Efeito Hall em Germânio p e n 1

Efeito Hall em Germânio p e n

Franklin Vieira Guedes1, Humberto Salvino Batista Torres2, Karen Cristina Silva3

Universidade Federal de Goiás / Instituto de Física

franklinvieiraguedes@gmail.com1, humberto.sb.torres@hotmail.com2, karencristinasilva@yahoo.com.br3

29 de setembro de 2014

Resumo

A resistividade e a tensão Hall de uma amostra retangular de Germânio são medidas em função da temperatura e docampo magnético aplicado. A condutância especíca (condutividade), o tipo de carga transportada e a mobilidade dessesportadores de carga são determinados pelas medidas efetuadas. Neste experimento, analisamos o Efeito Hall em umaplaca de semicondutor de Germânio do tipo p e outra do tipo n. A partir da análise dos dados foi possível determinaro tipo, que está relacionado ao tipo de portador de carga, se são buracos ou elétrons, como também a concentraçãodestes portadores, a mobilidade, a condutividade e o coeciente Hall. Os valores que obtivemos, aferidos em umasala à temperatura ambiente, foram comparados com os valores informados pelo fabricante do aparato experimentalutilizado.Para a amostra de Ge p encontramos: RH = (6, 8 ± 0, 3) × 10−3m3/A.s; µ = (300 ± 20) × 10−3m2/V.s;σ0 = (44 ± 1)−1.m−1, e para o Ge n: RH = (6, 3 ± 0, 3) × 10−3m3/A.s; µ = (270 ± 20) × 10−3m2/V.s; σ0 =(42, 9 ± 0, 9)Ω−1.m−1.

1 Introdução

O efeito de Hall resulta da ação conjunta dum campoelétrico e magnético no movimento dos portadores decarga num semicondutor. O efeito de Hall manifesta-sesobretudo nos semicondutores extrínsecos fracamente do-pados embora, de forma menos evidente, também estejapresente nos semicondutores intrínsecos e metais.Para os semicondutores extrínsecos o efeito de Hall pode

ser analisado de forma relativamente simples pois é suci-ente considerar um único tipo de portadores, os maioritá-rios. A título de exemplo vai-se analisar o efeito de Hallnum semicondutor extrínseco tipo-n de forma paralelepi-pédica, no qual se estabeleceram quatro contatos em duasdirecções perpendiculares (gura 1). Entre os contactos Ae B faz-se passar uma corrente elétrica constante de inten-sidade I. Sem campo de indução magnética B , a tensãoUH entre os terminais C e D é igual a zero. Quando seaplica um campo estático B , não necessariamente uni-forme, aparece entre C e D uma tensão UH diferente dezero e negativa, se for aplicado como se mostra na gura1. O efeito de Hall consiste no aparecimento da tensão UH

, designada por tensão de Hall.A existência de corrente elétrica permite associar a cada

tipo de portadores de carga uma velocidade média nãonula. Nestas condições a ação dum campo B dá origem auma força de natureza magnética, a força de Lorentz que,para os eletrons, é dada por:

FB = −q[<vn>,B], (1)

e para os buracos

FB = q[<vp>,B]. (2)

Figura 1: Conguração utilizada para o estudo do efeitode Hall.

O vetor força magnética tem o sentido e direção de-nidos pelo produto externo e pelo sinal da carga e ummódulo dado por

|FB | = q|v||B| sin(α), (3)

em que α é o ângulo que o vetor velocidade faz como vetor B, gura 2. Se os vetores forem perpendicularesα = 90 e portanto |FB | = q|v||B|.Consideremos então um semicondutor tipo-n e despre-

zemos a contribuição para a corrente dos portadores mino-ritários, os buracos (gura 3(a)). De acordo com a relação1 e atendendo aos sentidos para <vn> e B, a força denatureza magnética FB está dirigida segundo −y e vale|FB | = q|<vn>||B|. A força dá origem a acumulaçãode carga negativa nas regiões do semicondutor junto aocontacto C, estabelecendo-se por isso uma diferença depotencial entre C e D, com o campo elétrico dirigido deD para C. Deste modo a tensão de Hall é negativa de

1

Figura 2: Vetor força magnética para: (a) elétrons e (b)buracos.

acordo com o sentido convencionado na gura 3. Devidoao aparecimento de uma componente do campo segundoy, o campo total no semicondutor não será dirigido só se-gundo x. Ao ângulo formado entre o vetor campo elétricoe a sua componente segundo x, designa-se por ângulo deHall, θH , que será tanto maior quanto maior for o efeito deHall. É de realçar que se o semicondutor fosse do tipo p emantendo as restantes condições, i.e., sentidos de I,B, UH

como na gura 3(b), então UH > 0 . Este facto resultade que FB tem o mesmo sentido que na situação em queo semicondutor é do tipo-n pois há duas trocas de sinal:carga e velocidade. Assim, a acumulação de carga posi-tiva é no semicondutor junto a C. Deste modo, o efeito deHall pode ser usado na determinação do tipo de portadoresmaioritários de um semicondutor.

Figura 3: Efeito de Hall num semicondutor tipo-n (a) enum semiconductor tipo-p (b).

Nas condições da gura 3(a), e na situação estacionária,a força de natureza magnética FB é equilibrada pela forçade natureza elétrica FE associada ao campo Ey.A força de natureza elétrica FE é dada por:

FE = −qEy, (4)

em que

Ey = Eyuy. (5)

Da igualdade:

FE + FB = 0, (6)

tira-se que:

vxB = Ey. (7)

É de notar que:

v = vxux; (8)

B = Buz. (9)

Como:

I = −qnvxlylz, (10)

então,

Ey =

(− 1

qn

)IB

lylz, (11)

e portanto:

UH = Eyly =

(− 1

qn

)IB

lz, (12)

que se pode escrever como

UH = RHIB

lz, (13)

em que

RH = − 1

qn, (14)

se designa por constante de Hall.Para semicondutores fortemente dopados, ou metais,

RH é muito pequeno e portanto as tensões de Hall são bas-tante baixas, e o efeito de Hall é dicilmente detectável.No sentido de aumentar UH pode-se diminuir a espessurada amostra lz . A importância do efeito de Hall é enormepois para além de permitir identicar o tipo de semicon-dutor extrínseco em análise, permite obter a densidade deportadores maioritários, conhecidos lz, I,B e UH , e podeainda ser utilizado na medida do campo B. As sondas deHall são sensores de medida de B que se baseiam no efeitode Hall.Para semicondutores extrínsecos tipo-p, a expressão

para tensão de Hall é idêntica a equação 14, mas coma constante de Hall positiva, dada por:

RH =1

qp. (15)

No caso em que ambos os portadores, elétrons e buracos,contribuem para a corrente elétrica, a constante de Hall édada por:

RH =pµ2

p − nµ2n

q(nµn + pµp)2. (16)

Esta relação é geral e permite obter as relações 14 e 15no caso particular dos semicondutores serem extrínsecostipo-n e tipo-p, respectivamente.

2

2 Procedimento Experimental

2.1 Materiais Utilizados

Para o desenvolvimento da dinâmica experimental usa-mos uma fonte de corrente contínua, uma ponte retica-dora, capacitor eletrolítico, um potenciômetro, resistores,um teslâmetro de 330 Ω, placas de Germânio e multíme-tros.

Figura 4: Montagem do experimento para medidas doEfeito Hall.

Figura 5: Fonte de corrente d.c. para conectar ao semi-condutor.

2.2 Descrição Experimental

Utilizamos a fonte (saída A.C.) para fornecer correnteelétrica para o Germânio, com a ajuda do capacitor eletro-lítico e uma ponte reticadora. Esta corrente foi contro-lada com um potenciômetro, para não exceder a correntemáxima suportada pela amostra, além disso tivemos umresistor de 330 Ω ligado em série para limitar a corrente.Nos terminais A e B colocamos a amostra de Germânio,e nos terminais D e E medimos o potencial Hall com ummultímetro.Uma saída D.C. da fonte alimentou as duas bobinas

para gerar um campo magnético na amostra. O medimoscom uma sonda Hall que colocamos próximo ao cristal nocentro do campo. Num primeiro momento, à temperaturaambiente, e com campo magnético constante, medimos a

voltagem Hall em função da corrente através da amos-tra. Em um segundo momento, zemos a corrente elé-trica constante, com valor próximo a 30 mA, e medimosa voltagem através do cristal em função do campo mag-nético com o objetivo de calcular a resistência, tambémmedimos a voltagem para o campo magnético aproxima-damente nulo. Num terceiro momento, medimos a volta-gem Hall em função do campo magnético para um valorde corrente constante. Este procedimento foi feito paraduas placas de Germânio tipos p e n.

3 Resultados e Discussões

3.1 Germânio p

As dimensões da amostra de Ge, do tipo p, utiliza são:espessura d = 1, 0mm, comprimento l = 20, 0mm e áreade seção transversal A = s.d = 10, 0mm2. O valor medidopara a resistência inicial, na ausência de campo magné-tico para a amostra foi de R0 = 46Ω, a tabela 1 mostraos valores de resistências apresentadas pela amostra napresença de um campo magnético com diferentes valores.Calculamos com os valores medidos de resistência a rela-ção (RB − R0)/R0. E em seguida foi feito o Gráco dagura 6, de (RB −R0/R0)×B.

Tabela 1: Resistência variando com o campo magnéticocom corrente elétrica constante I = 30mA.

B(mT ) R(Ω) RB −R0/R0

0 46 0, 00034 51, 9 0, 12862 57, 8 0, 25792 63, 7 0, 385121 67, 4 0, 465153 72, 5 0, 576181 77, 9 0, 694207 82, 2 0, 787234 87, 8 0, 909252 92 1, 000277 96, 2 1, 091316 100, 9 1, 194

Na segunda parte foram medidos valores de tensão Hall(UH) em função da corrente (I) os valores são apresentadosna tabela 2,0 valor do campo magnético utilizado foi e30mT .Com os dados coletados foi construído o gráco da gura

7 de UH × I, no qual foi feito um ajuste linear (ax +b), o coeciente angular fornece o α da equação , o valorencontrado foi:

α = (0, 2700± 0, 0006)Ω (17)

UH = αI (18)

3

Figura 6: Gráco de RB −R0/R0 ×B para o Ge p.

Tabela 2: Voltagem Hall em função da corrente elétricacom campo magnético constante B = 30mT .

i(A) UH(V )−3, 00× 102 −8, 10× 10−3

−2, 70× 102 −7, 30× 10−3

−2, 40× 102 −6, 50× 10−3

−2, 10× 102 −5, 70× 10−3

−1, 80× 102 −4, 90× 10−3

−1, 50× 102 −4, 00× 10−3

−1, 20× 102 −3, 20× 10−3

−9, 00× 103 −2, 40× 10−3

−6, 00× 103 −1, 60× 10−3

−3, 00× 103 −7, 00× 10−4

0, 00 0, 003, 00× 103 7, 00× 10−4

6, 00× 103 1, 60× 10−3

9, 00× 103 2, 40× 10−3

1, 20× 102 3, 20× 10−3

1, 50× 102 4, 00× 10−3

1, 80× 102 4, 90× 10−3

2, 10× 102 5, 70× 10−3

2, 40× 102 6, 50× 10−3

2, 70× 102 7, 30× 10−3

3, 00× 102 8, 10× 10−3

Na última parte foi medida a voltagem Hall (UH) emfunção do campo magnético (B) com a corrente constanteI = 30mA, os valores são apresentados na tabela 3.Foi feito o gráco da tensão Hall em função do campo

magnético, gura 8, o ajuste linear fornece b = 0, 205 ±0, 002, com esse valor calculamos o coeciente Hall com aequação 20, onde a expessura da amostra d = 1, 0×10−3m.O valor encontrado foi:

RH = (6, 8± 0, 3)× 10−3 m3

A.s(19)

RH = b.d

I(20)

Através da equação 21 e R0 determinamos a condutivi-

Figura 7: Gráco UH × I para o Ge p.

Tabela 3: Voltagem Hall em função do campo magnéticocom corrente elétrica constante I = 30mA.

B(T ) UH(V )−3, 00× 10−1 −5, 93× 10−2

−2, 70× 10−1 −5, 42× 10−2

−2, 40× 10−1 −4, 90× 10−2

−2, 10× 10−1 −4, 36× 10−2

−1, 80× 10−1 −3, 81× 10−2

−1, 50× 10−1 −3, 24× 10−2

−1, 20× 10−1 −2, 64× 10−2

−9, 00× 10−2 −2, 04× 10−2

−6, 00× 10−2 −1, 43× 10−2

−3, 00× 10−2 −8, 20× 10−3

0, 00 1, 90× 10−3

3, 00× 10−2 8, 10× 10−3

6, 00× 10−2 1, 43× 10−2

9, 00× 10−2 2, 05× 10−2

1, 20× 10−1 2, 64× 10−2

1, 50× 10−1 3, 24× 10−2

1, 80× 10−1 3, 80× 10−2

2, 10× 10−1 4, 35× 10−2

2, 40× 10−1 4, 89× 10−2

2, 70× 10−1 5, 42× 10−2

3, 00× 10−1 5, 90× 10−2

dade σ0, o valor foi obtido σ0 = (44± 1)Ω−1.m−1.

σ0 =l

R0.A(21)

Com o coeciente Hall e a condutividade σ0, calculamosa mobilidade dos portadores µH e a densidade de portado-res n através das equações 24 e 25. Os valores encontradorforam:

µH = (300± 20)× 10−3m2

V.s(22)

n = 9, 2× 1020m−3 (23)

4

Figura 8: Gráco UH ×B para o Ge p.

µH = RH .σ0 (24)

n =1

e.RH(25)

3.2 Germânio n

As dimensões da amostra de Ge, do tipo n, utilizada são:expessura d = 1, 0mm, comprimento l = 20, 0mm e áreade seção transversal A = s.d = 10, 0mm2. A resistênciainicial, na ausência de campo magnético para a amostramedido foi R0 = 46, 6Ω, a tabela 4 mostra a variação daresistência devida a variação do campo magnético. Cal-culamos com os valores medidos de resistência a relação(RB −R0)/R0.

Tabela 4: Resistência variando com o campo magnéticocom corrente elétrica constante I = 30mA.

B(mT ) R(Ω) RB −R0/R0

0 46, 6 058 99, 8 1, 141630901385 123, 7 1, 6545064378106 142, 9 2, 0665236052137 171, 6 2, 6824034335165 196, 1 3, 2081545064195 225 3, 8283261803222 251, 2 4, 3905579399250 277, 6 4, 9570815451274 301, 5 5, 4699570815

E em seguida foi feito o Gráco da gura 9, de (RB −R0/R0)×B.Na segunda parte foram medidos valores de tensão Hall

(UH) em função da corrente (I), tabela 5, o valor do campomagnético utilizado foi e 30mT .Com os dados coletados foi construído o gráco da gura

10 de UH × I, no qual foi feito um ajuste linear (ax+ b),

Figura 9: Gráco de RB −R0/R0 ×B para o Ge n.

Tabela 5: Voltagem Hall em função da corrente elétricacom campo magnético constante B = 30mT .

i(A) UH(V )−3, 00× 10−2 −8, 00× 10−3

−2, 70× 10−2 −7, 20× 10−3

−2, 40× 10−2 −6, 40× 10−3

−2, 10× 10−2 −5, 60× 10−3

−1, 80× 10−2 −4, 80× 10−3

−1, 50× 10−2 −4, 00× 10−3

−1, 20× 10−2 −3, 20× 10−3

−9, 00× 10−3 −2, 40× 10−3

−6, 00× 10−3 −1, 60× 10−3

−3, 00× 10−3 −7, 00× 10−4

0, 00 0, 003, 00× 10−3 7, 00× 10−4

6, 00× 10−3 1, 60× 10−3

9, 00× 10−3 2, 40× 10−3

1, 20× 10−2 3, 20× 10−3

1, 50× 10−2 4, 00× 10−3

1, 80× 10−2 4, 80× 10−3

2, 10× 10−2 5, 60× 10−3

2, 40× 10−2 6, 50× 10−3

2, 70× 10−2 7, 30× 10−3

3, 00× 10−2 8, 10× 10−3

o valor encontrado para α foi:

α = (0, 2678± 0, 0005)Ω (26)

Na terceira parte foi medida a voltagem Hall (UH) emfunção do campo magnético (B) com a corrente constanteI = 30mA, tabela 3.Foi feito o gráco da tensão Hall em função do campo

magnético gráco 6, o ajuste linear fornece b = −0, 188±0, 002, com o valor absoluto de b calculamos o coecienteHall com a equação 20, onde a espessura da amostra d =1, 0× 10−3m. O valor encontrado foi:

RH = (6, 3± 0, 3)× 10−3 m3

A.s(27)

5

Figura 10: Gráco UH × I para o Ge n.

Tabela 6: Voltagem Hall em função do campo magnéticocom corrente elétrica constante I = 30mA.

B(T ) UH(V )−2, 65× 10−1 4, 82× 10−2

−2, 40× 10−1 4, 41× 10−2

−2, 10× 10−1 3, 92× 10−2

−1, 80× 10−1 3, 40× 10−2

−1, 50× 10−1 2, 88× 10−2

−1, 20× 10−1 2, 37× 10−2

−9, 00× 10−2 1, 86× 10−2

−6, 00× 10−2 1, 33× 10−2

−3, 00× 10−2 8, 10× 10−3

0, 00 2, 70× 10−3

3, 00× 10−2 −8, 20× 10−3

6, 00× 10−2 −1, 33× 10−2

9, 00× 10−2 −1, 86× 10−2

1, 20× 10−1 −2, 38× 10−2

1, 50× 10−1 −2, 88× 10−2

1, 80× 10−1 −3, 38× 10−2

2, 10× 10−1 −3, 90× 10−2

2, 40× 10−1 −4, 41× 10−2

2, 66× 10−1 −4, 86× 10−2

Figura 11: Gráco UH ×B para o Ge n.

Através da equação 21 e R0 determinamos a condutivi-dade σ0, o valor foi obtido σ0 = (42, 9± 0, 9)Ω−1.m−1.

Com o coeciente Hall e a condutividade σ0, calculamosa mobilidade dos portadores µH e a densidade de portado-res n atravéz da equações 24 e 25. Os valores encontradosforam:

µH = (270± 20)× 10−3m2

V.s(28)

n = 9, 9× 1020m−3 (29)

4 Conclusão

Os grácos das guras 6 e 9 mostram que a resistênciaaumenta conforme o campo vai aumentando. Essa vari-ação está associada à diminuição do livre caminho médiodos portadores de carga. O campo aplicado introduz umaumento no fator de colisão, o que faz a frequância dascolisões ser maior aumentando assim a resistência.Os portadores de carga na amostra de germânio p são

positivos ou seja buracos pois o coeciente angular do grá-co 3 é positivo b = 0, 205± 0, 002, já na amostra de ger-mânio n são elétrons pois o coeciente angular no gráco6 é negativo b = −0, 188± 0, 002.Abaixo são apresentadas duas tabelas onde são compa-

rados os valores encontrados com os valores esperados, naprimeira estão os valores relacionados ao Gêrmanio p e nasegunda ao n.

Tabela 7: Gêrmanio tipo P

Grandeza Valores ExperimentaisRH(m3/A.s) (6, 8± 0, 3)× 10−3

σ0(Ω−1.m−1) (44± 1)µ(m2/V.s) (300± 20)× 10−3

n (buracos/m−3) 9, 2× 1020

Valores Esperados Erro Percentual(4, 17± 0, 08)× 10−3 63%

57, 14 23%(238± 5)× 10−3 26%

14, 9× 1020 38%

6

Tabela 8: Gêrmanio tipo n

Grandeza Valores ExperimentaisRH(m3/A.s) (6, 3± 0, 3)× 10−3

σ0(Ω−1.m−1) (42, 9± 0, 9)µ(m2/V.s) (270± 20)× 10−3

n (elétrons/m−3) 9, 9× 1020

Valores Esperados Erro Percentual(4, 8± 0, 2)× 10−3 31%

53, 6 20%(257± 5)× 10−3 5%

13, 0× 1020 24%

Os objetivos do experimento foram alcançados.

5 Referências Bibliográcas

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R. Eisberg, R. Resnick, Física Quântica, Ed. Cam-pus, Rio de Janeiro, 1979.

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Callister, Jr., William D., Fundamentos da Ciênciae Engenharia de Materiais: Uma Abordagem Integrada,LTC, 2ª ED., Rio de Janeiro, 2006.

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