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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8

a Ed. - LTC - 2009. Cap. 03 – Vetores

1

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008.

FÍSICA 1

CAPÍTULO 3 – VETORES

16. Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0o no sentido anti-

horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo

de 20,0o no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de

B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.

(Pág. 59)

Solução.

Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C:

(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação:

2 2

x yB B B (1)

Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo

pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A

primeira delas é:

x x xA B C

cos cosA x CA B C

cos cosx A CB A C

12,0 m cos 40,0 15,0 m cos 20,0 23,2879 mxB

A segunda equação escalar é:

y y yA B C

sen senA y CA B C

sen seny A CB A C

12,0 m sen 40,0 15,0 m sen 20,0 12,8437 myB

Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:

2 2

23,2879 m 12,8437 m 26,5949 mB

26,6 mB

(b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:

x

yA

C

A

C

Cx

Cy

Ax

Ay




2

1 1 12,8437 mtan tan 28,8776

23,2879 m

y

B

x

B

B

Embora a calculadora forneça como resultado para B o valor 28,9o, podemos ver na figura abaixo

que devemos acrescentar 180o a esse resultado para obter a resposta correta.

Logo:

180 28,8776 208,8776B

209B

25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo,

com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B?

(Pág. 59)

Solução.

Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C:

2 2 2 23,0 4,0 25 5,0x yC C C

Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido +y e possui módulo 5,0, teremos:

5,0D j

Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B:

B A D

B D C

5,0 3,0 4,0B j i j

3,0 1,0B i j

Portanto, o módulo de B vale:

2 22 2 3,0 1,0 10 3,1622x yB B B

3, 2B

Os vetores B, C e D podem ser vistos no esquema abaixo:

x

y

A

C

B

B

28,9o




3

b

32. Na Fig. 3-33, um vetor a com um módulo de 17,0 m faz um ângulo = 56,0o no sentido anti-

horário com o semi-eixo x positivo. Quais são as componentes (a) ax e (b) ay do vetor? Um

segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo ’ = 18o em relação ao primeiro.

Quais são as componentes (c) a’x e (b) a’y neste novo sistema de coordenadas?

Fig. 3-33 Problema 32 (Pág. 60)

Solução.

As componentes de a no sistema de coordenadas xy são:

(a) ax

cos 17,0 m cos 56,0 9,5062 mxa a

9,51 mxa

(b) ay

sen 17,0 m sen 56,0 14,0936 mya a

14,1 mxa

As componentes '

xa e '

ya no sistema rotacionado são dadas pelas seguintes relações (tente deduzir

essas relações):

' ' 'cos senx x ya a a

' ' 'cos seny y xa a a

Logo:

x0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

y

CD

3 2 11

B




4

(c)

' ' 'cos sen 9,5062 m cos 18 14,0936 m sen 18 13,3961 mx x ya a a

' 13mxa

(d)

' ' 'cos sen 14,0936 m cos 18 9,5062 m sen 18 10,4662 my y xa a a

' 10 mxa

43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0o.

Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a; (c) a componente x e (d) a

componente y de b; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b, quais são os

valores de (g) p e (h) q?

Fig. 3-35 Problema 43 (Pág. 60)

Solução.

(a) Como A está sobre o eixo x, teremos:

3,00 mxa

(b) 0,00 mya

Vetor B:

(c) cos 4,00 m cos 30,0 3,4641 mxb b

3,46 mxb

(d) sen 4,00 m sen 30,0yb b

2,00 myb

(e) cos 90 10,0 m cos 120,0xc c

5,00 mxc

(f) sen 90 10,0 m sen 120,0 8,6602 myc c

8,66 myc

(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na

equação vetorial c = p a + q b, que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação, teremos:

x x xc pa qb




5

x x

x

c paq

b (1)

Da segunda, teremos:

y y

y

c paq

b (2)

Igualando-se (1) e (2):

y yx x

x y

c pac pa

b b

Resolvendo a equação acima para p, teremos:

8,6602 m 3,4641 m 5,00 m 2,00 m

6,66660,00 m 3,4641 m 3,00 m 2,00 m

y x x y

y x x y

c b c bp

a b a b

6,67p

Agora podemos obter q a partir de (1):

5,00 m 6,6666 3,00 m

4,33013,4641 m

x x

x

c paq

b

4,33q

51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90,0

km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que

distância e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado?

(Pág. 61)

Solução.

Considere o seguinte esquema vetorial da situação, em que r0 é a posição almejada pelo velejador,

r1 é a posição alcançada pelo barco e r é o deslocamento que o barco deve sofrer para alcançar seu objetivo inicial.

(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relação vetorial:

0 1r r r

0 1 90,0 km 50,0 km 50,0 km 90,0 kmr r r j i i j

O módulo de r é:

r

r1

r0

x

y

Lago Erie

90 km

50 km

’




6

2 22 2 50,0 km 90,0 km 102,9563 kmx yr r r

103 kmr

(b) A direção de r é dada pelo ângulo 2:

' 1 1

2

90,0 kmtan tan 60,9453

50,0 km

y

x

r

r

Logo:

'

2 2 180 60,9453 119,0546

2 119

54. São dados três deslocamentos em metros: d1 = 4,0 i + 5,0 j 6,0 k, d2 = 1,0 i + 2,0 j + 3,0 k e

d3 = 4,0 i + 3,0 j + 2,0 k. (a) Determine r = d1 d2 + d3. (b) Determine o ângulo entre r e o

semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d1 em relação a d2. (d) Qual é a

componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2? (Sugestão: Para resolver

o item (c), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-20; para resolver o item (d), considere a Eq. 3-27.)

cosaba b (3-20)

Fig. 3-20

senc ab (3-27)

(Pág. 61)

Solução.

(a)

1 2 3d d dr

4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 2,0r i j k i j k i j k

4,0 1,0 4,0 5,0 2,0 3,0 6,0 3,0 2,0r i j k

9,0 6,0 7,0r i j k




7

(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário

k:

cos 1 cosrz rzrr k r k

cos rzr

r k (1)

Agora precisamos calcular r.k e r. Cálculo de r.k:

9,0 6,0 7,0 0 0 7,0r k i j k k

7,0r k

Cálculo de r:

2 2 22 2 2 9,0 6,0 7,0x y zr r r r

12,8840r

Substituindo-se esses valores em (1), teremos:

7,0

cos 0,543312,8840

rz

1cos 0,5433 122,9089rz

123rz

(c) A componente de d1 em relação a d2, que chamaremos d12, é d1 cos 12. Esse termo aparece no produto escalar dos dois vetores:

1 2 1 2 12cosd dd d

1 21 12

2

cosdd

d d

Ou seja:

1 212

2

dd

d d (2)

Agora precisamos calcular d1 d2 e o módulo de d2. O produto escalar vale:

2

1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 4,0 10 18 12 md d i j k i j k

O módulo de d2 vale:

2 2 22 2 2

2 2 2 2 1,0 2,0 3,0 3,7416 mx y zd d d d

Substituindo-se os valores de d1 d2 e d2 em (2), teremos:

2

12

12 m3,2071 m

3,7416 md

12 3,2 md

(d) A componente de d1 que é perpendicular a d2 e está no plano de d1 e d2, que chamaremos d12 , é

d1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores:

1 2 1 2 12 12 2send d d dd d




8

1 2

12

2

dd

d d (3)

Agora só precisamos calcular |d1×d2|. O produto vetorial vale:

1 2 4,0 5,0 6,0 1,0 2,0 3,0 27 6,0 13d d i j k i j k i j k

O módulo de d1×d2 é:

2 2 2 2

1 2 27 6,0 13 30,5614 md d

Substituindo-se os valores de |d1×d2| e d2 em (3), teremos:

2

1 2

12

2

30,5614 m8,1678 m

3,7416 md

d

d d

12 8,2 md

58. Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada

lança a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o

sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a

bola no buraco na primeira tacada.

(Pág. 61)

Solução.

As direções associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW),

podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de “rosa dos ventos”:

Considere o seguinte gráfico que mostra os três deslocamentos sucessivos sofridos pela bola:

De acordo com o enunciado, os vetores a, b e c são definidos por:

x

y

a

c

b315

o

225o




9

3,66 ma j

1,83 m cos 315 1,83 m sen 315b i j

0,91 m cos 225 0,91 m sen 225c i j

A tacada única d capaz de lançar a bola diretamente no buraco corresponde à soma vetorial a + b

+c:

d a b c

3,66 m 1,83 m cos 315 1,83 m sen 315

0,91 m cos 225 0,91 m sen 225

d j i j

i j

0,6505 m 1,7225 md i j

(a) O módulo de d vale:

2 22 2 0,6505 m 1,7225 m 1,8412 mx yd d d

1,84 md

(b) O ângulo que d faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:

1 1 1,7225 m

tan tan 69,31020,6505 m

y

d

x

d

d

69d

O vetor d pode ser visto no esquema abaixo:

69. Um manifestante, com sua placa de protesto, parte da origem de um sistema de coordenadas xyz,

com o plano xy na horizontal. Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x, faz uma curva

de 90o à esquerda, caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre de 25 m de altura. (a) Em

termos de vetores unitários, qual é o deslocamento da placa do início ao fim? (b) O manifestante

deixa cair a placa, que vai parar na base da torre. Qual á o módulo do deslocamento total, do

início até este novo fim?

(Pág. 62)

Solução.

Considere o seguinte gráfico que mostra os deslocamentos sofridos pela placa:

x

y

a

c

b

d

69o




10

(a) O deslocamento total d é dado por:

d a b c

40 m 20 m 25 m d i j k

O vetor d pode ser visto na figura abaixo.

(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento

total e vale:

e a b c c a b

40 m 20 m e i j

O módulo de e vale:

2 2

40 m 20 m 44,7213 me

45 me

O esquema vetorial para essa situação será:

71. Se B é somado a A, o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A, o resultado é 4,0 i + 7,0

j. Qual é o módulo de A?

(Pág. 62)

Solução.

Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A.

yx

z

a

b

c

d

yx

z

a

b

c

d

yx

z

a

b

c

e

c




11

6,0 1,0B A i j

4,0 7,0A B i j

O resultado da soma é:

2 2,0 8,0A i j

Ou:

1,0 4,0A i j

O módulo de A vale:

2 2 2 21,0 4,0 17 4,1231x yA A A

4,1A


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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

CAPÍTULO 3 – VETORES

16. Uma roda com raio de 45 cm rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, como

mostra a Fig. 25. P é um ponto pintado no aro da roda. No instante t1, P é o ponto de contato

entre a roda e o chão. No instante t2 posterior, a roda girou de meia revolução. Qual é o

deslocamento de P nesse intervalo de tempo?

(Pág. 46)

Solução.

Considere o esquema a seguir:

O deslocamento do ponto P corresponde ao vetor r, que é dado por:

x yr i j

Analisando-se o esquema acima, podemos concluir que x é corresponde a meia volta da

circunferência da roda ( R) e y é igual a 2R. Logo, o vetor deslocamento vale:

2 1,4137 m 0,90 mR Rr i j i j

1,4 m 0,90 mr i j

O módulo do deslocamento vale:

2 2 2,2237 mr x y

2,2 mr

24. Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima do leste. Ao primeiro contacto, a

distância do míssil é 3.200 m, a 40,0o acima do horizonte. O míssil é seguido por 123

o no plano

leste-oeste, e a distância no contacto final era de 7.800 m; veja a Fig. 27. Ache o deslocamento

P

r

x

y

P

x

y


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do míssil durante o período de contacto com o radar.

(Pág. 46)

Solução.

Considere o seguinte esquema da situação:

A posição inicial do míssil é dada por:

0 0 0x yr rr i j

0 0 0cos senr rr i j

A posição final do míssil é dada por:

x yr rr i j

cos senr rr i j

O vetor deslocamento do míssil é dado por:

x yr i j

0 0cos cos sen senr r r rr i j

10.216,9370 m 33,5360 mr i j

10 km 33 mr i j

O módulo do deslocamento é:

2 2 10.216,9921 mx yr r r

10 kmr

r0

r

r

x

y

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