prismas, cubos e paralelepípedos -...

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Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 2

1. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou

seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?

2. (Ufpr 2013) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela

figura. Com base nisso, faça o que se pede:

a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará? b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque como função da altura x.

3. (Uem 2013) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo

hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são


os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma

inscrito medem 2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.

01) As arestas das bases do prisma maior medem 4

3 cm.3

02) A área lateral do prisma maior mede 248 3 cm .

04) O volume do prisma menor é 3363 cm .

3

08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 312 3 cm .

16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é 4

3.3

4. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de metal,

com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa, um

quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:

O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é

a) 2 380x 36x 4x

b) 2 380x 36x 4x

c) 2 380x 18x x

d) 2 380x 18x x

e) 2 320x 9x x

5. (Uepb 2013) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2 3 m, tem

capacidade igual a: a) 4.000 litros b) 6.000 litros c) 8.000 litros d) 2.000 litros e) 1.000 litros 6. (Unicamp 2013) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas estão

em progressão geométrica de razão q > 1. a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de

menor área. b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a

252 m2.

7. (Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos

quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas.


a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 8. (Pucrs 2013) Uma piscina na forma retangular tem 12 metros de comprimento, 6 metros de

largura e 2 metros de profundidade. Bombeia-se água para a piscina até atingir 75% de sua altura. A quantidade de água para encher esta piscina até a altura indicada é de ________ litros. a) 54 b) 108 c) 54000 d) 108000 e) 192000 9. (G1 - ifsp 2013) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os pontos médios das

arestas AD, AE, EF, FG, CG e CD, obtém-se um polígono cujo perímetro, em centímetros,

é igual a

a) 6 2.

b) 9 2.

c) 12 2.

d) 15 2.

e) 18 2. 10. (Ufsm 2013) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos

danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em cm

3, dessa embalagem?

a) 150 3. b) 1.500. c) 900 3. d) 1.800. e) 1.800 3.

11. (Upe 2013) Para pintar completamente o cubo representado abaixo, são necessários 300

mililitros de tinta.


Mantendo o mesmo rendimento de pintura, quantos litros seriam necessários para pintar completamente a peça representada abaixo, formada por 13 desses cubos, sabendo-se que não há cubos escondidos?

a) 0,7 litro b) 1,9 litros c) 2,1 litros d) 3,0 litros e) 4,2 litros 12. (Ufrgs 2013) Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo.

Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo? a) I, II e V. b) III, IV e V. c) II, III e IV. d) II, IV e V. e) I, III e V. 13. (Ufpa 2013) Uma indústria de cerâmica localizada no município de São Miguel do Guamá

no estado do Pará fabrica tijolos de argila (barro) destinados à construção civil. Os tijolos de 6


furos possuem medidas externas: 9 14 19 centímetros e espessura uniforme de 8

milímetros, conforme a figura abaixo.

Utilizando 1 metro cúbico de argila, o número de tijolos inteiros que podem ser fabricados é, aproximadamente: a) 740 b) 960 c) 1020 d) 1090 e) 1280 14. (Uern 2012) Uma livraria recebeu caixas cúbicas contendo duas pilhas de livros cada, que preenchem totalmente o espaço no seu interior. Se o total de caixas é igual a 45 e cada livro possui 12 cm de largura e 3 cm de espessura, então o total de livros recebidos é a) 540. b) 450. c) 810. d) 720. 15. (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a

a) 360. b) 344. c) 324. d) 368. 16. (Enem PPL 2012) Em um terreno, deseja-se instalar uma piscina com formato de um bloco

retangular de altura 1 m e base de dimensões 20m 10m. Nas faces laterais e no fundo desta


piscina será aplicado um líquido para a impermeabilização. Esse líquido deve ser aplicado na razão de 1 L para cada 1 m

2 de área a ser impermeabilizada. O fornecedor A vende cada lata

de impermeabilizante de 10 L por R$ 100,00, e o B vende cada lata de 15 L por R$ 145,00. Determine a quantidade de latas de impermeabilizante que deve ser comprada e o fornecedor a ser escolhido, de modo a se obter o menor custo. a) Fabricante A, 26 latas. b) Fabricante A, 46 latas. c) Fabricante B, 17 latas. d) Fabricante B, 18 latas. e) Fabricante B, 31 latas. 17. (G1 - ifsp 2012) Fernando pretende abrir um aquário para visitação pública. Para tanto, pretende construí-lo com a forma de um bloco retangular com 3 m de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de altura. Assim sendo, o volume desse aquário será de

a) 6,5 3m .

b) 7,0 3m .

c) 8,5 3m .

d) 9,0 3m .

e) 10 3m . 18. (G1 - ifsp 2012) Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel A4 tem a forma retangular com 21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de

a) 630 3cm .

b) 51 3cm .

c) 151 3cm .

d) 51 000 3cm .

e) 63 000 3cm . 19. (G1 - ifpe 2012) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um aquário em seu quarto.

Os dois foram a uma loja especializada e compraram os equipamentos necessários. As dimensões do aquário eram: 1,2 metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 metros de altura. Depois que o aquário estava com água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de colocar um castelo de pedra para enfeite. Com cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e percebeu que o nível da água subiu 15 cm. Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele resolveu calcular o volume do castelo. Depois de efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do castelo era, em dm

3,:

a) 1,08 b) 10,8 c) 108 d) 1.080 e) 10.800 20. (Enem 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um

processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.


O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm

3?

a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. 21. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura

mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm.

a) Calcule o volume da embalagem.

b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1

5 (um quinto) quando passa

do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde?

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática.


22. (Pucrs 2012) A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Quer-se construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.

A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é

a) 410

b) 510

c) 35.10

d) 45.10

e) 425.10 23. (Ueg 2011) Considere um cubo com 3 cm de aresta, subdividido em cubos menores, cada

um com 1cm de aresta. Dele foram retirados cubos menores dos centros de cada face e um

cubo menor do seu centro. A figura I mostra o que restou do cubo maior, enquanto a figura II mostra o que foi retirado do cubo.

a) Calcule o volume da figura I. b) Calcule a área da superfície da figura II.

24. (Unicamp simulado 2011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo.


Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa a) 1728 litros de água. b) 1440 litros de água. c) 1000 litros de água. d) 572 litros de água. 25. (Uel 2011) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a

seguir.

A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?

a) 3640 3 cm

b) 31280 3 cm

c) 32560 3 cm

d) 3320 3 cm

e) 31920 3 cm 26. (G1 - ccampos 2011) A figura abaixo mostra como Vicente envolveu, com fitas, três caixas

de 10 cm de comprimento, 4cm de largura e 3cm de altura. Sabendo que Vicente gastou o mínimo de fita nessa tarefa, em qual das três caixas (A, B ou C) Vicente gastou menos fita? Justifique sua resposta.

27. (Pucpr 2010) A figura mostrada a seguir representa uma embalagem de papelão em

perspectiva, construída pelo processo de corte, vinco e cola.


Determine a quantidade de material para fabricar 500 embalagens, sabendo que a aresta da

base mede 10 cm, a altura mede 30 cm e que serão necessários 20% a mais de papelão em

virtude dos vincos.

3 1,7

a) 138,6 m

2

b) 123,30 m2

c) 115,5 m2

d) 11.550 m2

e) 1.386 m2

28. (G1 - cftsc 2010) Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas com as medidas da figura

abaixo. Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m

2 de papelão serão necessários para a

confecção das caixas?

a) 0,328 m

2

b) 1120 m2

c) 112 m2

d) 3280 m2

e) 1640 m2

29. (Ufpb 2010) O reservatório de água de certo edifício tem a forma de um paralelepípedo

reto retangular com base de dimensões internas 3m × 4m, conforme a figura a seguir.


De acordo com as condições do edifício, por medida de segurança, recomenda-se que, no reservatório, deve ficar retida uma quantidade de água correspondente a 18m

3, para combater

incêndio. Para atender essa recomendação, o ponto de saída da água, destinada ao consumo diário dos moradores e do condomínio, deve ficar a uma determinada altura ( h ) do fundo do reservatório, de modo que a água acumulada no reservatório até essa altura seja destinada para combate a incêndio. Nessas condições, a altura ( h ) da saída da água para consumo diário deve ser, pelo menos, de: a) 1m b) 1,5m c) 2m d) 2,5m e) 3m 30. (Enem 2010) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o

modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm

3.

b) 64 cm3.

c) 96 cm3.

d) 1 216 cm3.

e) 1 728 cm3.


Gabarito: Resposta da questão 1:

O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões

0,9cm 3cm 7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da

base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é

dada por

33 0,60,9 3 7,2 7,2 25,92cm .

2

Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 3 6 31cm 10 m , segue que a medida real da

capacidade do depósito é

33

6

25,92 5003240 m .

10

Resposta da questão 2:

a) 35.2.3V 15m .

2

b) x y 5x

ADE ~ ABC y .2 5 2

Δ Δ

Calculando agora o volume VL do líquido, temos:

2

L

5xx. .3

x.y.3 15x2V 0 x 2 .2 2 4



01 + 02 + 08 = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos

de um hexágono regular medem 120 , pela Lei dos Cossenos, vem

2 2 2 2

2

2

2 12 2 cos120 4 2

2 2 2 2 4 4 2

16

3

4 3cm.

3

[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede

24 36 h 6 6 48 3 cm .

3

[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por

2

3 33 2 3 366 36 3 cm 3 cm .

2 3

[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a

2

3

4 33 3

36 48 3 cm .

2

Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é

348 3 36 3 12 3 cm .

[16] Incorreto. De [04] e [08], vem 48 3 4 4

3.3 336 3

Resposta da questão 4: [A] O volume da caixa é dado por

2

2 3

x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )

80x 36x 4x .


[C] Seja a a aresta do cubo.

Sabendo que a diagonal do cubo é igual a a 3, temos a 2. Portanto, como o volume do

cubo é igual a 3 32 8 m , segue que a sua capacidade é de 8 1000 8.000 litros.



a)

Perímetro do quadrado de maior área: P1 Perímetro do quadrado de menor área: P2

2

1

2

P 2x.q 2.x.q 2x.q(q 1)q

P 2x 2.x.q 2x(1 q)

b) Se q = 2, as dimensões do paralelepípedo são: x, 2x e 4x, e sua área total será dada por:

2

2

2. x.2x x.4x 2x.4x 252

28x 252

x 9

x 3

Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 3, 6 e 12, e seu volume V será dado por:

V = 3.6.12 = 156 m

3.


a) O perímetro da folha após a retirada dos quatro cantos é

2 [(23 6) (14 6)] 8 3 74 u.c.

Note que o perímetro da folha antes da retirada dos quatro cantos também mede 74 u.c.

b) A área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos é dada por

223 14 4 3 322 36

286 u.a.

c) A caixa formada tem dimensões 17 8 3. Portanto, seu volume é igual a

17 8 3 408 u.v.



[D]

O volume da piscina é igual a 312 6 2 144 m . Logo, a quantidade de água a ser bombeada,

em litros, para que o nível da piscina atinja 75% de sua altura, é

75144 1000 108.000.

100


[C]

O polígono formado é um hexágono regular de lado a.

2 2 2a 2 2

a 8

a 2 2

Portanto o perímetro do hexágono regular é:

P 6.2 2

P 12 2


[C] O volume da embalagem é dado por

233 10 3

6 900 3 cm .2

Resposta da questão 11: [C]

Considerando que a peça é formada por 14 cubos (nove no 1º nível, quatro no 2º e um no 3º), segue que o número de faces a serem pintadas, após a peça estar montada, é

1º nível 2º nível 3º nível

3 4 3 3 2 2 1 3 3 2 5 42.


Portanto, como cada face consome 300

50mL6

de tinta, concluímos que o número de litros

necessários para pintar completamente a peça é igual a 42 50

2,1.1000


[E] Na planificação [II] existem duas faces que ficarão sobrepostas e a planificação [IV] apresenta um vértice no qual concorrem quatro arestas. Resposta da questão 13: [B]

Supondo que os furos sejam idênticos e que suas dimensões sejam a e b, temos que

2a 3 0,8 9 a 3,3cm

e

3b 4 0,8 14 b 3,6cm.

A quantidade de argila, em 3cm , necessária para fabricar um tijolo é igual ao volume do

paralelepípedo retângulo de dimensões 9cm 14cm 19cm subtraído do sêxtuplo do volume

do paralelepípedo de dimensões 3,3cm 3,6cm 19cm, ou seja,

3

19 (9 14 6 3,3 3,6) 19 (126 71,28)

1040cm .

Portanto, o número de tijolos que poderão ser fabricados com 3 31m 1000000 cm de argila é,

aproximadamente, igual a

1000000

961.1040


[D] Sabendo que cada livro possui 12 cm de largura, e que as caixas terão duas pilhas de livros,

segue que as arestas das caixas medem 2 12 24cm. Logo, como a espessura de cada livro

é 3 cm, temos que cada pilha terá 24

83

livros e, portanto, cada caixa conterá 2 8 16

livros. Desse modo, o número de livros recebidos pela livraria é 45 16 720.



[A]

Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por: 2. 6.18 (superior e inferior) + 2.18.3 (frente e fundo) + 2.6.3 (laterais) = 360. Resposta da questão 16: [A]

Área a ser impermeabilizada: 2A 20 10 2 20 ,1 2 10 1 260m onde serão usados 260 L

de impermeabilizante. Valor gasto com o fornecedor A:

Número de ladas necessárias: 260 :10 26 latas.

Valor das latas: 100 26 2600 reais.

Valor gasto com o fornecedor B:

Número de latas necessárias: 260 :15 17,3333..., ou seja, serão necessárias 18 latas.

Valor das 19 latas: 145 18 2610 reais.


[D]

3V 3 1,5 2 9 m .



[E]

V = 30 21 100 = 63 000 cm

3.

Resposta da questão 19: [C] Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi colocado no aquário.

Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado. V =1,2. 0,6.0,15 = 0,108m

3 = 108dm

3.


[C]

O nível da água subiria 2400

2cm,40 30

fazendo a água ficar com 25 5 2 22cm de altura.

Resposta da questão 21: a) Área da base (área do retângulo menos 4 vezes a área do triângulo):


2

1 1A 20 10 4

2

A 198cm

Portanto, seu volume será:

3V 198 10 1980cm

b) x = volume inicial do sorvete líquido Portanto,

3

xx 1980

5

6x 1980 x 1650cm

5


[A]

Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a 5 m.

Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m 30 m serão cobertas por telhas,

segue que o resultado pedido é dado por 4

2

2 5 3010 .

3 10


a) O volume de um cubo de aresta 3cm é igual a 3 33 27cm , e o volume de um cubo de

aresta 1cm é 3 31 1cm . Logo, como foram retirados 7 cubos do cubo maior, o resultado

pedido é 327 7 20cm .

b) A área da superfície do sólido corresponde à área da face de um cubo de aresta 1cm

multiplicada por 6 5 30, ou seja, 2 21 30 30cm .

Resposta da questão 24: [A]

CABCDE

mxxxxxx

2,195,7695,165,1

5,1

Logo V = (1,2)3 = 1,728m

3 = 1728L



[E]

maior menorV V V

V =

2 26.12 3.10 6.4 . 3.101920 3

4 4


Caixa A = 4.4 + 2.3 + 2.10 = 42 cm; Caixa B = 4.10 + 2.4 + 2.3 = 54 cm; Caixa C = 4.3 + 2.10 + 2.4 = 40 cm. Vicente gastou menos fita na caixa C, pois 40 < 42 < 54. Resposta da questão 27:

[A]

Área total do prisma = AL + 2.Ab = )7,13 doconsideran( 23104

3.10.6.230.10.6

2

Área do prisma com acréscimo de 20% = 1,2.2310 = 2772

Material para 500 embalagens = 500.2772=1386000cm2 = 138,6m

2


[D] Área de uma caixa em cm

2; A = 2.(14.20 + 14.40 + 20.40) = 3280 cm

2

Área de uma caixa em m2; A = 328 m

2

Área total = 0,328 . 10.000 = 3280 m2


[B] 3.4.h = 18 h = 1,5m. Resposta da questão 30: [D] V = volume do cubo maior – volume do cubo menor V = 12

3 - 8

3

V = 1728 – 512 V = 1216

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