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Problema de TransporteMÉTODOS QUANTITATIVOS DE GESTÃO

MQG

Aula 3

Problemas de Rede

2

Fatec Zona Leste | MQG | Prof Celio Daroncho |

Problemas de Rede✓ Os problemas modelados como redes devem apresentar números

associados aos nós e aos arcos

✓ O significado de cada valor irá variar de acordo com o tipo de problema com o qual queremos encontrar uma solução

✓ No caso de problemas de transportes modelados como redes, os números associados aos nós podem representar a quantidade de produto ofertada ou demandada pelo nó

✓ No caso dos valores dos arcos podem refletir o custo do transporte, ou o tempo ou a distancia entre um nó e outro, por exemplo

Aula 03 - Problema de Transporte 3


Problemas de Rede✓ Problemas de rede de distribuição são problemas que consideram

múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por onde os produtos passam

✓ Os problemas de transporte podem ser vistos como uma simplificação do problema de rede de distribuição de custo mínimo, onde as localizações intermediárias não existem


Problema de Transporte

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Problema de Transporte✓ Transportar itens de centros de origens a centros de destinos

✓ São dados conhecidos do problema:✓ O custo de transporte de cada item

✓ As quantidades dos itens disponíveis em cada centro

✓ Demandas de cada consumidor

✓ O transporte deve ser efetuado de modo que as limitações de oferta em cada centro seja respeitada e a demanda de cada mercado atendida e o custo total de transporte seja mínimo

✓ Ferramenta para tomada de decisão



Modelo do Problema✓ Na elaboração do modelo, devemos considerar✓ n° de unidades transportadas da fonte i para o destino j como sendo

variável 𝒙𝒊𝒋✓ n° total de unidades transportadas, a partir da fonte i, deve ser igual à

capacidade ai da fonte

✓ n° total de unidades transportadas, para o destino j, deve ser igual à sua capacidade de absorção bj



Grafo do Problema



Equacionamento do Problema✓ Minimizar

✓ Sujeito a


𝑧 =

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑐𝑖𝑗, 𝑥𝑖𝑗

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 (𝑖 = 1,2,……𝑚)

𝑥1, 𝑥2,.............,𝑥𝑛 ≥ 0

𝑗=1

𝑛

𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 (𝑗 = 1,2,……𝑚)


Equacionamento do Problema✓ Para que o problema tenha solução, deve-se verificar a seguinte

equação de balanço

OFERTA = DEMANDA


𝑖=1

𝑚

𝑎𝑖 =

𝑗=1

𝑛

𝑏𝑗

Problema de TransporteEXEMPLO

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Exemplo Enunciado✓ Uma indústria metalúrgica possui dois centros de produção e três

mercados consumidores✓ m = 2

✓ n = 3

✓ Considerando que:✓ xij é a quantidade do produtos a serem enviados dos centros de

produção i aos mercados consumidores j

✓ cij é o custo unitário do transporte de uma atividade de produto do centro de produção i ao mercado consumidor j



Exemplo Grafo


F1-800+5004

+400

2

4+900

-1.000 5

117

F2

D1

D2

D3


Exemplo Tabela


D1 D2 D3 Disponibilidade

F1 4 2 5 800

F2 11 7 4 1.000

Demanda de mercado (bj)

500 400 900 1.800


Exemplo Função✓ Minimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥12, 𝑥23 )

𝑧 = 4𝑥11 + 2𝑥12 + 5𝑥13 + 11𝑥21 + 7𝑥22 + 4𝑥23


F1-800+5004

+400

2

4+900

-1.000 5

117

F2

D1

D2

D3


Exemplo Restrições✓ Capacidade das fontes:

✓ 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 = 800

✓ 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 1.000

✓ Capacidade das destinos: ✓ 𝑥11 + 𝑥21 = 500

✓ 𝑥12 + 𝑥22 = 400

✓ 𝑥13 + 𝑥23 = 900

✓ Não negatividade: ✓ 𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥23 ≥ 0


F1-800+5004

+400

2

4+900

-1.000 5

117

F2

D1

D2

D3


Exemplo Modelo matemático✓ Minimizar: 𝑧 = 𝑓(𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥12, 𝑥23 )

𝑧 = 4𝑥11 + 2𝑥12 + 5𝑥13 + 11𝑥21 + 7𝑥22 + 4𝑥23

Restrições: capacidade das fontes: 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 = 800

𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 1.000

capacidade das destinos: 𝑥11 + 𝑥21 = 500

𝑥12 + 𝑥22 = 400

𝑥13 + 𝑥23 = 900

não negatividade: 𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥21, 𝑥22, 𝑥23 ≥ 0



Exemplo Solução Ótima


D1 D2 D3 Fabricado Capacidade

F1 500 300 0 800 800

F2 0 100 900 1.000 1.000

Entregue 500 400 900 1.800

Demanda 500 400 900 1.800

Problema de TransporteAPLICAÇÃO DO MÉTODO SIMPLEX

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Obtenção de uma solução viávelMétodo do canto noroeste (N-W)

Método do mínimo da matriz de custos

Método de Vogel


Método SimplexCANTO NOROESTE (NW)

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Canto NW✓ À partir da tabela de transporte, a variável básica escolhida é, em

cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome de canto NW (NorthWest)

✓ A primeira variável básica escolhida será sempre x11, depois que tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1, será escolhida como variável básica x12 ou x21 respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas

✓ Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o fato de não considerar os custos envolvidos


Canto Noroeste EXEMPLO

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Exemplo Enunciado✓ O grupo CVB, um grande fabricante de autopeças, têm 3 Fábricas e

conta com 4 Centros de Distribuição, localizados em cidades estratégicas, para atender a demanda dos seus produtos manufaturados para diversas montadoras.

✓ Conhencendo os custos de transporte e a capacidade de produçao, tanto em termos de cada fábrica bem como dos centros de distribuição, desenvolva uma proposta de otimização (minimizar custos) de entregas diárias ao CD´s de modo a atender a solicitação das montadoras conforme grafo a seguir



Exemplo Grafo


7

11

12

9

14

13

17

12

4

8

6

1

F1 = 1.200

F2 = 800

F3 =1.000

CD1 = 800

CD2 = 700

CD3 = 600

CD4 = 900


𝑍 = 800 × 7 + 400 × 11 + 300 × 13 + 500 × 17 + 100 × 6 + 900 × 8 = 30.200

CD1 CD2 CD3 CD4 Oferta

F1 800 400 0 0 1.200

F2 0 300 500 0 800

F3 0 0 100 900 1.000

Demanda 800 700 600 900 3.000

Exemplo Tabela Canto NW


7

14

1 4

13

11

6

17

12 9

12

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Método SimplexCUSTO MÍNIMO

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Custo Mínimo✓ A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor

custo (em caso de empate a escolha é arbitrária)

✓ A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante relativo ao que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas

✓ Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima que o método anterior, já que são considerados os custos de transporte envolvidos


Custo MínimoEXEMPLO

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𝑍 = 800 × 1 + 300 × 11 + 200 × 13 + 200 × 4 + 600 × 17 + 900 × 9 = 25.800

CD1 CD2 CD3 CD4 Oferta

F1 0 300 0 900 1.200

F2 0 200 600 0 800

F3 800 200 0 0 1.000

Demanda 800 700 600 900 3.000

Exemplo Custo Mínimo


7

14

1 4

13

11

6

17

12 9

12

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ExercícioESTE É COM VOCÊS

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Exercício✓ A Empresa Beta SA é um fabricante de eletrodomésticos que possui fabricas

localizadas em São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. A produção da empresa deve entregar produtos em CD´s localizados em Recife, Betim, Itatiaia, Novo Hamburgo e Salvador. A Empresa fez orçamento com duas transportadoras denominadas A e B. Considerando os custos de frete unitário oferecidos pelas duas transportadoras, a capacidade de produção das fábricas e a demanda dos centros consumidores, determine quanto deve ser entregue por fabrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte. Utilize as tabelas a seguir como referencia.

✓ Avalie pelos métodos de Canto noroeste e do custo mínimo.

✓ Compare os resultados e defina qual transportadora deve ser escolhida.



Exercício Transportadora A

A Recife Betim ItatiaiaNovo

HamburgoSalvador Oferta

SP 3.000

RJ 2.100

BH 2.800

Demanda 1.900 2.400 1.850 1.150 600


10

15

12

15

13

7

12

12

7

17

20

14

16

16

15


Exercício Transportadora B

B Recife Betim ItatiaiaNovo

HamburgoSalvador Oferta

SP 3.000

RJ 2.100

BH 2.800

Demanda 1.900 2.400 1.850 1.150 600


12

16

11

14

12

8

11

12

9

18

18

12

15

16

12

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