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Universidade de BrasíliaInstituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Problemas de Soma Zero e o NúmeroCrítico

por

Tertuliano Carneiro de Souza Neto

BrasíliaFevereiro de 2007

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Agradecimentos

À minha mãe. Sem a sua presença em minha vida, nada disso seria possível.

À minha noiva Vanessa, pela constante presença e compreensão.

Aos meus irmãos, pelo companheirismo.

Ao professor Hemar Godinho, pela orientação.

Aos colegas da UnB e da UFBA.

Aos professores da UnB e da UFBA que contribuiram para a minha formação.

Ao CNPq, pelo suporte financeiro.

Resumo

Neste trabalho, apresentamos alguns resultados da Teoria Aditiva de Números. Introdu-zimos a idéia de seqüências mínimas com soma zero e a constante forte de Davenport,baseado no trabalho de S. Chapman, M. Freeze e W. Smith [9]. Também estimamos onúmero crítico do grupo Zp (o grupo aditivo dos inteiros módulo p) e da soma diretaZp⊕Zp. Estas estimativas foram obtidas, respectivamente, por Olson [5] e Mann e Olson[7].

Palavras-chaves: sequências mínimas com soma zero, constante forte de Davenport, nú-mero crítico.

Abstract

In this work we present some results of the Additive Number Theory. We introduce theidea of minimal zero-sequences and the strong Davenport constant, based in the paperof S. Chapman, M.Freeze and W. Smith [9]. We also estimate the critical number of thegroup Zp (the additive group of integers modulo a prime p) and of the direct sum Zp⊕Zp.These estimations were obtained by, respectively, Olson [5] and Mann and Olson [7].

Keywords: minimal zero-sequences, strong Davenport constant, critical number.

Sumário

Introdução 1

1 Os teoremas clássicos da Teoria Aditiva 3

1.1 Adição em grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 A e-transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 O teorema de Cauchy-Davenport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 O teorema de Vosper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Seqüências mínimas e a constante forte de Davenport 16

3 Somando elementos em Zp 26

4 Somando elementos em Zp ⊕ Zp 36

Referências Bibliográficas 48

Introdução

O princípio da Teoria Aditiva de Números remonta à Grécia Antiga. Pitágoras e seusdiscípulos já buscavam a compreensão dos números poligonais. Mas os primeiros estudosrealmente significativos só aparecem no século XVIII. O teorema dos quatro quadradosde Lagrange e os teoremas de Gauss e Cauchy são exemplos dos primeiros trabalhos emTeoria Aditiva, embora todos eles ainda abordassem os números poligonais. Em 1770,Edward Waring enuncia, sem provar, que todo número inteiro não-negativo é a soma de,no máximo, quatro quadrados, nove cubos e dezenove quartas potências. Nascia ali oproblema de Waring, um dos mais conhecidos problemas de toda a Teoria dos Números.

Em 1813, Cauchy demonstra o teorema de Cauchy-Davenport, o qual viria a ser de-monstrado, independentemente, por Davenport em 1935, o que explica a curiosa "parce-ria". Este teorema dá um limite inferior para a cardinalidade do conjunto-soma de doisconjuntos de resíduos módulo um primo p. Em 1956, A.G. Vosper classifica todos os paresde conjuntos de resíduos módulo p tais que a cardinalidade do conjunto-soma é menor quea soma de suas cardinalidades. Estes dois importantes teoremas de adição são enunciadose provados no Capítulo 1. Eles serão a base de sustentação do nosso trabalho.

Antes de comentarmos resultados mais recentes, façamos duas definições. Se G é umgrupo abeliano finito, o número crítico de G, denotado por c(G), é o menor s tal que paratodo subconjunto S ⊂ G r {0} de cardinalidade s, é possível obter todo elemento de G

como soma de alguma subseqüência de S. O menor inteiro l tal que toda seqüência deelementos de G de comprimento l possui uma subseqüência com soma zero é denominadoconstante de Davenport.

Desde a sua introdução no universo da Teoria Aditiva, a constante de Davenporttem sido bastante investigada, embora pouco avanço tenha sido obtido no que tangeà determinação precisa de seu valor para grupos arbitrários. A busca por estimativasdesta constante contribuiu para o surgimento da constante relativa e a constante forte

1

Introdução

de Davenport. Esta última é tratada no Capítulo 2, após introduzirmos o conceito deseqüências mínimas com soma zero. Nossa abordagem é baseada no trabalho de Chapman,Freeze e Smith [9].

Erdös e Heilbronn [4] foram os primeiros a estudar o número crítico de um grupo. Elesfizeram uma estimativa para o grupo aditivo dos resíduos módulo um primo p, a qual foisignificativamente melhorada por Olson [5]. Este importante resultado é o objeto centraldo Capítulo 3.

Mann e Olson [7], trabalhando com o número crítico da soma direta Zp⊕Zp, obtiveramum excelente resultado, ao mostrarem que c(Zp ⊕ Zp) = 2p− 1 ou 2p− 2. Este e outrosresultados são provados no Capítulo 4.

2

Capítulo 1

Os teoremas clássicos da Teoria Aditiva

Como o título indica, neste capítulo enunciamos e demonstramos dois teoremas clás-sicos da Teoria Aditiva de Números. São eles o teorema de Cauchy-Davenport (Teorema1.5) e o teorema de Vosper (Teorema 1.11).

Este capítulo segue, basicamente, a bela abordagem feita por Nathanson [1]. Umtratamento alternativo pode ser encontrado em Mann [2].

1.1 Adição em grupos

Seja G = (G, +) um grupo abeliano e A1, A2, . . . , An subconjuntos finitos de G. Defi-nimos o conjunto-soma

A1 + A2 + · · ·+ An = {a1 + a2 + · · ·+ an; ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n}.

Se A, B são subconjuntos de G, definimos o conjunto-diferença

A−B = {a− b; a ∈ A, b ∈ B}.

Não devemos confundir conjunto-diferença com diferença de conjuntos. Dados dois con-juntos A, B sua diferença é o conjunto

A r B = {a ∈ A; a /∈ B}.

3

Capítulo 1. Os teoremas clássicos da Teoria Aditiva

Se c ∈ G e A ⊂ G, definimos

c + A = {c}+ A.

Sejam A, B ⊂ G. Para cada g ∈ G, denotaremos por rA,B(g) o número de representa-ções de g como soma de um elemento de A e outro de B. Dito de outro modo: rA,B(g) éo número de pares ordenados (a, b) ∈ A×B tais que g = a + b.

Lema 1.1. Seja G um grupo abeliano finito e A, B subconjuntos de G tais que

|A|+ |B| ≥ |G|+ t.

Então rA,B(g) ≥ t,∀g ∈ G.

Demonstração: Temos

|G| ≥ |A ∪ (g −B)|= |A|+ |g −B| − |A ∩ (g −B)|= |A|+ |B| − |A ∩ (g −B)|.

Segue que rA,B(g) = |A ∩ (g −B)| ≥ |A|+ |B| − |G| ≥ t.

♦

Lema 1.2. Seja G um grupo abeliano finito e A, B subconjuntos de G, tais que

|A|+ |B| > |G|.

Então A + B = G.

Demonstração: Ponha t = 1 no lema anterior.

♦

O lema acima nos diz que para estudar o conjunto A + B devemos nos ocupar apenascom os subconjuntos A, B de G, tais que |A|+ |B| ≤ |G|.

4


1.2 A e-transformada

Seja (A, B) um par ordenado de subconjuntos não-vazios de um grupo abeliano G.Para cada e ∈ G, definimos a e-transformada de (A, B) como sendo o par (A(e), B(e)) desubconjuntos de G, dados por

A(e) = A ∪ (B + e),

B(e) = B ∩ (A− e).

Em particular, A ⊂ A(e) e B(e) ⊂ B.

O próximo lema coleciona algumas propriedades da e-transformada.

Lema 1.3. Sejam A e B subconjuntos não-vazios do grupo abeliano G. Para cada e ∈ G,a e-transformada de (A, B) satisfaz as seguintes condições:(i) A(e) + B(e) ⊂ A + B;(ii) A(e) r A = e + (B r B(e));(iii) |A(e)|+ |B(e)| = |A|+ |B|, se A e B são finitos;(iv) Se e ∈ A e 0 ∈ B, então e ∈ A(e) e 0 ∈ B(e).

Demonstração: (i) A(e) é o conjunto dos elementos g ∈ G tais que g ∈ A ou g ∈ (B +e).Em qualquer caso, teremos

A(e) + B(e) ⊂ A + B.

(ii)

A(e) r A = (B + e) r A

= {b + e; b ∈ B, b + e /∈ A}= e + {b ∈ B; b /∈ A− e}= e + {b ∈ B; b /∈ B(e)}= e + (B r B(e)).

(iii) Temos |A(e)| − |A| = |A(e) r A|. Usando (ii), teremos

|A(e) r A| = |e + (B r B(e))| = |B r B(e)| = |B| − |B(e)|.

(iv) Segue diretamente da definição.

♦

5


1.3 O teorema de Cauchy-Davenport

Nesta seção, demonstraremos o famoso teorema de Cauchy-Davenport, que dá umlimite inferior exato para a cardinalidade do conjunto-soma de dois subconjuntos de Zp,o grupo aditivo dos resíduos módulo um primo p. Iremos obtê-lo como conseqüência doseguinte teorema, devido à I. Chowla.

Teorema 1.4 (I. Chowla). Seja m ≥ 2 e A, B subconjuntos não-vazios de Zm. Se 0 ∈ B

e (b, m) = 1,∀b ∈ B r {0}, então

|A + B| ≥ min(m, |A|+ |B| − 1).

Demonstração: Pelo Lema 1.2, precisamos provar o teorema apenas para o caso em que|A|+ |B| ≤ m, ou seja,

min(m, |A|+ |B| − 1) = |A|+ |B| − 1 ≤ m− 1.

Se |A| = 1 ou |B| = 1, o teorema está demonstrado. Suponhamos, por contradição,existirem A, B ⊂ Zm tais que min(|A|, |B|) ≥ 2 e |A + B| < |A| + |B| − 1. Esta últimadesigualdade nos diz que A 6= Zm. Escolhamos um par (A, B) de modo que a cardinalidadede B seja mínima. Como |B| ≥ 2, existe um elemento b∗ não-nulo em B. Se a + b∗ ∈ A,para todo a ∈ A, então a + jb∗ ∈ A,∀j = 0, 1, 2, . . . . Como (b∗, m) = 1, por hipótese,então {a + jb∗; j = 0, 1, . . . ,m − 1} = Zm, o que dá A = Zm, uma impossibilidade.Portanto, ∃e ∈ A tal que e + b∗ /∈ A. Aplicando a e-transformada no par (A, B) e usandoo Lema 1.3, obtemos

|A(e) + B(e)| ≤ |A + B| < |A|+ |B| − 1 = |A(e)|+ |B(e)| − 1.

Como e ∈ A e 0 ∈ B, o item (iv) do Lema 1.3 nos diz que 0 ∈ B(e). Além disso,(b, m) = 1,∀b ∈ B(e) r {0}, pois B(e) ⊂ B. Mas b∗ /∈ (A − e) e então b∗ /∈ B(e). Logo|B| > |B(e)|, contradizendo a minimalidade de |B|.

♦

6


Teorema 1.5 (Cauchy-Davenport). Seja p um primo e A, B subconjuntos não-vaziosde Zp. Então

|A + B| ≥ min(p, |A|+ |B| − 1).

Demonstração: Seja b0 ∈ B. Temos 0 ∈ B − b0 e (b, p) = 1, para todo b 6= 0 em B − b0.Usando o teorema anterior, obtemos

|A + B| = |A + (B − b0)|≥ min(p, |A|+ |B − b0| − 1)

= min(p, |A|+ |B| − 1).

♦

Teorema 1.6. Seja n ≥ 2, p um primo e A1, A2, . . . , An subconjuntos não-vazios de Zp.Então

|A1 + A2 + · · ·+ An| ≥ min(p,n∑

i=1

|Ai| − n + 1).

Demonstração: A prova é por indução. O caso h = 2 é o teorema de Cauchy-Davenport.Suponhamos o teorema válido para n subconjuntos de Zp. Novamente, Cauchy-Davenportnos dá

|A1 + A2 + · · ·+ An + An+1| ≥ min(p, |A1 + A2 + · · ·+ An|+ |An+1| − 1)

≥ min(p,n∑

i=1

|Ai| − n + 1 + |An+1| − 1)

≥ min(p,n+1∑i=1

|Ai| − (n + 1) + 1).

♦

Seja n ≥ 2 e k1, . . . , kn inteiros positivos tais que k1 + · · ·+ kn ≤ p + n− 1. Para cadai = 1, . . . , n, defina Ai = {0, 1, . . . , ki − 1} ⊂ Zp. Com isto,

A1 + · · ·+ An = {0, 1, . . . , k1 + · · ·+ kn − n}.

Segue que

|A1 + · · ·+ An| = k1 + · · ·+ kn − n + 1 =n∑

i=1

|Ai| − n + 1.

7


Isso mostra que o resultado do Teorema 1.6 (e conseqüentemente o teorema de Cauchy-Davenport) é o melhor possível.

1.4 O teorema de Vosper

Seja k um inteiro positivo, G um grupo abeliano e g ∈ G um elemento com ordempelo menos k. Uma progressão aritmética de comprimento k é um conjunto da forma

{h + ig; i = 0, 1, . . . , k − 1},

onde h ∈ G. O elemento g é chamado razão da progressão aritmética. Por conveniência,usaremos a clássica notação PA em lugar de progressão aritmética.

Sejam A, B subconjuntos finitos de um grupo abeliano G. O par (A, B) é dito críticose A + B 6= G e |A + B| < |A| + |B|. O problema de classificar os pares críticos de umgrupo arbitrário G é ainda um problema em aberto. Entretanto, A. G. Vosper, em umartigo publicado em 1956, classificou os pares críticos do grupo aditivo Zp, para p primo.Observemos que o teorema de Cauchy-Davenport nos diz que, em Zp, classificar os parescríticos de é o mesmo que determinar os subconjuntos A, B tais que |A+B| = |A|+|B|−1.Nesta seção iremos provar este importante resultado. Para isto, iremos precisar de algunslemas.

Lema 1.7. Sejam A, B subconjuntos de Zp tais que

min(|A|, |B|) ≥ 2

e|A + B| = |A|+ |B| − 1 < p− 1.

Se A é uma PA, então B é uma PA com a mesma razão de A.

Demonstração: Seja |A| = k e |B| = l. Sem perda, podemos supor A = {0, 1, . . . , k− 1}e 0 ∈ B. Seja

B = {b0, b1, . . . , bl−1}.

Para cada j = 0, 1, . . . , l − 1, vamos escolher rj ∈ {0, 1, . . . , p − 1} de modo que

8


bj ≡ rj(mod p). Reordenando os índices, se necessário, podemos supor

0 = r0 < r1 < · · · < rl−1 < p.

Seja rl = p. Com isto, temos a união disjunta

A + B =l−1⊔j=0

{rj, . . . , rj + min(k − 1, rj+1 − rj − 1)} ⊂ Zp.

Assim,

|A + B| =l−1∑j=0

{1 + min(k − 1, rj+1 − rj − 1)} = l +l−1∑j=0

min(k − 1, rj+1 − rj − 1).

Agora, para algum j0 ∈ {0, 1, . . . , l − 1} devemos ter rj0+1 − rj0 − 1 > k − 1. De fato,se fosse rj+1 − rj − 1 ≤ k − 1 para todo j = 0, 1, . . . , l − 1 teríamos

|A + B| = l +l−1∑j=0

(rj+1 − rj − 1) = rl − r0 = p,

o que contraria nossa hipótese. Segue que

k + l − 1 = |A|+ |B| − 1

= |A + B|

= l +l−1∑j=0

min(k − 1, rj+1 − rj − 1)

= k − 1 + l +l−1∑j=0j 6=j0

min(k − 1, rj+1 − rj − 1).

Como k ≥ 2, devemos ter rj+1 − rj − 1 = 0 para todo j 6= j0 em {0, 1, . . . , l − 1}.Se j0 = l − 1, então r0, r1, . . . , rl−1 é uma PA de razão 1.Se j0 6= l − 1, então rl − rl−1 = 1, donde rl−1 = p− 1 e r0 − rl−1 = 1. Assim, a partir derj0+1, os rj’s formam a progressão aritmética

{rj0+1, rj0+1 + 1, . . . , rj0+1 + l − 1}.

9


Em qualquer caso, B é uma PA de razão 1.

♦

Lema 1.8. Seja (A, B) um par crítico em Zp, tal que

min(|A|, |B|) ≥ 2

e|A + B| = |A|+ |B| − 1 < p− 1.

Se D = A + B é o complemento de A + B em Zp, então (D,−A) é um par crítico.

Demonstração: Temos |D| = |A + B| = p− |A + B| = p− |A| − |B|+ 1.

Vamos mostrar que |D − A| = |D|+ | − A| − 1 = p− |B|.

O teorema de Cauchy-Davenport nos dá

|D − A| ≥ min(p, |D|+ | − A| − 1) = p− |B|.

Por outro lado,

(A + B) ∩D = ∅ ⇒ B ∩ (D − A) = ∅ ⇒ (D − A) ⊂ B.

Logo|D − A| ≤ |B| = p− |B|.

♦

Lema 1.9. Seja (A, B) um par crítico em Zp, tal que

min(|A|, |B|) ≥ 2

e|A + B| = |A|+ |B| − 1 < p− 1.

Se A + B é uma PA, então A e B são PA’s com a mesma razão.

Demonstração: Se A + B é uma PA, então A + B também é. Para ver isto, suponha

10


A + B = {a, a + d, . . . , a + nd; a, d ∈ Zp}. O caso d = 0 é trivial. Se d 6= 0, entãoA + B = {a + (n + 1)d, . . . , a + (p− 1)d}.

O lema anterior nos diz que (A + B,−A) é um par crítico. Como A + B é PA, o Lema1.7 nos diz que −A também é PA. Portanto A é uma PA e novamente o Lema 1.7 nos dizque B é uma PA com a mesma razão.

♦

Lema 1.10. Seja (A, B) um par crítico em Zp, tal que |A| ≥ 2, |B| ≥ 3, 0 ∈ B e|A+B| = |A|+ |B|−1 < p−1. Então existe e ∈ A tal que a e-transformada (A(e), B(e))

é um par crítico comA(e) + B(e) = A + B

e2 ≤ |B(e)| < |B|.

Demonstração: Se (A(e), B(e)) é uma e-transformada de (A, B), então usando o item(iii) do Lema 1.3 e o teorema de Cauchy-Davenport, obtemos

|A|+ |B| − 1 = |A(e)|+ |B(e)| − 1 ≤ |A(e) + B(e)| ≤ |A + B| = |A|+ |B| − 1.

Portanto|A(e)|+ |B(e)| − 1 = |A(e) + B(e)| = |A + B|.

Em particular, A(e) + B(e) 6= Zp e |A(e) + B(e)| < |A(e)|+ |B(e)|. Ou seja, (A(e), B(e))

é um par crítico. Mais ainda: A(e) + B(e) = A + B.

Consideremos agora o conjunto X = {e ∈ A; B(e) 6= B} e vamos provar que |X| ≥ 2.Observe que, sendo B(e) ⊂ B, temos |B(e)| < |B|, para todo e ∈ X.

Seja Y = A r X. Se Y = ∅, então |X| = |A| ≥ 2, por hipótese. Se Y 6= ∅ e y ∈ Y ,então

B = B(y) = B ∩ (A− y) ⇒ B ⊂ (A− y) ⇒ (B + y) ⊂ A.

Segue que Y + B ⊂ A. Assim

|A| ≥ |Y + B| ≥ min(p, |Y |+ |B| − 1) = |Y |+ |B| − 1 = |A| − |X|+ |B| − 1.

Logo |X| ≥ |B| − 1 ≥ 2.

11


Resta provar que |B(e)| ≥ 2 para algum e ∈ X. Suponhamos, por absurdo, que|B(e)| ≤ 1, para todo e ∈ X. Como 0 ∈ B e e ∈ A, temos B(e) = 0. Seja B∗ = B r {0}.Então, pela definição de B(e), temos

B∗ ∩ (A− e) = ∅ ⇒ (e + B∗) ∩ A = ∅,∀e ∈ X.

Logo (X + B∗)∩A = ∅. Como X + B∗ ⊂ A + B, temos X + B∗ ⊂ (A + B) r A. UsandoCauchy-Davenport, obtemos

|X|+ |B| − 2 = |X|+ (|B| − 1)− 1 ≤ |X + B∗| ≤ |A + B| − |A| = |B| − 1.

Mas então |X| ≤ 1, uma contradição.

♦

Teorema 1.11 (Vosper). Seja p um primo e A, B subconjuntos de Zp. Suponha queA + B 6= Zp. Então |A + B| = |A| + |B| − 1 se, e somente se, vale pelo menos uma dasseguintes condições(i) min(|A|, |B|) = 1;(ii) |A + B| = p− 1 e B = c− A, onde c = Zp r (A + B);(iii) A e B são PA’s com a mesma razão.

Demonstração: Vamos supor |A + B| = |A| + |B| − 1. Se |A + B| = p − 1, entãoA + B = c, para algum c ∈ Zp, ou seja, B ∩ (c− A) = ∅, donde B ⊂ c− A.

Por outro lado,

p− 1 = |A + B| = |A|+ |B| − 1 ⇒ |B| = p− |A| = p− |c− A| = |c− A|.

Portanto B = c− A.

Se (i) e (ii) não valem, então min(|A|, |B|) ≥ 2 e |A + B| < p− 1. Provemos que A eB são PA’s com a mesma razão, usando indução sobre l = |B|.

Se l = 2, então B é uma PA e o Lema 1.7 nos diz que A é uma PA de mesma razão.Suponhamos l ≥ 3 e que o teorema vale para todos os pares críticos (A, B) com |B| < l.Podemos supor, sem perda, que 0 ∈ B. Pelo Lema 1.10, existe e ∈ A tal que (A(e), B(e))

é um par crítico com A(e) + B(e) = A + B e 2 ≤ |B(e)| < l. Por hipótese de indução,

12


A(e) e B(e) são PA’s com a mesma razão. Portanto, A(e) + B(e) = A + B é uma PA. OLema 1.9 garante que A e B são PA’s com a mesma razão.

Suponhamos agora que min(|A|, |B|) = 1. Então é claro que |A + B| = |A|+ |B| − 1.

Se (ii) vale, então

|B| = |c− A| = p− |A| ⇒ |A|+ |B| = p.

Portantop− 1 = |A|+ |B| − 1 ≤ |A + B| = p− 1.

Finalmente, suponhamos que (iii) seja válido. Seja d 6= 0 a razão comum de A e B.Ponhamos

A = {a + id; i = 0, 1, . . . , k − 1}

eB = {b + id; i = 0, 1, . . . , l − 1}.

Como A + B 6= Zp temos k + l ≤ p, pelo Lema 1.2. Então

A + B = {a + b + id; i = 0, 1, . . . , k + l − 2}.

Segue que |A + B| = k + l − 1 = |A|+ |B| − 1.

♦

Devemos observar que se A e B são subconjuntos de Zp que não são PA’s com a mesmarazão e min(|A|, |B|) 6= 1, então Cauchy-Davenport e Vosper nos diz que

|A + B| ≥ min(p− 1, |A|+ |B|).

Para finalizar, vamos apresentar uma aplicação na qual faremos uso dos teoremas deVosper e Cauchy-Davenport.

Sejam a1, a2, . . . , an elementos não nulos de Zp e k um inteiro positivo tal que

(k, p− 1) <p− 1

2.

13


Seja N o número de resíduos módulo p que podem ser representados pelas expressões daforma

a1xk1 + · · ·+ anx

kn,

onde x1, . . . , xn ∈ Zp. O objetivo é provar que

N ≥ min

{p,

(2n− 1)(p− 1)

(k, p− 1)+ 1

}.

Seja Ak = {xk; x ∈ Zp} e Ad = {xd; x ∈ Zp}, onde d = (k, p−1). Sabemos que existemu, v ∈ Z tais que d = uk + v(p− 1). Então

xd = xukx(p−1)v = (xu)k ∈ Ak.

Por outro lado, como d|k, para algum inteiro r temos

xk = xrd = (xr)d ∈ Ad.

Segue que Ak = Ad e então podemos supor k = (k, p− 1), ou seja, p = ks+1, para alguminteiro s ≥ 3.

Como A∗k = {xk; x ∈ Z∗

p} é um subgrupo de ordem s do grupo multiplicativo Z∗p, temos

|Ak| = s + 1. Além disso, como provado em [3] valem os seguintes fatos:

• N ≡ 1(mod s).

• Ak não é uma PA.

Com isto, vamos provar que N ≥ min{p, (2n− 1)s + 1}. A prova é por indução sobren.

Se n = 1, N = |Ak| = s + 1 = min{p, s + 1}.

Suponhamos n ≥ 2 e o teorema válido para n− 1. Seja

A = {a1xk1 + · · ·+ an−1x

kn−1; x1, . . . , xn−1 ∈ Zp}

eB = {anx

kn; xn ∈ Zp}.

14


Por hipótese de indução, |A| ≥ min{p, (2n − 3)s + 1}. Aplicando Cauchy-Davenport eobservando que |B| = |Ak| = s + 1, obtemos

N = |A + B| ≥ min{p, (2n− 2)s + 1}.

Se N = p, a prova está completa. Se N ≤ p− 1, então N ≥ (2n− 2)s + 1. Vamos usar oteorema de Vosper e concluir que N = (2n− 2)s + 1. De fato:

(i) min{|A|, |B|} 6= 1

(ii) |A + B| 6= p− 1 = ks, pois N ≡ 1(mod s)

(iii) o conjunto Ak, e portanto B, não é uma PA.Logo N ≥ (2n− 2)s + 2. Como N ≡ 1(mod s), concluimos que N ≥ (2n− 1)s + 1. Emqualquer caso

N ≥ min

{p,

(2n− 1)(p− 1)

(k, p− 1)+ 1

}.

Em particular, se n ≥ (k,p−1)+12

, todo resíduo módulo p pode ser expresso na formaa1x

k1 + · · ·+ anx

kn, desde que os ai’s não sejam zero módulo p.

15

Capítulo 2

Seqüências mínimas e a constante fortede Davenport

O início do estudo das seqüências em grupos foi motivado por um resultado de P.Erdös, A. Ginzburg e A. Ziv, publicado em 1961, que afirma que toda seqüência de 2n−1

inteiros possui uma subseqüência com exatamente n inteiros cuja soma é um múltiplo den. Vamos exibir a prova para o caso em que n = p é um primo. A prova no caso geral éfeita por indução e pode ser encontrada em Nathanson [1].

Teorema 2.1. Sejam p um primo e a0, a1, . . . , a2p−2 uma seqüência de inteiros. Entãoexiste uma subseqüência ai1 , ai2 , . . . , aip tal que

ai1 + ai2 + · · ·+ aip ≡ 0(mod p).

Demonstração: Escolha a′i ∈ {0, 1, . . . , p − 1} de modo que a′i ≡ ai(mod p). Podemossupor

0 ≤ a′0 ≤ a′1 ≤ · · · ≤ a′2p−2 ≤ p− 1.

Se a′i = a′i+p−1 para algum i ∈ {1, . . . , p− 1}, então

ai + ai+1 + · · ·+ ai+p−1 ≡ 0(mod p).

Suponhamos então a′i 6= a′i+p−1, para todo i ∈ {1, . . . , p− 1} e definamos

Ai = {ai, ai+p−1} ⊂ Zp.

16

Capítulo 2. Seqüências mínimas e a constante forte de Davenport

Temos |Ai| = 2 para todo i = 1, . . . , p− 1. Aplicando o Teorema 1.6, obtemos

|A1 + A2 + · · ·+ Ap−1| ≥ min{p,p−1∑i=1

|Ai| − (p− 1) + 1} = p.

Segue que A1 + · · ·+ Ap−1 = Zp, ou seja, existem elementos aji∈ Ai tais que

−a0 ≡ aj1 + aj2 + · · ·+ ajp−1(mod p).

Portanto a0 + aj1 + · · ·+ ajp−1 ≡ 0(mod p).

♦

A seqüência0, . . . , 0︸︷︷︸n−1vezes

, 1, . . . , 1︸︷︷︸n−1vezes

mostra que o resultado de Erdös, Ginzburg e Ziv é o melhor possível.

Em 1966, H. Davenport propôs o seguinte problema: dado um grupo abeliano finito,encontrar o menor inteiro positivo s tal que toda seqüência de s elementos do grupo possuiuma subseqüência com soma zero. O inteiro s é denominado constante de Davenport etem sido investigado ao longo desses anos. Apesar disso, seu valor preciso é, em geral,desconhecido.

Neste capítulo, trataremos de seqüências mínimas em um grupo abeliano finito e estu-daremos uma forma forte da constante de Davenport, baseado no trabalho de S. Chapman,M. Freeze e W. Smith [9].

Seja G um grupo abeliano finito e S = (g1, . . . , gt) uma seqüência de elementos de G

(não necessariamente distintos). Se

t∑i=1

gi = 0

diremos que S é uma seqüência com soma zero. Se, além disso, nenhuma subseqüênciaprópria de S tem soma zero, diremos que ela é uma seqüência mínima com soma zero.Denotaremos o comprimento de uma tal seqüência por l(S) e o número de elementosdistintos por d(S).

17


Seja U (G) o conjunto de todas as seqüências mínimas com soma zero em G. SeS ∈ U (G) e ϕ ∈ Aut(G), então

0 = ϕ(0) = ϕ(∑x∈S

x) =∑x∈S

ϕ(x).

Segue que ϕ(S) ∈ U (G).

Seja O(S) = {ϕ(S); ϕ ∈ AutG} a órbita de S em G. É de fácil verificação o fato deque as órbitas determinam classes de equivalência em U (G). Usaremos a notação N(G)

para indicar o número de órbitas.

Consideremos agora o grupo aditivo Zn dos resíduos módulo um inteiro positivo n.Seja S = (g1, . . . , gt) uma seqüência mínima com soma zero em Zn. Para cada i = 1, . . . , t,escolhamos g′i ∈ {0, 1, . . . , n− 1} de modo que gi ≡ g′i(mod n). Diremos então que S temtipo k e denotaremos tipo(S) = k, se

t∑i=1

g′i = kn,

esta última soma considerada em Z. Definimos assim o índice de S como

ind(S) = min{tipo(S ′); S ′ ∈ O(S)}.

O próximo teorema nos diz que existem seqüências mínimas com soma zero cujosíndices são arbitrariamente grandes. Antes de enunciá-lo, façamos mais uma definição.Se S = (g1, . . . , gn) é uma seqüencia em um grupo abeliano finito G, então

∑(S) denotará

o conjunto de todas as somas não-vazias de elementos de S. Dito de outro modo:∑

(S)

é o conjunto de todas as expressões t1g1 + · · · + tngn, onde ti ∈ {0, 1} mas nem todos osti’s são zero.

Teorema 2.2. Seja k ∈ N. Então existe n ∈ N e uma seqüência mínima com soma zeroS ∈ U (Zn), tal que ind(S) > k.

Demonstração: Tome a1 ∈ N e escolha a2 ∈ N tal que a2 > 2a1. Claramente∑({a1, a2}) ∩

∑({2a1, 2a2}) = ∅.

18


Em seguida, escolhamos a3 de modo que a3 > 2a1 + 2a2. Novamente∑({a1, a2, a3}) ∩

∑({2a1, 2a2, 2a3}) = ∅.

Prosseguindo este raciocínio, vamos construir uma seqüência de números naturais {aj}∞j=1

tal que ai >∑i−1

j=1 2aj. A afirmação é que∑({a1, . . . , ai}) ∩

∑({2a1, . . . , 2ai}) = ∅.

A prova é por indução. Suponhamos a afirmação válida para i = t, ou seja, para quaisquersubconjuntos não-vazios I e J de {1, . . . , t}, temos∑

(∪j∈I{aj}) ∩∑

(∪j∈J{2aj}) = ∅.

Suponhamos, por contradição, que existam subconjuntos I e J de {1, . . . , t+1}. PonhamosI ′ = I∩{1, . . . , t} e J ′ = J ∩{1, . . . , t}. Então uma das seguintes igualdades deve ocorrer:(i)

∑j∈I′ aj + at+1 =

∑j∈J ′ 2aj;

(ii)∑

j∈I′ aj =∑

j∈J ′ 2aj + 2at+1;(iii)

∑j∈I′ aj + at+1 =

∑j∈J ′ 2aj + 2at+1.

Como, por definição, at+1 >∑t

j=1 2aj, nenhuma das igualdades acima pode ocorrer. Istoprova a nossa afirmação.

Tomemos l = 2k e seja {ai}li=1 uma seqüência de números naturais como acima.

Escolhendo n >∑l

i=1 2ai, a seqüência

R = (a1, . . . , al, n− 2a1, . . . , n− 2al)

é tal que 0 /∈∑

(R). Para ver isto, suponha que existam subconjuntos I, J ⊂ {1, . . . , l}de modo que ∑

i∈I

ai +∑j∈J

(n− 2aj) ≡ 0(mod n)

ou seja, para algum v ≥ 1, ∑i∈I

ai + n|J | = vn +∑j∈J

2aj.

Se |J | > v, então n ≤ (|J | − v)n ≤∑

j∈J 2aj, o que contradiz a escolha de n.Se |J | < v, então n ≤ (v − |J |)n ≤

∑i∈I ai, outra contradição.

19


Por fim, se |J | = v, então∑

i∈I ai =∑

j∈J 2aj, o que já vimos não poder ocorrer.

Tomemos x ∈ Z de modo que

S = (a1, . . . , al, n− 2a1, . . . , n− 2al, x)

seja uma seqüência com soma zero em Zn.

Suponhamos que existam subconjuntos I, J ⊂ {1, . . . , l} com I∪J 6= ∅ e |I|+ |J | < 2l,tais que

x +∑i∈I

ai +∑j∈J

(n− 2aj) ≡ 0(mod n).

Comox +

∑i∈I∪I

ai +∑

j∈J∪J

(n− 2aj) ≡ 0(mod n)

obtemos ∑i∈I

ai +∑j∈J

(n− 2aj) ≡ 0(mod n),

o que é impossível, pois 0 /∈∑

(R). Segue que S é uma seqüência mínima com soma zeroem Zn.

Seja ϕ ∈ Aut(Zn). Para cada i, provemos que

ϕ(ai) + ϕ(n− 2ai) >n

2.

Se ϕ(ai) > n/2, isto é claro. Se ϕ(ai) ≤ n/2, então como ϕ(ai) + ϕ(−ai) ≡ 0(mod n),obtemos ϕ(−ai) ≥ n/2. Sendo ϕ(n− 2ai) 6= 0, o resultado segue. Finalmente

l∑i=1

[ϕ(ai) + ϕ(n− 2ai)] >ln

2= kn.

Portanto tipo(ϕ(S)) > k para todo automorfismo ϕ de Zn e então ind(S) > k.

♦

20


Corolário 2.3. Ind(S) = 1 para todo S ∈ U (Zn) se, e somente se, n ∈ {2, 3, 4, 5, 7}.

Demonstração: Analisando a demonstração do Teorema 2.2, concluimos que para n ≥ 9,a seqüência

{1, 3, 4, n− 2, n− 6}

é mínima com soma zero e índice maior que 1.

Se n = 8, consideremos a seqüência S = {1, 1, 4, 5, 5}. Claramente, S é uma seqüênciamínima com soma zero em Z8 e tipo(ϕ(S)) > 1, para todo automorfismo ϕ de Z8, dondeind(S) > 1. Em verdade, ind(S) = 2, pois tipo(S) = 2.

Se n = 6, consideremos a seqüência mínima com soma zero S = {1, 3, 4, 4} em Z6.Novamente, ind(S) = 2.

Para o restante da prova, procedemos da seguinte maneira: para n = 2, 3, 4, 5, 7,construimos todas as seqüências mínimas com soma zero em Zn. Então organizamos estasseqüências segundo as órbitas definidas pelos automorfismos de Zn. A seguir, listamosestas órbitas e então concluimos o corolário.

Z2: O(1, 1).

Z3: O(1, 1, 1), O(1, 2).

Z4: O(1, 1, 1, 1), O(1, 3), O(2, 2), O(1, 1, 2).

Z5: O(1, 1, 1, 1, 1), O(1, 4), O(1, 1, 1, 2), O(1, 2, 2).

Z7: O(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), O(1, 6), O(1, 1, 1, 2, 2), O(1, 2, 4), O(1, 1, 1, 1, 1, 2), O(1, 1, 2, 3),O(1, 1, 5), O(1, 1, 1, 4), O(1, 1, 1, 1, 3).

♦

Não é de causar espanto o fato de que, para p primo, o número de seqüências mínimascom soma zero em Zp cresça rapidamente. Uma simples olhada na demonstração docorolário acima nos dá uma noção disto. Menos trivial, porém, é o fato de que o númerode classes de equivalência N(Zp) também cresce rapidamente, como mostra o seguinteteorema.

21


Teorema 2.4. Para um primo p, temos

N(Zp) ≥p2 − 8p + 15

4.

Demonstração: Pelo corolário anterior, temos N(Z2) = 1, N(Z3) = 2 e N(Z5) = 4.Podemos então assumir p ≥ 7. Para cada n ∈ N, 2 ≤ n ≤ p−4, consideremos a seqüênciamínima com soma zero

Sn(x, y) = (1, . . . , 1︸︷︷︸n vezes

, x, y)

onde x, y são inteiros positivos tais que x ≤ y e n + x + y = p.

Se n = 2, temos p−52

seqüências do tipo acima

S2(2, p− 4), S2(3, p− 5), . . . , S2(p− 3

2,p− 1

2).

Olhando para as classes de equivalência definidas pelas órbitas, vemos que as seqüênciasacima são duas a duas não-equivalentes.

Se n = 3, temos novamente p−52

seqüências daquele tipo,

S3(2, p− 5), S3(3, p− 6), . . . , S3(p− 3

2,p− 3

2).

Para n = 4 e n = 5, temos p−72

seqüências

S4(2, p− 6), S4(3, p− 7), . . . , S4(p− 5

2,p− 3

2),

S5(2, p− 7), S5(3, p− 8), . . . , S5(p− 5

2,p− 5

2).

Prosseguimos este raciocínio até n = p − 5 e n = p − 4, casos em que temos apenasuma seqüência do tipo acima, a saber Sp−5(2, 3) e Sp−4(2, 2).

É claro que Sn(x, y) ∈ O(Sm(z, t)) se, e somente se, n = m, x = z e y = t. Portanto

N(Zp) ≥ 1 + 1 + 2 + 2 + · · ·+ p− 5

2+

p− 5

2=

p2 − 8p + 15

4.

♦

22


Para um grupo abeliano finito G, definimos a constante de Davenport D(G) comosendo o menor s ∈ N tal que toda seqüência de elementos de G com comprimento maiorou igual a s contém uma subseqüência com soma zero. Devemos observar que

D(G) = max{l(S); S ∈ U (G)}.

Seja n a ordem de G e S = (x1, x2, . . . , xn) uma seqüência de elementos de G. Paracada i = 1, . . . , n, definamos

αi =i∑

k=1

xk.

Se os αi’s são todos distintos, então claramente 0 ∈∑

(S). Se não, existem i 6= j comαi = αj. Neste caso, a lei do cancelamento novamente nos dá 0 ∈

∑(S). Portanto,

D(G) ≤ n, para todo grupo abeliano finito G de ordem n.

A constante forte de Davenport é definida como

SD(G) = max{d(S); S ∈ U (G)}.

Como d(S) ≤ l(S), é imediato que SD(G) ≤ D(G), para todo grupo abeliano finitoG. O exemplo a seguir mostra que essa desigualdade pode ser estrita.

Se n > 2 é um inteiro, então é claro que

SD(Zn) ≤ n + 1

2.

Por outro lado, D(Zn) = n, pois a seqüência com soma zero

1, . . . , 1︸︷︷︸n vezes

é obviamente mínima.

O próximo teorema mostra que se G é um grupo abeliano finito com pelo menos trêselementos, então é possível extrair uma seqüência mínima com soma zero com todos oselementos distintos e comprimento SD(G).

23


Teorema 2.5. Seja G um grupo abeliano finito com |G| > 2. Então existe uma seqüênciaS ∈ U (G) com

d(S) = l(S) = SD(G).

Demonstração: Se todo elemento de G tem ordem 2, toda seqüência mínima com somazero possuindo três ou mais elementos deve ter, necessariamente, todos os elementosdistintos. Vamos então supor que G tenha um elemento de ordem maior que 2.

Suponhamos que não exista uma seqüência S ∈ U (G) com d(S) = l(S) = SD(G).Vamos escolher

S = (ga11 , . . . , gak

k )

uma seqüência com d(S) = SD(G) = k e l(S) > d(S), de modo que l(S) seja mínimo.Aqui, ai indica o número de vezes que o elemento gi ocorre em S.

Sem perda, suponhamos a1 ≥ 2. Com isto, devemos ter 2g1 ∈ S. De fato, se 2g1 /∈ S,consideremos a seqüência

S ′ = (2g1, ga1−21 , ga2

2 , . . . , gakk ).

É claro que 0 ∈∑

(S ′) ⊂∑

(S), donde S ′ ∈ U (G). Se a1 = 2, então d(S ′) = k el(S ′) = l(S)− 1, o que contradiz a minimalidade de l(S). Se a1 ≥ 3, então d(S ′) = k + 1,já que estamos supondo 2g1 /∈ S. Mas isto contradiz o fato de que SD(G) = k. Portanto,2g1 ∈ S.

Para j = 2, . . . , k, temos g1 + gj ∈ S ou aj = 1. Com efeito, se existir j ≥ 2 comaj ≥ 2 e g1 + gj /∈ S, então

S ′ = (g1 + gj, ga1−11 , ga2

2 , . . . , gaj−1j , . . . , gak

k )

é uma seqüência mínima com soma zero e d(S ′) = k + 1, o que é impossível.

O restante da prova envolve a consideração de dois casos.

• Caso 1 aj = 1 para todo j ≥ 2

Vamos supor, sem perda, 2g1 = g2. Então

S = (ga11 , 2g1, g3, . . . , gk),

24


onde a1 ≥ 2.Se a1 ≥ 3, consideremos a seqüência

S ′ = (ga1−21 , (2g1)

2, g3, . . . , gk).

Então S ′ ∈ U (G), d(S ′) = k e l(S ′) = l(S)− 1, um absurdo!Se a1 = 2, então S = (g2

1, 2g1, g3, . . . , gk). Se g1 + gj /∈ S para algum j ≥ 2, então aseqüência

S ′ = (g1 + gj, g1, 2g1, g3, . . . , gj−1, gj+1, . . . , gk) ∈ U (G)

é tal que d(S ′) = k = l(S ′), uma contradição. Se g1 + gj ∈ S para todo j ≥ 2, entãog1 + g2 = 3g1 ∈ S. Sem perda, ponhamos g3 = 3g1. Então g1 + g3 = 4g1 ∈ S e seguindo oraciocínio, obtemos que S = (g2

1, 2g1, . . . , kg1). Mas então g1 + kg1 ∈ S e como d(S) = k,devemos ter g1 + kg1 = jg1, para algum j ∈ {1, . . . , k}, o que é absurdo!

• Caso 2 aj 6= 1 para algum j ≥ 2

Sem perda, suponhamos a2 6= 1. Pelo que vimos acima, g1 + g2 ∈ S. Vamos assumirg1 + g2 = g3 e consideremos a seqüência

S ′ = (ga1−11 , ga2−1

2 , ga3+13 , . . . , gak

k ).

É claro que S ′ ∈ U (G). Mas, d(S ′) = k e l(S ′) = l(S)− 1, o que é absurdo!Isto conclui a prova.

♦

25

Capítulo 3

Somando elementos em Zp

Seja G um grupo abeliano finito. O número crítico de G, denotado por c(G), é omenor inteiro positivo s tal que

∑(A) = G para todo subconjunto A ⊂ G r {0} com

|A| = s.

A pesquisa do parâmetro c(G) teve início com o trabalho de Erdös e Heilbronn [4], pu-blicado em 1964. Eles provaram que c(Zp) ≤ 3

√6p e, no mesmo trabalho, conjecturaram

que c(Zp) ≤ 2√

p+1. Olson [5] verificou a conjectura ao mostrar que c(Zp) ≤√

4p− 3+1.Este importante resultado é o objeto central deste capítulo.

Se B é um subconjunto não-vazio de Zp, definimos a função λB : Zp → N ∪ {0},dada por λB(x) = |(x + B) ∩ B|, para cada x ∈ Zp. A função λB conta o número derepresentações de um elemento de Zp como uma diferença b− b, onde b ∈ B e b ∈ B.O próximo lema exibe algumas propriedades da função λB.

Lema 3.1. Seja λ = λB, com |B| = k. Então(i) λ(0) = 0;(ii) λ(−x) = λ(x),∀x ∈ Zp;(iii) λ(x + y) ≤ λ(x) + λ(y),∀x, y ∈ Zp

(iv) Se C é um subconjunto de Zp de cardinalidade t e 0 /∈ C, então∑c∈C

λ(c) ≥ k(t− k + 1).

Demonstração: O item (i) é trivial. Eis a prova dos seguintes:

26

Capítulo 3. Somando elementos em Zp

(ii) Como |x + B| = |B| = k, temos |(x + B) ∩B|+ |(x + B) ∩B| = k. Assim

λ(−x) = |(−x + B) ∩B| = k − |(−x + B) ∩B| = k − |B ∩ (B + x)| = λ(x).

(iii)

λ(x + y) = |(x + y + B) ∩B|= |(y + B) ∩ (−x + B)|= |(y + B) ∩ (−x + B) ∩B|+ |(y + B) ∩ (−x + B) ∩B|≤ |(−x + B ∩B)|+ |(y + B) ∩B|= |(x + B) ∩B|+ |(y + B) ∩B|= λ(x) + λ(y).

(iv) Temos ∑c∈C

|(c + B) ∩B| ≤∑x∈Z∗p

|(x + B) ∩B| = k(k − 1).

A última igualdade justifica-se do seguinte modo:

Queremos saber quantos elementos de Z∗p podem ser escritos como a diferença de dois

elementos de B. Agora, se b1 6= b2 são elementos de B, então b1 − b2 6= b2 − b1. Logo,devemos fazer um arranjo de k elementos tomados dois a dois. Portanto,

∑x∈Z∗p

|(x + B) ∩B| = k!

(k − 2)!= k(k − 1).

Segue que ∑c∈C

λ(c) =∑c∈C

|(c + B) ∩B|

=∑c∈C

(k − |(c + B) ∩B|)

=∑c∈C

k −∑c∈C

|(c + B) ∩B|

≥ kt− k(k − 1)

= k(t− k + 1).

♦

27


Lema 3.2. Sejam A1, . . . , Ar subconjuntos de Zp de cardinalidade m > 1. Suponha quenenhum dos Ai seja uma PA, que −Ai = Ai e que 0 ∈ A, para i = 1, . . . , r. Então

|A1 + · · ·+ Ar| ≥ min{p, r(m + 1)− 1}.

Demonstração: A prova é por indução sobre r.

O lema é óbvio se r = 1. Suponhamos o lema válido para r−1. Seja C = A1+ · · ·+Ar.Segue do teorema de Vosper que

|C| ≥ min{p− 1, |A1 + · · ·+ Ar−1|+ |Ar|} ≥ min{p− 1, r(m + 1)− 2}.

Como 0 ∈ A e −Ai = Ai, m é ímpar. Pelo mesmo motivo, |C| é ímpar. Portanto

|C| ≥ min{p, r(m + 1)− 1}.

♦

Lema 3.3. Sejam A, B subconjuntos de Zp, com |A| = n e |B| = k. Suponha que 0 /∈ A,−A = A e A∪ {0} não seja uma PA. Seja t um inteiro tal que 1 ≤ t ≤ p− 1 e ponhamost = r(n + 2) + q, onde −1 ≤ q ≤ n. Seja λ = λB e α = maxa∈A{λ(a)}. Então

α ≥ 2k(n + 2)(t− k + 1)

t(t + n + 6) + q(n− q − 2)(3.1)

eα ≥ 8k(n + 2)(t− k + 1)

4t(t + n + 6) + (n− 2)2(3.2)

Demonstração: Vamos provar (3.1) construindo um subconjunto C ⊂ Zp de cardinali-dade t tal que 0 /∈ C e

∑c∈C

λ(c) ≤ α[t(t + n + 6) + q(n− q − 2)]

2(n + 2)(3.3)

Suponha t ≤ n. Então r = 0 e q = t. Seja C consistindo de t elementos de A. Então∑c∈C

λ(c) ≤ tα, donde vale (3.3).

Suponha agora que t ≥ n + 1. Neste caso, r ≥ 1. Seja A∗ = A ∪ {0}. Para cada

28


j = 1, . . . , r + 1, ponhamosCj = A∗ + · · ·+ A∗︸︷︷︸

j parcelas

.

Pelo Lema 3.2,|Cj| ≥ min{p, j(t + 1)− 1}.

Assim, Cj contém pelo menos min{p− 1, j(n + 2)− 2} elementos não-nulos.

Vamos construir o conjunto C da seguinte maneira: 0 /∈ C, |C| = t e C contém pelomenos j(n + 2)− 2 elementos de cada Cj, 1 ≤ j ≤ r.

Afirmamos que C conterá, no máximo, q + 2 elementos de Cr+1 ∩ Cr. De fato,

|Cr r {0}| ≥ min{p− 1, r(n + 2)− 2}.

Como t = r(n+2)+q ≤ p−1, temos |Cr r{0}| ≥ r(n+2)−2. Mas |C| = t = r(n+2)+q,donde C terá no máximo q + 2 elementos de fora do conjunto Cr.

Agora, se c ∈ Cj r {0}, então c = a1 + · · ·+ av, onde a1, . . . , av são elementos de A e1 ≤ v ≤ j. Segue do item (iii) do Lema 3.1 que

λ(c) ≤v∑

i=1

λ(ai) ≤ vα ≤ jα.

Então ∑c∈C λ(c) ≤ nα + 2(n + 2)α + · · ·+ r(n + 2)α + (q + 2)(r + 1)α

=α

2[r(r + 1)(n + 2) + 2(q + 2)(r + 1)− 4]

=α

2[(r + 1)(t + q + 4)− 4]

=α[t(t + n + 6) + q(n− q − 2)]

2(n + 2).

Com isto, temos que vale (3.3). Por outro lado, o item (iv) do Lema 3.1 nos diz que∑c∈C λ(c) ≥ k(t− k + 1). Portanto

α ≥ 2k(n + 2)(t− k + 1)

t(t + n + 6) + q(n− q − 2),

o que prova (3.1).

29


Para provar (3.2), observemos que q(n − q − 2) ≤ (n − 2)2/4. De fato, se definirmosf(q) = q(n − q − 2), então f ′(q) = 0 se, e só se, q = (n − 2)/2. Como f ′′(q) < 0 temosque f(q) ≤ f(n−2

2). Isto conclui o lema.

♦

Teorema 3.4. Sejam a1, . . . , as elementos não-nulos de Zp tais que ai 6= ±aj se i 6= j.Seja N = |

∑({a1, . . . , as}) ∪ {0}|. Se{

s2 + s ≤ p + 1, se s é par2s2 + 3s ≤ 2p + 5, se s é ímpar

(3.4)

entãoN ≥ 1 +

s(s + 1)

2(3.5)

E em qualquer caso

N ≥

min

{p + 3

2, 1 +

s(s + 1)

2

}, se s é par

min

{p + 3

2,s(s + 1)

2

}, se s é ímpar

(3.6)

Demonstração: Sejam B = B(a1, . . . , as) = {0, a1}+ · · ·+{0, as} e A = {±a1, . . . ,±as}.A prova é dividida em dois casos.

• Caso 1 A ∪ {0} é uma PA

Sem perda de generalidade podemos supor que A ∪ {0} é uma PA de razão 1. Reor-denando os índices, se necessário, podemos supor que

ai ≡ ±i(mod p), i = 1, . . . , s.

Seja x1, . . . , xs uma seqüência em Zp. Então

|B| = |({0, a1}+ x1) + · · ·+ ({0, as}+ xs)| = |{x1, a1 + x1}+ · · ·+ {xs, as + xs}|.

30


Em particular, considerando a seqüência

xi =

{0, se ai ≡ i(mod p)

−ai, se ai ≡ −i(mod p),

obtemos|B| = |{0, 1}+ · · ·+ {0, s}| =

∣∣∣∣{0, 1, . . . ,s(s + 1)

2

}∣∣∣∣ .

Portanto |B| = min

{p, 1 +

s(s + 1)

2

}, o que prova o teorema neste caso.

• Caso 2 A ∪ {0} não é uma PA

Seja λ = λB e α = max{λ(ai)} = max{λ(a), a ∈ A}. Renomeando os índices, senecessário, podemos supor λ(as) = α.

Se s > 1, defina B∗ = B(a1, . . . , as−1). Assim, se b ∈ B e b + as /∈ B, então b /∈ B∗.Segue que

|B| ≥ |B∗|+ |{b ∈ B; as + b /∈ B}| = |B∗|+ |(as + B) ∩B| = |B∗|+ α

Vamos provar (3.5) por indução sobre s. Suponhamos s > 1 satisfazendo (3.4) e

|B∗| ≥ 1 +s(s− 1)

2

Vamos usar o Lema 3.3 para provar que

|B| ≥ 1 +s(s + 1)

2(3.7)

Antes, mostremos que

|B| ≥ s(s + 1)

2

Seja n = |A| = 2s, |B| = k e t = 2k − 2, onde

1 +(s− 1)s

2≤ k ≤ s(s + 1)

2

Então t ≤ p−1 por (3.4) e podemos usar o Lema 3.3. Aplicando a equação (3.2) obtemos

31


α > s− 2, donde α ≥ s− 1. Portanto

|B| ≥ |B∗|+ α ≥ s(s + 1)

2

Para provar (3.7), vamos mostrar que α ≥ s. Para tanto, seja n = 2s, k =s(s + 1)

2e

t =

s2 + s− 2, s par

s2 +3s− 7

2, s ímpar

Como t = r(n + 2) + q, com −1 ≤ q ≤ n = 2s, obtemos

q =

2s, s par3s− 5

2, s ímpar

Usando (3.1), obtemos α > s− 1. Portanto

|B| ≥ 1 +(s− 1)s

2+ s = 1 +

s(s + 1)

2

Isto prova (3.5).

Por fim, provemos (3.6). Se s satisfaz (3.4), não há o que fazer. Seja s0 o menor inteiropositivo que não satisfaz (3.4).

Suponhamos s0 par e

k = |B(a1, . . . , as0)| ≤p + 1

2

Por (3.5),

|B(a1, . . . , as0−1)| ≥ 1 +s0(s0 − 1)

2

Então pondo n = 2s e t = 2k − 2, obtemos como antes α ≥ s0 − 1, donde

|B(a1, . . . , as0)| ≥s0(s0 + 1)

2

Mas então s20 + s0 ≤ p + 1, uma contradição! Segue que

|B(a1, . . . , as0)| ≥p + 3

2

32


o que prova (3.6) neste caso.

Suponhamos agora s0 ímpar. Novamente por (3.5),

|B(a1, . . . , as0−1)| ≥ 1 +s0(s0 − 1)

2

Isto nos dá|B(a1, . . . , as0)| ≥

s0(s0 + 1)

2

e então (3.6) vale para s0. Para finalizar, provemos que

|B(a1, . . . , as0+1)| ≥p + 3

2

Suponhamos

k = |B(a1, . . . , as0+1)| ≤p + 1

2

Novamente, seja n = 2s e t = 2k − 2. Como

k ≥ s0(s0 + 1)

2

vamos obter α ≥ s0 − 1, donde

|B(a1, . . . , as0+1)| ≥s0(s0 + 1)

2+ s0 − 1 =

s20 + 3s0 − 2

2

Se p < s20, então s2

0 + 3s0 > p + 5. Se p ≥ s20, então como 2s2

0 + 3s0 > 2p + 5, obtemoss20 + 3s0 > p + 5. Em qualquer caso,

|B(a1, . . . , as0+1)| ≥p + 3

2

Isto prova (3.6).

♦

Teorema 3.5 (Olson). Sejam a1, . . . , as elementos distintos e não-nulos de Zp, e suponhas >

√4p− 3. Então ∑

({a1, . . . , as}) = Zp

Demonstração: Daremos aqui a prova para o caso em que s ≡ 3(mod 4). A prova nosoutros casos é análoga.

33


Seja

u =s− 1

2, v =

s + 1

2

Renomeando os índices, podemos formar os conjuntos {a1, . . . , au} e {au+1, . . . , as} demodo que ai 6= −aj se i 6= j. Definamos

S = {0, a1}+ · · ·+ {0, au}

eT = {0, au+1}+ · · ·+ {0, as}.

Agora observando que u é ímpar e v é par, o teorema anterior nos dá

|S| ≥ min

{p + 3

2,u(u + 1)

2

}≥ p + 1

2

|T | ≥ min

{p + 3

2, 1 +

v(v + 1)

2

}=

p + 3

2

Se T ∗ = T r {0}, então

|T ∗| ≥ p + 1

2

Usando Cauchy-Davenport, obtemos |∑

({a1, . . . , as})| = |S + T ∗| = p, o que prova oteorema.

♦

O Teorema 3.5 nos diz que c(Zp) ≤√

4p− 3 + 1. Como já mencionamos, este é umresultado devido à Olson [5]. Dias da Silva e Hamidoune [6] melhoraram o resultado deOlson ao obterem c(Zp) ≤

√4p− 7. Mais especificamente: se A ⊂ Zp r {0} é tal que

|A| = b√

4p− 7c, então todo elemento de Zp é uma soma de um subconjunto de A decardinalidade b(|A| − 1)/2c ou b(|A| + 1)/2c. Aqui, bxc simboliza o maior inteiro menorou igual a x. Se b

√4p− 7c é ímpar, este resultado é o melhor possível, como mostra o

exemplo abaixo.

Exemplo 3.6. Suponhamos que para algum inteiro s tem-se b√

4p− 7c = 2s + 1 e sejaA = {−s, . . . ,−1} ∪ {1, . . . , s}. É claro que |A| = b

√4p− 7c − 1, embora

|∑

(A)| = s2 + s + 1 ≤ p− 1.

34


Para finalizar, vamos apresentar uma aplicação do Teorema 3.5.

Corolário 3.7. Seja p um primo e f(x1, . . . , xn) = a1xk1 + · · · + anx

kn, com ai ∈ Z,

i = 1, . . . , n. Suponha que pelo menos 2√

p dos ai’s sejam distintos e não nulos módulop. Então a equação

f(x1, . . . , xn) ≡ 0(mod p)

tem solução não trivial.

Demonstração: Sejam a1, . . . , as os distintos resíduos módulo p. Como, por hipótese,s ≥ 2

√p >

√4p− 3, podemos aplicar o Teorema 3.5. Logo existem t1, . . . , ts ∈ {0, 1},

não todos nulos, tais quea1t1 + · · ·+ asts ≡ 0(mod p).

Tomando ts+1 = · · · = tn = 0, obtemos

f(t1, . . . , tn) = a1tk1 + · · ·+ ast

ks = a1t1 + · · ·+ asts ≡ 0(mod p).

♦

35

Capítulo 4

Somando elementos em Zp ⊕ Zp

O cálculo de c(G) para grupos cuja ordem não é um primo apareceu pela primeira vezem 1967, no trabalho de Mann e Olson [7]. Eles obtiveram a desigualdade

2p− 2 ≤ c(Zp ⊕ Zp) ≤ 2p− 1.

Neste capítulo, iremos provar este e outros importantes resultados. Vamos começar comalguns lemas.

Lema 4.1. Se A = {a0 + λa; λ = 0, 1, . . . , s} = {b0 + λb; λ = 0, 1, . . . , s} é um conjuntode resíduos módulo m com (a, m) = 1 e 1 ≤ s ≤ m− 3, então a ≡ ±b(mod m).

Demonstração: Podemos supor a0 ≡ 0(mod m) e a ≡ 1(mod m). Assim

A = {0, 1, . . . , s} = {b0 + λb; λ = 0, 1, . . . , s}.

Se s = 1, então {0, 1} = {b0, b0 + b}. Assim, ou b0 = 0 e b = 1, ou b0 = 1 e b = −1.Em qualquer caso, a ≡ ±b(mod m).

Suponhamos 2 ≤ s ≤ m− 3. Para algum µ ∈ {0, 1, . . . , s} temos b0 +µb ≡ 0(mod m),logo b0 + λb ≡ (−µ + λ)b(mod m). Como 0 ≤ λ ≤ s, temos −µ ≤ λ− µ ≤ s− µ e então

A = {0, 1, . . . , s} = {λb;−µ ≤ λ ≤ s− µ}.

36

Capítulo 4. Somando elementos em Zp ⊕ Zp

Portanto b ∈ A ou −b ∈ A. Segue que para algum τ ∈ {0, 1, . . . , s} temos

A = {0, 1, . . . , s} = {λc;−τ ≤ λ ≤ s− τ},

onde 1 ≤ c ≤ s e c ≡ ±b(mod m).

Se c > 1, então s+1−c e s+2−c estão em A. Pondo s+1−c = λ1c e s+2−c = λ2c,concluimos que (λ1 + 1)c e (λ2 + 1)c não estão em A, o que dá λ1 = λ2 = s − τ . Masentão s + 1− c = (s− τ)c = s + 2− c, um absurdo!Portanto c = 1 e a ≡ ±b(mod m).

♦

Lema 4.2. Sejam a1, a2, . . . , as resíduos não-nulos e distintos módulo um primo p > 3.Seja A0 um conjunto de resíduos módulo p com |A0| ≥ 2. Consideremos os conjuntos

Ai = {a,i + λai; λ = 0, 1, . . . , ti},

onde 1 ≤ ti ≤ p− 3 e a,i é um resíduo módulo p, i = 1, 2, . . . , s.

Se C = A0 + A1 + · · ·+ As, então

|C| ≥ min{p,s∑

i=0

|Ai| − 2}.

Demonstração: Se s ≤ 2, o resultado segue do Teorema 1.6.

Vamos então assumir s > 2. Se |A0| ≤ p − 2, o Lema 4.1 nos diz que para algumi1 ∈ {1, . . . , s}, A0 e Ai1 não são PA’s com a mesma razão. Em qualquer caso

|A0 + Ai1| ≥ min{p− 1, |A0|+ |Ai1|}.

O Lema 4.1 nos permite seguir o raciocínio acima até que restem somente dois dosconjuntos Ai. Ou seja,

|A0 + Ai1 + · · ·+ Ais−2| ≥ min{p− 1,s−2∑j=0

|Aij |}.

37


Adicionando os dois conjuntos restantes e usando o Teorema 1.6, obtemos

|C| ≥ min{p,s∑

i=0

|Ai| − 2}.

♦

O próximo lema apresenta condições para que os resíduos módulo p possam ser repre-sentados na forma

a1t1 + · · ·+ asts,

onde os ai’s são resíduos não nulos e distintos, e os ti’s obedecem determinadas condições.

Lema 4.3. Sejam a1, a2, . . . , as resíduos distintos e não-nulos módulo um primo p > 3.Sejam k1, k2, . . . , ks inteiros com 1 ≤ ki ≤ p − 1, i = 1, . . . , s e

∑si=1 ki = 2p − 2. Então

todo resíduo módulo p pode ser escrito na forma∑s

i=1 tiai, onde os inteiros t1, t2, . . . , ts

satisfazem:(i) 1 ≤ ti < ki, se ki ≥ 3;(ii) ti = 0 ou 1, se ki ≤ 2;(iii) Se ki = kj = 2(i 6= j), então ti e tj não são ambos nulos;(iv) 2 ≤

∑ti ≤ 2p− 4.

Demonstração: Seja S o conjunto de todas as expressões∑s

i=1 tiai, com os ti satisfazendo(i), (ii) e (iii). Nosso objetivo inicial é mostrar que S = A0 + A1 + · · ·+ Aq+v.

Vamos renomear os índices de modo a terki ≥ 3, se 1 ≤ i ≤ q

ki = 1, se q + 1 ≤ i ≤ q + v

ki = 2, se q + v + 1 ≤ i ≤ q + v + u = s

Para 1 ≤ i ≤ u, sejam bi = aq+v+i e b =∑u

i=1 bi. Definamos

A0 =

{{0}, u = 0

{b, b− b1, . . . , b− bu}, u > 0

e

Ai =

{{ai, 2ai, . . . , (ki − 1)ai}, 1 ≤ i ≤ q

{0, ai}, q + 1 ≤ i ≤ q + v

38


Por (i), 1 ≤ ti < ki para ki ≥ 3, o que dá

q∑i=1

tiai = A1 + · · ·+ Aq. (4.1)

Por (ii), ti = 0 ou 1, se ki = 1, o que dá

q+v∑i=q+1

tiai = Aq+1 + · · ·+ Aq+v. (4.2)

A condição (iii) nos diz que dentre os números tq+v+1, . . . , tq+v+u temos, no máximo, umnulo. Juntando a condição (ii), obtemos

A0 =s∑

i=q+v+1

tiai. (4.3)

Segue de (4.1), (4.2) e (4.3) que S = A0 + A1 + · · ·+ Aq+v.

Como ki = 2 para q + v + 1 ≤ i ≤ q + v + u e ki = 1 para q + 1 ≤ i ≤ q + v, temos

2u + v =s∑

i=q+1

ki.

Segue queq∑

i=1

ki + 2u + v = 2p− 2. (4.4)

Além disso,q + v + u ≤ p− 1. (4.5)

Nosso próximo objetivo é mostrar que S = Zp. A prova será dividida em dois casos.

• Caso 1 u = 0

Pelo Lema 4.2 e a equação (4.4), temos que ou |S| = p ou

|S| ≥q+v∑i=1

|Ai| − 2 =

q∑i=1

ki − q + 2v − 2 = 2p + v − q − 4.

39


Por outro lado, como ki ≥ 3 para 1 ≤ i ≤ q, temos

q∑i=1

ki − q + 2v − 2 ≥ 2q + 2v − 2.

Assim, |S| ≥ 2p + v − q − 4 ≥ 2q + 2v − 2.

Se 2p + v − q − 4 ≥ p ou 2q + 2v − 2 ≥ p, teremos S = Zp. Suponhamos então2p + v − q − 4 ≤ p − 1 e 2q + 2v − 2 ≤ p − 1. Somando estas últimas desigualdades,obtemos

q + 3v ≤ 4.

Assim, ou q ≤ 1 ou 2 ≤ q ≤ 4 e v = 0.

Suponhamos q ≤ 1. Se q = 0, então v ≤ p − 1 por (4.5), o que contradiz (4.4). Seq = 1, então v ≤ p− 2, o que novamente contradiz (4.4), pois k1 ≤ p− 1, por hipótese.

Suponhamos agora v = 0 e 2 ≤ q ≤ 4. Se q = 3, podemos supor a1 6= ±a2. Se q = 4,podemos supor a1 6= ±a2 e a3 6= ±a4. Segue do Lema 4.1 que A1, A2 e A3, A4 não sãoPA’s com a mesma razão. Como |Ai| > 1 para 1 ≤ i ≤ q, temos que

|A1 + A2| ≥ min{p− 1, |A1|+ |A2|}

e|A3 + A4| ≥ min{p− 1, |A3|+ |A4|}.

Segue que ou |S| = p ou

|S| ≥q∑

i=1

|Ai| − 1 =

q∑i=1

ki − q − 1 = 2p− q − 3 ≥ 2q − 1.

Como p > 3, devemos ter 2p− q − 3 ≥ p ou 2q − 1 ≥ p, o que conclui a prova neste caso.

• Caso 2 u ≥ 1

Pelo Lema 4.2, ou |S| = p ou

|S| ≥q+v∑i=0

|Ai| − 2 = u +

q∑i=1

ki − q + 2v − 1 = 2p− q − u + v − 3 ≥ 2q + u + 2v − 1.

40


Se 2p − q − u + v − 3 ≥ p ou 2q + u + 2v − 1 ≥ p, não há o que fazer. Suponhamosentão 2p − q − u + v − 3 ≤ p − 1 e 2q + u + 2v − 1 ≤ p − 1. Somando estas últimasdesigualdades, obtemos

q + 3v ≤ 2,

o que dá v = 0.

Se q = 0, então |S| = |A0| = u + 1 = p, por (4.4).

Se q = 1, então S = A0 + A1. Como

|A0|+ |A1| − 1 = u + k1 − 1 = 2p− u− 3 ≥ p,

então Cauchy-Davenport nos dá |S| = p.

Agora o caso q = 2. Se A0 é uma PA, digamos A0 = {a0, a0 + a, . . . , a0 + ua}, entãopara algum inteiro λ, temos a0 + λa = b. Para algum i, ou a0 + (λ − 1)a = b − bi oua0 + (λ + 1)a = b − bi. Portanto, se A0 for uma PA, sua razão deve ser ±bi. Comobi = ai+2, ou A0, A1 ou A0, A2 não são PA’s com a mesma razão. Logo ou |S| = p ou

|S| ≥ |A0|+ |A1|+ |A2| − 1 = k1 + k2 + u− 2 = 2p− u− 4 ≥ p.

Isto prova o caso 2.

Para finalizar, vamos provar que t1, . . . , ts satisfazem a condição (iv). Claramente,∑si=1 ti ≥ 2. Se u ≥ 1, então

s∑i=1

ti <

q∑i=1

ki + u + v = 2p− 2− u ≤ 2p− 3.

Se u = 0 e q ≥ 2, usamos (4.4) para obter

s∑i=1

ti ≤q∑

i=1

ki − q + v = 2p− 2− q ≤ 2p− 4.

♦

Analisando a demonstração do Lema 4.3, não é difícil verificar que ele continua válidose

∑si=1 ki = 2p− 1 e a condição (iv) for 2 ≤

∑ti ≤ 2p− 3.

41


Lema 4.4. Seja S = {a1, a2, . . . , ar} um subconjunto de Zp. Para 1 ≤ t ≤ r, seja

St = {ai1 + ai2 + · · ·+ ait ; 1 ≤ i1 < i2 < · · · < it ≤ r}.

Então |St| ≥ r.

Demonstração: Se t = 1 ou r = p, o lema é trivial. Suponhamos r ≤ p− 1.

Para o caso t = 2, suponhamos a1 < a2 < · · · < ar e ponhamos

B1 = {a1 + a2, a1 + a3, . . . , a1 + ar}

eB2 = {a2 + a1, a2 + a3, . . . , a2 + ar}.

Então B1 6= B2, pois, caso contrário, teríamos

(r − 1)a1 + a2 + · · ·+ ar = (r − 1)a2 + a1 + a3 + · · ·+ ar

e então a1 = a2, o que é absurdo! Portanto, |S2| ≥ r.

Se r = 4 ou 5, é fácil verificar que |St| ≥ r, para t = 3 ou 4. Portanto, se 1 ≤ t < r ≤ 5,o lema está demonstrado.

Suponhamos t ≥ 3 e r ≥ 6. O resto da prova é por indução. Como |Sr−1| = |S1|,podemos assumir t < r − 1. Sendo r ≥ 6, podemos supor que {a1, a2, a3} não é uma PA.Então A = {a1 + a2, a1 + a3, a2 + a3} não é uma PA. Seja

S∗ = {a4, a5, . . . , ar}.

Por indução, |S∗t−2| ≥ r − 3. Portanto o teorema de Vosper nos dá

|St| ≥ |A + S∗t−2| ≥ min{p− 1, r} = r.

♦

42


Teorema 4.5. Seja G = Zp ⊕ Zp e S um subconjunto de G possuindo 2p − 1 elementosnão-nulos. Então ∑

(S) = G.

Além disso, para p > 3, todo elemento α ∈ G tem a forma

α =∑β∈Tα

β

onde Tα é um subconjunto de S com 1 < |Tα| < 2p− 2.

Demonstração: Se p ≤ 3, o teorema é trivial. Vamos supor p > 3.

Cada elemento não trivial de G gera um subgrupo de ordem p. Portanto ele possui

p2 − 1

p− 1= p + 1

subgrupos próprios não-triviais cuja intersecção é trivial. Como S não pode conter doiselementos de cada um destes subgrupos, vamos assumir que o resíduo 0 ocorre no máximouma vez como uma primeira entrada nos pares de S.

Sejam a1, a2, . . . , as as primeiras entradas não-nulas e distintas que ocorrem nos ele-mentos de S. Se ki é o número de vezes que cada ai aparece, então 1 ≤ ki ≤ p e∑s

i=1 ki = 2p− 2 ou 2p− 1. Para i = 1, . . . , s, seja

Bi = {b; (ai, b) ∈ S}.

É claro que |Bi| = ki.

A prova agora é dividida em dois casos.

• Caso 1 ki ≤ p− 1 para todo i = 1, . . . , s

Seja (x, y) ∈ G. Vamos mostrar que (x, y) ∈∑

(S).

Pelo Lema 4.3,

x =s∑

i=1

tiai,

onde os ti satisfazem:

43


(i) 1 ≤ ti < ki, se ki ≥ 3;(ii) ti = 0 ou 1, se ki ≤ 2;(iii) Se ki = kj = 2(i 6= j), então ti e tj não são ambos nulos;(iv) 2 ≤

∑ti ≤

∑si=1 ki − 2.

Vamos renomear os índices de modo a ter

ti ≥ 1, se 1 ≤ i ≤ k e ti = 0, se i > k.

Com isto, x =∑k

i=1 tiai. Além disso, a condição (iii) nos diz que, para i > k, só podemoster, no máximo, um dos ki igual a 2. Como s ≤ p− 1, obtemos

s∑i=k+1

ki ≤ s− (k + 1) + 2 ≤ p− k.

Portantok∑

i=1

ki ≥

{p + k − 1, se

∑si=1 ki = 2p− 1

p + k − 2, se∑s

i=1 ki = 2p− 2(4.6)

Para cada i = 1, . . . , k seja Ei o conjunto das somas de ti elementos do conjunto Bi.Pelo Lema 4.4,

|Ei| ≥ ki.

Definamos

D =

{E1 + · · ·+ Ek, se (0, b) /∈ S

E0 + E1 + · · ·+ Ek, se (0, b) ∈ S

onde E0 = {0, b}.

Como x =∑k

i=1 tiai, é agora suficiente mostrar que y ∈ D. Se (0, b) /∈ S, então∑si=1 ki = 2p− 1, donde por (4.6),

k∑i=1

|Ei| ≥k∑

i=1

ki > p + k − 1.

Se (0, b) ∈ S, então∑s

i=1 ki = 2p− 2 e

k∑i=0

|Ei| ≥ 2 +k∑

i=1

ki ≥ p + k.

44


Em qualquer caso, o Teorema 1.6 nos dá |D| = p e então y ∈ D. Além disso, a condição(iv) nos diz que (x, y) é escrito como a soma de r elementos, com 1 < r < 2p− 2.

• Caso 2 ki = p para algum i

Sem perda, suponhamos k1 = p, ou seja,

S1 = {(a1, 0), (a1, 1), . . . , (a1, p− 1)} ⊂ S.

Se x 6= 0, então (x, y) ∈∑

(S1). Tomando então (a2, b) ∈ S, obtemos todo elementode G como soma sobre algum subconjunto de S1 ∪ {(a2, b)}. Mais ainda, todo elementode G pode ser escrito como soma sobre algum subconjunto Tα ⊂ S, onde

1 < |Tα| ≤ p + 1 < 2p− 2.

Isto conclui a prova do teorema.

♦

Para p ≥ 3, seja

S = {(1, 1), (2, 2), . . . , (p− 1, p− 1), (0, 1), (1, 2), . . . , (p− 3, p− 2)}.

Temos |S| = 2p − 3, mas nenhum elemento da forma (x, x − 1) pode ser escrito como asoma de um subconjunto de S. Para ver isto, observe que (x, x− 1) = (x, x + p− 1). Poroutro lado, ao somarmos elementos de S, só podemos obter elementos do tipo (x, x + a),com 0 ≤ a ≤ p− 2.

Este exemplo, junto com o Teorema 4.5, mostra que c(Zp ⊕ Zp) = 2p − 1 ou 2p − 2.Este é, essencialmente, o resultado de Mann e Olson [7], publicado em 1967. Somente em1986 é que Mann e Wou [8] conseguem obter o valor preciso do número crítico c(Zp⊕Zp),a saber 2p− 2, se p > 3.

45


Corolário 4.6. Seja p > 2 um primo e S um subconjunto de Zp ⊕ Zp com |S| = 2p− 2.Então

0 ∈∑

(S).

Demonstração: Se p = 3, o teorema é trivial. Vamos assumir p > 3 e suponhamos que0 /∈

∑(S). Seja α a soma de todos os elementos de S. É claro que α /∈ S. Seja

Sα = S ∪ {α}.

Com isto, |Sα| = 2p− 1 e α não pode ser escrito como a soma de r elementos de Sα, onde1 < r < 2p− 2, o que contradiz o Teorema 4.5.

♦

Teorema 4.7. Seja H um subgrupo de G = Zp⊕Zp de ordem p e consideremos a seqüência

α1, α2, . . . , α2p−1 (4.7)

de elementos de G. Suponhamos que

αi ∈ H, se 1 ≤ i ≤ p− 1

αi /∈ H, se p ≤ i ≤ 2p− 2

EntãoG =

∑({α1, α2, . . . , α2p−1}).

Demonstração: Pelo Teorema 1.6

|{0, α1}+ {0, α2}+ · · ·+ {0, αp−1}| = p.

Portanto, todo elemento de H, exceto possivelmente o zero, ocorre como uma soma deuma subseqüência de α1, . . . , αp−1.

Por hipótese, αi /∈ H, para p ≤ i ≤ 2p − 2. Olhando agora para o grupo quocienteG/H e observando que

|{0, αp}+ · · ·+ {0, α2p−2}+ {α2p−1}| = p,

46


concluimos que toda classe lateral de H em G possui um elemento que é soma de umasubseqüência de αp, . . . , α2p−1. Vamos usar este fato para concluir o teorema.

Temos que 0 ∈∑

({α1, α2, . . . , α2p−1}). Para ver isto, observe que 0 ∈ a + H, ondea ∈

∑({αp, . . . , α2p−1})∩H. Se a = 0, a afirmação segue. Se não, pelo que fizemos acima,

−a ∈∑

({α1, . . . , αp−1}). Novamente o resultado segue.

Para finalizar, seja x ∈ GrH. Então x ∈ y +H, onde y ∈∑

({αp, . . . , α2p−1}). Segueque x ∈

∑({α1, α2, . . . , α2p−1}).

♦

47

Referências Bibliográficas

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[2] H. B. Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Groups Theory andNumber Theory. Wiley-Interscience, New York, 1965.

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[4] P. Erdös and H. Heilbronn. On the addition of residues classes mod p. Acta Arith.9, 149-159, 1964.

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