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Potenciais e campos II

Métodos computacionais II

Potencial elétrico

2

• Encontrando o potencial elétrico e o campo elétrico para em uma região do espaço:

Potencial elétrico

2


• A lei de Gauss nos diz que

Potencial elétrico

! · E =!

"0

2



• Mas sabemos que

Potencial elétrico

! · E =!

"0E = !"V

2

!2V = " !

"0



• Mas sabemos que

• E somos levados a equação de Poisson:

Potencial elétrico

! · E =!

"0E = !"V

2

!2V = " !

"0



• Mas sabemos que

• E somos levados a equação de Poisson:

• Para um espaço livre de cargas, ela é conhecida como equação de Laplace

Potencial elétrico

! · E =!

"0E = !"V

!2V = 0

2

Equação de Poisson

3

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= ! "

#0


• Para encontrarmos o potencial elétrico em uma região com cargas

3

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= ! "

#0



• Também é uma equação diferencial parcial

3

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= ! "

#0




• Vale o método numérico usado para a equação de Laplace

3

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= ! "

#0




• Vale o método numérico usado para a equação de Laplace

• Método de relaxação de Jacobi

3

!2V

!x2+

!2V

!y2+

!2V

!z2= ! "

#0

Como resolver?x = i!x, y = j!y, z = k!zDiscretização:

4


Usaremos a notação:!V

!x(i + 1/2) =

V (i + 1, j, k)! V (i, j, k)!x

!V

!x(i! 1/2) =

V (i, j, k)! V (i! 1, j, k)!x

4


Usaremos a notação:!V

!x(i + 1/2) =

V (i + 1, j, k)! V (i, j, k)!x

!V

!x(i! 1/2) =

V (i, j, k)! V (i! 1, j, k)!x

4

!2V

!x2! 1

!x

!!V (i + 1/2)

!x" !V (i" 1/2)

!x

"então

Solução

5

V (i, j) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Solução

• A densidade de cargas é uma função da posição no grid.

5


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Solução


• ∆x=∆y=∆z

5


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Solução


• ∆x=∆y=∆z

• O algoritmo funciona exatamente como no caso anterior.

5


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Solução


• ∆x=∆y=∆z

• O algoritmo funciona exatamente como no caso anterior.

• Ainda precisamos das condições de contorno

5


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Geometria e condição de contorno

6

+q

•Vamos trabalhar em 3D•Primeiro exemplo:

•Carga pontual no centro de uma caixa• V=0 nas faces

Principais mudanças

7


• Agora teremos arrays tridimensionais como V(i,j,k) e loops em i, j e k.

7



• Mudam as condições iniciais

7



• Mudam as condições iniciais

• Muda a sub-rotina atualiza

7

Sub-rotina atualiza

8

• loop por todos os pontos (i,j,k) excluindo a fronteira:

Sub-rotina atualiza

8


•

Sub-rotina atualiza

8

Vnovo(i, j, k) =16[V (i! 1, j, k) + V (i + 1, j, k) + V (i, j ! 1, k)

+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0


•

• Array ρ(i,j,k) contém a densidade de carga por elemento do grid

Sub-rotina atualiza

8


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0


•


• No exemplo, ρ(i,j,k)=0, exceto em ρ(0,0,0)=Q/dx3

Sub-rotina atualiza

8


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0


•


• No exemplo, ρ(i,j,k)=0, exceto em ρ(0,0,0)=Q/dx3

• adicionar | Vnovo(i,j,k) - V(i,j,k)| a dV

Sub-rotina atualiza

8


+V (i, j + 1, k) + V (i, j, k ! 1) + V (i, j, k + 1)]

+!(i, j, k)(!x)2

6"0

Resultados

9

Resultados

• Agora temos campos e potenciais que dependem de 3 variáveis

9

Resultados


• Visualização?

9

Resultados


• Visualização?

• Teremos que utilizar fatias de planos xy, por exemplo.

9

Potencial Elétrico

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1

-0.8-0.6

-0.4-0.2

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

V(x,y) (z=0)

Campo Elétrico

11

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

y

x

E(x,y)

Duas cargas (+q e -q)

12

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1

-0.8-0.6

-0.4-0.2

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

y

-2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2 2.5

V(x,y) (z=0)

Três cargas

13

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x -1

-0.8-0.6

-0.4-0.2

0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

y

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

V(x,y) (z=0)

Campo Elétrico

14

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

y

x

E(x,y)

Simetrias

15

V(i,j)V(1,j)=-1

V(N,,j)=-1

• Segundo a lei de Biot Savart, o campo magnético produzido B produzido por uma corrente I é dado por

Campos magnéticos

16

d !B =µ0I

4"

d!z ! !r

r3

• Segundo a lei de Biot Savart, o campo magnético produzido B produzido por uma corrente I é dado por

Campos magnéticos

16

d !B =µ0I

4"

d!z ! !r

r3

+L-L dz

r

x

zϑ

Campo magnético

17

• Seguindo a simetria do problema:

Campo magnético

17

dB =µ0I

4!

dz sin(")r2

• Seguindo a simetria do problema:

• Escrevendo tudo em termos de x e z e fazendo a discretização:

Campo magnético

17

dB =µ0I

4!

dz sin(")r2

B !! µ0I

4!

x!z

(z2 + x2)3/2

Computando...

18

Computando...

• Integração pode ser feita de diversas formas

18

Computando...


• Curso de Métodos Computacionais I, aula 8

18

Computando...


• Curso de Métodos Computacionais I, aula 8

• Método de Simpson

18

Resultados

19

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