matrizes reais (1ª aula ). 1. matriz real de ordem (dimensÃo) n x m consideremos os conjuntos: n n...
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MATRIZES REAIS
(1ª AULA )
1. MATRIZ REAL DE ORDEM (DIMENSÃO) n x m
CONSIDEREMOS OS CONJUNTOS: N n = { 1 , 2 , 3 , . . . , n } e N m = { 1 , 2 , 3 , . . . , m }
DENOMINAMOS MATRIZ REAL DE ORDEM n x m A TODA APLICAÇÃODO TIPO:
N n X N m → R ( i , j ) → a I J
1.1 NOTAÇÃO
AS MATRIZES SERÃO REPRESENTADAS POR LETRAS MAIÚSCULAS EAPRESENTADAS NA FORMA DE TABELAS:
a . . . a a
. . . . . .
a . . . a a
a . . . a a
A
nmn2n1
2m2221
1m1211
1.2 NOTAÇÃO SIMPLIFICADA
OU SIMPLESMENTE:
QUANDO NÃO HOUVER DÚVIDA SOBRE A VARIAÇÃO DOS ÍNDICES
1.3 NOTA
O CONJUNTO DAS MATRIZES REAIS DE ORDEM n x m SERÁ REPRESENTADO POR:
M n x m ( R )
A = ( a i j ) n x m
A = ( a i j )
2. CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES QUANTO A ORDEM
2.1 MATRIZ QUADRADA SE n = m A MATRIZ A SE DIZ MATRIZ QUADRADA DE ORDEM n.
EXEMPLO
333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
A
DIAGONAL PRINCIPAL2.2 NOTA
O CONJUNTO DAS MATRIZES REAIS QUADRADAS DE ORDEM n SERÁREPRESENTADO POR:
M n ( R )
) R ( M SEJA A m xn
2.3 MATRIZ LINHA
SE n = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ LINHA DE ORDEM m
EXEMPLO
2.4 MATRIZ COLUNA
SE m = 1 A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ COLUNA DE ORDEM n
EXEMPLO
1 n
1 3
1 2
1 1
a
.
.
.
a
a
a
A
a . . . a a a A m 1132 11 1
3. CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES QUANTO AOS ELEMENTOS
) R ( M a SEJA A m xnj i
3.1 MATRIZ NULA
N xN j , i , 0 a mnj i SE:
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ NULA DE ORDEM n x m
NOTAÇÃO
O n x m OU SIMPLESMENTE O SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A
VARIAÇÃO DOS ÍNDICES
EXEMPLO
0 0 0
0 0 0 0 3 X 2
3.2 MATRIZ IDENTIDADE
SE:
j i se 0
j i se 1 a e m n j i
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM n
NOTAÇÃO
I n OU SIMPLESMENTE I SE NÃO HOUVER DÚVIDA QUANTO A
VARIAÇÃO DOS ÍNDICES
EXEMPLO
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3
3.3 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
SE:j i 0 a e m n j i
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
EXEMPLO
3 32 31 3
3 22 221
3 12 11 1
a a a
a a a
a a a
A →
3 3
3 22 2
3 12 11 1
a 0 0
a a 0
a a a
A
3.4 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
DE FORMA SEMELHANTE, SE:
j i 0 a e m n j i
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
3.5 MATRIZ SIMÉTRICASE: mni jj i N xN j , i a a e m n
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ SIMÉTRICA
EXEMPLO
3 32 31 3
3 22 221
3 12 11 1
a a a
a a a
a a a
A
3 3
2 2
1 1
a δ β
δ a α
β α a
A →
3.5 MATRIZ ANTI-SIMÉTRICASE: mni jj i N xN j , i a- a e m n
A MATRIZ A SE DENOMINA MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
3 32 31 3
3 22 221
3 12 11 1
a a a
a a a
a a a
A
EXEMPLO
→
0 δ β-
δ- 0 α
β α- 0
A
4. IGUALDADE DE MATRIZES
SEJAM)(b B e )(a A : ) R (M B ,A j ij im xn
AS MATRIZES A e B DIZEM-SE IGUAIS SE E SOMENTE SE:
mnj ij i N xN j , i b a
5. ADIÇÃO DE MATRIZES
SEJAM)(b B e )(a A : ) R (M B ,A j ij im xn
DENOMINAMOS MATRIZ SOMA DA MATRIZ A COM A MATRIZ B, E
INDICAMOS POR A + B, A MATRIZ:
) R (M C m xnTAL QUE:
mnj ij ij i N xN j , i b a c
5.1 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES
RM C , B , A m xn
A1) COMUTATIVA
A + B = B + A
A2) ASSOCIATIVA
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
A3) ELEMENTO NEUTRO (MATRIZ NULA)
A + O n x m = A
A4) ELEMENTO OPOSTO
:RM a- A- , R M a A m xnj im xnj i
m xnOA-A OBSERVAÇÃO
A MATRIZ (- A) É DENOMINADA MATRIZ OPOSTA DA MATRIZ A
5.3 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A EXISTÊNCIA DO ELEMENTO OPOSTO PERMITE DEFINIR A OPERAÇÃO
DE SUBTRAÇÃO DE MATRIZES COMO SENDO UM CASO PARTICULAR DA ADIÇÃO DE MATRIZES, OU SEJA:
A – B = A + ( – B )
5.4 EXEMPLO
2 22 21 21 2
2 12 1111 1
2 21 2
121 1
2 21 2
2 11 1
ba ba
ba ba
b b
b b
a a
a a BA
6. MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM Nº REAL
R α e RM A m xn SEJAM:
DENOMINAMOS MATRIZ PRODUTO DE α POR A E INDICAMOS POR α.A,
A MATRIZ: ) R (M C m xn
TAL QUE:
mnj ij i N xN j , i , b . α c
6.1 EXEMPLO
2 31 3
2 21 2
2 11 1
2 31 3
2 21 2
2 11 1
α.a α.a
α.a α.a
α.a α.a
a a
a a
a a
. α A . α
6.2 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR UM Nº REAL
R β , α e RM B , A m xn
M1) A. β . α A . β . α
M2) B . α A . α B A . α
M3) A. β A . α A . β α
M4) A A . 1
6.3 OBSERVAÇÃO
O CONJUNTO DAS MATRIZES REAIS DE ORDEM n x m MUNIDO DAS
OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR UM Nº REAL FORMAM
UMA ESTRUTURA ALGÉBRICA DENOMINADA ESPAÇO VETORIAL
7. EXERCÍCIO
DADAS AS MATRIZES:
2 1 0 0 0 2A = e B =
1 2 1 6 4 2
DETERMINE AS MATRIZES X E Y TAIS QUE:
2X - Y = A
X + 3Y = B
SOLUÇÃO
2X - Y = A
-2X - 6Y = -2B
-7Y = A - 2B
SUBSTITUINDO O VALOR DE Y NA PRIMEIRA EQUAÇÃO RESULTA:
12X - - . A - 2B = A
7
2X - Y = A
X + 3Y = B -2
1 Y = - A - 2B
7
1 X = 3A + B
7
2 1 0 0 0 21X = 3 . +
7 1 2 1 6 4 2
6 3 0 0 0 21X = +
7 3 6 3 6 4 2
6 3 21X =
7 9 10 5
6 3 2
7 7 7X = 9 10 5
7 7 7
2 1 0 0 0 21Y = - - 2 .
7 1 2 1 6 4 2
2 1 0 0 0 41Y = - -
7 1 2 1 12 8 4
2 1 - 41Y = -
7 -11 -6 -3
2 1 4- - 7 7 7Y = 11 6 3 7 7 7
1X = . 3A + B
7 1
Y = - . A - 2B7