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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOSPARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

11PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA

Prof. Cesar Augusto TaclaUTFPR/Campus Curitiba

TÓPICOS

▪ Compromissos ontológicos/epistemológicos LPO▪ Linguagem da LPO▪ sintaxe▪ semântica▪ interpretação/denotação/substituição▪ modelo lógico


▪ modelo lógico▪ pragmática


COMPROMISSOS LPOREPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

▪ Compromisso ontológico é o que cada linguagem pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig, 2004, pg. 235)

▪ Compromissos ontológicos da LPO▪


▪ O mundo é composto por ▪ objetos, ▪ de funções sobre eles e ▪ de relações entre eles;


▪ Compromissos Epistemológicos▪ Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos

epistemológicos, ▪ quais os estados possíveis para as crenças de um agente?

▪ Exemplo:▪ Lógica proposicional � V ou F ou desconhecido


▪ Lógica proposicional � V ou F ou desconhecido▪ LPO �� V ou F ou desconhecido▪ Teoria da probabilidade �� [0, 1]


Representação Compromissos

Ontológico

Compromissos

Epistemológico

Lógica proposicional Fatos V, F, ?


Lógica de primeiraordem

Objetos, relações e funções

V, F, ?

Teoria daprobabilidade

Fatos [0, 1]


repr

esen

taçã

oes

trut

ura

atômicaUtilizada nas soluções de problemas por meio de buscasestadosO mundo é decomposto em uma série de fatos

Utilizada L. proposicional/T. probabilísticafatorada


Tipo

sde

rep

rese

ntaç

ãoqu

anto

à es

trut

ura

Utilizada L. proposicional/T. probabilísticaO mundo é decomposto em uma série de fatos

Utilizada nas LPO/Frames/Redes SemânticasO mundo é decomposto em uma série de objetos e suas relações

fatorada

estruturada


LINGUAGEM DA LPOREPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3


▪ Linguagem possui três elementos principais:

▪ Sintaxe: define um conjunto de fórmulas bem formadas (well-formed formulas- wffs) de acordo com um alfabeto e uma gramática.

▪ Semântica: significado, interpretação


▪ Pragmática: uso (efeito no interlocutor)▪ Ex. Tem alguém atrás de você! ▪ Pode ser um alerta ou um pedido para deixar o caminho livre para alguém que

quer passar


SINTAXELÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

SINTAXE

▪ A sintaxe de uma linguagem é definida por:▪ Alfabeto São os símbolos lógicos e não lógicos (aqueles dependentes

do domínio (da aplicação) escolhidos pelo engenheiro de conhecimentos.

▪ Gramática: regras para geração de fórmulas bem-formadas

Símbolos

pontuação

conectivos

( ) , . [ ]

¬¬¬¬ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ = ∃∃∃∃ ∀∀∀∀


alfabeto

Símboloslógicos

Símbolosnão-lógicos

conectivos

variáveis

predicados

funçõesConstantes(aridade zero)

proposição(aridade zero)

¬¬¬¬ ∧∧∧∧ ∨∨∨∨ = ∃∃∃∃ ∀∀∀∀

x, y, z

SINTAXE: EXEMPLO

A1

C3

B3

D2

Mundo composto por peças.Quais são os objetos?


3 2

exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun

SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de função (não-lógicos)▪ Funções mapeiam objetos para objetos

▪ Constantes são funções de aridade-zero; duas constantesdiferentes podem corresponder ao mesmo objeto

▪ Funções de aridade maior do que zero representam um objeto


A1

C3

B3

D2

Constantes

a

b

a1

1

função

NumDaPeçaa � 1a1 � 1b � 3

SINTAXE: ALFABETO

▪ Símbolos de predicados (não lógicos)▪ Predicados representam relações entre

objetos.

▪ Predicados binários (diádicos)▪ acima(X, Y) = {(a, b), (c, d)}

A1

C3


▪ acima(X, Y) = {(a, b), (c, d)}

▪ Predicados unários (monádicos)▪ vogal(X) = {(a)}▪ peça(X) = {(a), (b), (c), (d)}

▪ Predicados aridade zero (proposições)▪ chove() = {( )} cjto com uma tupla com zero elementos – V

▪ ={ } cjto sem tupla – F (não está chovendo)

B3

D2

SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ GRAMÁTICA▪ expressão := termo | fórmula▪ termo := variável | função([variável]*)▪ fórmula := predicado([termo]*) | termo = termo | ¬fórmula | (fórmula ∧ fórmula) |

(fórmula ∨ fórmula) | ∀variável.fórmula | ∃variável.fórmula

∃x.(P(y) ∨ Q(f(x))expressão


∃x.(P(y) ∨ Q(f(x))Árvore de geração da fórmula acima

expressão

fórmula

∃variável.fórmula

(fórmula ∨ fórmula)

predicado([termo]*) predicado([termo]*)

função([variável]*)

∃x.

P(y) ∨∨∨∨

f(x)

Q( )

( )

SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ GRAMÁTICA

▪ TERMOS▪ Toda variável é um termo▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n,

então f(t1, ..., tn) é um termo


1 n

▪ Exemplos▪ X é uma variável

▪ éPaiDe(X) função de aridade 1

▪ éPaiDe(éMãeDe(X))▪ “avô materno de x”

SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ FÓRMULAS1. Se t1, ..., tn são termos e P é um símbolo de predicado de aridade

n, então P(t1, ..., tn) é uma fórmula

2. Se t1 e t2 são termos, então t1 = t2 é uma fórmula

3. Se α e β são fórmulas e x é uma variável então ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β),


3. Se α e β são fórmulas e x é uma variável então ¬α, (α ∧ β), (α ∨ β), ∀x.α e ∃x.α são fórmulas

▪ Exemplos:▪ X= éPaiDe(Y) fórmula pela regra 2

▪ ∃X.Pai(X) ∧ ∃Y.X=éPaiDe(Y) fórmula pelas regras 1, 2 e 3

SINTAXE: GRAMÁTICA

▪ Subconjunto proposicional da LPO▪ É a LPO sem termos, sem quantificadores; apenas com símbolos

proposicionais. Ex. P ∧ (Q ∨ R)

▪ ESCOPO DOS QUANTIFICADORES▪ Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores▪ Variáveis bounded: estão no escopo dos quantificadores


▪ Variáveis bounded: estão no escopo dos quantificadores

▪ SENTENÇA EM LPO ou FÓRMULA FECHADA

∀y.P(x) ∧ ∃x(P(y) ∨ Q(x))

É qualquer fórmula sem variáveis livres.Possuem valor-verdade.


SEMÂNTICALÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

SEMÂNTICA

▪ Semântica▪ Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas▪ O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos

símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem significado fixo)


Ex. vamos supor que ▪ feliz(joao) é uma fórmula bem formada;▪ O símbolo joao denota um indivíduo;▪ O símbolo feliz é um predicado.▪ Joao tem a propriedade de estar feliz.

▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra

SEMÂNTICA

▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente de pessoa para pessoa

▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos pela dificuldade de precisar seus significados ou pela simples dificuldade de entender o ponto de vista do


simples dificuldade de entender o ponto de vista do modelador▪ PaísDemocrático

▪ MelhorComidaDoMundo

▪ éBoaPessoa

▪ txN27

SEMÂNTICA

▪ Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições precisas (como a de um dicionário) para os símbolos não-lógicos, por exemplo, que um país democrático é um pais que possui eleições, liberdade de expressão, etc.

▪ É preciso somente declarar quais objetos são países democráticos e quais não são.


democráticos e quais não são.

▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos, fala-se em diferentes interpretações


INTERPRETAÇÃOSEMÂNTICA

INTERPRETAÇÃO

▪ Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida por:▪ Há objetos no mundo▪ Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros

não▪ Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade

3, define triplas de objetos que satisfazem o predicado)


3, define triplas de objetos que satisfazem o predicado)▪ Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas

de objetos para objetos.▪ Nenhum outro aspecto do mundo interessa!

Ex. mundo populado por indivíduos onde alguns são felizes e outros não

feliz(x) é verdadeiro para os indivíduos pintados.

INTERPRETAÇÃO

▪ Interpretação ℑℑℑℑ é um par (D, I)▪ D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos

▪ I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para relações em D.

I[função(…)] ∈ [Dn → D]

I[constante] ∈ Dn


I[predicado(…)] ⊆ Dn

I[constante] ∈ Dn

Dn é D1 x … x Dn

INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO

▪ Interpretação ℑℑℑℑ é um par (D, I)▪ Exemplo: D = {1, 2, 3, …}

▪ Interpretação de constantes▪ I[1] = 1▪ I[2] = 2▪ …

▪ Interpretação de predicados


▪ Interpretação de predicados▪ I[Par] = {2, 4, 6, …}

▪ Interpretação de funções▪ I[Suc] = {(1 � 2), (2 � 3), …}

▪ ℑ ⊯ Par(3)▪ ℑ ⊫ Par(Suc(3))

INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO

▪ Interpretação ℑℑℑℑ é um par (D, I)

▪ Exemplo: considere o domínio de pessoas e

cachorros

▪ Pessoa(x) é um predicado unário

▪ Cao(x) é um predicado unário

Totó

catitascooby

joão

maria

Domínio

MelhorAmigo

Dono

Dono

I[Pessoa] ⊆ D

I[Cao] ⊆ D


▪ melhorAmigo(x) é uma função que mapeia uma pessoa para seu melhor amigo

▪ Dono(x, y) é um predicado binário que relaciona um objeto x a um objeto y indicando que x é dono de y

catitascoobyI[Cao] ⊆ D

I[MelhorAmigo] ∈ [D → D]

I[Dono] ⊆ D x D é um conjunto de pares de objetos,

onde o primeiro é uma pessoa dona

do segundo que é um cão.

INTERPRETAÇÃO

▪ As funções em LPO são totais ▪ Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor

amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com objetos que não são pessoas!

▪ I[MelhorAmigo] ∈∈∈∈ [D →D]


▪ Interpretação envolve denotação ��


DENOTAÇÃOSEMÂNTICA

DENOTAÇÃO

joão

maria

Domínio

MelhorAmigoAna

Denotação: pode ser entendida como atribuição de valores aos termosde uma interpretação, sendo que os valores são objetos do domínio(ou denotação é a correspondência entre símbolos e objetos do mundo).

Ex.: Qual o objeto denotado pelo termo abaixo na interpretação ℑ?

melhorAmigo(joão)


Totó

catitascooby

maria

Dono

Dono

interpretação ℑ

A função MelhorAmigo é total. Neste caso considera-se que na ausência de um melhorArmigo o próprio objeto é melhor amigo dele mesmo (não foi representada na figura)

melhorAmigo(joão)

I[melhorAmigo] ∈ [D → D],

melhorAmigo(joão) = maria

Notação: ||melhorAmigo(joão)||ℑ = maria

DENOTAÇÃO

▪ Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir valores do domínio D às variáveis

▪ Se x é uma variável então a atribuição µµµµ[x] é um elemento qualquer do domínio

▪ Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação ℑℑℑℑ com a atribuição de valores µµµµ representada por ||||||||t||||||||ℑℑℑℑ,µµµµ é definida por

1. Se x é uma variável então ||||||||x||||||||ℑℑℑℑ,µµµµ = µµµµ[x]


1. Se x é uma variável então ||||||||x||||||||ℑℑℑℑ,µµµµ = µµµµ[x]

2. Se t1, …, tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n então

||||||||f(t1, …, tn)||||||||ℑℑℑℑ,µµµµ = F(d1, …, dn) onde F=I(f) e di = ||||||||ti||||||||ℑℑℑℑ,µµµµ

▪ Observar que ▪ I(f) é a interpretação de f definida por [D x … x D� D]▪ As regras são recursivas (um termo pode ser uma função)▪ ||t||ℑ,µ é sempre UM elemento de D


SATISFAÇÃOSEMÂNTICA

SATISFAÇÃO

Dada uma interpretação ℑ = (D, I) e uma denotação ||.||ℑ,µ, pode-se determinar quais sentenças são verdadeiras e quais são falsas na interpretação ℑ. Uma sentença verdadeira é dita satisfeita.

Diz-se: uma sentença α é satisfazível em ℑ com a atribuição µ.

Escreve-se: ℑ, µ ╞ α


Escreve-se: ℑ, µ ╞ α

Escreve-se: ℑℑℑℑ ╞ αααα quando se trata de sentenças (semvariáveis livres, que é o caso de uma KBS)

Uma fórmula (e portanto um sentença) é• Não satisfazível: se α não é satisfazível em nenhum par (ℑ, µ) • Falseável: se existe algum par (ℑ, µ) que não satisfaz α• Válida (i.e., uma tautologia): se toda (ℑ, µ) satisfaz α

SATISFABILIDADE

∃∃∃∃x.Cão(melhorAmigo(x)) A fórmula acima é satisfazível na interpretação ℑcom a atribuição µ[x] se e somente se ao utilizarmos I para obter os objetos denotados por Cão e por melhorAmigo(x) atribuindo-se um valor à variável x, encontrarmos um objeto x que é um cão. joão

Domínio

MelhorAmigoanaO par (ℑ,µ) abaixo não satisfaz a fórmula:


totó

catitascooby

maria

Dono

Dono


Encontre um par (ℑ,µ) que satisfaça à fórmula.

I[Pessoa]={ana, joão, maria}I[Cão]={Totó, catita, scooby}I[melhorAmigo]={ana → maria, joão → maria,

maria → joão, totó → totócatita → catita, scooby → scooby],

µ[x]=joão

MODELO LÓGICO

▪ Uma interpretação ℑℑℑℑ é um modelo lógico de um conjunto de sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras na interpretação ℑ com uma atribuição µµµµ

▪ Notação: ℑ ╞ S

Conjunto de sentenças S∃x.Cão(melhorAmigo(x))∀y.Pessoa(y)→ Pessoa(melhorAmigo(y))

joão

Domínio

MelhorAmigoana


∀y.Pessoa(y)→ Pessoa(melhorAmigo(y))

Há um par (ℑ, µ) que satisfaça o conjunto S?

O par (ℑ,µ) abaixo satisfaz a fórmula:

I[Pessoa]={ana, joão, maria}I[Cão]={Totó, catita, scooby}I[melhorAmigo]={ana → maria, joão → maria,

maria → joão, totó → totócatita → catita, scooby → scooby],

µ[x]={totó}µ[y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby}

totó

catitascooby

maria

Dono

Dono


Ver itens 6 e 7 do slide seguinte

SATISFAÇÃO


Copyright Brachman e Levesque, pg. 22

Atribui d a v


PRAGMÁTICALÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

CONSEQUÊNCIA LÓGICA

▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos

▪ Por exemplo, sendo γ (gama) definido por ¬(β ∧ ¬α), ℑ uma interpretação onde α é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de como entendemos os símbolos β e α


▪ Sempre que α for verdadeiro, γ o será!!! γ é uma consequência lógica de α ou a verdade de γ está implícita na verdade de α

CONSEQUÊNCIA LÓGICA

▪ Formalmente: α é uma implicação lógica de S se e somente se α é verdadeira em todos os modelos de S

S╞ αααα sse para toda interpretação ℑℑℑℑ, se ℑℑℑℑ╞ S então ℑℑℑℑ╞ αααα


� De outra forma, � não há interpretação ℑℑℑℑ onde ℑℑℑℑ ╞ S ∪ {¬ αααα}

(i.e. S ∪ {¬ αααα} é insatisfazível)

▪ Explicar ▪ Existencial▪ Universal▪ Equivalência

▪ Ver http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/slides/logic/fol/fol-1.pdf


▪ Ver http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/slides/logic/fol/fol-1.pdf▪ A partir do slide 30

PRAGMÁTICA

▪ Por que consequência lógica é importante?

“Reasonning based on logical consequence only allows safe, logically guaranteed conclusions to be drawn. However, by starting with a rich collection of sentences as given premises, including NOT ONLY FACTS ABOUT PARTICULARS of the intended application but also those expressing connections among the nonlogical symbols involved, the set of entailed conclusions becomes a much richer set, closer to the set of


entailed conclusions becomes a much richer set, closer to the set of sentences true in the intended interpretation. Calculating these entailments thus becomes me like the form of reasoning we would expect of somenone who understood the meaning of the terms involved”.

Brachman & Levesques, KR and Reasonning, pg. 25.

CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA

A

α = Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?

verdeB

B é verde b está sobre c,portanto há um cuboverde sobre um não verde


C

B

c não é verde

cor desconhecida

B

Dois casos possíveis

B não é verde a está sobre b,

portanto há um cuboverde sobre um não verde

Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita!Portanto, a sentença α é uma crença implícita.

EXERCÍCIO

▪ Formalize a KB da transparência anterior utilizando:▪ os predicados ▪ G(x) que significa x é green e ▪ O(x, y) que significa cubo x está sobre cubo y.

▪ As constantes a, b e c para representar os cubos

▪ Demonstre que a sentença α = Há um cubo verde sobre

um não verde é consequência lógica da KB


um não verde é consequência lógica da KB

▪ Para tal, faça;▪ A KB, denominada S, em sentenças da LPO▪ a sentença α em LPO▪ Encontre e represente todas as interpretações e atribuições que

sejam modelos de S▪ Mostre que α é satisfeita em todos os pares (interpretação,

atribuição)

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