probabilidade - distribuições especiais: normal padrão e qui-quadrado
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Distribuição Normal Padão
A variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média µ = 0 e σ2 = 1, denotada por N(0, 1) , se sua função densidade for dada por:
f(x) =1√2π· e−
x2
2 , −∞ < x <∞
Distribuições χ21 e χ2
n
Uma variável aleatória contínua Y tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de
liberdade , denotada por χ21 , se sua função densidade for dada por:
f(y) =1√2π· y
12−1 · e−
y2 , y > 0
Para n graus de liberdades: Z ∼ χ2n, então
f(z) =(1/2)n/2
Γ (n/2)z
n2−1e−
z2 , z > 0
FGM da Variável X2, onde X ∼ N(0, 1)
MX2(t) = E[etX
2]
=
∫ ∞−∞
etx2 · 1√
2πe−
x2
2︸ ︷︷ ︸f(x)
dx =
∫ ∞−∞
1√2π· e−
12x2(1−2t)dx
MX2(t) = (1− 2t)−12 ·∫ +∞
−∞
1√2π
(1−2t)
· e−x2
2/(1−2t) dx
︸ ︷︷ ︸1
=1√
(1− 2t)
f(x) =1√2π
(1−2t)
· e−x2
2/(1−2t) ⇒ X ∼ N
(0;
1
1− 2t
)
MX2(t) =1√
(1− 2t)=
[1
(1− 2t)
]1/2
FGM da χ21
MY (t) = E[etY]
=
∫ ∞0
ety · 1√2π· y
12−1 · e−
12y︸ ︷︷ ︸
f(y)
dy =
∫ ∞0
1√2π· y
12−1 · e−
12x(1−2t) dy
MY (t) =1√2π·
Γ(12)√(1−2t)
2
=1√2π·√π√
1− 2t√2
=
[1
(1− 2t)
]1/2
Conclusão:
MY (t) = MX2(t) =
[1
(1− 2t)
]1/2⇒ X ∼ N(0, 1) então X2 ∼ χ2
1
FGM da χ2n
MZ(t) = E(etZ) =
∫ ∞0
etz · (1/2)n
Γ(n/2)· z
n2−1 · e−
z2︸ ︷︷ ︸
f(z)
dz
MZ(t) =(1/2)n
Γ(n/2)·∫ ∞0
zn2−1 · e−(1/2−t)z dz =
(1/2)n
����Γ(n/2)· ����Γ(n/2)
(12 − t)n/2
MZ(t) =
[1
(1− 2t)
]n/2
FGM da Sn = X21 +X2
2 + . . .+X2n, onde Xi ∼ N(0, 1)
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). E seja Sn = X21 +X2
2 + . . .+X2n.
MSn(t) = E[et(X
21+X
22+...+X
2n)]
= E[etX
21 · etX2
2 · . . . · etX2n
]MSn(t) = E
[etX
21
]× E
[etX
22
]. . .× E
[etX
2n
]MSn(t) = MX2
1(t)×MX2
2(t) . . .×MX2
n(t)
MSn(t) =
[1√
(1− 2t)
]n=
[1
(1− 2t)
]n/2
Conclusão:
MZ(t) = MSn(t) =
[1
(1− 2t)
]n/2⇒ Xi ∼ N(0, 1) então Sn =
n∑i=1
X2i ∼ χ2
n
Resumo:
Sejam X1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas em que Xi ∼ N(0, 1). Então
X2i ∼ χ2
1
E seja Sn = X21 +X2
2 + . . .+X2n. Então:
Sn =
n∑i=1
X2i ∼ χ2
n
QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 � Fundação Universa
44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
padrão 1 e se S = X21 +X2
2 + . . .+X2n, então S terá distribuição de
probabilidade
(A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade.
(B) t�Student com n− 1 graus de liberdade.
(C) t�Student com n graus de liberdade.
(D) gama com n2 graus de liberdade.
(E) qui-quadrado com n graus de liberdade.
QUESTÃO: SECRIANÇA-DF/2015 � Fundação Universa
44. Caso X1, . . . , Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, com distribuição de probabilidade normal, com média 0 e desvio
padrão 1 e se S = X21 +X2
2 + . . .+X2n, então S terá distribuição de
probabilidade
(A) qui-quadrado com 2n graus de liberdade.
(B) t�Student com n− 1 graus de liberdade.
(C) t�Student com n graus de liberdade.
(D) gama com n2 graus de liberdade.
(E) qui-quadrado com n graus de liberdade.
