Torricelli do ponto de lanamento at o ponto mais elevado da trajetria do projtil:

2 2

02 ( )y yov v a y y= +

20 2yov g= h



4




5

h (2) 2 2yov g=


2 02

2 53,7546 m/sxoK

v ghm

= = A

2 53,8 m/sxov

(b) Da Eq. (4):

2 2 52,4099 m/syov gh= = A

2 52,4 m/syov

(c) A posio do corpo pode ser encontrada da seguinte forma:

2 2

02 ( )y yov v a y y= +

2 2 2y yov v g= y

2 2

75,3357 m2

yo yv vy

g

= = A

75,3 my =

De acordo com o referencial adotado, nessa posio a velocidade do projtil ser negativa. O

instante de tempo em que essa posio atingida dado por:

0y yv v a= + t

t 0y yv v g=

0

11,968 sy yv v

tg

= = A

12,0 st

[Incio]

32. Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80 m rebatida vrias vezes pelo cho,

perdendo 10% de sua energia cintica de cada vez. Depois de quantas colises a bola no

conseguir se elevar acima de 0,90 m?

(Pg. 138)

Soluo.


y

0K0 K1 K2

h0

h1

h2


Seja K0 a energia cintica inicial, K1 a energia cintica aps a primeira rebatida, K2 a energia

cintica aps a segunda rebatida, etc., e KN a energia cintica da bola aps a N-sima rebatida.

Temos que:

1 00,9K K=



6

0 2

2 10,9 0,9K K K= =

33 20,9 0,9 0K K K= =

Logo:

10,9 0,9N

N N 0K K = = K

1

N

(1)

Tambm pode-se usar o trabalho da fora gravitacional na subida da bola aps cada rebatida para

fazer o clculo de K1, K2, etc., KN.

W K= 1 0 0mgh K K K = =

1 1K mgh=

Logo:

2 2K mgh=

Portanto, aps a N-sima rebatida:

(2) NK mgh=

Queremos saber N tal que hN 0,90 m. Igualando-se (1) e (2):

00,9N

NK mgh=

00,9N

Nmgh mgh=

0

0,90 m0,9 0,5

1,80 m

N Nh

h= = =

ln 0,5

6,57ln 0,9

N = = A

A altura h = 0,90 s deixa de ser atingida aps N = 6,57 rebatidas. Logo:

7N =

[Incio]

33. Um bloco de 263 g deixado cair sobre uma mola vertical de constante elstica k = 2,52 N/cm

(Fig. 20). O bloco adere-se mola, que ele comprime 11,8 cm antes de parar

momentaneamente. Enquanto a mola est sendo comprimida, qual o trabalho realizado (a)

pela fora da gravidade e (b) pela mola? (c) Qual era a velocidade do bloco exatamente antes de

se chocar com a mola? (d) Se esta velocidade inicial do bloco for duplicada, qual ser a

compresso mxima da mola? Ignore o atrito.


(Pg. 138)

Soluo.


y

0

m

k

y0

y1

y2

v0 = 0

v1

v2 = 0

P

F

(a)

( )gW d=

0

r

rr

F r

2 2

1 12 1( ) 0,30444 J

y y

gy y

W Pdy mg dy mg y y= = = = A 0,304 JgW

(b)

2

2 2

1 1

1

22 2

( ) 1 2( ) ( ) 1,7544 J2 2

yy y

e yy y

y

y kW F dy ky dy k y y= = = = = A

1,75JeW

(c) Aplicando-se o teorema do trabalho-energia cintica:

W K=

22 1

10

2g eW W K K mv+ = = 1



7


( )1 2 3,32058 m/sg ev W Wm

= + = A

( )3,32 m/s 1v j(d) v1 = 2 v1

W K=

' '

2 1 0g eW W K K K+ = = 1

' 2 '2 '22 1 1 2 11

( ) ( )2 2

kmg y y y y mv + =

' '22 2 1

1(2 )

2 2

kmgy y m v = 2

'2 ' 22 2 12 02

ky mgy mv+ =

A equao do segundo grau correspondente :

'2 '2 20,020476 0,04603 0y y+ A A =

As possveis solues so:

1

'

2 0, 20455 my = A

2

'

2 0,2250 my = A

Como y2 < 0:

'

2 0, 225 my

[Incio]

47. Um bloco de granito de 1.380 kg arrastado para cima de um plano inclinado por um guincho,

velocidade constante de 1,34 m/s (Fig. 23). O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o

plano inclinado 0,41. Qual a potncia que deve ser fornecida pelo guincho?

(Pg. 139)

Soluo.

Considere o seguinte esquema das foras que agem sobre o bloco:



8


m

N

P

T x

y

fc

A potncia fornecida pelo guincho dada pela Eq. (1), onde v a velocidade de elevao do bloco,

F fora responsvel pela elevao do bloco e o ngulo entre F e v. Essa fora, que na verdade uma tenso (T), gerada pelo motor do guincho e transmitida ao bloco por meio da corda

mostrada na figura.

. cosP Fv Fv Tv= = = =F v (1) Vamos aplicar a primeira lei de Newton ao bloco, considerando-se apenas as foras em y:

0yF = cos 0N P = cosN mg = (2) Agora em x:

0xF = sen 0cT f P =

sencT N mg = + (3)


cos sen ( cos sen )c cT mg mg mg = + = (4)


( cos sen ) 16.606,328 WcP mg v = = A

16,6 kWP

[Incio]

52. Mostre que a velocidade v alcanada por um carro de massa m dirigido com potncia constante

P dada por

3/13

=

m

xPv ,

onde x a distncia percorrida a partir do repouso.

(Pg. 139)

Soluo.

Sabe-se que:

.

.dW F dx

Pdt dt

= = = F v

A expresso P = F.v d a potncia instantnea gerada pelo motor do carro, onde F a fora

instantnea de propulso do motor e v a velocidade instantnea do carro. Como P constante e v



9


aumenta com o tempo, ento F tambm varivel. Ou seja, o movimento do carro ocorre com

acelerao varivel.

. cosdv

P Fv Fv mav mdt

= = = = =F v v (1)

Na Eq. (1), o ngulo entre F e v que, neste caso, zero. Aplicando-se a regra da cadeia a (1):

2dv dx dv

P m v mvdx dt dx

= =

2m

dx v dvP

=

20 0

x vmdx v dv

P=

3

3

m vx

P=

1/33xP

vm

=

[Incio]

54. Qual a potncia desenvolvida por uma mquina de afiar cuja roda tem raio de 20,7 cm e gira a

2,53 rev/s quando a ferramenta a ser afiada mantida contra a roda por uma fora de 180 N? O

coeficiente de atrito entre a roda e a ferramenta 0,32.

(Pg. 139)

Soluo.


x

yFN

fc

r

Em primeiro lugar vamos converter (rps) para (rad/s): 2 ' = A velocidade tangencial da roda vale:

2 'v r r = = (1) As foras no eixo x so F, a fora que a ferramenta que afiada exerce sobre a roda, e N a fora de

reao a F que aparece no eixo da roda. Logo:

0xF = 0N F = (2) N F=Clculo da potncia dissipada pela fora de atrito (f):

. cos cosP fv fv fv Nv = = = = = f v (3) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4


10


Substituindo-se (1) e (2) em (3):

2 ' 189,5366 WP F r = = A

21,9 10 WP

[Incio]

57. A resistncia ao movimento de um automvel depende do atrito da estrada, que quase

independente da sua velocidade v, e do arrasto aerodinmico, que proporcional a v2. Para um

dado carro de 12.000 N, a fora total de resistncia F dada por F = 300 + 1,8 v2, onde F est

em newtons e v em m/s. Calcule a potncia necessria para que o motor acelere o carro a 0,92

m/s2 quando a velocidade for 80 km/h.

(Pg. 140)

Soluo.

Foras que agem no carro:

x

y

N

P

FmF

A potncia do motor P de um automvel dada pelo produto escalar da fora gerada pelo motor Fm

e a velocidade do automvel v. Na Eq. (1), o ngulo entre Fm e v. . cos cos 0m mP F v F v mF v= = = =mF v (1)

A fora do motor pode ser determinada a partir da segunda lei de Newton, onde F a fora de

resistncia ao movimento do carro:

x xF ma= mF F m = a

2300 1,8mP

F vg

= + + a (2)


2300 1,8 51.428,24 W 68,965 hpP

P v a vg

= + + = =

A A

69 hpP

[Incio]



11

58. Um regulador centrfugo consiste em duas esferas de 200 g presas mediante hastes leves e

rgidas de 10 cm a um eixo de rotao vertical. As hastes so articuladas de modo que as esferas

se afastam para longe do eixo enquanto giram com ele. Entretanto, quando o ngulo 45o, as esferas encontram a parede do cilindro dentro do qual o regulador est girando; veja a Fig. 24.

(a) Qual a velocidade mnima de rotao, em revolues por minuto, necessrias para as

esferas tocarem na parede? (b) Se o coeficiente de atrito cintico entre as esferas e a parede

0,35, que potncia dissipada como resultado do atrito das esferas contra a parede quando o


mecanismo gira a 300 rev/min?

(Pg. 140)

Soluo.

(a) Foras sobre uma das esferas:

m

P

T

x

y

A velocidade mnima de rotao obtida quando as esferas esto na iminncia de tocar nas paredes

do cilindro (N = 0, onde N a fora normal de contato das esferas com a parede.). Foras em y:

0yF = cos 0T mg =

cos

mgT

= (1)

Foras em x:

x xF ma=

2

sen cv

T ma mr

= = (2)


2

sencos

mg vm

r

=

sen tanv lg = (3)

Clculo da velocidade angular , em rpm:

sen

v v

r l

= =

Podemos trabalhar diretamente com RPM fazendo a seguinte transformao:



12


rad s 1 rot

60sen s min 2 rad

rpm

v

l

=

30

senrpm

v

l

= (4)


30 tan

112,4769 rpmsen

rpm

g

l

= = A

21,1 10 rpmrpm

(b) Foras sobre uma das esferas:

m

P

T

x

y

NFc

v

A equao (1) ainda vlida para esta situao. Foras em x:

x xF ma=

2 2

sensen

c

v vT N ma m m

r l

+ = = =

2

sensen

mvN T

l

= (5)


2

tansen

mvN mg

l

= (6)

A fora de atrito cintica vale::

c cf N=

A potncia total dissipada pelo atrito, considerando-se duas esferas, :

2 . 2c cP f v Nv= = (7)


2

2sen

c

mvP v mg

ltan

=

(8)

De (4) temos:

sen

30

rpmlv

= (9)

2 2 2 2

2sen

900

rpmlv

= (10)

Substituindo-se (9) e (10) em (8):

2 2 2 2sen sen2 t

30 sen 900

rpm rpm

c

l lmP m

l

ang

=



13


2 2sen sentan 18,6534 W

15 900

c rpm rpmm l lP g

=

A= (11)

19 WP De acordo com (11), a potncia dissipada ser igual a zero se:

2 2 sentan

900

rpmlg

=

30

112,476 rpmsen

rpm

g

l

= = A

Que a resposta do item (a).

[Incio]



14

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