Teste do Qui-Quadrado( )2x

Teste do Qui-Quadrado

É usado quando queremos comparar Freqüências

Observadas (F0) com Freqüências Esperadas (Fe).

Divide-se em três tipos:

Teste de adequação do ajustamento

Teste de aderência

Teste de independência

Procedimento para a realização de um teste

de ( )2x

;1)( 2

02

seF

FFx

e

ee

;1)5,0||( 2

02

seF

FFx

e

ee

1º) Determinar as hipóteses

H0 : F0 = Fe

H1 : F0 ≠ Fe

2º) Escolha do nível de significância – α

3º) caso contrário

usa-se a correçãode Yates

Procedimento para a realização de um teste

de ( )2x

,22 xxt

4º) Estatística tabelada:

;1

;1

mk

k

se Fe são estimadas sem estimar parâmetros

se “m” parâmetros são estimados

Procedimento para a realização de um teste

de ( )

5º) Comparar com

2x

2ex 2

tx

grafico grafico

21 ouSe 3Se

022

022

Hserejeitaxx

Hseaceitaxx

te

te

Teste de Adequação do Ajustamento

É indicado para verificar se as F0 dos k-eventos

concordam ou não com as Fe .

Fe = pi . n ; de cada classe.

Caso existam Fe i ≤ 5, estas devem ser aglutinadas.

EXEMPLO:

Em 24 indivíduos de ambos os sexos, queremos verificar

se seguem a probabilidade de ½ para cada sexo,

sabendo-se que existem 11 indivíduos do sexo (2) e 13

indivíduos do sexo (1). Testaremos a hipótese comα = 5%.

H0 : O sexo segue uma distribuição de 50% para o tipo

1 e 50% para o tipo 2.

H1 : O sexo não segue a distribuição de 50% para

cada tipo.

EXEMPLO (cont.):

α = 5% = 0,05; usa-se Yates1121 k

2424Total

1211Tipo 2

1213Tipo 1

FeF0Sexo

e

e

e F

FFx

202

)5,0(

EXEMPLO (cont):

12

)5,01211(

12

)5,01213( 22

2

ex

042,00021,00021,02 ex

..84,3%5, 0222

12

,2 HseAceitaxxxxx tet

grafico

EXEMPLO (cont):

Aceita-se a hipótese H0 isto é,

o sexo segue uma distribuição

de 50 % para o sexo 1 e 50 %

para o sexo 2.

Teste de Aderência

É utilizado para testar a natureza da distribuição

amostral. Queremos verificar a boa ou má

aderência dos dados da amostra a um determinado

modelo (normal, Poisson, binomial,

hipergeométrica...).

EXEMPLO

Para testarmos a natureza de uma distribuição amostral,

realizamos um teste de aderência, quando queremos

verificar se a distribuição amostral se ajusta a uma

curva normal. Queremos testar a Pressão Arterial

Média (PAM) de 24 pacientes, para verificarmos se

segue uma distribuição normal, usando α = 5%.

H0 : Os dados seguem uma distribuição normal.

H1 : Os dados não seguem uma distribuição normal.

EXEMPLO (cont.)

24Total

0≥ 146

6140 ├─ 146

7134 ├─ 140

3128 ├─ 134

1122 ├─ 128

5116 ├─ 122

2110 ├─ 116

0< 110

Pacientes (F0)PAM Pelos dados ao lado temos e , a partir disto podemos calcular o valor de para cada classe, segundo uma distribuição normal. Multiplicando-se essa probabilidade pelo nºtotal de elementos, obtemos a Fe de cada classe, logo, observe a Tabela a seguir:

EXEMPLO (cont.)

2424,001,000024Total

01,670,0694≥ 1,470≥ 146

6 62,75 4,420,114620,90 ├─ 1,476140 ├─ 146

74,660,19420,31 ├─ 0,907134 ├─ 140

35,470,2281- 0,27 ├─ 0,313128 ├─ 134

14,700,1959- 0,85 ├─ - 0,271122 ├─ 128

52,950,1227- 1,44 ├─ - 0,855116 ├─ 122

2 71,28 4,750,0532- 2,02 ├─ - 1,442110 ├─ 116

00,520,02169< -2,020< 110

F0Fe = n.pProb. Classe

Valores de ZF0PAM

Como 2 parâmetros foram estimados , logo m = 2 e . )( Sex 22151 mk

EXEMPLO (cont.)

e

ee F

FFx

202 )(

42,4

)42,46(

66,4

)66,47(

47,5

)47,53(

70,4

)70,41(

75,4

)75,47( 22222

84,62 ex

99,52%5;2

2,

2 xxxt

.022 Hserejeitaxx te

grafico

EXEMPLO (cont.)

Rejeita-se H0 a um nível de significância de 5 % com 2 graus de liberdade, pois , isto é, pressão arterial média, não segue uma distribuição normal.

Teste de Independência (Tabelas de Contingência)

É utilizado para estudar o relacionamento de duas ou

mais variáveis de classificação (ou sua

independência).

As freqüências são dispostas em h linhas e k colunas.

)1(.)1()( 0

112

khondeF

FFx

jie

jieji

kh

e

n

knhnF jie

.

EXEMPLO

Foi feita a análise de 24 indivíduos do sexo masculino e

feminino e será verificado se existe relação entre sexo e

grau de desnutrição, utilizando α = 5%.

H0 : Não existe relação entre sexo e grau de desnutrição.

H1 : Existe relação entre sexo e grau de desnutrição.

7107Total

115 3,213 4,583 3,212

132 3,797 5,424 3,791

F0 FeF0 FeF0 Fe

IIIIIITotal

Grau de DesnutriçãoSexo

EXEMPLO (cont)

EXEMPLO (cont)

79,324

13.7)11( eF 42,5

24

13.10)12( eF 79,3

24

13.7)13( eF

21,324

11.7)21( eF 58,4

24

11.7)22( eF 21,3

24

11.7)23( eF

eFF0

22.1)13(.)12()1(.)1( kh

EXEMPLO (cont)

e

ee F

FFx

202 )(

21,3

)21,35(

75,3

)79,32(

58,4

)58,43(

42,5

)42,57(

21,3

)21,33(

79,3

)79,34( 222222

883,22 ex

99,52%5;2

2,

2 xxxt

grafico

EXEMPLO (cont)

Rejeita-se H0 a um nível

de significância de 5 %

pois , isto é, não há

relação entre sexo e

grau de desnutrição.

OBSERVAÇÕES:

- Em tabelas 2 x 2 temos 1 grau de liberdade, logo

devemos usar a correção de Yates.

- O teste do não é indicado em tabelas 2 x 2 nos

seguintes casos:

i) quando alguma Fe for menor que 1;

ii) quando a freqüência total for menor do que 20;

iii) quando a freqüência total estiver entre 20 e 40 e

alguma Fe for menor do que 5.Nestes casos, aplica-se o teste exato de Fisher.