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EEA-05: Síntese de Redes Elétricas e FiltrosAula 6

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos

Tópicos

Síntese de bipolos LCSíntese de bipolos RC

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 2 / 34

Síntese de bipolos LC


Vamos mostrar inicialmente que a impedância de um bipolo LC (e,portanto, sem perdas) é sempre a razão entre um polinômio par por umímpar (ou o inverso).Temos

ZLC (s) =m1(s) + n1(s)

m2(s) + n2(s)(1)

m1 e n1: partes par e ímpar do numeradorm2 e n2: partes par e ímpar do denominador




ZLC (s) =m1 + n1

m2 + n2

m2 − n2

m2 − n2(2)

m1m2 −m1n2 + n1m2 − n1n2

m22 − n2

2(3)

(m1m2 − n1n2) + (m2n1 −m1n2)

m22 − n2

2(4)

Portanto, a parte par da impedância Z (s) é dada por

EvZLC (s) =m1m2 − n1n2

m22 − n2

2(5)

e a parte ímpar é dada por

OdZLC (s) =m2n1 −m1n2

m22 − n2

2(6)




Temos que< [ZLC (jω)] = [EvZLC (s)]s=jω (7)

Se ZLC (s) é a impedância de um bipolo LC (e portanto sem perdas),devemos ter

< [ZLC (jω)] = 0 (8)

para todo ω real. Para isso,

[EvZLC (s)] = 0 (9)

Com isso,m1m2 − n1n2 = 0 (10)

de onde se pode mostrar que ZLC (s) será dado porm1(s)

n2(s)(caso n2 não

seja identicamente nulo) ou porn1(s)

m2(s)(caso n2 seja identicamente nulo).




Desta forma, ZLC (s) terá no denominador um polinômio par ou umpolinômio ímpar.

No primeiro caso, as raízes do denominador terão simetria quadrantal (ses0 é raiz, s0, −s0 e −s0 também são raízes).

No segundo caso, o denominador será dado por um polinômio par vezes s.Assim, também neste caso haverá simetria quadrantal.

As mesmas considerações valem para o numerador de ZLC (s).

Em ambos os casos, ZLC (s) será a impedância de uma rede passiva eportanto seus polos não podem estar localizados no SPD aberto. Portanto,ZLC (s) terá polos e zeros simples e situados no eixo imaginário (aos parescomplexo-conjugados).




Desta forma há quatro possibilidades para a imitância de uma função derede LC:

H(s2 + ω2

1)(s2 + ω2

3) . . . (s2 + ω2

n+1)

s(s2 + ω22)(s

2 + ω24) . . . (s

2 + ω2n)

H(s2 + ω2

1)(s2 + ω2

3) . . . (s2 + ω2

n−1)

s(s2 + ω22)(s

2 + ω24) . . . (s

2 + ω2n)

Hs(s2 + ω2

2)(s2 + ω2

4) . . . (s2 + ω2

n+1)

(s2 + ω21)(s

2 + ω23) . . . (s

2 + ω2n)

Hs(s2 + ω2

2)(s2 + ω2

4) . . . (s2 + ω2

n−1)

(s2 + ω21)(s

2 + ω23) . . . (s

2 + ω2n)

em que 0 < ω1 < ω2 < ω3 < . . . e H > 0.




Para que possamos entender porque os polos e zeros se alternam,consideremos a seguinte expansão em frações parciais de uma função derede F (s) (impedância ou admitância):

F (s) = k∞s +k0

s+

n∑i=1

2ki ss2 + ω2

i

(11)

Com isso,

F (jω) = jk∞ω − jk0

ω+

n∑i=1

2ki jω−ω2 + ω2

i

(12)

e então,

=[F (jω)] = k∞ω −k0

ω+

n∑i=1

2kiω−ω2 + ω2

i

(13)




Desta forma, temos que

d

dω=[F (jω)] = k∞ +

k0

ω2 +n∑

i=1

2ki (ω2 + ω2i )

(−ω2 + ω2i )

2 (14)

o que mostra que

d

dω=[F (jω)] > 0 (15)

para todo valor de ω (exceto nos polos).Pelo fato de a parte imaginária ser sempre crescente, não é possível quedois polos ou dois zeros fiquem lado a lado no eixo das frequências e entãoos polos e zeros devem se alternar.




Figura: Forma possível para o gráfico da reatância de um bipolo LC.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 10 / 34



Vamos agora ver algumas formas canônicas de implementar bipolos LCcom indutores e capacitores:

1a forma canônica de Foster2a forma canônica de Foster1a forma canônica de Cauer2a forma canônica de Cauer



1a forma canônica de Foster

Expandir ZLC (s) na forma

ZLC (s) = k∞s +k0

s+

n∑i=1

2ki ss2 + ω2

i

(16)

e implementar por meio de uma associação série, sendok∞s a impedância de um indutork0

sa impedância de um capacitor

2ki ss2 + ω2

i

a impedância de um LC paralelo




O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:




Expandir YLC (s) na forma

YLC (s) = k∞s +k0

s+

n∑i=1

2ki ss2 + ω2

i

(17)

e implementar por meio de uma associação paralelo, sendok∞s a admitância de um capacitork0

sa admitância de um indutor

2ki ss2 + ω2

i

a admitância de um LC série



1a forma canônica de Cauer

Caso o numerador de ZLC (s) tenha grau maior que o denominador, fazer aexpansão em fração continuada

ZLC (s) = k1s +1

k2s +1

k3s +1

k4s + . . .

(18)

Desta forma, a rede será da forma de uma escada LC, em que cada braçosérie ou paralelo será alternadamente um indutor ou um capacitor.Se o numerador de ZLC (s) tiver grau menor que o denominador, executar oprocedimento de forma análoga com YLC (s).




Caso coloquemos o numerador e o denominador segundo ordem crescentedas potências de s antes de executar a divisão de polinômios, temos aexpansão em fração continuada

ZLC (s) =1k1s

+1

1k2s

+1

1k3s

+1

1k4s

+ . . .

(19)

A forma do circuito será novamente de uma escada LC. Se o numerador deZLC (s) tiver grau menor que o denominador, executar o procedimento deforma análoga com YLC (s).


Síntese de bipolos RC


Pode-se mostrar que propriedades similares às apresentadas para redes LCexistem para redes RC.Em particular, podemos afirmar que uma função racional real é aimpedância de um bipolo RC se e somente se seus polos e zeros sãosimples, estão situados no eixo real negativo de forma alternada e aprimeira frequência crítica é um polo.Desta forma, temos

ZRC (s) = H(s + σ1)(s + σ3) . . .

s(s + σ2)(s + σ4) . . .(20)

com 0 ≤ σ1 < σ2 < σ3 < σ4 < · · · < σn.Para a impedância de um bipolo RC,

dZRC (σ)

dσ< 0 (21)




Figura: Gráfico de ZRC (σ) em função de σ.




Expandir ZRC (s) na forma

ZRC (s) = k∞ +k0

s+

n∑i=1

kis + σi

(22)

e implementar por meio de uma associação série, sendok∞ a impedância de um resistork0

sa impedância de um capacitor

kis + σi

a impedância de um RC paralelo




ExpandirYRC (s)

sna forma

YRC (s)

s= k∞ +

k0

s+

n∑i=1

kis + σi

(23)

tal que

YRC (s) = k∞s + k0 +n∑

i=1

ki s

s + σi(24)

e implementar por meio de uma associação paralelo, sendok∞s a admitância de um capacitork0 a admitância de um resistor

ki s

s2 + ω2i

a admitância de um RC série




Caso o numerador de ZRC (s) tenha grau maior que o denominador, fazer aexpansão em fração continuada

ZRC (s) = k1 +1

k2s +1

k3 +1

k4s + . . .

(25)

Desta forma, a rede será da forma de uma escada RC, em que cada braçosérie ou paralelo será alternadamente um resistor ou um capacitor.Se o numerador de ZRC (s) tiver grau menor que o denominador, executar oprocedimento de forma análoga com YRC (s).




Caso coloquemos o numerador e o denominador segundo ordem crescentedas potências de s antes de executar a divisão de polinômios, temos aexpansão em fração continuada

ZRC (s) =1k1s

+1

1k2

+1

1k3s

+1

1k4

+ . . .

(26)

A forma do circuito será novamente de uma escada RC. Se o numerador deZRC (s) tiver grau menor que o denominador, executar o procedimento deforma análoga com YRC (s).


Exercícios

Exercícios

1) Realizar por meio de uma forma canônica de Foster e por meio de umaforma canônica de Cauer, a impedância

Z (s) =2s5 + 40s3 + 128ss4 + 10s2 + 9

(27)

1) Realizar por meio de uma forma canônica de Foster e por meio de umaforma canônica de Cauer, a impedância

Z (s) =s2 + 6s + 8s2 + 4s + 3

(28)


Bibliografia

Bibliografia

Chen, Wai-Kai. Passive and active filters: theory andimplementations. New York: Wiley, 1986 (Capítulo 3).


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