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PROBLEMAS DE OPTIMIZAO

EXTREMOS: MXIMOS E MIMOS

As questes de optimizao esto relacionados com a escolha da melhor alternativa para a resoluo de um problema com base em critrios particulares.

Os critrios de seleco mais usados na maioria das cincias so a maximizao e a minimizao, e.g., maximizao dos lucros de uma empresa, minimizao dos custos para produzir um determinado artigo.

Dada uma funo objectivo ( )xfy = , os extremos podem ser classificados de vrias formas:

Extremos relativos: mximos e mnimos relativos; Extremos absolutos: mximos e mnimos absolutos ou globais. Pode acontecer a no existncia de extremos e.g., funo constante.

TESTE DA 1 DERIVADA

O clculo da 1 derivada ou da derivada de 1 ordem fundamental para determinar os extremos de uma funo ( )xfy = .

Definio:

Diz-se que c um ponto crtico de uma funo f se ( )' 0f c = ou se ( )'f c no existe.

Se um extremo relativo ocorre em 0xx = , ento ou ( ) 00' =xf ou ( )0' xf no existe. Neste 2 caso (ver Figura 1), ambos os pontos A e B representam

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extremos relativos de y, no entanto as derivadas no esto definidas nesses pontos agudos. Daqui para a frente vamos excluir esta situao supondo que ( )xfy = contnua e possui derivadas contnuas.

Na figura 2, A e B representam valores extremos, respectivamente um mnimo e um mximo ( ( ) 01' =xf e ( ) 02' =xf ).

Assim, se a primeira derivada de uma funo ( )xf no ponto 0xx = ( ) 00' =xf , ento o valor da funo nesse ponto ( )0xf : um mximo

relativo, um mnimo relativo, ou ento no nem um mximo nem um mnimo (ponto de inflexo). Quando possui o mesmo sinal em ambos os lados do ponto x0.

Se ( ) 0' >af , ento ( )xf crescente em ax = . Se ( ) 0'

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fcil verificar que ( ) 0' >xf para 2=f . Podemos concluir que o valor estacionrio ( ) 75,15,2 == fCM representa um mnimo relativo e tambm absoluto.

3. Encontre os valores estacionrios das seguintes funes (verifique se so mximos, mnimos ou pontos de inflexo. O domnio IR.

a) 782 2 ++= xxy b) 33 2 += xy

c) 263 2 += xxy d) xxy += 25

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TESTE DA 2 DERIVADA

As derivadas de ordem superior nomeadamente de 2 ordem possibilitam desenvolver critrios alternativos para localizao dos extremos relativos de uma funo.

A derivada de 2 ordem pode ser representada por: ( )xf ' ' ou 2

2

dx

yd .

Se derivar a 2 derivada obtenho a 3 e assim por diante.

Exemplo

( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) 0

96

696

34648

334316

13174

5

4

' ' '

2' '

23'

234

=

=

=

+=

++=

++==

xf

xf

xxf

xxxf

xxxxf

xxxxxfy

Se pretender por exemplo conhecer o valor de ( )xf ' ' no ponto 0, fica ( ) 340 ' ' =f

Se ( ) 0'' >af , ento ( )xf tem concavidade para cima em ax = . Se ( ) 0' '

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Se em

( ) ( ) A ponto 0 0 1' '1'1 = xfxfxx

( ) ( ) B ponto 0 0 2' '2'2 >= xgxgxx

O teste da 2 derivada para um extremo relativo diz que se a primeira derivada de uma funo f no ponto 0xx = ( ) 00' =xf , ento o valor da funo nesse ponto ( )0xf ,

a) um mximo relativo se ( ) 00' ' xf

c) se ( )' ' 0 0f x = , nada se pode concluir

Figura 1

23

Exerccios

5. Achar o extremo relativo da funo ( ) xxxfy == 24 .

Resoluo:

( ) ( ) 8 18 ' '' == xfxxf

Igualando ( )xf ' a 0 e resolvendo a equao resultante, achamos o valor

crtico (nico) 8

1=x que gera o valor estacionrio (nico)

6

1

8

1=

f e

j que a segunda derivada positiva (para todo o x), o extremo achado um mnimo.

6. Achar os extremos relativos da funo ( ) 23 23 +== xxxgy .

Resoluo:

Calculando as 1 e 2 derivadas,

( ) ( ) 66 63 ' '2' == xxgxxxg

Igualando ( )xg ' a 0 e resolvendo a equao quadrtica, obtemos os valores crticos 1x e 2x .

20063 212 === xxxx que por sua vez geram os dois valores

estacionrios ( ) 20 =g (um mximo porque ( ) 060' ' =g )

ESBOO DE GRFICOS

Alguns passos fundamentais a seguir para esboar um grfico:

24

1. A partir de ( )xf , calcular ( )xf ' e ( )xf ' ' .

2. Localizamos em seguida todos os pontos de mximo e mnimo relativos fazendo em seguida um esboo parcial.

3. Estudamos a concavidade de ( )xf e localizamos todos os pontos de inflexo (quando ( ) 0' ' =xf ).

4. Outras propriedades do grfico como por exemplo as interseces com os eixos dos xx e yy.

Exerccios

7. Esboce o grfico de uma funo ( )xf que tenha as seguintes propriedades:

i) ( ) 43 =f ;

ii) ( ) ( ) ( ) 3 para 0 e 03 ,3 para 0 ''' >

25

9. O grfico da funo quadrtica ( ) 24

1 2 += xxxf uma parbola e,

portanto, tem um extremo relativo. Encontre esse ponto e esboce o grfico.

10. Localize todos os extremos relativos no grfico da funo ( ) 53 23 += xxxf . Verifique a concavidade nesses pontos e utilize essa

informao para esboar o grfico de ( )xf .

11. Esboce o grfico de xxxy 533

1 23 += .

12. Esboce o grfico de ( ) 152

3

6

1 23 ++= xxxxf .

QUESTES DE OPTIMIZAO EM FUES COM UMA VARIVEL

Uma das mais importantes aplicaes do conceito de derivada est nos problemas de optimizao, nos quais alguma quantidade pode ser maximizada ou minimizada. Estas aplicaes podem ser utilizadas na maioria das reas do conhecimento e.g., uma companhia area pretende decidir o nmero de voos dirios entre duas localidades para maximizar os lucros; um mdico pretende conhecer a quantidade mnima de droga que produzir o efeito desejado nos seus pacientes; um fabricante precisa determinar a frequncia com que equipamentos devem ser substitudos de forma a minimizar os custos de manuteno.

O objectivo passa por encontrar ou construir uma funo que corresponda a um modelo matemtico para o problema. Depois a partir do grfico dessa funo teremos possibilidade de responder ao problema de optimizao.

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Exerccios

13. Encontre o valor mnimo da funo ( ) 0 para 1924152 23 ++= xxxxxf .

14. Uma pessoa quer plantar um jardim rectangular ao longo de um dos lados da casa e construir uma cerca nos outros trs lados do jardim. Encontre as dimenses do maior jardim que pode ser cercado, utilizando 40 metros de cerca.

Nos anos recentes, as decises econmicas tm sido cada vez mais orientadas pela matemtica. Em face de uma enorme quantidade de dados estatsticos, dependendo de centenas de diferentes variveis, os analistas de negcios e economistas tem recorrido ajuda de mtodos estatsticos para descrever e compreender o que est a acontecer, prever os efeitos das vrias polticas e para decidir estratgias razoveis dentro de um enorme nmero de possibilidades. Entre os mtodos utilizados est o Clculo. Vamos de seguida estudar algumas destas aplicaes do clculo aos negcios e economia.

Estas aplicaes vo estar centradas em torno do que os economistas chamam de teoria da firma. Por outras palavras estudamos a actividade de um negcio ou de toda uma indstria e restringimos a anlise a um perodo de tempo durante o qual as condies bsicas (tais como fornecimento de matria prima, salrios, impostos) podem ser consideradas constantes.

Vamos ainda mostrar como o clculo pode ajudar a administrao de uma firma a tomar decises vitais para a produo.

So utilizadas vrias funes que passo a apresentar:

C(x) = custo para produzir x unidades de um produto

R(x) = facturao gerada pela venda de x unidades de um produto

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P(x) = R(x) C(x) = lucro (ou perda) gerado pela produo e venda de x unidades de um produto.

Exerccios

15. Suponha que a funo custo de um fabricante seja dada por C(x) = ( ) 10005x0,003xx10 236 ++ euros.

Descreva o comportamento do custo marginal.

Esboce o grfico de C(x).

Resoluo:

As primeiras duas derivadas de C(x) so dadas por :

( ) 50,006x - x103 (x)C 26 -' +=

( ) 0,006x106(x)C 6'' =

Vamos em primeiro lugar esboar o grfico de (x)C ' . Do comportamento de (x)C ' , teremos condies de obter o grfico de C(x). A funo custo marginal ( ) 50,006xx103y 26 += tem como grfico uma parbola com abertura para cima. 1.000),0,000006(x(x)Cy ''' == podemos observar que a parbola tem uma tangente horizontal em x= 1000. A coordenada y correspondente

( )( ) ( ) 2563510000,0061000103 26 =+=+

Observando o grfico (x)C ' podemos verificar que no incio o custo marginal diminui, atingindo o seu mnimo de 2 no nvel de produo 1000, aumentando depois. Isto corresponde parte de a) . Vamos agora obter o grfico de C(x). Podemos observar que o grfico de (x)C ' nunca zero logo podemos concluir que no existem extremos relativos.

Como (x)C ' sempre positivo, C(x) sempre crescente.

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Como (x)C ' decrescente para x menor do que 1000 e crescente para x maior do que 1000, temos que C(x) tem concavidade para baixo para x menor do que 1000 e concavidade para cima para x maior do que 1000 e possui um ponto de inflexo em x=1000.

Podemos ver que o ponto de inflexo de C(x) ocorre no mesmo valor de x para o qual o custo marginal mnimo.

A maioria das funes custo marginal tm a mesma forma que a funo custo marginal do exemplo anterior. Para x pequeno, o custo marginal diminui. Entretanto o aumento da produo eventualmente leva a horas-extra, utilizao menos eficiente dos recursos de produo, instalaes antigas e competio por matria prima. Assim vemos que

(x)C ' inicialmente decresce e depois cresce.

Funo facturao De um modo geral num negcio interessa no apenas os seus custos mas tambm a sua facturao. Como vimos R(x) a facturao recebida com a venda de x unidades de algum bem. A derivada (x)R ' chamada de facturao marginal. Os economistas utilizam isso para medir a taxa de aumento da facturao por unidade de aumento das vendas.

16. Se x unidades de um produto so vendidas a um preo p por unidade, ento a facturao total R(x) dado por

R(x) = x.p.

Resoluo:

A equao de procura de um certo produto x2

1-6p = euros. Encontre

o nvel de produo que resulta na facturao mxima.

Neste caso, a funo facturao

R(x) = x.p= 2x2

16xx

2

16x =

euros

A facturao marginal

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x6(x)R ' =

O grfico de R(x) uma parbola com abertura para baixo. Tem uma tangente horizontal no valor de x para o qual 0,(x)R ' = isto , para x=6, o qual resulta numa facturao de 18 euros.

Exerccios

17. Uma Companhia Area oferece passeios tursticos em Lisboa. Um dos passeios, custa 7 euros por pessoa e tem uma procura mdia de 1000 turistas por semana. Quando o preo baixar para 6 euros, a procura semanal sobe para 1200 turistas. Supondo que a equao de procura seja linear, encontre o preo do passeio por pessoa que maximiza a facturao total em cada semana.

Funes Lucro Tendo conhecimento da funo custo C(x) e da funo facturao R(x), podemos obter a funo lucro P(x) de P(x) = R(x) C(x)

Exerccio

18. Suponha que a equao de procura de um comerciante p= 100-0,01x e a funo custo C(x) = 50x+10000. Encontre o valor de x que maximiza o lucro e determina o preo correspondente e o lucro total para este nvel de produo.

19. Refaa o exerccio anterior com a condio que o governo cobra um imposto de 10 euros por unidade.

20. Dada a funo custo C(x) = 1513x6xx 23 ++ , encontre o custo marginal mnimo.

21. A funo facturao de uma firma que produz um nico produto

x8x

1600200R(x)

+=

Encontre o valor de x que resulta na facturao mxima.

30

22. Uma empresa que produz um nico produto estima que a sua funo custo dirio ( ) 15136 23 ++= xxxxC , e a sua funo facturao ( ) xxR 28= . Encontre o valor de x que maximiza o lucro dirio.

23. Para qual x a funo ( ) 24010 xxxg += tem o seu valor mximo?

24. Encontre o valor mximo da funo ( ) 212 xxf = e fornea o valor de x para o qual esse mximo ocorre.

25. Encontre o valor mnimo de ( ) 0,406 23 += ttttf e fornea o valor de t para o qual o mnimo ocorre.

26. Para que t a funo ( ) tttf 242 = tem o seu valor mnimo?