econometria cap13 autocorrelacao - unicamp...teorema de gauss-markov definição análise gráfica...

AutocorrelaçãoEconometria

Alexandre Gori Maia

Bibliografia Básica:- Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 13.

Ementa:• Definição;• Identificação: Análise Gráfica, teste t, Durbin-Watson, Breusch-Godfrey;• Correção: MQG e MQGF;• Estimadores Robustos para a Variância;

Teorema de Gauss-MarkovDefinição Análise

Gráfica Teste t Durbin-Watson

Breusch-Godfrey MQG MQGF Estimador

Robusto

1) Relação linear entre os regressores x e Y: O modelo só é válido para relações lineares.

2) Os valores de x são fixos em repetidas amostras, não aleatórios:Quem varia é o regressando, o regressor é fixo, qualquer que seja a amostra. Em outras palavras, dados os valores controlados de x, Y variará aleatoriamente segundo uma distribuição de probabilidade, com valor esperado dado por E(Y|x).

3) Esperança condicional dos erros igual a zero, ou seja, E(e|x)=0: É a mesma coisa afirmar que E(Y|x)=xi´b.

4) A variabilidade dos erros é constante, ou seja, E(ei2)=s2

Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é uma constante.

5) Os erros são não autocorrelacionados, ou seja, E(eiej)=0: Não há relação entre valores dos erros.

Autocorrelação - Definição

Não Autocorrelacionado

Definição:Autocorrelação significa a associação entre os valores de uma mesma variável, por exemplo. É comum quando os valores podem ser ordenados no tempo (com dados de séries temporais) ou no espaço (com dados espaciais). No contexto da regressão para dados de séries temporais, há autocorrelação nos erros quando:

0)(),( ¹= -+ sttstt eeEeeCov

Autocorrelacionado

Sendo que o tipo mais comum de autocorrelação aquele dado por um processo o autorregressivo de 1ª ordem, AR(1):

ttt uee += -1r r é o coeficiente de autocorrelação dos erros (-1 < r < 1) e ut são os erros independentes.

e

t

0)( =-stteeE e

t

0)( ¹-stteeE

Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-

WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador

Robusto

Autocorrelação - CausasPrincipais causas da autocorrelação:

- Inércia: séries econômicas costumam apresentar ciclos, ou seja, períodos de crescimento ou decaimento. Quando esse comportamento se reflete nos fatores não observados (et), é comum que mudanças na tendência ocorreram lentamente.

- Falhas de especificação: a autocorrelação pode ser devida à ausência de um regressor ou falha na especificação da forma funcional. Os erros expressariam, assim, um padrão sistemático devido à ausência dessas informações.

- Defasagens: as decisões econômicas em um período t dependem, muitas vezes, de informações defasadas do período t–1. Desconsiderar esse tipo de relação sujeitaria os erros à correlação serial.

ttt uee += -1rttt eXY ++= ba

ttt eXY ++= batttt eXXY +++= 2

21 bba

ttt eXY ++= batttt eXXY +++= -121 bba

tttt eXYY +++= - bda 1ou



Robusto

Autocorrelação - ConsequênciasDefinição Análise



Robusto

Ineficiência dos Estimadores de MQONa presenção de autocorrelação nos erros, os estimadores de MQO continuam sendo não viesados e consistentes, mas deixam de ser eficientes (ou seja, não possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de MQO, então existe outro estimador b* tal que:

Não Autocorrelacionado

Y

X

Intervalo de Variação das

estimativas de MQO


estimativas de outro método

Autocorrelacionado

Y

X


estimativas de MQO


estimativas de um método

mais eficiente

)ˆ(*)ˆ( bb VarVar <

^^

Autocorrelação - Consequências

0)( =-stteeE

å =

= n

t txVar

12

2

)ˆ( sb

tstt uee += -r

åååå

-

=

-

=+

==

+=1

1 11

2

2

12

2

2)ˆ(n

t

tn

sstt

sn

t in

t i

xxxx

Var rss

b

Seja o modelo: tt10t eXY ++= bb

Pelo MQO:åå

=

== nt

2t

n

t tt1

x

yx

1

1b eå =

= n

t2tx

S1

1

22ˆ

sb

Na presença de autocorrelação:

Na ausência de autocorrelação:

não viesado na ausência de autocorrelação e viesado na presença de autocorrelação

2)( s=teVar

2

2

1)(

rs-

=teVar 2

2

1),(

rsr-

=+s

stt eeCov

0),( =+stt eeCov

e



Robusto

Tendenciosidade da Variância dos Estimadores:Outra importante consequência da autocorrelação é o viés do estimador da variância de !", mesmo para amostras grandes (inconsistência). Como resultado, as estatísticas de teste t e F deixam de ser válidas, pois dependem da variância do estimador. Em outras palavras, na presença de autocorrelação teremos:

)ˆ()( 2ˆ bb VarSE ¹

IdentificaçãoPrincipais testes para se detectar a autocorrelação:

Análise gráfica: ê ´ t

Teste t: regressores estritamente exógenosIdentificação

Testes Estatísticos

Durbin-Watson: MCRL

Breusch-Godfrey: autocorrelação com ordem superior a 1



Robusto

Análise Gráficaê

0

Ausência de Autocorrelação

Não há nenhum padrão evidente de relacionamento no tempo

tempo

Autocorrelação

Há um padrão cíclico de dispersão dos resíduos ao longo do tempo

tempo

ê

0

Autocorrelação

Há uma tendência quadrática de dispersão dos resíduos ao longo do tempo

tempo

êAutocorrelação

tempo

Há uma tendência linear na distribuiçãodos resíduos ao longo do tempo

ê

0

0



Robusto

Análise Gráfica

Podemos suspeitar de um comportamento cíclico dos erros. Afinal, é natural supor que a área plantada no trimestre t não dependa apenas do preço no trimesre t, mas também de informações observadas em períodos anteriores: área plantada em um trimestre anterior; preço pago pela cana-de-açucar no período anterior; outros fatores não previstos pelo ajuste (política de incentivos do governo, previsões sobre os preços futuros e expectativas sobre o estabelecimento de usinas na região, por exemplo) que tenham lento amortecimento no tempo.

Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:

ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=



Robusto

Teste t para Autocorrelação

îíì

>=00

1

0

rr

: H: H Como correlações seriais são, usualmente, positivas, sugere-se teste

unicauldal para verificar existência de autocorrelação nos erros.

ttt ue e += -1rtkj jjt eXY

t++= å =1ba

Se supormos que os erros apresentem autocorrelação de primeira ordem:

Se estimarmos os resíduos de MQO êt, podemos testar as hipóteses:

Poderíamos utilizar a estatística t dada por:

r

rˆ

ˆS

t =

2

12

2 1

ˆ

ˆˆ ˆ

-=

= -

åå=

t

nt

nt tt

e

eer 2

12

2

ˆˆ

ˆ

-=å=

t

nt e

S sr 1)1(

ˆ ˆ

2

22

--=å =

nut

n

ts

Sendo os estimadores de MQO dados por:

Caso os regressores sejam estritamente exógenos e a amostra seja relativamente grande, teremos:

0

p

t

1)1( --nt

Como não observamos et, a estatística t é válida

assintóticamente caso os regressores sejam

estritamente exógenos.



Robusto

Teste t - Exemplo

ttt uee ˆˆ252,0ˆ 1 += -

As estimativas de MQO foram:

A estatística t associada ao coeficiente r foi:

O valor p do teste de hipóteses será dado por:

0

0,079

1)134( --tSe rejeitarmos a hipótese de ausência de autocorrelação pelo teste t, estaremos sujeitos a um erro de 7,9%. A validade do teste depende, entretanto, (i) da ausência de relação entre os erros et e os valores defasados do preço da cana-de-açucar e (ii) do tamanho da amostra, que não é razoavelmente grande.



443,1175,0252,0ˆ

ˆ===

r

rS

t

1,443

îíì

>=00

1

0

rr

: H: H



Robusto

Teste de Durbin-Watson

îíì

>=00

1

0

rr

: H: H

ttt ue e += -1rtkj jjt eXY

t++= å =1ba

Supondo que os erros apresentem autocorrelação de primeira ordem:

As hipóteses do teste são:

A estatística de teste será da por:

2

1

2 1

ˆ

ˆˆ ˆ

t

nt

nt tt

e

ee

åå

=

= -=r

Sendo o estimador de r dado por:

Com fdp dada por:å

å=

= --= n

t t

nt tt

e

eeDW

12

22

1

ˆ

)ˆˆ()ˆ1(2 r-»DW

knDW ,

DWp

îíì

<=22

1

0

: DWH: DWH Para autocorrelação positiva (r » 1), DW aproxima-se de 0.



Robusto

Para autocorrelação negativa (r»–1), DW aproxima-se de 4.

Para erros não autocorrelacionados (r=0), DW é igual a 2.

p é a probabilidade de erro ao afirmar que os erros

apresentam aucorrelaçãopositiva de 1ª ordem

Teste de Durbin-Watson - DefiniçãoEstatística de Durbin-Watson:A estatística de Dubin-Watson (DW) pode ser utilizada para testar as hipóteses:

îíì

>=00

1

0

rr

: H: H

sendoå

å=

= --= n

t t

nt tt

e

eeDW

12

22

1

ˆ

)ˆˆ(ou )ˆ1(2 r-»DW 2

1

2 1

ˆ

ˆˆˆ

tnt

nt tt

e

ee

åå

=

= -=ronde

1- »r 4» DW0» r 2» DW1» r 0» DW

Teremos que:

O fato de a estatística DW basear-se em valores estimados a partir da amostra (êt), ao invés de valores observados (et), condiciona sua densidade de probabilidade aos valores observados na amostra. Caso não disponha de um programa estatístico para calcular o valor p. Durbin e Watson elaboraram uma tabela com possíveis valores extremos de DW em função no número de variáveis independentes (k) e observações da amostra (n).

0 Id Sd 4

Rejeita H0: r > 0

ZonaIndecisão Não Rejeita H0: r = 0

0 Id Sd 4Na zona de indecisão, não se pode rejeitar nem aceitar H0,

IknDW ,

SknDW ,



Robusto

0 4

!"#,%

!&

'

Teste de Durbin-Watson - Exemplo

Como o valor de DWobtido a partir dos

resíduos (1,4725) está na região de indecisão, o

teste seria inconclusivo, ou seja, não há

evidências, para afirmar que os erros sejam ou não

autocorrelacionados.


2419,0ˆ

ˆˆˆ

21

2 1 ==åå

=

= -

tnt

nt tt

e

ee r

Distribuição para uma amostra de 34 observações (n=34) e apenas uma

variável independente (k=1), teremos:

0 393,1 514,1 4

IDW 1,34SDW 1,34

5%5%

DW=1,4745

As estimativas de MQO foram:


îíì

>=00

1

0

rr

: H: H

Devemos testar:

îíì

<=22

1

0

: DWH: DWH

ttt ue e += -1rsupondo que:

As estatísticas de teste serão:

4745,1ˆ

)ˆˆ(

12

22

1 =-

=å

å=

= -nt t

nt tt

e

eeDW

Onde:



Robusto

Teste de Breusch-Godfrey

ïî

ïíì

¹

===

0

0...

1

10

j

q

: H

: H

r

rr

tqj jtjt ue e +=å = -1rt

kj jjt eXY

t++= å =1ba

Supondo agora que os erros apresentam autocorrelação de ordens q:

Como os erros et não são observados, trabalharemos com o modelo:

Para permitirmos que os erros defasados relacionem-se com os regressores:

tqj jtj

kj jtjt ue Xe +++= åå = -= - 110 rdd

tqj jtj

kj jtjt ue Xe +++= åå = -= - 110 ˆˆ rdd

E o teste seria dado por:

2ˆ)( eRqnLM -=

2qχ

p

LMOnde Rê

2 é o coeficiente de determinação do ajuste para os resíduos como função de seus valores e dos regressores defasados. O valor p representará a probabilidade de erro ao afirmarmos que os erros apresentam autocorrelação de ordem q.



Robusto

Teste de Breusch-Godfrey - Exemplo

Se afirmássemos que há autocorrelação de 1ª ordem, estaríamos sujeitos a um erro de 15,5% segundo o teste de BG. Diferentemente do teste t e do teste DW, que testam apenas

autcorrelação positiva, o teste BG considera também a presença de autocorrelação negativa.

Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:As estimativas de MQO foram:


Para testarmos a autocorrelação de 1ª ordem pelo BG:

tttt ueecoPre ˆˆ253,0022,0043,0ˆ 11 +++= --

As hipóteses a serem testadas seriam:

îíì

¹=00

1

0

rr

: H: H

023,2061,0)134()( 2ˆ =-=-= eRqnLM

21χ

155,0

023,2

E a estatística de teste seria:



Robusto

Correção AutocorrelaçãoSeja a equação autocorrelacionada:

22

321

32

2

12

2

1..................

...1

...1

...1

11)( ss

rrr

rrrrrrrrr

rVe =

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-=

---

-

-

-

nnn

n

n

n

Var

eXβy +=A equivalente matricial:

Supondo que a autocorrelação seja dada por:

Se conhecemos V a equação corrigida será dada por:

ttt uee += -1r

O objetivo é transformar o modelo para que este apresente erros não autocorrelacionados. 1º passo) A equação (1) implica em:

A autocorrelação regressiva de 1ª ordem implica:

ΛeΛXβΛy +=

Onde

Pois:22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE

O que implica em:

2

2

1)(

rs-

=teVar 2

2

1),(

rsr-

=+s

stt eeCove

(1)

(2)

1--= ttt eeu r

2º passo) Subtraindo da equação (1) a equação (2) multiplicada por r:

)(...)()1()( 11111 1 -- -++-+-=-- tttt eeXXYYtt

rrbrarúúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-

---

=

1...00...............0...100...010...001 2

r

rrr

Λ

utX*1a*Y*

que apresenta erros ut não autocorrelacionados

e 1-= VΛΛT



Robusto

!" = $ + &'(') + ⋯+ &+(+) + ,"

!"-' = $ + &'(')./ + ⋯+ &+(+)./ + ,"-'0(!"-') = 0($ + &'(')./ + ⋯+ &+(+)./ + ,"-')

Mínimos Quadrados GeneralizadosDefinição Análise



Robusto

Correção da autocorrelação:Uma vez conhecida a matriz V de variâncias e covariâncias do erros, podemos obter os MELNV transformando as variáveis originais. Seja o modelo:

eXβy += em que:

Então ΛeΛXβΛy += em que

apresentará erros não autocorrelacionaods, pois:

1-= VΛΛT

22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE

e

22

321

32

2

12

2

1..................

...1

...1

...1

11)( ss

rrr

rrrrrrrrr

rVe =

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-=

---

-

-

-

nnn

n

n

n

Var

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-

---

=

1...00...............0...100...010...001 2

r

rrr

Λ

ttt uee += -1r , ou seja:

Mínimos Quadrados GeneralizadosEstimadores de MQG:Seja o modelo de RLM:

eXβy += com autocorrelação dada por

Alternativamente, eu posso obter os estimadores de MQG diretamente por:

Caso a matriz ! seja conhecida, eu posso aplicar MQO às variáveis transformadas !" e !# para estimar os coeficientes $.

%&'()) = ,-.

Então os erros de ΛeΛXβΛy += serão não autocorrelacionados: %&'(!)) = /-.

yVXXVXΛyΛXΛXΛXβ 1111 )()(ˆ ---- == TTTTTT

Esse método é denominado de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Os estimadores de MQG são não tendenciosos e os mais eficientes (MELNV) na presença de autocorrelação nos erros.

Raciocínio análogo é válido para obter os estimadores da variância:yVXβyVy 11 ˆSQRes -- -= TTT e 2112

ˆ ˆ)(S sb--= XVXT



Robusto

MQG com r conhecido - Exemplo

ttt uee += -15,0 ou seja 5,0=r

22

313233

312

32

332

2

1...5,05,05,0...............5,0...15,05,0...5,015,05,0...5,05,01

5,011)( ssr Ve =

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-=Var


ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=Supondo agora que:



Robusto

e

Para obter as estimativas de MQG, transformamos as variáveis:!" − 0,5!"'( = *(1 − 0,5) + /(0" − 0,50"'() + 1" ΛeΛXβΛy +=

1-= VΛΛTem que

Á345" = −3,343 + 5,056934ç;" + <1"As estimativas de MQP são não tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da variância também é não tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto forte, que a variância dos erros seja de fato uma função linear da renda, com = = 0,5.

As estimativas de MQG seriam:

MQGF - r DesconhecidoMínimos Quadrados Generalizados Factíveis:Seja o modelo de RLM:

eXβy += com autocorrelação de 1ª ordem: ttt uee += -1r

Caso r seja desconhecido, podemos usar a estimativa do modelo com os resíduos de MQO:

yVXXVXβ 111 ˆ)ˆ(ˆ ---= TT em que

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-

+--+-

-

=-

1ˆ...00...............0...ˆ1ˆ00...ˆˆ1ˆ0...0ˆ1

2

2

1

r

rrrrr

r

V

ttt uee ˆˆˆˆ 1 += -r

Nesse caso, os estimadores consistentes de b, embora viesados para amostras pequenas, serão dados por:



Robusto

MQGF - Exemplo

ttt uee ˆˆ252,0ˆ 1 += - ou seja 252ˆ =r


ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=Temos ainda que:

Teremos então as seguintes estimativas para as matrizes de transformação:

e

As estimativas de MQGF seriam:

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-=

1...252,0252,0252,0...............252,0...1252,0252,0...252,01252,0252,0...252,0252,01

252,011ˆ

313233

312

32

332

2 rV

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

-

+--+-

-

=-

1252,0...00...............0...252,01252,000...252,0252,01252,00...0252,01

ˆ 2

2

1V

úû

ùêë

é-== ---

90340070

)(ˆ 111

,,TT yVXXVXβ



Robusto

Estimadores RobustosEstimadores da Variância Robustos à Autocorrelação:Seja o modelo de RLS:

ttt eXY ++= baEmbora os estimadores de MQO para b continuem não viesados, as estimativas de suas variâncias serão viesadas.

com autocorrelação de 1ª ordem: ttt uee += -1r

A real variância do estimador para o coeficiente angular seria:

åååå

-

=

-

=+

==

+=1

1 112

2

12

2

2)ˆ(n

t

tn

sstt

sn

t tn

t t

xxxx

Var rss

b

Um estimador robusto para a variância poderia ser obtido por:

åååå

-

=

-

=+

==

+=1

1 112

2

12

2

ˆˆ

2ˆ

)ˆ(n

t

tn

sstt

sn

t tn

t t

xxxx

Var rss

b

Embora esse estimador seja robusto à presença de autocorrelação, considera apenas autocorrelações de 1ª ordem e erros homocedásticos. Há tratamentos mais abrangentes na literatura. Essas estimativas são válidas assintoticamente e podem não ser apropriadas para amostras pequenas.



Robusto

!"#$ (&')

econometria cap13 autocorrelacao - unicamp...teorema de gauss-markov definição análise gráfica...

Documents