potenciação no conjunto dos números inteiros -...

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1

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Podemos expressar o produto de quatro fatores iguais a 2.

2.2.2.2. por meio de uma potência de base 2 e expoente 4:

2.2.2.2 = 24

Temos, dois elevado à Quarta ou dois à Quarta.

Do mesmo modo, podemos representar um produto de quatro fatores iguais a –2.

(-2). (-2). (-2). (-2)

por meio de uma potência de base –2 e expoente 4:

(-2). (-2). (-2). (-2) = (-2)4

Para todos os números a e n,. com n > 1, a potência an

é o produto de n fatores iguais a a. .

Se n = 1, a1 = a , sen = 0 , a0 = 1

Exemplo: Se a = -8 e b = 3, calcule o valor da expressão algébrica ab.

Exercícios:

01 – Calcule cada potência abaixo.

a) (-3)2 = d) (-8)2 =

b) (–5)3 = e) (-1)5 =

c) (+10)4 = f) (-1)4 =

02 – Escreva cada expressão na forma de potência.

a) (-6) . (-6) . (-6) =

b) (+7) . (+7) . (+7) . (+7) =

c) (-9) . (-9) . (-9) =

d) (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) =

e) 4.4.4.4.4 =


2

Propriedade da Potenciação

Veja como simplificamos o produto (-5)3.(-5)4:

(-5)3.(-5)4 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = (-5)7 = (-5)3+4

Se a é um número inteiro e m e n são números naturais,

am. an = a m+n

O quociente de duas potências também pode ser expresso de um modo mais simples.

Por exemplo,

2

5

22

= (-2)5 (-2)2 =

2.22.2.2.2.2

= (-2)3

Se b é um número inteiro diferente de 0 e m e n são números naturais,

como m n,

n

m

bb

= bm bn = b m-n

Se c é um elemento do conjunto dos números inteiros

C1 = C e C0 = 1

Para elevar uma potência a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os

expoentes. Veja:

232 = (-2)3 (-2)3 =(-2)3+3 = (-2)6 = (-2)3.2

Se d é um número inteiro e m e n são números naturais,

(dm)n = d m.n

Exercícios

1 – Verifique o máximo que puder .

a) (- a)5 .(- a)3 =


3

b) (-10)100 .(-10)105.(-10)0 =

c) 5

5 4

=

d) 4

4

88

=

e) 7

38

33

=

f)

52

510

3

33

=

2 - Sabendo que a = -4 e b = 2, qual é o valor da expressão algébrica.

OBS:

1º. Todo número elevado ao expoente zero é igual a 1.

2º. Todo número negativo elevado ao expoente par é positivo.

3º. Todo número negativo elevado ao expoente ímpar é negativo.

Propriedade da Potenciação dos números Racionais (Q)

Para todo número racional b e para todos os números naturais m e n, temos:

bm. bn = b m+n ; 53232

21

21

21

21

(bm)n = b m-n ;

84.242

21

21

21


4

Se b é um número racional diferente de 0 e mn;

n

m

b

b= b m-n :

325

2

5

21

21

2121

Uma Quarta propriedade é muito útil para simples cálculos com potências:

12527

3

33

53

5.5.5333

53

53

53

53

Para todos os números racionais b e c, com c 0, e para todo o número natural n:

n

nn

cb

cb

Exercícios

1 – Calcule cada potência

a)

2

21

b)

3

34

c)

1

127

d) 0

10037

=

e)

2

103

2 - Simplifique as expressões numéricas.

a)

21

23

21


5

b)

1

30

232

2117

c)

123

32

23

21

3 - Simplifique usando as propriedades de potenciação

a)

62

21

21

b)

6

15

3131

c)

3

85

32

32

32

d)

5

41

e) 64,0 =

Expoente Inteiro Negativo

Qualquer número elevado ao número inteiro negativo para podermos efetuar tal

potência devemos:

8

1

3

333

21

212

4

9

2

222

23

23

32

Expoente Racional Fracionário

23

3 22 52

5 2 33

Lembrando que a multiplicação de raízes pode ser expressa:

baa.b


6

32

32

3 23 23 22 .bababa

e o quociente:

baba

52

52

5 25 25 22 bababa

Base 10

Sem dúvida como estamos nos relacionando com Eletrotécnica e Eletrônica é

importante que saibamos trabalhar com a base dez, não esquecendo que são válidas as

propriedades da potenciação.

Exercícios

Resolva

a) (-10)3 =

b) (+100)2.(1000)1. (+10)2 =

c)

2732

3237

101010101010

d)

23

5

1010

e)

3235

2523

10101010

Resumo de Potenciação

1) nmnm aa.a

2) nmn

ma

aa


7

3) n mnm

aa

4) 1a0

5) aa1

6) 2

22

a1

a1a


8

FUNÇÕES

Conceito de Função

Definição

Dado dois conjuntos A e B (*) , não vazios, uma relação f de A e B recebe o nome de

aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo

x e A existe um só y e B tal que (x, y) e f.

f é aplicação de A em B f y) (x, / B y / A, x .

Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer

uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).

1. É necessário que todo elemento x A participe de pelo menos um par (x,

y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha.

2. É necessário que cada elemento x A participe de apenas um único par

(x, y) e f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma

flecha.

Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições acima.

isto é:

( i ) se existe um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou

A B

f não é função

( ii ) se existe um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas.

A B

f não é função


9

Exemplo:

1) A relação f em IR, com A = { x IR / -1 x 3} representada abaixo é função,

pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x A encontra sempre o

gráfico de f num só ponto.

2) A relação f de A em IR representa abaixo, onde A = {x IR / -2 x 2} não é

função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos

Exercícios

1) Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função

de A = {-1, 0, 1 , 2} em B = {-2, -1, 0, 1 , 2}. Justificar.

IR S -1 -2 -1 -2 0 -1 0 -1 1 0 1 0 2 1 2 1

3 2 2 3

A (a) B A (b) B


10

IR -1 -2 0 -1 1 0 2 1

2 3

A (c) B

DOMÍNIO E IMAGEM

Definição

Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B

tal que (x, y) f . Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade,

temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é,

Dom = A

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A

tal que (x, y) f , portanto, imagem é subconjunto de contra domínio, isto é, Im de C está

contido em B.

Domínio Contradomínio

Notemos, que, feita a representação cartesiana de função f, temos:

Domínio: (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais

conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o

conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.

A B


11

Imagem: (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais

conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o

conjunto formado por todas as ordenada dos pontos do gráfico de f.

Exemplo:

1)

D = {x IR / -2 x 1}

Im = {y IR / 0 y 4}

2)

D = {x IR / -2 x 3}

Im = {y IR / -1 y 4}

Exercícios:

1) Tomemos algumas funções e determinemos os seu domínio.

a) y = 2x D = IR

b) y = x2 D = IR

c) y = 1 D = IR*

d) y = x D = IR*

y

y

4

1

1 x -2 -1 0

4

-1 3 x -2


12

2) Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaixo:

a)

f g -1 0 -1 0 0 1 0 1 1 2 1 2 2

2

3) Determine a imagem das funções abaixo:

a) b)

FUNÇÕES DO 1.º GRAU

I – Função Constante

Definição

Uma aplicação f em IR em IR recebe o nome de função constante quando a cada

elemento x IR associa sempre o mesmo elemento C IR.

Isto é:

f : IR IR xx

x

(o, C)

y

-2

-2

2

2 x

y

2

-2


13

O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto

(0,C).

A imagem e o conjunto Im = { C}.

Exemplo

1) y = 3 2) y = -1

II – Função Identidade

Definição:

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função identidade quando a cada

elemento x IR associa o próprio, isto é:

f : IR IR

xx

O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1.º e 3.º

quadrantes.

A imagem é Im = IR

1 (0,0)

(1,1)

(2,2)

-1

-1

2

y

1 2 x

y

x

-1

y

x

(0, 3) 3

1

2

(-1,1)


14

II – Função Linear

Definição

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função linear quando a cada elemento x IR, associa o elemento ax IR , onde a 0 é um número real dado, isto é:

f : IR IR

x ax, a 0(*)

Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem a

imagem é Im = IR.

De fato, qualquer que seja o y IR, existe x = ay

IR, a 0 , tal que

f (x) = f

ay

= a ay

= y

Exemplo

y = 2x

x y 1 2

Exercícios

1) Construir num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de IR em IR:

a) y = 2 b) y = x c) y = 2x

2

y

x 1

y

x


15

IV – Função Afim

Definição

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a cada x IR

estiver associado o elemento (ax + b) IR a 0, isto é:

f : IR IR

x ax + b , a 0

V - Gráfico

Obs.: “O gráfico da função f (x) = ax + b (a 0) é uma reta”.

Exemplo:

y = 2x + 1 é uma função afim onde a= 2 e b =1 , e determinemos agora o gráfico

atribuindo ax valores distintos.

x y 0 1 1 3

O gráfico procurado é uma reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,3)

Exercícios:

Construa o gráfico cartesiano da função IR em IR.

a) y 2x – 1

b) y = -20 + 3

c) y = 23x4

VI – Imagem

O conjunto imagem da função afim f: IR IR definida por f (x) = ax + b com a 0 é

IR.

y

x

(0,1)

(1,3)


16

VII – Zero da função afim

Definição

Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula , isto é f (x) = 0, x é zero de y

= f (x) f (x) = 0.

Assim, para determinamos o zero da função afim basta resolver a equação do 1.º grau.

Ax + b =0

Exemplo:

O zero da função f (x) = 2x –1 e x = 21

pois, fazendo

2x –1 =0 2x = 1

x = 21

Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde o

gráfico corta o eixo dos x.

Exemplo:

Fazemos o gráfico da função y = 2x – 1, podemos notar que a reta intercepta o eixo dos

x em x = 21

, isto é, no ponto (21

, 0).

x y 0 -1 1 1

VIII - Função Crescente ou Descrecente

Definição

A função f AB definida por y = f (x) é crescente no conjunto A1 C A se, para dois

valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2 , tivermos f (x1) < f (x2).

1

y

x 1

0 ,2

1

1


17

Em símbolos: f é crescente quando

( x1 ,x2) (x1 < x2 f (x1) < f (x2).

Exemplo:

A função f (x) = 2x é crescente em IR, pois:

x1 < x2 2x1 < 2x2 para todo x1 IR e todo x2 IR.

f (x1) f (x2)

Definição

A função f : AB definida por y = f (x) é decrescente no conjunto A1 C A se, para dois

valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1 com x1 < x2, tem-se f (x1) > f (x2).

Em símbolos f é decrescente quando

( x1 , x2) (x1 < x2 f (x1) > f (x2))

Exemplo:

A função f(x) = -2x é decrescente em IR, pois

x1 < x2 -2x1 > -2x2 para todo x1 IR e todo x2 IR.

f (x1) f(x2)

IX – Sinal de uma Função

Definição

Seja a função f: AB definida por y = f (x). Vamos resolver o problema “ para que

valores de x temos f (x) > 0, f (x) = 0 ou f (x) < 0?”.

Resolver este problema significa estudar o sinal da função y = f (x) para cada x

pertencente ao seu domínio.

Exemplo:

Estudar o sinal da função y = f (x) cujo gráfico está abaixo representado.

y = f (x)

7 4 2 -1 x

y


18

Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f (x) em

relação ao eixo dos x, não importando a posição dos y.

Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:

y = f(x)

sinal de y = f(x) Conclusão:

f(x) = 0 x = -1 ou x = 2 ou x = 4 x= 7

f(x) > 0 -1< x < 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7

f(x) < 0 x < -1 ou 4< x < 7.

Exercícios

1) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo.

a)

y = f(x)

b)

y = f(x)

X – Sinal da Função Afim

Considerando que x = -ab

, zero da função afim f(x) = ax + b, o valor de x para o qual

f(x) = 0, examinemos, então, para que valores ocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0.

y

2 6 -3 -1

-1 2 4 7 x - 0 + 0 + 0 - 0 +

-1 2 4 7 x

x

y

3 -3 -1 x


19

ab

-a

b

ab

Devemos considerar dois casos. 1.º Caso a > 0

f(x) = ax + b > 0 ax > -b x > -ab

f (x) = ax + b < 0 ax < -b x < ab

Colocando os valores de x sobre um eixo, igual sinal da função f(x) = ax + b com a>0,

é:

f(x) ax + b (a > 0)

construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > 0, e lembrando que não , importa a

posição do eixo y, temos:

2.º Caso a < 0

f(x) = ax +b > 0 ax > -b x < -ab

f(x) = ax + b < 0 ax < -b x> - ab

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b com a < 0, é:

- - - - 0 + + + + x

-

+

x

+ 0 - x


20

-a

b

Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b, com a< 0, construindo o gráfico

cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente.

Exercícios

1) Estudar os sinais das funções definidas em IR :

a) y = 2x + 3

b) y = 4 - x

-

+

x


21

ARCOS E ÂNGULOS (I)

Arcos de Circunferência

Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica

dividida dois de seus pontos. Assim, sendo A e B dois pontos quaisquer de uma

circunferência, eles a dividem em duas partes:

Medida de um Arco

Grau

Grau é o arco equivalente a 360

1da circunferência que o contém.

Radiano

Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência

que o contém.

Se m BA

= 1 rad, então comp BA

= 1r.

Em relação à circunferência, observe:

m( BA

) = 1°

m( BA

) = 1 rad


22

Se com BA

= 2 r, então m BA

= 2 rad.

Observação: O raio da circunferência é utilizado como unidade de medida, por isso seu

comprimento não deve ser levado em consideração. Nessas condições, o raio é

denominado raio unitário. Lembrando que qualquer circunferência tem 360º , temos que:

360º corresponde a 2 rad ou 180º corresponde a π rad

Assim, podemos converter grau para radiano (e vice-versa), estabelecendo uma regra de

três.

Exercícios Resolvidos

1. Determine, em radianos, a medida do arco 60º.

Solução

180º --------

x= rad3π

180ºπ 60º.

60º --------- x

2. Calcule, em graus, a medida de cada arco a seguir:

a) 4

3rad b) 1 rad

Solução

a) x = 4

3=

4180º . 3

= 135º

b) rad ------ 180º

x

180º1 x = 180º x =

º180

1 rad ------- x Fazendo 3,14, temos x = 57º19’29”.

Logo, 1 rad equivale a 57º19’29”.

Exercícios Propostos

1. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos.

a) 30º c) 240º e) 330º

b) 45º d) 300º f) 72º


23

2. Transformando 12º em radianos, obtemos:

a) 15

c) 30

rad. e) 12 rad.

b) 15

rad. d) 152

rad.

3. Determine, em graus, as medidas dos arcos.

a) 6π

rad. e) 3

2π rad.

b) 4π

rad. f) 6

5πrad.

c) 3π

rad. g) 6

7π rad.

d) 2 rad. h)

3π 4

rad.

ARCOS E ÂNGULOS (II)

Ângulo Central

Ângulo Central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro dessa

circunferência.

Comprimento de um Arco

Considere a figura a seguir: : é ângulo central

(AB): arco da circunferência determinado por dois pontos,

medido em a radianos

: comprimento de A

B ( = comp BA

r: raio da circunferência


24

Sendo a medida em radianos de , temos: = r

= r

Considerando o raio como unidade de medida: = .1 = m( BA

= m( ̂ )

Assim, o ângulo central de uma circunferência tem medida igual à do arco delimitado

por ele.

Circunferência Orientada

Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos:

horário: sentido do movimento dos ponteiros de

um relógio; por convenção, esse sentido é negativo;

anti-horário: sentido contrário ao do movimento

dos ponteiros do relógio; por convenção, esse sentido é

positivo.

Dizemos que uma circunferência está orientada quando levamos em consideração esses

sentidos.

Todo arco contido numa circunferência orientada recebe o nome de arco orientado.

Na circunferência orientada da figura a seguir, os pontos A e B determinam quatro arcos

orientados. Veja:


1. Calcule o comprimento de uma pista circular de 30 m de raio que descreve um arco

de meia volta ( rad). Dado: = 3,14

Solução

Como rad, temos:

r = 3,14 . 30 = 94,20

Logo, = 94,20 m.


25

2. Determine o comprimento do arco BA

da figura. Dado: 3,14.

Solução:

180º

= 9

4180º

π 80º. rad

80º

= r = 6,98 5 .93,14 . 4 5 .

94

Logo, = 6,98 cm.

3. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 9h 25

min.

Solução:

Observando o ângulo entre os ponteiros do relógio ao lado, podemos escrever: = 4 . 30º + x

(Cada divisão do relógio equivale a um arco de 30º.)

x equivale ao arco que o ponteiro menor descreveu quando o

ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B.

Assim, temos a regra de três:

Ponteiro maior Ponteiro menor

Minutos Graus

60 30º

x= 12º30'225x

60º25 . 30º º

25 x Logo, = 4 . 30º + x = 120º + 12º30”. Então, = 132º 30’


1. Uma circunferência de 3 cm de raios tem um arco de circunferência que mede 9,42

cm. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central corresponde a esse arco.

2. Em uma circunferência de 5 cm de raio, um arco de circunferência mede 3

rad.

Determine o comprimento desse arco.


26

3. Um arco de circunferência de 6 cm de comprimento está contido numa

circunferência de 2 cm de raio. Qual a medida desse arco em radianos? 4. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca:

a) 2h 30min b) 12h 15min

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = 1), sobre a qual um ponto A é a

origem de medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica.

Vamos considerar uma circunferência trigonométrica cujo centro coincide com a

origem do sistema cartesiano e o ponto A (1, 0), que é origem de todos os arcos, como mostra

a figura a seguir:

Os eixos Ox e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de

mesma medida (90° ou 2

rad), numerados no sentido anti-horário, como vemos na figura.

Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas

no sentido anti-horário.

Exercício Resolvido

Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números reais:

3π- e 2π 2, ,

2π 1,π, ,

6π

.


27

Solução:

Para localizar um número real na circunferência trigonométrica, devemos lembrar que

todo número real x ocupa um ponto dessa circunferência, localizado no extremo do arco

trigonométrico igual a x rad.

Assim:

6

está localizado no extremo do arco BA

tal que m( BA

) = 6

rad;

1 está localizado no extremo do arco CA

tal que m( CA

) = 1 rad ( 57°); e

assim sucessivamente. Portanto, temos:

Para localizar um número real na reta, devemos observar o seguinte:

6 1

6π0 logo 0,52,

614,3

- 314,3

3

-1,04 , logo – 2 < - 3

< -1

e assim sucessivamente. Logo, temos:


28


1. Em relação às figuras abaixo, determine, em radianos e em graus, a medida dos

seguintes arcos: BA

, CA

, DA

, EA

, FA

e GA

.

2. Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números

reais:

.3

5e 2π,,2

3π π,,4π ,2 ,

23π ,,

2,

4,

3,

6

3. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de

2 e 6

11,3

5,3

4,6

5,3

2,3

4. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de

medidas:

a) 45°, 135°, 225° e 315°;

b) 60°, 120°, 180°, 240°. 300° e 360°:

c) 30°, 60°, 80°, 120°, 150°, 180°, 210°. 240°, 270°, 300°, 330° e 360°.


29

ARCOS TRIGONOMÉTRICOS E ARCOS CÔNGRUOS

Arcos Trigonométricos

Arcos de uma circunferência trigonométrica com mesma origem e mesma extremidade

são chamados de arcos trigonométricos. Eles podem ser:

positivos, quando marcados no sentido anti-horário;

negativos, quando marcados no sentido horário;

maiores que 360° ou 2 rad, quando têm mais de uma volta.

Observe a figura em que temos um arco de origem A e extremidade E: ele pode assumir

infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário ou no sentido

horário.

Sendo m( EA

) = 20°, temos:

Quando medidos em graus, esses arcos podem ser representados algebricamente pela

expressão:

x = x0 + 360°' . k (k Z )

sendo x0 a 1a determinação positiva do arco trigonométrico (0 x0 < 360°) e k o número de

voltas.

Quando medidos em radianos, os arcos trigonométricos são representados por:

x = x0 + 2k (k Z )


30

Arcos Côngruos

Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 360° (ou 2

rad.)

30º e 1 110º são côngruos: 1 100º - 30º = 1 080º = 3 . 360º

3

14 e

32

são côngruos: 3

14 -

32

= 3

12 = 4 = 2 . 2


1. Represente na circunferência trigonométrica os arcos de medida x = Zk,2

k4

Solução:

Basta atribuir valores para k, determinando os arcos, até completar a primeira vota. A

partir daí, os demais arcos serão côngruos e, portanto, de mesma extremidade que os

anteriores.

k = 0 x = 4

+ 0 . 2

= 4

k = 1 x = 4

+ 1 . 2

= 4

34

2 π

k = 2 x = 4

+ 2 . 2

= 4

+ =

45

44 π

k = 3 x = 4

+ 3 . 2

= 4

74

6π π

k = 4 x = 4

+ 4 . 2

= 4

+ 2

2. Calcule a 1a determinação positiva dos arcos a seguir:

a) 1 530º b) 2

7rad

Solução:

Para calcular a 1a determinação, devemos eliminar as voltas inteiras (k – 360º ou 2 k ),

já que a diferença entre suas medidas é múltiplo de 360º (ou de 2 ). Assim:

a) 1 530º 360º 1 530º = 4 . 360º +90º

90º 4 4 voltas


31

Logo, a 1a determinação positiva é 90º.

b) 2

32π2

32

42

7

1 volta

Logo, a 1a determinação positiva do arco 2

7 rad é

23

rad.

3. Se x = 30º + k . 120º, k Z, calcule a 1a determinação negativa e a 3a determinação

positiva desse arco.

Solução

1a determinação negativa: k = -1 x = 30º +(-1) 120º = -90º

3a determinação positiva: k = 2 x = 30° + 2 . 120º = 270º


1. Dentre os arcos abaixo, identifique os côngruos.

a) –60º e 300º d) 4

rad e 4

13rad

b) 200º e 920º e) –20º e 340º

c) 3º e 310º 2. Represente, na circunferência trigonométrica, as extremidades dos arcos de medidas

(k Z):

a) x = 2

+ k d) x = 2

3 + k

b) x = 2

+ 2 k e) x = k

c) x = 2

3 + 2 k f) x = 2 k

3. Calcule a medida da 1a determinação positiva dos arcos a seguir:

a) 750º c) –500º

b) 3 810º d) 2

33rad.


32

4. Um arco côngruo de 5

137rad é:

a) 5

2rad. d) 2 rad.

b) 3 rad e) 5

7 rad.

c) 5

rad.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO DE UM ARCO

Associando cada número real x a um arco da circunferência trigonométrica, com origem

no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m ( PA

)= x rad, dizemos que seno do

arco x é a ordenada OP1 do ponto P.

Função Seno

Chamamos de função seno a função f: IR IR que, cada número real x, associa o seno

desse número:

f: IR IR, f(x) = sen x

O domínio dessa função é IR e a imagem é Im = [-1,1], visto que, na circunferência

trigonométrica, o raio é unitários e, pela definição de seno, -1 sen x 1, ou seja:

D (sen x) = IR Im (sen x) = [-1,1]


33

Sinal da Função

Como sen x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:

f(x) = sen x é positiva no 1o e 2o quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3o e 4o quadrantes (ordenada negativa)


1. Calcule os valores de sen 0, sen 2

, sen , sen 2

3 e sen 2 .

Solução

Os valores dos senos dos arcos de 0 rad, 2

rad , rad, 2

3 rad e 2 rad

correspondem, respectivamente, às ordenadas dos pontos A, B, C, D, e A:

2. Determine os sinais de sen 30º, sen 130º, sen 220º e sen 330º.

Solução:

Como o seno de um ângulo é a ordenada do ponto-extremidade do arco, os ângulos do

1o e 2o quadrantes são positivos e os 3o e 4o quadrantes, negativos.


34

Assim,

sen 30º e sen 130º são positivos, pois 30º e 130º estão, respectivamente, no

1o e 2o quadrantes.

sen 220º e sen 330º são negativos, pois 220º e 330º estão, respectivamente,

no 3o e 4o quadrantes.

3. Determine para que valores de k IR existe tal que sen x = 2k –3.

Solução:

Como a imagem da função seno é dada por –1 sen x 1, temos:

-1 2k –3 1 -1 + 3 2k 1 + 3 2 2k 4 1 k 2

Logo, S = {k IR / 1 k 2}.


1. Determine os sinais de sen 40º, sen 140º, sen 240º e sen 340º. 2. Calcule os valores de k para os quais existe x nas igualdades:

a) sen x = 2k – 1 c) sen x = 1 – k

b) 2 . sen x = 2k - 4


35

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO (y = sen x)

Para construir o gráfico da função seno, devemos localizar inicialmente, na

circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu seno. Observe:

Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = sen x.

Podemos perceber, pela circunferência trigonométrica e pelo gráfico, que os valores do

2o quadrante são simétricos aos do 1o, e os do 4o são simétricos aos do 3o.


36

Período da Função Seno

Observando o gráfico da função seno, verificamos que o seu comportamento se repete

nos intervalos 0 x 2 (1a volta), 2 x 4 (2a volta) e assim por diante. Dessa

forma, dizemos que a função seno é periódica do período igual a 2 .

p (sen x) = 2π


Construa o gráfico f(x) sen 2x

, 0 x 4 , determinando o seu período e a sua

imagem.

Solução:

2x

x sen 2

x

0 0 0

2

1

2 0

23

3 -1

2 4 0 p = 4

Im = [-1, 1]


37

Exercício Proposto

Construa o gráfico, determine o período e a imagem de cada função para x IR.

a) y sen 2x c) y = sen 3x e) y = sen 3x

b) y = sen 4x

d) y = 2 . sen x f) y = -3 . sen x

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: COSSENO DE UM ARCO

Associando cada número real x a um arco de circunferência trigonométrica, com origem

no ponto A (1,0) e extremidade em um ponto P tal que m ( PA

) = x rad, podemos dizer que o

cosseno do arco x é a abscissa OP2 do ponto P.

Função Cosseno

Chamamos de função cosseno a função f: IR IR que, a cada número real x, associa o

cosseno desse número:

f: IR IR, f(x) = cos x

O domínio de f é IR e a imagem é Im = [-1, 1], uma vez que na circunferência

trigonométrica o raio é unitário e, pela definição de cosseno; -1 cos x 1, ou seja:

D (cos x) = IR Im (cos x) = [-1, 1]


38

Sinal da Função

Como cos x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) cos x é positiva no 1o e 4o quadrantes (abscissa positiva)

f(x) = cos é negativa no 2o e 3o quadrantes (abscissa negativa)


1. Calcule os valores de cos 0, cos 2

, cos , cos 2

3 e cos 2 .

Solução

Os valores dos cossenos dos números 0, 2

, , 2

3 e 2 correspondem,

respectivamente, às abscissas dos pontos A, B, C, D, e A:

2. Determine os sinais de cos 30º, cos 210º, cos 300º e cos 900º.

Solução:

Como o cosseno de um ângulo é a abscissa do ponto-extremidade do arco, os ângulos

do 1º e 4º quadrantes são positivos e os 2º e 3º quadrantes, negativos. Assim:

cos 30º e cos 300º são positivos, porque 30º e300º estão, respectivamente,

no 1o e 4o quadrantes.

cos 120º e cos 210º são negativos, porque 120º e 210º estão,

respectivamente, no 2o e 3o quadrantes.


39

Como o ângulo de 900º ultrapassa uma volta, calculemos sua 1a determinação positiva:

900º 360º

180º 2 voltas

1a determinação positiva 0 180º < 360º Sendo 900º e 180º arcos côngruos, temos cos 900º = cos 180º = -1

3. Para que valores de k IR existe x IR tal que cos x = 5K – 3?

Solução:

Como a imagem da função cosseno é dada por –1 cos x 1, temos:

-1 5k – 3 1 -1 + 3 5k 1 + 3 2 5k 4 52

k 54

Logo: S =

54

52 / IRk k


1. Calcule os valores de k para os quais existe x nas igualdades:

a) cos x = 4k – 7 b) cos x = 4 – 2k 2. Determine os sinais de cos 20º, cos 80º, cos 130º, cos 200º e cos 300º.

3. Calcule o valor de cos 3

+ cos 2 + cos 3

2.

4. Sendo x = 7

, calcule o valor de sen 7x + cos 14x.


40

5. Calcule o valor de y =

2cos4

sen . 2πcos

2πsen . 0sen . 2

2π3sen

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS : GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO (y =

cos x)

Para construir o gráfico da função cosseno, devemos localizar inicialmente, na

circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu cosseno. Observe:

Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = cos x.

Podemos perceber que os valores do 1o quadrante são simétricos em relação aos 4o, e os

do 2o são simétricos aos 3o.


41

Período da Função Cosseno

Observando o gráfico da função cosseno, verificamos que o seu comportamento se

repete nos intervalos 0 x 2 (1a volta), 2 x 4 (2a volta) e assim por diante.

Dessa forma, dizemos que a função cosseno é periódica de período igual a 2 .

p (cos x) = 2


Construa o gráfico f(x) = cos 2x, 0 x 2 , determinado a imagem e o período da

função.

Solução:

2x

x cos 2x

0 0 1

2

4

0

2

-1

23

43

0

2 1 p = Im = [-1, 1]


42

Observação: Sendo a e c números reais e b e m números reais não-nulos, as funções

f(x) = a + b . sen (mx + c) e g (x) = a + b . cos (mx + c) têm período p = m2

Exemplo:

y = 5 + 8 . sen

3x4

p = m2

Como m = 4, logo, p = 42

p = 2

.

y = 10 . cos

2x2

p = m2

Como m = 2, logo, p = 22

=2

2 p = .

Exercícios Proposto

Construa o gráfico de cada uma das funções, determinando o período e a imagem.

a) f(x) = cos 2x

para 0 x 4

b) f(x) = 1 + cos x para 0 x 2

c) f(x) 2 . cos x para 0 x 2

d) f (x) = - cos x para 0 x 2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: TANGENTE DE UM ARCO

Considere a circunferência trigonométrica e uma reta t paralela ao eixo y traçada pelo

ponto A. A essa reta, com a mesma orientação do eixo y, damos o nome de eixo das

tangentes.

Traçando-se uma reta que passe pelo centro O e por um ponto P qualquer da

circunferência trigonométrica, essa reta OP interceptará o eixo das tangentes num ponto T,

determinando em t o segmento orientado AT . Assim, tangente do arco PA

é a medida

algébrica do segmento orientado AT :

tg PA

= AT


43

Se associarmos ao arco PA

um número real x tal que m ( PA

) = x rad, podemos dizer

que tg x = AT:

Do exposto, concluímos que:

Se m( PA

) = 2

, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não existe tg 2

Se m( PA

) = 2

3, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não existe tg

23

Generalizando, dizemos que não existe tg

k2 , k Z.

Relação entre Tangente, Seno e Cosseno de um Arco

Trigonométrico

Observe a figura a seguir:


44

O triângulo OMP é semelhante ao triângulo OAT; assim, podemos escrever:

ATMP

OAOM

Como OM = cos x, MP = OP1 = sen x, AT = tg x e OA = 1 (raio unitário):

x cosx senx tg

xtgsen x

1 xcos

para todo x IR, x 2π

+ k , k Z


Complete a tabela determinando os valores que faltam com aproximação de 0,001.

(Sugestão: usar calculadora.)

Ângulo (graus) 15º 30º 85º

Seno 0,259 0,500

Cosseno 0,966 0,087

Tangente 0,577 11,430 Solução:

tg 15º = 0,9660,259

15º cos15ºsen

0,268, logo tg 15º = 0,268

tg 30º = 577,0500,0º30cos

30º cos0,500577,0

30º cos30ºsen

, logo cos 30º =

0,866

tg 85º = 0,087

85ºsen 430,1185º cos85ºsen

sen 85º = 11,430 . 0,087, logo sen 85º

= 0,996

Exercício Proposto

Complete a tabela abaixo com aproximação de 0,001

Ângulo (graus) 10º 20º 30º 45º 55º 60º

Seno 0,174 0,342 0,500 0,866

Cosseno 0,985 0,866 0,707 0,574

Tangente 0,364 1,000 1,421 1,732


45

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA : FUNÇÃO TANGENTE

Chamamos de função tangente a função f definida de E =

Zk ,πk

2π / xIRx

em IR que a cada número x E associa a tangente desse número:

f(x) = tg x

Dessa forma: D(f) =

Zk , kπ

2πx IR /x

Observe a circunferência trigonométrica a seguir:

Note que, no 1o e 3o quadrantes, a função tg x

varia de 0 até , no 2o e 4o quadrantes, de – até 0.

Assim:

Im (tg x) = (- , + ) = IR

Sinal da Função Tangente

Vamos estudar o sinal de f(x) = tg x considerando alguns exemplo:

a) ponto P no 1o quadrante

c) ponto P no 3o quadrante

b) ponto P no 2o quadrante

d) ponto P no 4o quadrante

Resumidamente, a variação do sinal da função y = tg x é:


46


1. Determine o sinal de:

a)tg 50º b) tg 190o c) tg 3

5

Solução:

Observando as figuras abaixo, temos:

2. Determine o domínio da função y = tg

2π2x

Solução:

y = tg

2π2x

2x + 22

+ k 2x k x 2

k

Logo:

D =

Zk ,

2kπ / xIRx


47

Exercício Proposto

1. Determine o sinal de:

a) tg 60° b) tg 150° c) tg 3

4 d) tg 350°

2. Determine o domínio das funções:

a) y = tg 2x b) y = tg2x

c) f(x) = tg

3x

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE

Com base na relações trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos obter os

seguintes

33

6π tg tg

4

=1 tg 3

= 3

A partir deles, podemos determinar outros, por simetria na circunferência

trigonométrica:

Assim, para valores de x tal que 0 x 2 , temos:


48

x tg x

0 0

6

33

4

1

3

3

2

0

23

2 0

Período da Função tangente

Analisando o gráfico anterior, observamos que o comportamento da função f(x) = tg x

no 1o e 2o quadrantes é o mesmo que no 3o e 4o quadrantes. Ou seja, tg x = tg (x + ) tg (x +

2 ) = ... = tg (x + k ), k Z. Logo, a função é periódica, pois seus valores se repetem a

cada meia volta, de em , e na mesma ordem. Portanto, o período p é:

p (tg x) = π


Construa o gráfico de f(x) = tg 2x

, 0 x 4 , determinando a imagem e o período da

função.


49

2x

x

tg 2x

0 0 0

2

2 0

23

3

2 4 0

A função y = tg 2x

se comporta do mesmo modo de 2 em 2 rad. Assim:

p

2xtg = 2

Im

2xtg = IR

De modo geral, as funções da forma y = tg mx, m IR*, têm período p = mπ

.

Assim, para f(x) = tg 2x

, por exemplo, temos:

m = 2x p

2xtg =

1

= . 2 = 2

Exercício Propostos

1. Construa o gráfico e dê o período de cada uma das funções, para 0 x 2 .

a) y = tg 2x b) y = tg 2x

2. Sendo tg 30° = 33 , calcule os valores de:

a) tg 150° b) tg. 210°

potenciação no conjunto dos números inteiros -...

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