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Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 3 1. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura 2).

Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 218 m ,

então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a a) 3,25. b) 2,75. c) 3,50. d) 2,50. e) 3,00.

2. (Unisc 2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com 1

3 de água e

precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7,2 litros. b) 72 litros. c) 21,6 litros.

d) 216 litros. e) 25 litros.


3. (Uepa 2015) Otimização é uma área do conhecimento que se nutre das ciências exatas

para solucionar problemas práticos e efetivos independentemente do contexto onde surgem. As indústrias buscam sistematicamente otimizar o processo fabril visando minimizar o desperdício de material e, em decorrência disso, reduzir custos e ofertar produtos com qualidade a preços menores. Nesse sentido, uma empresa pretende cortar, nos cantos de uma folha de papelão, quadrados de lado x cm, de modo que o volume da caixa aberta seja

máximo, conforme a figura abaixo.

Nessas condições, e sabendo que a medida do lado do quadrado a ser cortado corresponde a

uma das raízes da equação 2 212x 8 Lx L 0 o volume máximo dessa caixa será obtido

quando o lado do quadrado a ser cortado nos cantos da folha de papelão medir:

a) L

cm6

b) L

cm5

c) L

cm4

d) L

cm3

e) L

cm2

4. (Cefet MG 2015) Uma caixa sem tampa no formato de um cubo, cuja aresta mede

3 metros, está sobre uma superfície plana e com água até uma altura de 2 metros em relação

à sua base, conforme mostra a FIG. 1.

A caixa será inclinada de tal forma que a aresta AB ficará totalmente em contato com a superfície plana e haverá perda no volume de água, conforme a FIG. 2.

Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, entre a face ABCD e a superfície plana

é de 30 e, desprezando-se a espessura das faces da caixa, a quantidade de água que

sobrará na caixa, em 3m , é de

a) 9. b) 18.

c) 4 3.

d) 9 3

.2

e) 17 3

.4


5. (Imed 2015) Após a limpeza de um aquário, que tem o formato de um paralelepípedo, com

dimensões internas de 1,20 m de comprimento, 1m de largura e 50 cm de profundidade,

constatou-se que o nível da água atingiu 80% de sua altura máxima. Nessa situação, a

quantidade de água que falta para encher completamente o aquário, em litros, corresponde a: a) 80. b) 100. c) 120. d) 240. e) 480. 6. (Enem PPL 2014) A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente,

4,0 m, 3,0 m e 2,5 m. É necessária a impermeabilização de todas as faces externas dessa

caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que

seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4,0 litros. Informou, ainda, que cada

litro impermeabiliza uma área de 217.700 cm e são necessárias 3 demãos de produto para

garantir um bom resultado. Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço igual a a) 9. b) 13. c) 19. d) 25. e) 45. 7. (Uepa 2014) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel.

Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.

Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos 3 pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 12 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo:

Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal.

Sendo 3V o volume do prisma de base triangular, 4V o volume do prisma de base

quadrangular e 6V o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que:


Adote: 3 1,7.

a) 3 6 4V V V .

b) 3 4 6V V V .

c) 4 3 6V V V .

d) 6 3 4V V V .

e) 6 4 3V V V . 8. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as

dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as

dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.

Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%

9. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para

encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de

baixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 24.


10. (Ufg 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das

regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.

Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 11. (Enem PPL 2014) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma

caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de

profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125

caixas dispostas conforme a figura.

Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras?

a) 33.750 cm

b) 318.750 cm

c) 393.750 cm

d) 3468.750 cm

e) 32.343.750 cm


12. (Espm 2014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são

retângulos de áreas 26cm e 210cm , respectivamente.

O volume desse sólido é de: a) 8 cm

3

b) 10 cm3

c) 12 cm3

d) 16 cm3

e) 24 cm3

13. (Enem PPL 2014) Um agricultor possui em sua fazenda um silo para armazenar sua produção de milho. O silo, que na época da colheita é utilizado em sua capacidade máxima,

tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base medindo L metros e

altura igual a h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para isso, irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com os tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas na tabela:

Tipo de silo Lado

(em metros) Altura

(em metros)

I L 2h

II 2L h

III 2L 2h

IV 4L h

V L 4h Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá escolher o silo de tipo a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 14. (Acafe 2014) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, 2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de

concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 3

4 da

altura. O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 4500. b) 1500. c) 5500. d) 6000.


15. (Enem PPL 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo

retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando

em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A

seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 350 cm cada, que

ficarão totalmente submersas no aquário.

Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário.

O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 48. b) 72. c) 84. d) 120. e) 168. 16. (Ucs 2014) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas

4 m e 6 m, é igual a 3120 m .

Qual será o volume, em 3m , do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos

pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior? a) 30 b) 60 c) 120 d) 180 e) 300 17. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada

metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a

silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 32m desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260.


18. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento

construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi

disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a

3cm, 1cm e 2cm.

O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000. 19. (Upe 2014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo.

Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por Klécio.

a)

b)

c)

d)

e)


20. (Enem PPL 2014) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão

distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura.

Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16 21. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem

comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a uma

vazão de 5.000 litros por hora.

Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm 22. (Uem 2013) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo

hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma

inscrito medem 2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.

01) As arestas das bases do prisma maior medem 4

3 cm.3

02) A área lateral do prisma maior mede 248 3 cm .

04) O volume do prisma menor é 3363 cm .

3

08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 312 3 cm .

16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é 4

3.3

23. (Fgv 2013) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 20 cm

2.

Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm

3, é igual a

a) 18. b) 36. c) 48. d) 54. e) 60.


Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Sabendo que 2(12 2x) x 18 m , vem

2 2x 6x 9 0 (x 3) 0 x 3 m.

Resposta da questão 2: [B] O volume de água no reservatório é igual a

3 3 31 160 216000 72000cm 72dm 72 L.

3 3

Resposta da questão 3: [A] O volume da caixa é dado por

2V (L 2x) x.

Resolvendo a equação 2 212x 8Lx L 0, obtemos

2 2( 8L) ( 8L) 4 12 L 8L 4Lx x

2 12 24

L Lx ou x .

2 6

Portanto, como V 0 para L

x cm,2

só pode ser L

x cm.6

Resposta da questão 4: [D]

Considere a vista frontal, em que o ponto E é tal que DE é paralelo à superfície plana na qual a caixa está apoiada.

O volume de água que sobra na caixa corresponde ao volume do prisma triangular reto cuja base é o triângulo

retângulo de catetos AE e AD, e cuja altura é igual à aresta

do cubo. Portanto, a resposta é

3 31 9 3AD tg30 m .

2 2


Resposta da questão 5:

[C] Sendo a profundidade igual a “altura máxima” do aquário, o nível total preenchido de água foi:

0,5 80% 0,40 m, ou seja, restam apenas 0,10 m 10 cm não preenchidos.

Calculando-se o volume do espaço a ser preenchido de água, tem-se:

30,1 1 1,20 0,12 m

Sendo 31m 1000 L, então 30,12 m 120 L.

Resposta da questão 6: [D] A área que deverá ser impermeabilizada corresponde a

2 22 (4 3 4 2,5 3 2,5) 59 m 590.000cm .

Portanto, o número mínimo de galões para a execução do serviço é igual a

3 59000025.

4 17700

Resposta da questão 7: [B] Tem-se que

23

34 3

V 6 40,8cm ,4

e

23

63 2 3

V 6 61,2cm .2

Portanto, conclui-se que 3 4 6V V V .


[D]

Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . Agora, sabendo que as

dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova

lata, temos

225 16

24 h 24 H h H h 64% H,4 25

isto é, a altura da lata atual deve

ser reduzida em 100% 64% 36%.



[B] Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de

baixo mede 2 .

Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar 3

3(2 )4

2 unidades de volume,

então ela levará 3 3

3

48 10

4

minutos para encher completamente o restante do depósito.


A quantidade de água obtida é dada por

356 160,9 12 18 56 (52 18) 12 24.105,6 m .

2


[D]

O volume pedido é dado por 3125 25 10 15 468.750cm . Resposta da questão 12:

[C] Temos

(ABCD) AB BC AB 2 6

AB 3cm

e

(BCFE) BC BE 2 BE 10

BE 5cm.

Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm.

Por conseguinte, o resultado pedido é

3AB AE 3 4BC 2 12cm .

2 2


[A]

O volume do silo que o agricultor possui é igual a 2 3L h m . Desse modo, o silo a ser comprado

deverá ter volume igual a 2 32L h m .

Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única que apresenta a capacidade desejada é o silo I.



[B]

Como 3

0,75,4 segue-se que o resultado pedido é

31 2 5 (0,75 0,6) 1,5 m 1500 L.


[A] Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue

que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a 40 15 (10 6)

48.50


[D]

Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4 6 h 120, e sabendo que o polígono com

vértices nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é igual

34 6 33h 120 180 m .

2 2


[A]

Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é

igual a 36 520 220 m .

2

Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa

32 m , podemos concluir que o resultado pedido é 220

1102

toneladas.

Resposta da questão 18: [E]

Seja V o volume real do armário.

O volume do armário, no projeto, é 33 2 1 6cm . Logo, temos 3

36 1V 6.000.000cm .

V 100


[D] A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da alternativa [D]. Resposta da questão 20: [D]

O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a 3 5 15.



[E]

O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a 3,5 5000 17.500

litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que

10 5 h 17,5 h 0,35 m 35cm.


01 + 02 + 08 = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos

de um hexágono regular medem 120 , pela Lei dos Cossenos, vem

2 2 2 2

2

2

2 12 2 cos120 4 2

2 2 2 2 4 4 2

16

3

4 3cm.

3

[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede

24 36 h 6 6 48 3 cm .

3

[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por

2

3 33 2 3 366 36 3 cm 3 cm .

2 3

[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a

2

3

4 33 3

36 48 3 cm .

2

Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é

348 3 36 3 12 3 cm .

[16] Incorreto. De [04] e [08], vem 48 3 4 4

3.3 336 3

Resposta da questão 23: [E]

Sejam h e , respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que

2h 20cm , conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face

até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do

triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a

36h 3 h 3 20 60cm .

2

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