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Função real de variável real 2020

Elaborado por: A. A. E. M 1

Definição (função real de variável real)

Seja X e Y conjuntos de números reias. Uma função real F de variável real x de X em

Y, e uma correspondência unívoca que associa a cada número x em X exatamente um

número y de Y. BAf : yfx x .

Nota:

Se uma função está reduzida na forma

xfy , diz – se que está na forma

esplícita;

Se uma função não está resolvida em ordem a qualquer das variaveis,

0, yxf , diz – se que está na forma implícita.

Classificação de Funções:

As funções dividem – se em duas categorias:

1- Algébricas

2- Não algébricas ou trascendentes

Função algébrica

É a função em cuja expressão analítica apenas figuram operações elementares

(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), em números

finitos.

Em cada tema tem exercício resolvido e exercícios

propostos.

Os estudantes devem resolver os exercícios propostos a

partir da próxima semana até dia10/05 /2020.

E devem enviar as resoluções dos exercícios na semana

de 11 à 15 /05/2020.

Att: prof. Altino Matias



Não algébricas ou trascendentes

É a função em cuja a expressão analítica figuram operações exponenciais,

logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas ou elemntares em número infinito

As funções algébricas podem ser: Racionais e irracionais

As Funções algébricas racionais subdividem –se em duas:

Funções algébricas racionais polinomiais ou inteiras.

Ex: cxbxaxf nn

x 1

Funções algébricas racionais faccionárias. Ex:

zbxax

bxbxaxf

pp

nn

x

1

1

As funções algébricas irracionais podem ser de índice par e impar.

DOMÍNIO

Chama – se domínio de uma função real de variável real, ao conjunto de valores que

se podem atribuir a variável independente xf de modo que resulte para a variável

dependente y; valores somente reais.

Para determinar o domínio das funções algébricas deve – se efetuar as simplificações

seguintes e reduções, seguidamente a sua classificação.

O domínio para funções algébricas polinomiais ou inteiras:

,:RxDf

O domínio para funções algébricas fraccionárias:

0:, xDRxDxD

xPf fx



O domínio de funções irracionais de índice par (n é par):

0: xfRxDxfy fn

O domínio de funções irracionais de índice impar ( n é ímpar):

0: xfRxDxfy fn Exemplo:

DOMÍNIO DE FUNÇÕES NÃO ALGEBRICAS OU TESCENDENTE

Função exponencial ( xfay )

Sendo o expoente uma função algebrica, o domínio determina – se

aplicando ao expoente as regras das funções algébrias;

Função logarítmica ( )log xfy

O domínio para as funções logarítmicas é constituido pelos valores para

os quais 0xf

Nota: só existe logaritmos de numeros positivos

Funções circulares directas

Funções da forma ( xyesenxy cos )

O dominio para estas funçoes sera R; isto é RD f

Nota: Sendo, ,cos xfyxsenfy o domínio depende do tipo da

função xf

Funções da forma ( xyetagxy sec )



O dominio para estas funções será:

2

2:

kxRxD f , no

intervalo )2,0(

Funções da forma ( xyeagxy seccoscot )

O dominio para estas funções será: RkkxRxD f ,: ,

Determina o domínio das seguintes funções:

a) 1xy b) 13 xy

Resolução

0: xRxD f

aRxD

IRAFx

y

xy

xyb

f :

...3

1

13

013)

FRAFx

y

xya

...1

01)



Exercícios

1- De acordo as funções abaixo, simplifique-as caso passível, classifique-as e indica o

domínio de cada uma delas

a) 12 xy

b) 12 xy

c) 3

13

3

x

xy

d) e) 2

1

x

xy

e) 13 23 xxyyxyx

f) xxyyx 3501,0 32

VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO

Chamamos de valor numérico de uma função o valor que a variável xfy assume

quando atribuindo a x um determinado valor.

Exemplo:

Considere os conjuntos 5,3,1,12,1,0,1 BeA e a função BAf : definida por

.12 xxf Vejamos quais valores xfy assume:

111211 fx

110200 fx

311211 fx

512222 fx

Exercicios



1- Sendo 232 xxxf definida de R em R, determine:

a) 0f c) 1f e)

3

2f g) 2f + 2f

b) 2f d) 2f f) 3,0f

FUNÇÕES PARES E IMPARES

Função par

A função y = f(x) é par, quando ∀x∈D(f), f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do

seu domínio, f(x) = f (- x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a

mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das

funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.

Se (a,b)∈f ⇒ (-a,b)∈f.

Exemplo: y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Pois, f(2) = 24 + 1 =

17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17

Função ímpar

A função y = f(x) é ímpar, quando ∀x∈D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do

seu domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem

imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das

funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema

de eixos cartesianos. Se (a,b)∈f ⇒ (-a,-b)∈f.

Exemplo: y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).

Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.

Função sem paridade



Se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade. O

gráfico, abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é

simétrica em relação ao eixo dos y e, não é simétrica em relação à origem

Exercícios Resolvidos

Para a resolução dos exercícios abaixo procederemos da seguinte forma: Primeiro

verificaremos se a função é par depois se ela é impar e por fim se ela não tem

paridade.

1 – Determine a paridade das funções abaixo:

a) f(x) = 2x + 3

Solução: f(-1) = 2.(-1) + 3 = 1; f(1) = 2.1 + 3 = 5 e –f(1) = -5.Como f(x) ≠ f(-x)ef(-x) ≠ -

f(x) então a função não é par nem ímpar.

b) g(x) = x2

Solução: f(-1) = (-1)2 = 1; f(1) = 12 = 1.Como f(x) = f(-x)então a função é par.

Exemplo

y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.

Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17

O gráfico abaixo, é de uma função par.



Exemplo

y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).

Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.

O gráfico abaixo é de uma função ímpar:

Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.

http://www.algosobre.com.br/images/stories/matematica/funcoes_06.gif




Exemplo:

O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é

simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.

FUNÇÕES COMPOSTAS

Definição

De um modo geral, dadas as funções f = f(x) e g = g(x) , a função composta h = g o f é

definida por

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)).

Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio

de f. Consequentemente, o domínio de f o g é o conjunto dos valores de x no domínio

de g , tal que g(x) está no domínio de f. Veja o desenho abaixo.




Exemplo 1

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5

g(4x) = (4x)² + 5

g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

Exercicios

1. Dada as funções 112 xxgexxxf , calcule:

a) xfog

b) xgof

c) 2

1

fg

gf



Função inversa

Sendo BAf : uma função bijectora, dizemos que ABf :1 é função inversa de f

se, e somente se, para todo .,,, 1 fxyfyx

Regra prática para determinação da função inversa

Para obter a função inversa de uma função xf , basta reescrever f trocando de lugar

as variáveis x e y e expressar y em função de x.

Exemplo:

Determine a inversa da função: 12 xy .

Resolução

Trocando x por y e y por x, temos: 2

11212

xyxyyx

Então a inversa de 2

112

xyexy

Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à bissetriz dos

quadrantes ímpares ( 1º e 3º ) do plano cartesiano.

Exercicios

1. Dadas as funções 3

1223

xxgexxf , determine:

a) xf 1 b) xg 1 c) 211 gf

2. Sendo 42

1

x

xxf , determine:

a) xf 1 b) ,fD c) xf 1Im d) xfD 1 e e) xfIm

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