Geometria Espacial

• Assunto: Prismas e Pirâmides

Conceitos Básicos

O QUE É UM POLÍGONO?Polígono é uma figura geométrica plana cujo contorno é fechado e formado por segmentos de retas que são seus lados.

O QUE É VÉRTICE?Ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono, ou a três, ou mais arestas de uma figura geométrica espacial.

O QUE É ARESTA?Linha reta comum a duas faces de uma figura espacial.

O QUE É PARALELOGRAMO?Quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.

OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS

Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta.

ab

c

Aresta lateral

Face lateral

Aresta da baseBase

Obs: a, b e c são as dimensões do prisma.

Classificação• Conforme a inclinação das arestas dividimos os prismas

em retos ou oblíquos.

Tipos de prismas retos

Prisma triangular

Prisma Quadrangular

Prisma Hexagonal

Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.

Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.

Prisma Pentagonal

Polígonos Regulares

Quando o polígono é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é

denominado regular.

Área da base (Ab): é a área de um dos polígonos das bases.Área lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais.Área total (At): é a soma da área lateral e das áreas das base.

At = Al + 2Ab

OBS: num prisma regular, se o polígono da base possui n lados, a área lateral pode ser calculada por:

Al = n.Af

ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA

Bl AnA

Área de uma face

Fórmulas dos Prismas

face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral

baselateraltotal A.2AA

.hAV base

Área Lateral

Área Total

Volume

PITÁGORAS

PITÁGORAS

Caso Especial: Paralelepípedo

ab

c

c

bd

Dc

Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das

faces com base.

Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.

cbcabaAt ..2..2..2

At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c

Área Total

V = Ab.h V= a.b.c

Volume

d2 = a2 + b2

Diagonal da base

D2 = c2 + d2

Diagonal do Paralelepípedo

D2 = a2 + b2 + c2

V = AB . HV = a2 . a

Caso Especial : Cubo

a

a

a

a

a

a

a

d

D

Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.

Todo cubo paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é cubo.

(Somente quando a = b = c).

Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.

AB = a² AL = 4a²

AT = 6a² V = a³

Área da Base (AB) Área Lateral (AL)

Área Total (AT) Volume (V)

2d a

3D a

Diagonal da Base (d)

Diagonal do Cubo (D)

AS PIRÂMIDES E SEUS ELEMENTOS

Região espacial dada pela união dos vértices de um polígono com um ponto qualquer fora deste polígono

vértice

face lateral

base

Vértice = Ponto mais distante da base.

Face lateral = regiões triangulares formadas por dois vértices

consecutivos do polígono e o vértice.

Base = polígono sobre o qual a pirâmide se apóia.

Apótema = Altura de cada face lateral.

Altura = Do vértice até o centro da base.

apótemaaltura

• Uma pirâmide é dita reta, quando as arestas laterais são congruentes.• Uma pirâmide é dita regular, quando sua base é um polígono regular.

Podemos Classificar as pirâmides conforme o polígono de sua base; quando a base é um triângulo dizemos que a pirâmide é triangular, quando é um quadrado quadrangular e assim por diante.

Pirâmide pentagonal

Base = pentágono

Pirâmide Quadrangular

Base = quadrado

Pirâmide Regular Reta

Elementos:ArestasFaces

VérticesAlturaApótemas:

A

B

CD

E

Vértice da Pirâmide

M

Apótema da Pirâmide

Apótema da Base

O

AO2+ OM2 = AM2

Pirâmide Quadrangular

A

B

C

D

E

F

G

M

O

• Elementos:

• Arestas

• Base

• Faces

• Vértice da Pirâmide• Vértices da

Base• Apótema da Pirâmide:AM

• Apótema da Base: OM

• Altura da Pirâmide: AO

Pirâmide Hexagonal

A

B

C

D

E

G

M

O

h2 + m2 = g2

AO = Altura da Pirâmide (h)

OM = Apótema da Base (m)

AM = Apótema da pirâmide (g)

(Altura da face)

2.glAF

Área Lateral (AL)

AL = 6.AF

Área Total (AT)

AT = AL + Ab

Pirâmide Hexagonal - Fórmulas

233 2lAB

Aréa da Base (AB)

Área da Face (AF)

HAV b 31

Volume (V)

As fórmulas acima valem para todas as pirâmides. A área da base é a única que varia.

a

Tronco De

Pirâmide

Tronco de Pirâmide

A B

CD

V

A’ B’C’D’ h

d

K

Sendo:

AB = área da base maior

Ab = área da base menor

VT = volume do tronco

K = altura do tronco

Teremos:

bBbBT AAAAHV 3

Volume do Tronco de Pirâmide

Classificação de Prismas e Pirâmides de acordo com a base.

LEMBRE-SE

O Cálculo da área da base depende do polígono da

base!

Nos prismas e nas pirâmides existe uma relação entre o número de lados do polígono da base e o número de faces,

vértices e arestas.

PRISMA PIRÂMIDE

DICA

TRABALHO GRUPO

ABELHAS GEÔMETRAS