5/7/2018 Problema de Monty Hall - slidepdf.com

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Problema de Monty Hall 1

Problema de Monty Hall

Em busca de um novo carro, o jogador escolhe a porta 1. O

apresentador então abre a porta 3 revelando que ela não tem o carro,

e oferece ao jogador a possibilidade de escolher a porta 2 ao invés da

porta 1.

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty

Hall é um problema matemático e paradoxo que surgiu

a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos

da América chamado  Let ’  s Make a Deal, exibido na

década de 1970.

O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o

apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes,

sabendo que atrás de uma delas está um carro (prémio

bom) e que as outras têm prêmios de pouco valor.

1. Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que

ainda não é aberta);

2. De seguida Monty abre uma das outras duas portas

que o concorrente não escolheu, sabendo à partidaque o carro não se encontra aí;

3. Agora com duas portas apenas para escolher -- pois uma delas já se viu, na 2ª etapa, que não tinha o prêmio -- e

sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que

escolheu no início do jogo e abre-a ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir.

Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas

portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por quê?

Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta. No início, quando se escolheu uma das

portas, havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após

o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham emconjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prêmio) a porta

não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.

A confusão é feita seguindo o raciocínio que parece mais lógico: "mas a porta escolhida também continua fechada...

então cada uma das portas fechadas passa a ter 1/2 de chance de ter o carro".

O problema

Este pequeno problema é muito mais difícil do que parece, e tornou-se famoso nos EUA como o problema de Monty

Hall, devido ao apresentador que possuía um quadro bem similar (ou o contrário seria mais apropriado) em seu

programa popular 'Let's Make a Deal' ['Vamos fazer um trato'] nos anos 70, algo como os diversos programas de

auditório de Sílvio Santos.

A resposta intuitiva, porém errada

A resposta intuitiva ao problema é a de que quando o apresentador revelou uma porta não-premiada, o concorrente

teria à frente um novo dilema com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de que o prêmio esteja em

qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O apresentador teria nos ajudado, já que nossas chances subiram de

1/3 para 1/2, mas realmente não faria diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances

de possuírem o prêmio. No entanto, esta resposta está errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta

que o concorrente escolher inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio (ele nunca abrirá

uma porta premiada). Ao abrir uma porta, ele não está criando um jogo todo novo, mas está dando informaçõesvaliosas sobre o jogo original. É por isso que a resposta é tão contra-intuitiva: parece-nos que o apresentador abriu

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Problema de Monty Hall 2

uma porta aleatoriamente, mas isso está muito longe da verdade. Como se observa, se o concorrente tiver escolhido

inicialmente uma porta não-premiada (isto é, com o prémio mau), ele não tem liberdade de escolha e só pode abrir

uma porta.

A solução

A resposta correta e contra-intuitiva é que é vantajoso trocar. Na verdade é duas vezes mais provável ganhar oprêmio se se trocar de porta do que se não o fizer.

Existem três portas - A, B e C. Quando o concorrente escolheu uma delas, digamos a A, a chance de que ela seja a

premiada é de 1/3. Como conseqüência, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras palavras, de que o prêmio

esteja nas outras duas portas B ou C é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das

outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja um prêmio é sempre 1. O importante é ter

em mente que a chance de o prêmio estar nas outras portas que você não escolheu é de 2/3.

Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrirá sem erro uma dessas outras duas portas que contém um prémio

mau, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele está lhe dando uma informação valiosa: se o prêmio estava nas outras

portas que não escolheu (B ou C), então agora ele só pode estar na porta que você não escolheu e não foi aberta, ouseja, a porta C. Ou seja, se o concorrente errou ao escolher uma porta - e as chances disto são de 2/3 - então ao abrir

uma das outras portas não-premiadas o apresentador está literalmente lhe dizendo onde está o prêmio. Toda vez que

o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta errada, ao trocar de porta irá com certeza ganhar. Como as

chances de que tenha errado em sua escolha inicial são de 2/3, se trocar suas chances de ganhar serão de 2/3 - e por

conseguinte a chance de que ganhe se não trocar de porta é de apenas 1/3. É assim mais vantajoso trocar de porta.

A análise pode ser ilustrada em termos da chances de probabilidades iguais que o jogador inicialmente escolheu o

carro, bode A, ou bode B (Economist 1999):

1.Apresentador 

revela

um dos bodes

Jogador escolhe carro

(probabilidade 1/3)

Trocar perde.

2.Apresentador tem

que

reveala Bode B

Jogador escolhe Bode A

(probabilidade 1/3)

Trocar ganha.

3.Apresentador tem

que

revelar Bode A

Jogador escolhe Bode B

(probabilidade 1/3)

Trocar ganha.

O jogador tem uma chance igual de inicialmente selecionar o carro, Bode A, ou Bode B. A trocar resulta em uma vitória 2/3 das vezes.

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Problema de Monty Hall 3

O problema de Monty Hall é exposto em muitos cursos de probabilidades e de estatística, e um exercício com ele

seria dado em Harvard e Princeton. Ele demonstra muito bem como nosso cérebro não foi feito para lidar

intuitivamente com tais tipos específicos de problemas. Felizmente pode-se resolver o problema de Monty Hall no

papel de forma simples e sem erro usando o teorema de Bayes relativo às probabilidades condicionadas.

Simulação em computadorUm programa de computador pode ser usado para demonstrar como a troca de porta em geral é mais vantajosa. O

programa simula vários jogos, onde o jogador sempre estará trocando de porta. Em cada jogo é gerada uma escolha

aleatória para o jogador, sendo que o carro sempre estará na primeira porta. Uma das portas é então aberta, e o

 jogador realiza a troca. As vitórias são computadas toda vez que a troca resultar na porta que contém o carro.

Usando boa aleatoriedade e executando o jogo um considerável número de vezes, podemos verificar que a taxa de

acerto fica em torno de 2/3 ou 66%. O seguinte código-fonte em Ruby é um exemplo de programa que implementa

esta simulação:

car = wins = 0

many = 1000000

many.times do |game| 

choice1 = rand(3)

host_opts = [0, 1, 2] - [choice1, car]

choice2 = [0, 1, 2] - [choice1, host_opts.first]

wins += 1 if choice2 == [car] 

progress = ((game + 1) * 100) / many

  print("\b\b\b#{progress}%")

end 

puts "\b\b\b\b#{wins} wins in #{many} games."

puts "Success rate of #{(wins * 100) / many}%"

Exemplo de saída (traduzido para português):

666840 vitórias em 1000000 jogos.

Taxa de sucesso em 66%.

Bibliografia

• Edward R. Scheinerman. Matemática Discreta - Uma Introdução. 1 ed. Brasil: Cengage Learning, 2003. 532 p.

ISBN 85-221-0291-0

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