potenciaÇÃo em r 1. potência de base real e expoente natural para um a real e um n natural, maior...
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POTENCIAÇÃO EM R
1. Potência de base real e expoente natural
Para um a real e um n natural, maior ou igual a 2, tem-se:
an =a × a ×...× a, com n fatores iguais a a.
Exemplos:
42 = 4 × 4 = 16
104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
Define-se:
a1 = a, a R
a0 = 1, a R*(A expressão 00 ainda causa polêmica)
POTENCIAÇÃO EM R
2. Potência de base real e expoente inteiro
Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro, define-se:
Quando a base estiver na forma fracionária, basta fazer:
n
n
aa
1
nn
a
b
b
a
9
16
3
4
4
3:.
22
Ex
.1000
1
10
110;
25
1
5
15:
3
3
2
2 Exemplos
POTENCIAÇÃO EM R
3. Potência de base real e expoente racional
Sendo a um número real positivo e os números inteiros m e n, n 1, define-se:
n mn
m
aa
.2
1
16
1161616)2(
422)1(
:
44 14
125,0
33 23
2
Exemplos
POTENCIAÇÃO EM R
Propriedades das potências de expoentes racionais
Obedecidas as condições de existência, são as seguintes:
nais.m, n racio
b
a
b
aV
babaIV
aaIII
aaaII
aaaI
n
nn
nnn
nmnm
nmnm
nmnm
..
)(.
)(.
.
.
POTENCIAÇÃO EM R4. Potência de base real e expoente irracional
As propriedades válidas para os expoentes racionais também valem para expoentes irracionais.
O cálculo de uma potência com expoente irracional dá-se de forma aproximada, com uso de calculadoras científicas, com a aproximação desejada.
Exemplos:
Observação: um número irracional elevado a outro irracional pode ser racional. Uma prova disso é
815,822
707,43314,3
41,12
.332
2
Aplicações das propriedadesEscrevendo em forma de potência de base 5.
6
66
6
6
5
15 15
1
3
23 23
2
1
3
55
1
10
2
10
2
000.000.1
64000064,0)
552,0)
55
1
10
22,0)
5525)
55)
5125)
f
e
d
c
b
a
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
n. de depende não resultado o que Observe
.2
1
6
14
26
)22(2
223
22223
22
02
1
2
1
2
n
n
n
nn
n
nn
E
E
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
22
1
2
32
13
2
132
3
32
332
33
12
1
1
1
2
1
12
E
E
E
E
E
nn
n
n
n
n
n
nn
O resultado não depende de n.
Aplicações das propriedadesSimplificando expressões:
ção.simplifica nessa fantástica aplicação uma temoconstataçã Essa
n.) de depende não resultado o que novamente (Observe 2
316
24824
816
:2 Façamos22223
2222
:separações devidas aspromover Vamos223
22
33
34
33
34
E
x
xE
xx
xxE
x
E
E
n
nn
nn
nn
nn
Aplicações das propriedadesSimplificando expressões:
8
7
22
222
16
14
82
216
22
222
22
222
nulo. seja expoentes dosmenor o que para 0, n Tomemos
expressão. acalcular en para
qualquer valor umescolher vamosn, de depende não resultado o Como
.22
222 iqueSP)Simplif - André Santo (Faculdade
3
4
30
040
3
4
3
4
n
nn
n
nn
n
nn
Exercício zero: simplifique a expressão.
12
124
22
222
nn
nnn
1. Calcule 22 – 32.
2. Encontre x – y sabendo que x = 2 – (1 – 22)2 e y = (33 – 50) + 150.
3. Verifique se (– a)m = – am.
4. Para que valores de m tem-se (– a)m = – am?
5. Verifique se (a + b)m = am + bm.
6. Escreva na forma de uma única potência:
a) x10 . x5
b) y2 y – 2
c) (a2) – 3
7. Escreva em forma de produto de potências:
a) 2x+4
b) 31 + 4x
8. Calcule os valores das expressões:
9. Transforme em potência de base 2:
132
212
)125,0()5,0()25,0()
4
1
2
1
3
2)
Bb
Aa
4
3
8)
125,0)
25,0)
16)
16)
e
d
c
b
a
3
3
5
44)
22)
128)
125,0)
32)
j
i
h
g
f
RADICIAÇÃO EM RSendo a um número real não-negativo e n um número inteiro positivo, define-se:
. com ,0 e Rbbabba nn Sendo a um número real positivo e n um número inteiro positivo, define-se:
Rbabba nn com ,
322 pois,232
11 pois ,11
14412 pois ,12144
82 pois ,28
:
55
33
2
33
-
-
Exemplos
RADICIAÇÃO EM R
As propriedades dos radicais para radicando não-negativos, obedecidas as condições de existência, são as seguintes:
nkn k
n kk
n
n knp kp
nn
n
nnn
aaV
aaIV
aaIII
b
a
b
aII
abbaI
.
.
.
.
.
10. (UFRN) é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
11. (Cesgranrio) Um número real que satisfaz
a) 5,7
b) 5,8
c) 6
d) 6,3
e) 6,6
42713
:é 3935 x
12. (UFRN)O número que devemos adicionar a 5 para obter o quadrado de
13. (UFGO) O número
:é 32
62)
32)
22)
6)
2)
e
d
c
b
a
:a igual é 2818
618)
210)
0)
4)
8
e
d
c
b
a)
14. O valor da expressão ( 1/4)0,5:(1/32)0,2 é:
a) 0,125
b) 0,25
c) 0,5
d) 0,75
e) 1
15. (FUVEST) O valor da expressão :é 12
22
12)
2
1)
2)2
1)
2)
e
d
c
b
a
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
10
446322168)4.
933
33273)3.
2
3322284)2.
522322)1.
então ,10 com , Se
)1(4)2(312
333
32
5
x
xxEx
xx
Ex
xxEx
xEx
yx
aaa
xxxx
xx
xx
xx
yx
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
3
5558
5
4
2
133
333393)6.
32
3
2
3
:fazer Podemos inversas. são mas iguais, são não bases As
3
2
2
3
3
2
2
3
27
8
2
3)5.
5
4
2
1
5 42
125 22
1251
3
3
3
3
xxxxx
Ex
x
Ex
xx
xx
xx
xx
x
xxx
16.Encontre o valor de x em cada caso.
327)
242)
222)
3216)
8)25,0()
3
x
x
x
x
x
e
d
c
b
a
17.Encontre o valor de x em cada caso.
381)
813)
273)
93)
39)
5
33
2
1
31
2
x
x
x
x
x
j
i
h
g
f
18.Encontre o valor de x em cada caso.
000064,0125
1)
6432
1)
9
25
5
3)
2
21
12
1
x
x
x
xx
o
m
l
OUTRAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
36
3
43
36313
:evidência em 3 Pondo
3633
1
x
1
x
x
xx
}3{
3273
4
3363
:4
3por membros os ambos ndoMultiplica
S
xx
x
1
1 1
1
1
3.2 2.2 8
3.2 2 8
4.2 8
2 2
0
{0}
x x
x x
x
x
x
S
}0,1{
.17
17ou 017 Assim,
7
1ou 10187
81
707
87
1778
7
17
2
1
S
xx
yyyy
yyy
xx
x
xx
xx
A FUNÇÃO EXPONENCIAL
Noções teóricas
1a0 e ,)(por definida ,: RaaxfRRf x
1a0 e ,)(por definida ,: RaaxfRRf x
1x 2x
1xa
2xa
2 1x x2 1Para a 1, temos a > a .x x
1xa
2xa
1 2x x1 2Para 0< a < 1, temos a a .x x
1xa
2xa
1x 2x
EX
ER
CÍC
IOS
: CO
MP
LE
TE
AD
EQ
UA
DA
ME
NT
E C
OM
> O
U <
.
41212)
41515)
225
1
5
1)
3155)
32
1
2
1)
422)
4
4
22
31
3
4
xf
xe
xd
xc
xb
xa
x
x
x
x
x
x