GEOMETRIA ESPACIAL

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões

são: largura, comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos

geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo,

paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma

representada em algum objeto na nossa realidade, como:

Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.

Cone: casquinha de sorvete.

Cilindro: cano PVC, canudo de refrigerante.

Esfera: bola de isopor, bola de futebol, globo espelhado.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo

cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo

das estruturas das figuras espaciais.

PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais

que são paralelogramos.

Classificação

Um prisma pode ser:

reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja:

prisma reto

prisma oblíquo

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

prisma regular triangular

prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

2ª Obs.: Num prisma, a reunião das faces laterais chama-se superfície lateral; a união desta com as duas bases é

denominada superfície total.

VOLUME DE PRISMAS O volume V de um prisma com área da base Ab e altura h é dado por:

ÁREAS

Em uma figura espacial, sua área total é composta pelas áreas de cada uma de suas faces.

. :

Paralelepípedo

Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

CILINDRO

O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. Podem ser

classificados, de acordo com a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases,

em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua às bases) e cilindro circular reto (a

geratriz é perpendicular às bases).

A primeira figura acima é um cilindro oblíquo, já a segunda é um cilindro

reto.

CÁLCULO DAS ÁREAS DE UM CILINDRO.

Num cilindro, temos as áreas das bases, a área lateral e a área total. Vejamos como

calcular cada uma delas.

A base do cilindro é um círculo de raio r. Dessa forma, a área da base é dada por:

Sb = πr2

Para melhor compreender o cálculo da área lateral ou da superfície lateral, vamos realizar

a planificação do cilindro. Observe a figura:

Dessa forma, podemos verificar que a superfície lateral é um retângulo de base 2πr e

altura h. Assim, a área da superfície lateral será dada por:

Sl = 2πrh

Onde,

h → é a altura do cilindro

r → é o raio da base

Sl → é a área lateral

A área total do cilindro é obtida somando a área das duas bases com a área lateral. Dessa

forma, teremos:

St = Sl + 2Sb

Como

Sl = 2πrh

Sb = πr2

Segue que:

St = 2πrh + 2πr2

Ou

St = 2πr(h+r)

Cálculo do volume do cilindro.

O volume do cilindro, de acordo com o princípio de Cavalieri, é obtido da mesma forma

que o volume de um prisma. Assim, podemos afirmar que o volume do cilindro é igual ao

produto da área da base pela altura, ou:

V = Sb∙h = πr2h

VOLUME E UNIDADES DE MEDIDA

O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior seu

volume, e vice-versa.

Unidades de medida de volume

Para saber se um corpo tem mais ou menos volume do que o outro, devemos saber qual deles tem mais unidades de volume, que tomaremos como unidade-padrão para comparar.

Se o lado de um dos quadrados que formam as faces do cubo medisse 1 cm, teríamos construído um centímetro cúbico (cm3).

O número de centímetros cúbicos que ocupam o mesmo espaço físico que um determinado corpo

recebe o nome de volume deste corpo e é expresso em cm3.

A unidade fundamental de volume é o metro cúbico, que é o volume de um cubo com 1 m de aresta. O

metro cúbico é simbolizado por m3.

Embora a unidade fundamental de volume seja o m3, pode acontecer de usarmos uma unidade, ou muito maior ou muito menor, em função do corpo cujo volume deseja-se calcular. Por isso, para cada múltiplo ou submúltiplo do metro devemos definir também um múltiplo ou submúltiplo do metro cúbico.

Quantos cubinhos têm nesse cubo?

As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1000 em 1000, isto é, cada unidade de volume é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do que a imediatamente superior.

Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer múltiplo do metro, teremos os múltiplos do metro cúbico.

Observe que essas unidades são muito grandes e seu uso é, em geral, limitado. Assim:

• 1 km3 é o volume de um cubo de 1 km de lado.

• 1 hm3 é o volume de um cubo de 1 hm de lado.

• 1 dam3 é o volume de um cubo de 1 dam de lado.

Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer submúltiplo do metro, obteremos os submúltiplos do metro cúbico. Assim:

• 1 dm3 é o volume de um cubo de 1 dm de lado.

• 1 cm3 é o volume de um cubo de 1 cm de lado.

• 1 mm3 é o volume de um cubo de 1 mm de lado.

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade

de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

transformar 2,45 m3 para dm

3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Para transformar m3 em dm

3 (uma posição à direita)

devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm

3

Exemplo:

Quantos centímetros cúbicos tem um decímetro cúbico?

Observe que para passar de dm3 para cm3 temos de deslocar uma unidade para a direita; portanto, multiplicaremos a quantidade dada por mil:

1 dm3 = 1 X 1 000 = 1 000 cm3

Exemplo:

Quantos metros cúbicos têm 2 km3? Para passar de km3 para m3, temos de deslocar três unidades para a direita; portanto, multiplicaremos a quantidade por mil, vezes mil, vezes mil, isto é, por 1 000 000 000:

2 km3 = 2 X 1 000 000 000 = 2 000 000 000 m3

Exemplo:

Para expressar em m3 um volume de 14 hm3 169 dam3 74 dm3, faremos o seguinte:

14 hm3 = 14 X 1 000 000 = 14 000 000 m3

169 dam3 = 169 X 1 000 = 169 000 m3

74 dm3 = 74 ÷ 1 000 = 0,074 m3

14 hm3 169 dam3 74 dm3 = 14 169 000,074 m3

ESFERA Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a

R.

Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

Área da superfície esférica e volume da esfera

A área da superfície esférica de raio R é dada por:

O volume da esfera de raio R é dado por:

Secção de uma esfera

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de

raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

Sendo OO’ = d, temos:

Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o

círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

Testes de Vestibular

1. (UNITAU) Indique quantas faces

possuem, respectivamente, nessa

ordem, os sólidos numerados como I, II,

III e IV a seguir:

a) 8, 6, 5, 6.

b) 8, 6, 6, 5.

c) 8, 5, 6, 6.

d) 5, 8, 6, 6.

e) 6, 18, 6, 5.

2. (UFRGS) Aumentando a aresta de um cubo em 20%, sua área total aumentará em:

a) 20%

b) 44%

c) 96%

d) 144%

e) 264%

3. Num armazém foram empilhadas

algumas caixas que formaram o monte

mostrado na figura a seguir.

Se cada caixa pesa 25 kg quanto pesa o monte

com todas as caixas?

A) 300 B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg

4. (UFRGS) Uma barra de ferro de 60 cm de

comprimento tem todas as secções

transversais iguais a um quadrado com 4 cm

de lado. No torno se faz a maior barra

cilíndrica circular reta possível. Qual é o

volume mais aproximado, em cm3, do

material desperdiçado?

a) 200

b) 206

c) 250

d) 256

e) 270

5. (UFRGS) Num cilindro circular reto de volume 36 , a altura mede 4. Então, o raio

da base mede:

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)6 (E)9

6. (UFRGS) Deseja-se elevar em 20cm o nível de água da piscina de um clube. A piscina é retangular, com 20m de comprimento e 10m de largura. A quantidade de litros de água a ser acrescentada é

a) 4.000

b) 8.000

c) 20.000

d) 40.000

e) 80.000

7. (ENEM 2010) A siderúrgica "Metal Nobre" produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue

O produto das três dimensões indicadas na peça

resultaria na medida da grandeza

a) massa.

b) volume.

c) superfície.

d) capacidade.

e) comprimento.

8. (UNITAU) Se dobrarmos

convenientemente as linhas tracejadas

das figuras a seguir, obteremos três

modelos de figuras espaciais cujos nomes são:

a) tetraedro, octaedro e hexaedro.

b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.

c) octaedro, prisma e hexaedro.

d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.

e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e

hexaedro.

9. (ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Considerando que nenhum dos recipientes tenha

tampa, qual das figuras a seguir representa uma

planificação para bebedouro 3?

10. (UFRGS 2010) Considere um cubo de aresta

10 e um segmento que une o ponto P,

centro de uma das faces do cubo, ao ponto

Q, vértice do cubo, como indicado na figura

abaixo. A medida do segmento PQ é:

a) 10. b) 5√6 c) 12. d) 6√5 e) 15.

11. (UFRGS-02) Na figura abaixo, p é o centro

da face superior de um cubo. A pirâmide de

base hachurada tem um de seus vértices

em P.

Se o volume da pirâmide é 1, então o volume do cubo

é

(A) 2.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 6.

(E) 8.

12. (UFPE 2001) Na figura abaixo o cubo de

aresta medindo 6 está dividido em pirâmides

congruentes de bases quadradas e com

vértices no centro do cubo. Qual o volume

de cada pirâmide?

a) 36 b) 48 c) 54 d) 64 e) 72

13. (ENEM 2010) Uma empresa vende tanques

de combustíveis de formato cilíndrico, em

três tamanhos, com medidas indicadas nas

figuras. O preço do tanque é diretamente

proporcional à medida da área da superfície

lateral do tanque. O dono de um posto de

combustível deseja encomendar um tanque

com menor custo por metro cúbico de

capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do

posto? (Considere π ≈ 3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento

de 1/3.

b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento

de 4/3.

c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento

de 3/4.

d) III, pela relação área/capacidade de

armazenamento de 2/3.

e) III, pela relação área/capacidade de

armazenamento de 7/12.

14. (UFRGS-03) Considere uma esfera inscrita

num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a

melhor aproximação para a razão entre o

volume da esfera e o volume do cubo é

(A) 2/5

(B) 1/2

(C) 3/5

(D) 2/3

(E) 3/4

15. (UFRGS-04) No desenho abaixo, em cada

um dos vértices do cubo está centrada uma

esfera cuja medida do diâmetro é igual à

medida da aresta do cubo.

A razão entre o volume da porção do cubo ocupado

pelas esferas e o volume do cubo é

(A) /6

(B) /5

(C) /4

(D) /3

(E) /2

16. (UFRGS-07) Considere as seguintes

planificações:

Quais delas podem ser planificações do prisma?

a) Apenas I.

b) Apenas II.

c) Apenas I e II.

d) Apenas II e III.

e) I, II e III.

17. (UFRGS-06) A figura abaixo, formada por

trapézios congruentes e triângulos

equiláteros, representa a planificação de um

sólido.

Esse sólido é um

(A) tronco de pirâmide

(B) tronco de prisma

(C) poliedro regular

(D) prisma trapezoidal

(E) prisma triangular

18. (UFRGS) Uma ampulheta pode ser

considerada como formada por dois cones

retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos

em um cilindro reto. A razão entre o volume

de um dos cones e o volume do cilindro é

a) 2

1

b) 3

1

c) 4

1

d) 6

1

e) 8

1

19. (UFRGS) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do

cilindro, então a razão

12

2

VV

V

é:

a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3

20. (UFRGS) A área da base de um cone é 20. Para que o seu volume seja 40, sua altura deve ser

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

21. (UFRGS) O volume de um cubo em que uma face tem área de 12cm² é:

(A) 9cm³ (B) 12cm³ (C) 12 3 cm³ (D) 24cm³ (E)

24 3 cm³

22. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro esta completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa é:

(A) 300 (B) 250 (C) 200 (D)150 (E)100

23. (PUC) Os catetos de um triângulo retângulo

medem 3 cm e 5 cm. O volume, em

2cm , do sólido gerado pela rotação do

triângulo em torno do menor cateto é

a) 2

b)

3

3

c)

3

5

d)

3

35

e) 3

55

24. (PUC/2005-1) Um reservatório tem a forma de uma semi-esfera. A base, que está assentada no solo, possui área interna de

36 2m . O volume de gás que comporta

o reservatório, em 3m , é de

a) 288 π

b) 216 π

c) 144 π

d) 72 π

e) 36 π

25. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é ,6

então seu diâmetro é:

(A) 1 (B) 2 (C) 3

(D) 6 (E) 6

26. (UFRGS) Uma esfera de volume 36está inscrita em um cilindro de volume igual a:

(A) 9 (B) 18 (C) 24

(D) 54 (E) 60

27.

(ENEM 99) Assim como na relação

entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. Faça a correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos.

A correspondência correta entre as figuras

planas e os sólidos de revolução obtidos é:

(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.

(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.

(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.

(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.

(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.

28. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e

o diâmetro da base é 8m. Então, a área total (em m

2) vale:

a) 52

b) 36

c) 20

d) 16

e) 12

29. (UFSM) Quantas garrafas de 300 ml de

refrigerantes são necessárioas para encher uma jarra, na forma de um prisma regular, cuja área de base é 100 cm³ e a altura de 21cm: (A) 2,1 (D) 7,0 (B) 3,0 (E)21,0 (C) 6,3

30. (ENEM 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista

deseja colocar a quantidade mínima de água na

leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.

Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um

volume 20 vezes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um

volume 20 vezes maior que o volume do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um

volume 10 vezes maior que o volume do copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um

volume 10 vezes maior que o volume do copo.

e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um

volume 10 vezes maior que o volume do copo.

31. (ENEM-2007) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa

dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensional, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao lado.

Considere que um marceneiro tenha encontrado

algumas figuras supostamente desenhadas por Escher

e deseje construir uma delas com ripas rígidas de

madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos

desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um

modelo tridimensional real?

32. (UCEPEL-2012-VERÃO) Um poliedro convexo possui 9 faces, 5 quadrangulares e 4 triangulares. Então, o número de arestas e o de vértices desse poliedro, respectivamente, é

a) 16 e 9

b) 18 e 6

c) 12 e 10

d) 14 e 8

e) 10 e 6

33. (UEL 2001) Em qual das alternativas

está a planificação do cubo

representado à esquerda?

34. (UFRGS 09) Observe o quadrado abaixo, cujas diagonais medem 2 dm. A rotação desse quadrado em torno de uma reta que contém uma de suas diagonais gera um

sólido. A superfície desse sólido, em dm2, é de

(A) 2 (B) 22 (C) 32

(D) 23 (E) 33

35. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui a

base inferior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, a água:

a) Ultrapassa o meio do cano

b) transborda

c) Não chega ao meio do cano

d) Enche o cano até a borda

e) Atinge exatamente o meio do cano

36. (UFRGS 08) A areia contida em um cone

fechado, de altura 18cm, ocupa

8

7 da

capacidade do cone.

Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a figura, a altura do tronco de cone ocupado pela areia, em centímetros, é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

37. (UFRGS)-O diâmetro da lua é aproximadamente ¼ do diâmetro da Terra. Aproximadamente quantas vezes a Terra é maior do que a lua em volume?

a) 4 b) 16 c) 64 d) 128 e) 256

38. (UFRGS)-O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede:

a) 5 b) 4 c) 2,5 d) 2 e) 1,25

39. (UFSM) Dobrando-se o raio de uma esfera, o seu volume ficará. (A) multiplicado por 2 (D) inalterado (B) multiplicado por 4 (E) reduzido à metade (C) multiplicado por 8

40. (UFRGS-2011) O paralelepípedo reto A, com dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm é a reprodução de 1:10 do paralelepípedo B. Então o volume do paralelepípedo B é, em cm³:

a) 85 b) 850 c) 8500 d) 85000 e) 850000

41. (UFRGS 06) Duas esferas de raio r foram

colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume do

cilindro não ocupado pelas esferas e o voluma

das esferas é

a) 5

1 b)

4

1 c)

3

1

d)

2

1 e)

3

2

42. (UFRGS-2011) Observe o sólido s formado por 6 cubos e representado na figura abaixo:

Dentre as opções a seguir, o objeto que convenientemente composto com o sólido S, forma um paralelepípedo é:

43. (UFRGS 2011) A superfície total do tetraedro regular representado na

figura abaixo é 9√3. Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura.

O perímetro do quadrilátero é

a) 4.

b) 4√2. c) 6. d) 5√3. e) 6√3.

44. (UFRGS 2005) Na figura abaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.

Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é

a) 25.

b) .

c) 75.

d) .

e) 100.

45. (UFRGS – 2012) Se duplicarmos a

medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide

a) Será reduzido à quarta parte.

b) Será reduzido à metade. c) Permanecerá inalterado. d) Será duplicado. e) Aumentará quatro vezes.

46. (UFRGS 2007) A partir dos quatro vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1, abaixo.

O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, abaixo.

O volume do sólido obtido é (A) 198. (B) 204. (C) 208. (D) 212. (E) 216.

Gabarito:

1 A; 2 B; 3 E; 4 E; 5 E; 6 D; 7 B; 8 E; 9 E; 10 B; 11 D;12 A; 13 D; 14 B; 15 D; 16 D; 17 A; 18 D; 19 B;

20 E; 21 E; 22 D; 23 D; 24 A; 25 A; 26 D; 27 D; 28 B; 29 D; 30 1; 31 E; 32 A; 33 D; 34 B; 35 A; 36

C; 37 C; 38 A; 39 C; 40 D; 41 D; 42 ; 43 C; 44 A; 45 D; 46 A;