PROBABILIDADE

Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

Departamento de Estatística

- PPGEMQ / PPGEP - UFSM -

“O intelecto faz pouco na estrada que leva àdescoberta, acontece um salto na consciência, chame-

o de INTUIÇÃO ou do que quiser; e a solução lhe ocorre, ê você não sabe como, nem por quê.”

Albert Einstein

O problema fundamental da probabilidade consiste em

atribuir um número a cada evento E, o qual avaliará as

chances de ocorrência de E.

OrigemCorrespondência entre dois matemáticos franceses, Blaise

Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat (1601-1665), em 1654,

a respeito de dois problemas formulados por um jogador

compulsivo, Chevalier de Méré.

UsosPrevisão da demanda; safras agrícolas; avaliação dos impactos dos

aumentos dos impostos sobre a inflação;

Avaliar as chances de alunos serem aprovados;

Médicos determinam se (e quando) determinado doente deveria estar recuperado;

Estabelecer as chances de determinada categoria entrar em greve;

O governo determine até quando será capaz de manter os preços congelados ou tabelados;

Avaliação de estratégias de ação;

Experimento, espaço amostral e eventos

Experimento(E): É todo o fenômeno que acontece ou toda ação que será feita.

Da análise dos experimentos verifica-se o seguinte:

Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmascondições indefinidamente;

O resultado particular de cada experimento aparecerá aoacaso, mas pode-se descrever todas os possíveis resultados;

Quando o experimento se repetir um grande número devezes aparece uma regularidade;

Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento (E);

E = jogar um dado e observar a face de cima

S = {1,2,3,4,5,6}

Cada resultado do espaço amostralé considerado um ponto amostral.

Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral (S), é o acontecimento ou realização do espaço amostral e deve ser sempre representado por letras maiúsculas do alfabeto (A,B,C,...).

E: lançar um dado e observar o número de pontos na face voltada para cima.

S: { 1,2,3,4,5,6 } , espaço amostral finito.

A: ocorrer resultado maior do que 4 A: { 5,6 }

Tipos de eventosEvento simples: É aquele formado por um único elemento do

espaço amostral.

No lançamento de uma moeda, temos 2 eventos simples:

E1= {k} E2 = {c}

Evento Composto: É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço o amostral.

No lançamento de um dado podemos considerar, entre outros, os seguintes eventos:

E1 = {2, 4} E2 = {1, 3, 5} E3 = {2, 4, 6, 5}

Evento certo: É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as realizações da experiência. O evento representado pelo próprio conjunto que define o espaço amostral.

E = Lançamento de um dado

S = {1,2,3,4,5,6}

A = sair qualquer das faces de 1 a 6 no lançamento de um dado

A = S P(A) = 1

Evento impossível: São os eventos que não possuem elementos no espaço amostral, ou seja, nunca ocorrem.

A = Ocorrer o número 7 na face de um dado.Este evento é impossível pois o número 7 não figura no

espaço amostral dos números possíveis na face de um dado, logo evento A = e P() = 0.

A probabilidade de ocorrer um evento impossível é semprenula, mas, sendo a probabilidade de ocorrer um evento igual

a zero, nem sempre o evento será impossível

Evento soma (ou união): É o evento que consiste na realização de pelo menos um dos eventos.

E1 e E2 (E1 + E2) = (E1 E2)

Retirada uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta de ouro ou uma carta de Ás. O evento soma é um evento composto, e se constitui de elementos comuns aos dois eventos e de elementos não comuns a ambos.

Evento Produto (ou intersecção): É o evento que consiste na realização de ambos (um e outro) os eventos E1 e E2, isto é, eles devem ocorrer simultaneamente .

(E1 . E2) = (E1 E2)

Na retirada de uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta Ás de ouro.

Evento condicionado: É o evento que consiste na realização do evento E1 sob a condições de ter-se realizado o evento E2, isto é, com a informação adicional de que o evento E2 já ocorreu (E1/E2). São aqueles em que o acontecimento de um estácondicionado ao acontecimento de outro (acontece um se o outro já aconteceu).

Retirar um Ás de um baralho completo e um REI sem reposição. Neste caso não poderei retirar a carta REI se jáhouve retirado do baralho a carta de ÁS.

Evento mutuamente exclusivos: Dois eventos E1 e E2 são mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente (é um ou o outro), ou seja a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro.

E1 E2 = ; logo P(E1 E2) = 0

E = jogar um dado e observar o resultado

S = {1,2,3,4,5,6}

Eventos:

A = Ocorrer o número par

B = Ocorrer o número ímpar

A = {2,4,6} e B = {1,3,5} logo A B =

Evento complementar: São os eventos que se completam em relação ao espaço amostral. O evento complementar A, associado a uma experiência aleatória e denotado por , só ocorre se A deixar de ocorrer, isto é, é o evento formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A.

A e ( é o complementar, lê-se não A)

A = S P(A) = P(S) = 1

Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = números maiores ou igual a 4

= números menores que 4

A = {4,5,6,7} e = {1,2,3} A = S P(S) = 1

A

A

A

A

Evento independente: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo

tempo, acontece um e acontece o outro simultaneamente (um e

o outro), a ocorrência de um não depende da ocorrência do

outro

P(E1/E2) = P(E1) e P(E1/E2) = P(E2)

logo E1 E2 ; P(E1E2) = P(E1) . P(E2)

Supomos que duas pessoas atiram numa caça; os eventos que

consistem em que cada uma das pessoas acerte são

independentes, pois o fato da primeira pessoa acertar em nada

influencia no fato da outra também acertar.

representa a soma, sendo representado pelo sinal +, ou pela palavra “ou”

representa a multiplicação, sendo representado pelo sinal “x”, ou pela palavra “e”

A B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem

A B É evento que ocorre se A e B ocorrerem; É evento que ocorre se A não ocorrer

Nn Fornece o número total de eventos do SN é o número de casos favoráveisn é o número de elementos

A

Conceitos e definições de probabilidade

A probabilidade raciocina da população (supostamente conhecida) para a amostra (desconhecida), enquanto que

a estatística atua de modo inverso

Quando as condições físicas (ambientais, trajetórias, emoções) não são possíveis de serem mantidas teremos um

experimento aleatório.

Espaços amostrais equiprovávies

A probabilidade que ocorra um evento é igual ao quociente de um numero favorável de casos sobre o numero total de casos possíveis do experimento, desde que as chances de ocorrência de cada elemento do espaço amostral sejam iguais.

Definição Freqüêncial

Definição Clássica

Definição Axiomática

O enfoque dado ao estudo das probabilidades depende da área em que ele será aplicado. O estatístico puro prefere tratar o assunto a partir do ponto de vista axiomático, no qual algumas demonstrações são aceitas sem demonstração.

Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associamos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça aos seguintes axiomas:

A probabilidade P(E) é freqüentemente enunciado por:

sendo válida para os espaços amostrais finitos, seguindoos axiomas A1, A2, A3.

possíveiscasosdenúmero

Edefavoráveiscasosdenúmero)E(P

Axiomas

A1) 0 P(E) 1

A2) P(S) = 1

A3) P (E1 E2) = P(E1) + P(E2);

Se E1 e E2 forem eventos mutuamente excludentes

(A B = )

P(E) = P(E1) + P(E2) +...+ P(En);

Se E1, E2 ,..., En, forem dois a dois eventos mutuamenteexcludentes

Exemplos

Um dado é lançado e todos os eventos se supõem igualmente prováveis. O evento A ocorre se, e somente se, um número maior do que 4 apareça.

Escolhendo-se uma carta ao acaso de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de correr:

a) um Às ou um Rei.

b) Ouros ou Espadas.

c) carta vermelha ou preta

Alguns teoremas fundamentais

T. 1) Se é conjunto vazio, então P() = 0.

T. 2) Se é o complemento do evento A, P(A) = 1 - P( ).

T. 3)Se A B, então P(A) P(B).

T.4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A

De 15 fichas numeradas. Retirando-se uma ficha ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja múltiplo de 2 ou 3.

Se A, B, C, forem eventos quaisquer então:P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

Se A e B forem eventos independentes, teremos que:P(A B) = P(A) . P(B)

Retiradas com reposição

Retira-se o primeiro elemento examina-se, recoloca-se na urna, retira-se o segundo elemento examina-se

e recoloca-se na urna e assim sucessivamente, desta maneirao numero de elementos do espaço amostral será

conservado.

Retiradas sem reposição

Retira-se um elemento após o outro ou juntamenteda urna sem que este retorne a urna, ficando o

espaço amostral reduzido do numero de elementossubtraídos dele.

Probabilidade condicional e independência de eventos

Dados dois eventos A e B, denotaremos P(A/B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, esta definição pode ser entendida a partir do seguinte diagrama:

A partir da definição de probabilidade condicional, obtemos a chamada regra do produto de probabilidades de larga utilização

P(A B) = P(B) . P(A/B)

0)(;)(

)()/

BP

BP

BAPBPA

Dois eventos A e B são denominados independentes, se a ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro. Neste caso:

P(A B) = P(B) . P(A/ B) = P(A) . P(B/A) = P(A) . P(B)

É freqüente, aqui, adotar-mos P(A B) = P(AB)

Se El, E2, ... En, são eventos de um espaço amostral S,então tais eventos são mutuamente independentes se:

P(E1 E2, E3 ... En) = P(E1 ) . P(E2 ) . P(E3 ) . … P(En )

Teorema de Bayes

Sejam os eventos B1, B2 , B3 , ,Bn eventos mutuamente exclusivos dos quais conhecemos as probabilidades P(Bi) e sendo A um evento para o qual também conhecemos todas as probabilidades P(A/Bi). então teremos:

n

iii

iii

BAPBP

BAPBPA

BP

1

)/(.)(

)/(.)(

O denominador da fórmula de Bayes é conhecida por probabilidade total do condicionate, ou seja:

P(A) = P(B1).P(A/B1) + P(B2).P(A/B2) + ... + P(Bi).P(A/Bi)

Essa fórmula pode ser utilizada para um númeroqualquer de eventos, desde que estejam todos

condicionados a uma característica