Problemas Resolvidos

(FATEC) Para a identificação de pacientes com sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os voos

procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de

Infraestrutura Aeroportuária (Infraero).

Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada durante reunião da Anvisa com

representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, na

Grande São Paulo.

(Adaptado de: http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)

Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes)

algumas haviam passado pela cidade do México.

No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto

das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe influenza A.

Considerando verdadeiro esse diagrama, conclui-se que a região sombreada representa o conjunto das pessoas que, de

modo inequívoco, são aquelas caracterizadas como

(A) passageiros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.

(B) passageiros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

(C) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

(D) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México.

(E) tripulantes sem sintomas da gripe que passaram pela cidade do México.

Solução: No diagrama, a região sombreada está fora do conjunto P, logo, não representa passageiros, e sim tripulantes. Como essas pessoas estão dentro do

conjunto A e do conjunto M (dentro do conjunto interseção AÇM), então, a região sombreada representa tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela

cidade do México (alternativa C).

Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham

problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de

imagem é:

(A) 4 000 (B) 3 700 (C) 3 500 (D) 2 800 (E) 2 500

Solução: Resposta na altermativa (B). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o

conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. Começamos sempre colocando o

número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção n(IÇS) = x.

Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue

que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve

eleição para os três cargos em 1989.

A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?

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Solução: Temos que encontrar o menor número (diferente de zero) que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, ou seja, temos que encontrar o Mínimo

Múltiplo Comum de 3, 4 e 6.

Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.

Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90

alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram

somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo

os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos

que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1Ç P2 é o

conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.

Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e

concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram

A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução: Começamos sempre colocando no diagrama o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos

esquecer de descontar os da intersecção

200 - 20 = 180 ;

150 - 20 = 130 ;

100 - 20 = 80 ;

600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;

400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;

300 - 130 - 20 - 80 = 70.

270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

Assim:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ;

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

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