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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia

NOTAS DE AULA – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS II Graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura

Este material, de uso interno, constitui não exatamente “Notas de Aula”, mas sim um material complementar ao que é desenvolvido em sala de aula na disciplina Projeções Cartográficas II, para o curso de graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da UNESP/FCT. Autor: Prof. Mauricio Galo Departamento de Cartografia Última atualização: Setembro/2018

Presidente Prudente 2018

Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 2 Prof. Mauricio Galo

Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Projeções Conformes

Curso: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura UNESP / FCT - Departamento de Cartografia

ASSUNTOS

- Revisão de geometria diferencial (aplicada à cartografia matemática).

- Projeções conformes (Introdução)

- Características / Propriedades / Aplicações - Projeção Cônica Conforme de Lambert.

- Comportamento do fator de escala para a Projeção Cônica Conforme de Lambert.

- Características / Propriedades / Aplicações - Cilíndrica Conforme - Projeção de Mercator.

- Loxodrômicas e Ortodrômicas.

- Características / Propriedades / Aplicações - Projeção Plana Polar Estereográfica.

- Particularização para os casos oblíquo e transverso.

- Relação entre fator de escala e erro relativo.

- Lista de exercícios.


Revisão de Conceitos de Geometria Diferencial Aplicada a Cartografia Matemática

SUPERFÍCIE DE REFERENCIA (X,Y,Z) E SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO (X,Y,Z)

Considerando estas superfícies escritas na forma paramétrica em função de (u, v) e (U, V), sendo pi, p'i e ip as funções de mapeamento, tem-se:

)v,u(p

)v,u(p

)v,u(p

z

y

x

3

2

1

)v,u(p

)v,u(p

)v,u(p

Z

Y

X

3

2

1

)V,U('p

)V,U('p

)V,U('p

Z

Y

X

3

2

1

.

PARALELOGRAMOS DIFERENCIAIS (NAS DUAS SUPERFÍCIES) E SEUS RESPECTIVOS ELEMENTOS LINEARES

dsedu

gdv

w

dSEdu

Gdv

dSE'dU

G'dV

Superfície de Referência Superfície de Projeção

222 dv.gdv.du.f.2du.eds 222 dv.Gdv.du.F.2du.EdS

222 dV'.GdV.dU'.F.2dU'.EdS QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS (PARA CADA UMA DAS REPRESENTAÇÕES)

(e, f, g) (E, F, G) (E', F', G')

Para a superfície de referência:

222

222

v

z

v

y

v

xg

v

z

u

z

v

y

u

y

v

x

u

xf

u

z

u

y

u

xe


MATRIZ FUNDAMENTAL DE TRANSFORMAÇÃO (M)

22

22

v

V

v

V

v

U2

v

Uv

V

u

V

u

V

v

U

v

V

u

U

v

U

u

Uu

V

u

V

u

U2

u

U

Monde,

'G

'F

'E

M

G

F

E

Aplicando a lei dos cossenos ao paralelogramo diferencial da superfície de referência pode-se obter:

egfegwcos1wsen

egfwcos

22

Área do paralelogramo diferencial: dv.du.feg)due.w)(sendv.g(A 2SR

De modo análogo pode-se escrever ASP, assim:

dv.du.fegA 2SR

dv.du.FEGA 2SP

Na prática as seguintes associações são normalmente feitas:

),()v,u(

),()V,U(

FATOR DE ESCALA LINEAR

gdv

duf.2

dv

due

Gdv

duF.2

dv

duE

dv.gdv.du.f.2du.e

dv.Gdv.du.F.2du.E

ds

dSm

2

2

22

22

2

22

Observar que m é função da direção, ou seja, depende de dv

du.


CONDIÇÃO DE CONFORMIDADE

)tetancons(kmg

G

f

F

e

E 2

CONDIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

2

22SPSR

v

V

u

Vv

U

u

U

'G'F

'F'EFEGfegAA

).v,u(arelaçãoem)V,U(de

JacobianoanteminerdetoÉ

v

V

u

Vv

U

u

U

a

DISTORÇÃO DE ÁREAS

2

2

SR

SP

feg

FEG

A

A

, considerando F=f=0, 900

SR

SP m.mg

G.

e

E

A

A

m0 - distorção ao longo da curva paramétrica u m0 = E/e m90 - distorção ao longo da curva paramétrica v = G/g.

Deste modo, assumindo a equivalência tem-se:

1m.mA

A900

SR

SP

DISTORÇÃO ANGULAR MÁXIMA

090

090max mm

mm)sen(


DISTORÇÃO ANGULAR MÁXIMA PARA PROJEÇÕES CONFORMES

m0=m90 sen(-)=0 (distorção angular máxima nula) DISTORÇÃO DE ESCALA NUMA DIREÇÃO GENÉRICA ()

m90

P

m0 direção

22

9022

02 sen.mcos.mm

INDICATRIZ DE TISSOT (ELIPSE DE TISSOT)

Círculo naSuperfície de

Referência

y

x

dy

dx

ds

P

Elipse naSuperfície de

Projeção

Y

X

dY

dX

dS

P'

Equação da Indicatriz de Tissot 1)m.ds(

dY

)m.ds(

dX2

90

2

20

2

Esta é a equação da elipse, na Superfície de Projeção, que é imagem de um pequeno circulo de raio ds na Superfície de Referência.

ELIPSE DE TISSOT PARA AS PROJEÇÕES CONFORMES

Fazendo ds=1, m0=m90=m tem-se 2222

2

2

2

mYX1m

Y

m

X

A elipse de Tissot se reduz a uma circunferência.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p.


Relação entre Fator de Escala e Erro Relativo FATOR DE ESCALA – m

O fator de escala linear (m) pode ser obtido pela razão entre duas grandezas lineares, uma medida sobre a superfície de projeção (dSP=dS) e outra sobre a superfície de referência (dSR=ds):

(redução)

)deformação(sem

)(ampliação

1m

1m

1m

dd

dd

dd

d

dm

sS

sS

sS

s

S

A partir do valor do fator de escala (m), ou coeficiente de deformação, pode-se calcular tanto o erro absoluto quanto o erro relativo.

ERRO ABSOLUTO - a Diferença entre uma grandeza medida, ou observada, e um valor de referência. ERRO RELATIVO - r

Razão entre o erro absoluto de uma determinada grandeza e o valor de referência da mesma. RELAÇÃO ENTRE FATOR DE ESCALA E ERRO ABSOLUTO Considerando ds como o valor de referência e resgatando o conceito de erro absoluto pode-se escrever:

sSreferênciaprojetadaa dddd .

Substituindo dS por m.ds, o erro absoluto pode ser expresso por:

ssssSa d)1m(dmddd

A partir do erro absoluto, obtido pela equação anterior, e pelo conceito de erro relativo, pode-se escrever:

rs

s

s

ar 1m1m

d

d)1m(

d

ERRO RELATIVO EM SUPERFÍCIE (EM ÁREA) Considerando que um elemento de área na superfície de referência seja representado por ASR e a área correspondente na superfície de projeção seja ASP, o erro absoluto em área pode ser obtido por:


SRSPa AAÁREA

.

Lembrando que a razão ASP/ASR se relaciona com os fatores de escala m0 e m90 por

900SRSP900SR

SP mmAAmmA

A ,

o erro absoluto pode ser rescrito como

SR900SRSR900SRSPa A)1mm(AAmmAAÁREA

.

A partir do erro absoluto obtido pela relação anterior, o erro relativo em área pode ser calculado por:

1mm1mmA

A)1mm(

A900r900

SR

SR900

SR

ar ÁREA

ÁREAÁREA

Denominando o produto m0m90 por msup (fator de escala em área, ou em superfície), pode-se escrever

ÁREAÁREA rsupsup900r 1m1m1mm .

Lembrando que no caso das projeções conformes tem-se m0=m90 pode-se escrever

geral)(caso

conformes)projeções(p/

900sup

2sup

rsupm.mm

mm1m

sup

.

Exercício

1) Considerando a Projeção Plana Polar Estereográfica (caso esférico), no qual o fator de escala linear

(m), ou coeficiente de deformação linear seja 2/45cos

1m

2 ,

pede-se:

a) Mostre que a equação dada é equivalente à equação sen1/2m .

b) Qual é o erro linear relativo nos paralelos =70o N e =60o N? c) A partir de (a) faça uma análise da deformação para esta projeção? d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo em Área (ou Superfície)? e) Qual o intervalo, em latitude, que é possível fazer o mapeamento, usando esta projeção, de modo que o erro relativo em área não ultrapasse 1%? f) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar, nesta projeção, uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E? g) Qual é a taxa de variação de m com a latitude?

sen.sencos.coscos

cos.sencos.sensen

m

22 sencos2cos

cos.sen22sen


Projeções Conformes INTRODUÇÃO Foi visto em seções anteriores que os elementos lineares, nas superfícies de referência e de projeção, podem ser expressos por:

.ojPr.Sup

.fRe.Sup

GdvFdudv2EdudS

gdvfdudv2eduds222

222

O fator de escala linear pode ser obtido a partir da seguinte relação 2

22

ds

dSm

. Multiplicando o

numerador e o denominador por 2dv1 e substituindo os valores de ds2 e dS2 mostrados anteriormente

obtém-se:

gdv

duf2

dv

due

Gdv

duF2

dv

duE

dv1

dv1

gdvfdudv2edu

GdvFdudv2Edu

dv1

dv1

ds

dSm

2

2

2

2

22

22

2

2

2

22

.

Aplicando a condição de conformidade, i.e., k

g

G

f

F

e

E

e substituindo na equação anterior resulta:

k

gdv

duf2

dv

due

gdv

duf2

dv

duek

gdv

duf2

dv

due

gkdv

dufk2

dv

duek

gdv

duf2

dv

due

Gdv

duF2

dv

duE

m2

2

2

2

2

2

2

. Ao considerar a condição de conformidade pode-se observar que o valor de m independe de

dv

du

, que geometricamente equivale a ter o mesmo valor de m, independente da direção. Assumindo que a matriz de transformação fundamental seja representada por J e que as curvas paramétricas são ortogonais têm-se F'=F=f=0. Deste modo pode-se escrever:

22

22

v

V

v

V

v

U2

v

Uv

V

u

V

u

V

v

U

v

V

u

U

v

U

u

Uu

V

u

V

u

U2

u

U

Jcom,

'G

'0

'E

J

G

0

E

'G

'F

'E

J

G

F

E

. Desenvolvendo o produto anterior obtém-se um sistema de três equações.


222

222

v

V'G

v

U'EgmG

v

V

u

V'G

v

U

u

U'E0

u

V'G

u

U'EemE

(1.1) Pode-se observar que no sistema anterior têm-se quatro derivadas parciais

( vV,u

V,vU,u

U

) a serem determinadas, a partir de apenas três equações. Este conjunto de

equações só pode ser resolvido se forem impostas algumas condições envolvendo algumas das derivadas parciais. Uma condição que pode ser considerada é que U seja apenas função de u e V seja função de v. Assim:

22

22

22

22

2

1

v

V

g

'Gm

u

U

e

'Em

v

V'GgmG

u

U'EemE

0u

V

0v

U

)v(qV

)u(qU

(1.2a,b) Ao aplicar as condições anteriores, duas das derivadas parciais de anulam, e o problema se reduz a obtenção das funções U e V, a partir das Equações 1.2a e b. Uma relação normalmente considerada na prática é que a variação de V com v seja linear, ou seja,

21 cvcV . (1.3)

A partir da Equação 1.3 pode-se escrever 1c

v

V

e calcular o valor de m pela Equação 1.2b:

21

2 cg

'Gm

. (1.4) Usando o resultado da Equação 1.4 na 1.2a obtêm-se

ug

ecU

'G

'E

g

ec

'G

'E

u

Uc

g

'G

e

'E

u

U11

21

2

(1.5) Ao analisar o desenvolvimento apresentado pode-se ver que o Sistema 1.1 pode ser resolvido ao considerar três condições:

- U como função de u; - V como função de v; e - V como função linear de v (Equação 1.3).

Deste modo, a relação que falta, ou seja, U=q1(u), pode ser obtida a partir da integração dos dois membros da Equação 1.5.


COORDENADAS ISOMÉTRICAS E A CONDIÇÃO DE CONFORMIDADE Constantes de Gauss para algumas superfícies

Elipsoide x=N cos cos y=N cos sen z=N(1-e2)sen com N=a(1-e2sen2)-1/2

Fazendo u= e v= as quantidades e, f e g podem ser obtidas, isto é:

222222

22222

2

222

dcosNdMds

cosNzyx

g

0zzyyxx

f

Mzyx

e

Pode-se observar que para o elipsoide eg. Elemento linear expresso em coordenadas isométricas:

22

22

22222

cosNg

0f

cosNe

ddcosNds

Plano

1G

0F

1E

dYdXdSVY

UX 222

Condição de conformidade: 2mk

g

G

e

E

Substituindo as quantidades fundamentais acima nas Equações 1.1 tem-se:

gmY

GX

E

0YY

GXX

E

emY

GX

E

222

222

(1.6)

Ao considerar as coordenadas isométricas para o elipsoide tem-se ge . Deste modo, o Sistema 1.6 pode ser simplificado, igualando a primeira equação com a terceira, obtendo o seguinte conjunto de equações:


0YYXX

YXYX2222

(1.7, 1.8)

Isolando Y

da Equação 1.8 e elevando ao quadrado obtêm-se:

2

22

2

Y

XX

YY

XX

Y0

YYXX

. (1.9) Substituindo a Equação 1.9 na Equação 1.7 e fazendo algumas simplificações chega-se a seguinte equação:

2222

2

2

2

22

222YXXY

Y

X

Y

XX

XYX

. (1.10) Tirando a raiz quadrada da Equação 1.10 pode-se ser duas soluções. A primeira solução é dada por:

YX8.5Pela

YX

A segunda pode ser obtida de modo análogo, sendo diferente apenas no sinal. Desde modo, pode-se escrever:

YXYXm

(1.11) O conjunto de equações que satisfaz este sistema de equações atende à condição de conformidade e são importantes no desenvolvimento de sistemas conformes. Estas equações são denominadas Equações de Cauchy-Riemann. Observação: - Elas são válidas quando se consideram as coordenadas isométricas.

- O mapeamento definido por uma função analítica (f(z)) é conforme e atende à Equação de Cauchy-Riemann.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p.


Considerações Finais e Aplicações Projeção Cônica Conforme de Lambert

PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT COM 1 PARALELO PADRÃO

Mantém a forma de pequenas áreas (propriedade da conformidade). Sobre o paralelo padrão (0) o fator de escala é unitário (representado em verdadeira grandeza - VG). Fora deste paralelo o fator de escala aumenta (m>1) ampliação. A projeção é limitada pela extensão em latitude da área a ser representada. Uso: cartas de utilidade geral, atlas.

PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT COM 2 PARALELOS PADRÃO

Propriedade: conformidade. Não é uma projeção perspectiva.

Sobre os paralelos padrão (1 e 2) m=1,

1m,PPdosfora

1m,PPosentre

Não é indicada para a representação de regiões c/ grande extensão em latitude Idealizada por J. H. Lambert em 1772. Atualmente é uma das projeções cônicas mais utilizadas. Utilização:

- Adotada pela Organização Internacional de Aviação Civil para as Cartas Aeronáuticas do Mundo.

- Recomendada para a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo. - Utilizada pela DHN - Diretoria de Hidrografia e Navegação nas cartas sinópticas (PP

nas latitudes 1=10oS e 2=40oS ).


EXEMPLO DA PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT (1 PP)

Dados iniciais: Paralelo Padrão: 0=20o S Meridiano Central: 0=0o

Dados iniciais: Paralelo Padrão: 0=20o S Meridiano Central: 0=51o W


ANÁLISE DO FATOR DE ESCALA (M) PARA A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT

Modelo Geométrico: Elipsóide

Internacional (1967) Paralelo Padrão: 22o Sul

Modelo Geométrico: ElipsóideInternacional (1967)

Paralelo Padrão: 0=40o

Paralelos limitantes:1=33 o Norte2=45 o Norte

Paralelo de tangência (calculado)pela condição m1=m2

0=39 o 05' Norte

Modelo Geométrico: ElipsóideInternacional (1967)

Paralelos de Entrada:1=33 o Norte2=45 o Norte

Paralelo de tangência (calculado)pela condição m1=m2

039 o 05' Norte Paralelos de Entrada: 33o e 45o

Condição: m1=m2=1Notar que em 1=33o e 2=45o

têm-se m=1


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT

Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)


Características / Propriedades / Aplicações Projeção de Mercator (Projeção Cilíndrica Conforme)

CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES

- Propriedade principal: conformidade. - Equador representado em verdadeira grandeza.

- As áreas são ampliadas proporcionalmente a sec2 (para o caso esférico) e a

22

secN

a

(para o caso elipsoidal). - Os pólos não são representados. - Nesta projeção as linhas de rumo constante (Loxodrômicas) são representadas por linhas retas. - Os paralelos e meridianos são representados por linhas retas. - Os meridianos são igualmente espaçados. - Criada em 1569 por Mercator (Gerardus Mercator, 1512-1594). - Os paralelos e meridianos se cruzam em ângulos retos

LIMITAÇÕES

- Os pólos não são representados. - A variação de escala é grande à medida que se afasta do equador.

APLICAÇÕES

- Projeção muito utilizada em navegação, pois as linhas de rumo (Loxodrômicas) são representadas em linhas retas.

- Cartas náuticas, magnéticas, de fuso-horário, aeronáuticas, geológicas, celestes, meteorológicas e mapas-mundi.


APARÊNCIA DO RETICULADO

TRECHO DO SCRIPT USADO PARA CRIAR A PROJEÇÃO (Usando o aplicativo GnuPlot)

#

# Equações da Projeção / Caso elipsoidal

#

set title "SISTEMAS DE PROJEÇÃO EM CARTOGRAFIA\n\

Projeção de Mercator (Caso normal) - Fig. Geom.: Elipsoide"

T(lat)=tan(45+lat/2)*( (1-e*sin(lat))/(1+e*sin(lat))**(e/2) )

XC(lat,lon)=ap*log(T(lat))

YC(lat,lon)=ap*(lon-lon0)*pi/180

plot 'world.mer' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t 'Meridianos' with lines 3 1

rep 'world.par' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t 'Paralelos ' with lines 1 1

rep 'world.dat' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t '' with lines 8 8

pause -1 "Deseja fechar janela gráfica?"


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE MERCATOR



Ortodrômicas e Loxodrômicas Ortodromica:

- A distância mais curta entre dois pontos quaisquer da superfície da Terra (Oliveira, 1993)1.

Loxodrômica:

- Linha que apresenta sempre o mesmo rumo, ou a mesma direção da bússola (Oliveira, 1993).

Fonte: Robinson (1995).

Paralelos, meridianos e um círculo máximo definindo uma trajetória sobre a superfície esférica.

Detalhe da figura ao lado, mostrando o ponto de partida.

Gráfico mostrando o comportamento do azimute ao longo de uma ortodrômica, para diferentes valores do Azimute de saída.

1 OLIVEIRA, C. de Dicionário Cartográfico. Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, Rio de Janeiro, 1993.


Uma vez que o Azimute varia ao longo de um circulo máximo, qual a maneira mais prática de navegar?

Projeção Gnomônica

(Os círculos máximos são representados por

linhas retas)

Projeção de Mercator

(Projeção Conforme mantém a forma de pequenas áreas)

Solução para a navegação:

Dividir a ortodrômica em trechos de mesmo rumo (loxodrômicas) e navegar por estas singraduras2. Os trechos de mesmo rumo são definidos pelos waypoints ou Pontos de controle de rota, a partir da divisão da ortodrômica.

2 Singradura: Navegação feita num mesmo rumo (Dicionário Aurélio, Ed. Nova Fronteira, 1986).


Projeção Plana Conforme Estereográfica CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES

- Foi obtida a partir da Projeção Cônica Conforme fazendo 0=90o (pode também ser obtida utilizando conceitos da projeção perspectiva).

- Propriedade: conformidade (mesmo fator de escala para todas as direções). - Fator de escala em um dado ponto:

cosN

m (para o Elipsoide)

)2/(sec)2/45(cos

1m 2

o2

(para a Esfera)

APLICAÇÕES

- Cartas dos hemisférios, nas modalidades Polar e Equatorial (ou Meridiana). - Cartas de utilidade geral (para áreas de dimensões moderadas). - Cartografia de Regiões Polares

Por ex.: Cartas polares do Serviço Hidrográfico Inglês APARÊNCIA DO RETICULADO


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO PLANA ESTEREOGRÁFICA – CASO EQUATORIAL


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO GNOMÔNICA


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA



Expressões para os casos Oblíquo e Transverso3

Em todo o desenvolvimento apresentado para as projeções, procurou-se obter modelos matemáticos, a partir da propriedade fundamental. De modo genérico, as equações obtidas podem ser escritas da seguinte forma:

),(gY

),(fX

iii

iii

, (1.45)

onde (Xi,Yi) são as coordenadas cartesianas de um ponto i que possui coordenadas geodésicas (i,i). Em todas as projeções vistas até o momento, um elemento fundamental é a direção definida

pelos Pólos Norte e Sul ( SN PP ), como pode ser observado na figura abaixo.

PN

PS

PN

PSPS

PN

Figura 1.4.1: Posição do segmento SN PP em relação à superfície plana (esquerda), ao cone (ao

centro) e ao cilindro (direita).

A partir desta figura pode-se notar que a posição da superfície de projeção, para cada uma das

situações anteriores, pode ser definida em relação ao segmento SN PP , da seguinte maneira:

Projeção Plana (Polar): Eixo SN PP ortogonal ao plano de tangência.

Projeção Cônica (Normal): Vértice do cone no prolongamento do segmento SN PP .

Projeção Cilíndrica (Equatorial): Eixo do cilindro coincidente com SN PP .

Para o caso das projeções oblíquas e transversas pode-se imaginar dois novos pólos, definindo

assim um eixo auxiliar, que age como o eixo SN PP nas projeções normais. Assim como as

coordenadas esféricas (, ) são relacionadas ao eixo definido por SN PP , novas coordenadas esféricas

3 A numeração das equações desta seção esta de acordo com a matéria apresentada em sala de aula.


podem ser definidas a partir do eixo auxiliar. Designando estas "novas" coordenadas esféricas por (h, ), as equações no sistema oblíquo podem ser escritas por:

),h(gY

),h(fX

iiio

iiio

. (1.46)

Em termos práticos, para que sejam obtidas as coordenadas no sistema oblíquo (usando a Equação 1.46) é necessário fazer a transformação das coordenadas (, ) para as coordenadas esféricas (h, ), que pode ser feito usando os conceitos de trigonometria esférica.

Considerando a Figura 1.4.2, pode-se observar que são representados os Pólos Norte e Sul (PN, PS), um Pólo Norte Oblíquo (Po

N), ou auxiliar, cuja posição é dada por (p,p) e um ponto genérico P de coordenadas (,). A partir destes três pontos pode-se definir um triângulo esférico, podendo-se relacionar as coordenadas (h, ) com (, ), assumindo que o Pólo Norte oblíquo esteja localizado na posição (p,p).

PN

PS

PoN

P(,)

Equadorp

=0

p

90o-

90o-p

=-p

=90o-h

Figura 1.4.2: Triângulo esférico determinado pelos seguintes pontos: Pólo Norte, Pólo Norte ‘Oblíquo’, ou auxiliar, e ponto P. A partir do triângulo esférico mostrado na Figura 1.4.2, no qual dois lados e um ângulo são conhecidos, pode-se determinar os valores de (h, ). O triângulo esférico da Figura 1.4.2, colocado em detalhe na Figura 1.4.3, pode ser resolvido utilizando algumas relações da Trigonometria Esférica4.

4 Algumas fórmulas fundamentais da Trigonometria Esférica:

Fórmula dos 4 elementos: Acoscsenbsenccosbcosacos

Lei dos Senos: Csen

csen

Bsen

bsen

Asen

asen

Fórmula dos 5 elementos: AcosccosbsencsenbcosBcosasen

A

b

B Ca

c


P

90o-90o-p

=-p

PN

PoN =90o-h

Figura 1.4.3: Detalhe do triângulo esférico mostrado na Figura 1.4.2.

Aplicando a Fórmula dos 4 elementos, o lado , e portanto h, poderá ser determinado. Assim:

cos)90sen()90sen()90cos()90cos(cos poo

poo

.

Utilizando o fato de que cos(90o-)=sen e que sen(90o-)=cos pode-se obter:

coscoscossensencos pp . (1.47)

Como = 90o-h tem-se:

cos = cos(90o-h) = senh. (1.48)

Aplicando a Lei dos Senos, a seguinte relação pode ser escrita:

)90sen(

sen

sen

seno

,

que simplificada se reduz a

sen

cossensen . (1.49)

A partir da Equação 1.47 pode-se obter o valor de e h. Com a Equação 1.48 pode-se relacionar os elementos , , e . No entanto, o valor de pode ser obtido a partir do seno. Para facilitar a análise do quadrante de pode-se obter o coseno de e posteriormente a tangente de . Aplicando a Fórmula dos 5 Elementos ao triângulo anterior obtém-se

cos)90cos()90sen()90sen()90cos(cossen poo

poo

.

Após simplificação dessa equação pode-se obter

cossencoscossencoscoshcossen pp (5.50)

Considerando o valor do seno de (pela 1.49) e do coseno de (pela 1.50), o valor da tangente de poderá ser obtido por:


sen

cossencoscossensen

cossen

cos

sentan

pp,

que simplificado se reduz a

cossencoscossen

cossentan

pp

. (1.51)

Deste modo, as coordenadas esféricas (h,) podem ser obtidas em função da posição de um ponto genérico P(, ) e da posição do Pólo Norte auxiliar (p,p), usando as Equações 1.47 e 1.52, por exemplo. A título de complementação da Figura 1.4.2 são mostradas nas Figura 1.4.4 e 1.4.5 os planos que determinam os ângulos diedros Δλ e α, respectivamente. Estes planos são mostrados com cores, na tentativa de facilitar a visualização.

Figura 1.4.4: Planos que determinam o ângulo diedro (Δλ) em PN.


Figura 1.4.5: Planos que determinam o ângulo diedro (α) em Po

N (Polo Norte ‘oblíquo’).

__________________________________________________________ Resumo: Dadas as coordenadas do polo auxiliar (p,p) e as coordenadas de um ponto (,), as coordenadas (h,) podem ser obtidas por:

)cos(coscossensensenh ppp

)cos(sencoscossencoscosh ppp

)cos(sencoscossen

cos)sen(tan

ppp

p


O uso das principais projeções pelo mundo

Em 1980 foi feito um levantamento por Brandenberger e Gosh (1985), para verificar o uso de algumas projeções.

O gráfico seguinte resume este levantamento:

No Projeção Denominação 1 UTM 2 TM 3 Policônica 4 Gauss-Kruger 5 Cônica Conforme de Lambert (e variantes) 6 ACT grid 7 Oblíqua de Mercator (e variantes) 8 Bonne 9 Cartesiana

10 Poliédrica 11 Estereográfica 12 Azimutal equidistante (Hatt) 13 Cassini-Soldner 14 Outras projeções


Mapeamento Conforme CONCEITOS

Mapeamento Conforme

O mapeamento definido por uma função analítica f(z) é conforme, exceto em alguns pontos.

- f() é uma função analítica de variável complexa (z) - z é um número complexo (z=x+iy), sendo i a unidade imaginária (i2=-1)

Função analítica

Uma função f(z) é dita analítica num certo domínio D se f(z) é definida e diferenciável em todos os pontos de D (KREYSZIG, 1993, p. 724).

Elementos lineares em diversas superfícies (Retrospecto)

No plano (x,y):

yV

xU

dydxdS 222

com

1G

0F

1E

(01)

Na superfície de referência (elipsoide de revolução):

v

u

dcosNdMds 222222

com

22

2

cosNg

0f

Me

(02)

Na superfície de referência (elipsoide de revolução) considerando coordenadas isométricas:

v

u

)dd(cosNds 22222

com

22

22

cosNg

0f

cosNe

(03)

Observação 1:

Nesta representação (,) os fatores de escala são iguais para e , o que não acontece para e .


Relação entre as coordenadas geodésicas e isométricas

Partindo do elemento linear da Eq. (02), pode-se escrever

222

2222222222 ddM

cosN

1cosNdcosNdMds

2

2222 dd

cosN

McosNds (04)

Deste modo, fazendo a seguinte troca de variável:

dcosN

Md (05)

a Eq. (04) poderá ser escrita por: 22222 ddcosNds .

Por esta equação pode-se ver que se forem consideradas as coordenadas (,) (coordenadas isométricas) os fatores de escala ao longo das curvas paramétricas serão iguais.

Equações de Cauchy-Riemann

Considerando os elementos lineares (01) e (03), bem como a condição de conformidade

kmg

G

e

E 2 , (06)

pode-se obter as seguintes igualdades:

yx

yx

m , (07)

que são conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann.

Observação 2:

O conjunto de equações de mapeamento que atendem às Equações de Cauchy-Riemann tem a propriedade de conformidade.


Mapeamento Conforme, Função Analítica e Equações de Cauchy-Riemann

Pelas definições e conceitos apresentados pode-se verificar que:

1) As equações de mapeamento que atendem às equações de Cauchy-Riemann apresentam a condição de conformidade.

2) O mapeamento por uma função analítica f(z) é conforme.

Deste modo pode-se admitir que:

"As funções analíticas podem ser usadas para representar mapeamentos conformes, e atenderão às equações de Cauchy-Riemann."

Assim, toda projeção conforme pode ser expressa por uma função analítica de variável complexa, na seguinte forma5:

)i(fyix (08)

DESENVOLVIMENTO POR SÉRIE DE TAYLOR

No desenvolvimento da projeção de Gauss-Kruger, três condições são consideradas:

1) o mapeamento é conforme (garantido pela Eq. 08); 2) ela é simétrica em relação ao meridiano central; e 3) o fator de escala ao longo do meridiano central é igual a 1 (m0=1).

Considerando pequeno, a expansão da Eq. 08 em série de Taylor resulta:

n)n(

3)3(

2)2(

)1(

)i(!n

)(f...)i(

!3

)(f

)i(!2

)(f)i)((f)(f)i(fyix

(09)

5 Referência: BUGAYEVSKIY & SNYDER (1995)

Na referência original utiliza-se q no lugar de e l no lugar de . Deve-se estar atendo à disposição dos eixos x e y.


Segundo as considerações anteriores, o ponto de expansão da série é aquele no qual a latitude vale e onde =0, que corresponde ao ponto p' da figura abaixo.

x

y

p(,)p'(,0)

B

Sendo i a unidade imaginária (i=-1) e considerando i2=-1, i3=-i, i4=1, i5=i,..., pode-se

rescrever a Eq. 09 por:

....!6

)(fi

!5

)(f

!4

)(f

...i!3

)(f

!2

)(fi)(f)(fyix

6)6(

5)5(

4)4(

3)3(

2)2(

)1(

(10)

Separando os termos reais dos termos que multiplicam a unidade imaginária, tem-se:

i....!9

)(f

!7

)(f

!5

)(f

!3

)(f)(f

....!8

)(f

!6

)(f

!4

)(f

!2

)(f)(fyix

9)9(

7)7(

5)5(

3)3(

)1(

8)8(

6)6(

4)4(

2)2(

(11)

Para que a Eq. 11 seja válida, os termos reais e os imaginários, dos dois membros, devem ser respectivamente iguais, o que permite escrever:

9)9(

7)7(

5)5(

3)3(

)1(

8)8(

6)6(

4)4(

2)2(

362880

)(f

5040

)(f

120

)(f

6

)(f)(fy

....40320

)(f

720

)(f

24

)(f

2

)(f)(fx

(12)


Pela condição (3), m0=1 (no MC) BMd)(f0

PN

PS

=0o

a

b

B

Normal passante

por p(,)

p(,)

Equador

B é o comprimento do arco de meridiano entre o equador (=0) até o ponto de latitude .

A partir da relação 05 pode-se escrever:

cosN

M

d

d, (13)

e todas as derivadas da Eq. 12 podem ser estimadas.

B)(f

cosNd

d

d

dB

d

dB

d

)(f(d)(f )1(

...d

d

d

)cosN(d

d

d

d

))(f(d

d

d

d

))(f(d

d

d

d

))(f(d)(f

2

2)2(

...d

))(f(d)(f

3

3)3(

... Obtendo as derivadas acima e substituindo-as na Eq. 12 pode-se ter a transformação de coordenadas (,) para (x,y) no sistema Gauss-Kruger (Transverso de Mercator).

TRANSFORMAÇÃO (X,Y) (,)

A transformação (x,y) (,) pode ser obtida de modo semelhante ao anterior, partindo-se a seguinte função analítica complexa:

)iyx(fi (14)


CONVERGÊNCIA MERIDIANA () A convergência meridiana num ponto genérico p é o ângulo formado pela tangente ao meridiano com a direção do norte de quadrícula.

x

MeridianoCentral (0)

Equador y

p(,) ou p(x,y)y

x

Norte de quadrícula

Norteverdadeiro

Meridiano

de p

Pela figura acima pode-se obter o valor de tg por

dx

dytg (15)

Escrevendo os diferenciais totais e considerando que =constante ao longo do meridiano (d=0) obtém-se:

x

y

dx

dx

dy

dy

dx

dytg (16)

Considerando as equações de Cauchy-Riemann, pode-se escrever a Eq. 16 por:

1yx

y

x

x

y

tg

. (17)

Assim, obtido o valor de tg=A, utilizando a Eq. 12, pode-se obter a convergência meridiana por:

...7

A

5

A

3

AAarctgA

753

(18)


CONVERGÊNCIA MERIDIANA ()

Primeiro termo da convergência (): .sen


FATOR DE ESCALA (m)

O fator de escala pode ser obtido pela razão entre um comprimento na superfície de projeção pelo correspondente na superfície de referência, ou seja:

22

222

)dcosN()Md(

dydxm

. (19)

Fatorando dy2 e (d.N.cos)2 no numerador e no denominador, respectivamente, obtém-se:

1dcosN

Md)cosN(

1dy

dx

d

dym

22

2

22

(20)

T

y

x

dx

dy

NQ

MeridianoPassante

por p

p

Md

X

Az

N.cos.d

Y

Z

+d

+d

P

Pelas figuras acima pode-se ver que o azimutes geodésico (Az) e plano (T) podem ser calculados por:

d.cos.N

d.M

tgAz

1gAzcot

dy

dx

tgT

1gTcot (21/22)

Considerando as Eq(s). 21 e 22 na Eq. 20:

Tsen)cosN(

Azsen

d

dy

)Az(sen)cosN(

)T(sen

d

dy

)1Azg(cot)cosN(

)1Tg(cot

d

dym

22

22

122

122

22

222

(23)


A Eq. 23 foi obtida fatorando dy2 e (d.N.cos)2 na Eq. 19. Uma equação análoga pode ser obtida fatorando dx2 e (Md)2.

A Eq. 23 corresponde à variação de m ao longo do paralelo. Neste caso será uma constante e Az=90o senAz=1. O azimute plano será T=90-, ou seja, senT=sen(90-)=cos.

Levando em conta estas observações na Eq. 23, e extraindo a raiz, obtém-se:

cosN

sec

d

dym (24)

Para obter a expressão final para m, deve-se:

- Determinar d

dy pela Eq. 12 e

- Considerar (Eq. 18). REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOMFORD, G. Geodesy. Oxford: Oxford University Press, 1952. BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995. CARVALHO, F. R. de Cadastro Geoambiental Polivalente / Projeção TM (Conforme de Gauss), Informativo COCAR, ano VI, Número especial CGP-04, Dezembro, 1984. CHAGAS, C. B. Teoria e Prática do Sistema UTM da Projeção Conforme de Gauss. Diretoria do Serviço Geográfico, 1959. DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO Manual Técnico - Coordenadas planas sistema UTM, 1a parte, Rio de Janeiro, 1959. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, seventh edition. New York: John Wiley & Sons, 1993. MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition, Oxford: Pergamon Press, 1992. RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p. VANICEK, P., KRAKIWSKY, E. J. Geodesy, the concepts. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986.


Relação entre as latitudes isométrica e geodésica

A equação que expressa o valor da latitude isométrica (ψ) a partir da latitude geodésica (φ) pode ser obtida a partir da integração da equação

dcosN

Md ,

onde M e N correspondem ao raio de curvatura da seção meridiana e ao raio de curvatura no primeiro

vertical, respectivamente, obtidos por 2/3222 sine1e1aM

e 2/122 sine1aN

,

sendo e a excentricidade do elipsoides de revolução com semi-eixos a e b. O resultado desta integração é dado por (RICHARDUS e ADLER, 1972):

2/e

sine1

sine14/

2tgln .

Um caso particular desta equação, para o caso esférico, onde e=0, resulta em:

4/2

tglnesfera .

Para este caso particular (e=0), pode-se expressar diretamente o valor de φ em função dos demais elementos, assumindo que a latitude isométrica esférica seja fornecida. Nesta situação a latitude φ pode ser obtida por:

2/eartg.2eartg4/2

4/2

tge4/2/tglnesfera

Fazendo desenvolvimento semelhante a partir da equação completa, pode-se escrever:

2/e2/e

sine1

sine1e4/

2tg

sine1

sine1e

,

que permite obter

2/sine1

sine1earctg.2

2/e

Ao observar a última equação, a latitude no primeiro membro (latitude geodésica) é expressa em função da latitude isométrica, excentricidade e da própria latitude geodésica. Deste modo, assumindo que seja disponível a latitude isométrica (ψ) bem como os parâmetros geométricos do elipsoide, uma possível solução para o cálculo da latitude geodésica é de modo iterativo, seguindo os seguintes passos:


Passo 1) Inicializar a variável i com i=0.

Calcular a latitude geodésica aproximada φ(i=0) por:

2/earctg.2)0( .

Passo 2) Fazer i=i+1.

Calcular o valor da latitude φ(i) por:

2/sine1

sine1earctg.2

2/e

)1i(

)1i()i(

.

Passo 3) Calcular )1i()i( e avaliar a condição:

2Passo:NÃO

4Passo:SIM

Passo 4) φ(i) = latitude geodésica procurada.

Nesta sequência de passos, ε representa uma tolerância pré-estabelecida. Deste modo, a partir das equações apresentadas e deduzidas, pode-se relacionar e calcular a latitude isométrica a partir da latitude geodésica, e vice-versa.


Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II Parte 1

Prof. Mauricio Galo I) Você foi encarregado de planejar um produto cartográfico na Projeção de Mercator (Projeção

Cilíndrica Equatorial Conforme). O contratante deseja fazer o mapeamento de uma certa região, utilizando esta projeção e considerando o modelo esférico para a superfície terrestre (R=6371km). Admitindo que o centro da área a ser mapeada esteja sobre o Equador, pergunta-se:

a - Quais são os valores limites em latitude (S-latitude sul e N-latitude norte) do produto a ser gerado, de modo que o erro relativo linear (r) seja no máximo 1% ? (Resposta em graus e minutos) b - Qual é a extensão máxima (Emax) desta área (em latitude), expressa em km? c - Obtenha uma equação que permite obter o valor de Emax como função do erro relativo (r), para este problema. d - A partir desta equação obtenha o valor de Emax para r=1/100. Compare este valor com o obtido em (a). e - Considerando uma área de 1000 km2, situada na latitude obtida em (a), pergunta-se: Qual será a área correspondente na superfície de projeção ? (em km2)

II) Considerando que os pontos P1 e P2 possuam coordenadas geográficas

W55

S30:P

W60

S10:P

o2

o2

2o1

o1

1,

e que o modelo geométrico para a superfície terrestre seja esférico (R=6.371.000,0 m) pergunta-se:

a - Qual a distância esférica (dE) entre os pontos P1 e P2? b - Qual é a distância entre os pontos P1 e P2 na Projeção Cônica Conforme de Lambert (dP), considerando o paralelo padrão situado em 0=20oS?

III) Considerando uma área de 20Km2 situada no paralelo 45oN e a representação desta área na

Projeção Plana Polar Estereográfica pergunta-se: a - Qual será o incremento ou decréscimo, em área, na representação desta área, nesta projeção? b – O resultado acima é esperado, justifique? IV) Deseja-se construir uma carta utilizando a Projeção Gnomônica Polar.

Admitindo que o erro relativo máximo tolerável no produto seja 10% e sabendo que a carta deverá ser construída em uma folha quadrada, como mostra a figura ao lado, pergunta-se:

a – Dado o erro máximo tolerável, qual é a maior dimensão angular

admissível? (Resp. em graus e minutos) b - Qual a máxima deformação angular nesta carta, em valor

absoluto? (Resp. em graus e minutos) c - Qual a máxima deformação em área nesta carta? (Resp. em %) Considere R=6.371.000,0 m e que o ponto de tangência esteja no centro da folha.

Área útil

R


V) A partir das equações da Projeção Plana Gnomônica, caso oblíquo, faça a particularização para os casos equatorial e polar. Prove matematicamente, a partir das equações obtidas anteriormente, que no caso da Projeção Plana Gnomônica Polar os paralelos são circunferências concêntricas de raio igual a Rcotg. Faça a visualização desta projeção (no Gnuplot), verificando esta característica.

VI) A Projeção Plana Estereográfica é importante em termos práticos pois ela mantém a forma de

pequenas áreas. Faça a visualização desta projeção para o caso Equatorial. Observe que tanto os paralelos quanto os meridianos são representados por arcos de elipse. Prove matematicamente esta última afirmação.

VII) Considerando que as latitudes φ1=-10º 00’ 00’’ e φ2=-20º 00’ 00’’ correspondem às latitudes dos

paralelos de secância para a Projeção Cônica Conforme de Lambert com dois PP, qual é a latitude φo do paralelo “padrão”? Considere os dados do elipsoide GRS80, utilizado no SIRGAS 2000.

VIII) Assumindo que a latitude de um ponto P1 seja igual a latitude do paralelo-padrão e que o MC

(Meridiano Central) passe por este ponto pergunta-se:

a) Quais as coordenadas de P1 e P2 na Projeção Cônica Conforme de Lambert? b) Qual é a distância entre estes pontos, nesta projeção (em m e com 3 casas decimais). c) Qual é o fator de escala linear em P1 e P2, expresso em valores relativos.

Dados adicionais: P1 – Estação PPTE da RBMC φ = 22º 07’ 11,6571” S

λ = 51º 24’ 30,7225” W

P2 – Estação UFPR da RBMC φ = 25º 26’ 54,1269” S λ = 49º 13’ 51,4372” W

Referencial: SIRGAS 2000 Parâmetros da figura geométrica (GRS80): a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222191

IX) Considerando a Projeção de Mercator, com o MC na longitude λ0 = 0o, e que são conhecidas as

coordenadas dos pontos P1 e P2 (as mesmas do ex. VIII) pede-se:

a) Quais as coordenadas de P1 e P2 na Projeção de Mercator? b) Qual é a distância entre estes pontos, nesta projeção (em m e com 3 casas decimais). c) Qual é o fator de escala linear em P1 e P2, expresso em valores relativos. d) Usando os resultados deste exercício e do ex. VIII faça uma análise comparativa das distorções, considerando os fatores de escala nestas projeções e as distâncias calculadas.

Respostas de alguns dos exercícios:

I) (a) N=8o 4’ N, S=8o 4’ S; (b) 1.793,9 Km; (c)

r

max 1

1arccos

90

RE ; (e) ASP=1.020 Km2.

II) (a) dE=2.283.585 m; (b) dP=2.295.278 m. III) (a) O incremento na área é de 7,45 Km2. IV) (a) 25o 12’; (b) 1o 22’; (c) 15,37%.



Prof. Mauricio Galo

I) Considerando que o fator de escala linear, ou coeficiente de deformação linear (m), para a Projeção

Plana Polar Estereográfica (caso esférico) seja m=2/(1+sen) pede-se:

a) Qual é o erro linear relativo no paralelo =70o N ? b) Qual é o erro linear relativo no paralelo =60o N ? c) A partir de (a) e (b) faça uma análise da deformação para esta projeção ? d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo Superficial ? e) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar nesta projeção uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E ? f) Como você calcularia a taxa de variação de m com a latitude?

II) Considerando que as coordenadas dos limites ao N, S, L, e O do estado de São Paulo sejam:

N = -19,793o S = -25,239o L = -44,166o O = -53,176o

-26

-25

-24

-23

-22

-21

-20

-19

-54 -53 -52 -51 -50 -49 -48 -47 -46 -45 -44 e que o ponto de tangência seja no centro do estado, pede-se:

a) Qual é o erro relativo linear máximo ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.

b) Qual é a máxima deformação em azimute, ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.

c) Qual é o máximo erro relativo superficial (em área) ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.

Obs.: Para a solução deste exercício considere que os limites da carta sejam os valores limites do estado e que os erros e as deformações máximos ocorrem nos extremos do produto.

III) Assumindo um erro relativo linear máximo igual a 1/100 e a projeção de Mercator pergunta-se:

a) Quais são as latitudes limites, ao Sul e ao Norte, que se pode mapear com esta projeção, considerando a superfície de referencia esférica de raio R=6271 e o erro máximo dado ?

b) Admitindo o modelo geométrico do elipsoide de revolução (a=6378160; f=1/298.25) como superfície de referência, quais são as latitudes limites ao norte e ao sul ?



Prof. Mauricio Galo

I) Calcule o comprimento de um arco infinitesimal ds sobre o elipsoide, subentendido por um arco de paralelo de 1” e um arco de meridiano de 1” (ver figura) nos paralelos de latitude 10º e 30º ? Faça uma análise deste resultado, relacionando com a geometria do elipsoide. Utilize os parâmetros do elipsoide GRS-80 (a=6378137,0 m e f=1/298,257222101), utilizado pelo referencial SIRGAS2000. Resposta em metros.

Δλ=1”

Δφ=1” ds

II) Uma pessoa percorre um arco de 3” (três segundos) sobre um paralelo terrestre. Considerando o modelo esférico de raio R=6.371.000,00 m e que esta pessoa andou 68m pergunta-se: esta pessoa se localiza na região tropical ou temperada do planeta Terra? Justifique sua resposta!


Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Projeções Equivalentes / Projeção Cilíndrica Equidistante


Assuntos

- Projeção Cônica Equivalente de Albers (caso normal)

- Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert

- Projeção Azimutal Equivalente de Lambert

- Projeção Equivalente Pseudo-Cônica de Bonne

- Projeção de Werner

- Projeção de Sanson-Flamsteed

- Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana (Plate Carrée)

- Projeção Cilíndrica Equivalente

- Lista de Exercícios


Projeção Cônica Equivalente PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS (CASO NORMAL)

- Propriedade básica: equivalência. - Pólo: representado por um arco. - Paralelo de tangência padrão: representado em verdadeira grandeza. - A projeção é limitada pela extensão em latitude.

APLICAÇÕES

- É destinada às cartas de uso geral no qual a equivalência é desejável. - Em altas latitudes, a Projeção Cônica Equivalente de Lambert é mais indicada pois o pólo é representado por um ponto.

PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS C/ 2PP (CASO NORMAL)

- Propriedade básica: equivalência. - Os dois PP são representados em Verdadeira Grandeza. - Apresentada por Albers em 1805. - Restrição: - Não ser conforme

- Não servir às regiões polares APLICAÇÕES

- É destinada a cartas de uso geral no qual a equivalência é desejável. - Em 1817 foi empregada na Carta Geral da Europa.


Paralelo Padrão na Latitude 5o.

Paralelo Padrão na Latitude 30o.

Paralelo Padrão na Latitude -22o.


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS


PARA EFEITO DE COMPARAÇÃO É MOSTRADA ABAIXO A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT, COM AS INDICATRIZES DE TISSOT



Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES

- Propriedade básica: equivalência. - A escala sobre o equador é correta. - Todos os paralelos são representados pelo mesmo comprimento. - A ampliação da escala sobre os paralelos é proporcional à sec. - Em altas latitudes as formas são bem alteradas.

APLICAÇÃO

- É destinada a cartas de uso geral, nas baixas latitudes, no qual a equivalência é desejável.

INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE DE LAMBERT



Projeção Azimutal Equivalente de Lambert CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES

- Propriedade básica: equivalência.

- Conserva os ângulos azimutais com vértice no ponto central.

- Para pontos afastados do centro da projeção as formas são bem alteradas.

- Das projeções azimutais é uma das mais utilizadas.

APLICAÇÃO

- Cartas geográficas (físicas, políticas, econômicas, etc).

- Atlas.

- Cartas dos hemisférios (modalidades polar e equatorial).

INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO AZIMUTAL EQUIVALENTE DE LAMBERT



3.4 Projeção Equivalente Pseudo-Cônica de Bonne / Projeção de Werner e Projeção de Sanson-Flamsteed

3.4.1 PROJEÇÃO DE BONNE - INTRODUÇÃO

Projeção Equivalente de Bonneou Projeção de Bonne

É uma projeção cônica modificadaPseudo-Cônica

Meridiano central – É uma reta (os demais não) Os meridianos e os paralelos não são ortogonais (F0) A distorção de escala no MC e ao longo dos paralelos é igual a 1 (sem distorção)

Distância entre os paralelos 1 e 2:

2

1

MdS

Os paralelos são igualmente espaçados tanto na esfera quanto no elipsoide?

MC(0)

P(,)

PN

V

A

Distância de P até o Meridiano Central (MC): A=(-0)Rcos (Ao longo do paralelo de latitude )

3.4.1.1 FORMULAÇÃO Cálculo de para um paralelo , caso esférico.

0

0

V

d0,

0

0Rdd 00 (3.37)

A partir da Eq. 3.37 pode-se obter as seguintes derivadas parciais:


R

0

. (3.38)

Considerando a condição de equivalência para o caso esférico pode-se escrever:

2

224

0R

0

01cosR

22224 RcosR

cosR (3.39)

Integrando a Eq. 3.39 pode-se obter a expressão para o cálculo de :

ccosR

(3.40)

onde c é uma constante de integração.

Para =0, =0 ccosR

0 0

)(

cosR0

(3.41)

Lembrando que para o paralelo padrão 0

0 tg

R

a resolução da integral 3.37 resulta em

)(Rtg

R0

0

. (3.42)

RESUMO (PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE BONNE)

)(cosR

)(Rtg

R

0

00

(3.43)

sendo as coordenadas (x,y) obtidas por

seny

cosx 0 (3.44)

Obs.: Usando as equações acima pode-se mostrar que F0, ou seja, as curvas paramétricas são não ortogonais.


Projeção Equivalente de Bonne CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES / APLICAÇÕES

- Propriedade básica: equivalência. - O MC e os paralelos são representados em verdadeira grandeza. - A medida que se afasta do MC existe uma ampliação ao longo dos meridianos.

APLICAÇÕES

- Foi empregada primeiramente na construção de uma carta da França (1/80.000), sendo depois substituída pela Cônica Conforme de Lambert. - É utilizada em países como Bélgica, Holanda, Suíça, Escócia e Irlanda. - É utilizada em atlas

APARÊNCIA DO RETICULADO PARA A PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE BONNE

Paralelo padrão na latitude 30º N.

INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE BONNE



3.4.2 PROJEÇÃO DE SANSON - FLAMSTEED

Esta projeção é um caso particular da Projeção de Bonne para o caso em que 0=0º

Nesta situação 0 Os paralelos se reduzem a retas Como o fator de escala ao longo do MC é igual a 1 pode-se escrever

Rx (3.45)

com

Rx

e 0x

. (3.46)

Usando a condição de equivalência, considerando as Equações 3.46 e o fato do elemento linear no plano ser escrito por dS2=dx2+dy2, pode-se escrever:

2

24 yy0R

10

01cosR

2224 y

RcosR

cosRy (3.47)

Após integração da 3.47 obtém-se:

ccosRy , (3.48)

sendo c uma constante de integração.

Para =0 y=0 c=0, assim:

cosRy . (3.49)

RESUMO (PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE SANSON – FLAMSTEED ou PROJEÇÃO SENOIDAL)

cosRy

Rx

Obs.: Pelas equações acima pode-se verificar que F0.


Projeção Equivalente de Sanson-Flamsteed CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES - Propriedade básica: equivalência. - Caso particular da Projeção de Bonne onde o equador é o PP. - O equador e todos os demais paralelos são representados por linhas retas. - Os meridianos e os paralelos não se cruzam em ângulos retos (a menos em caso particulares). - A forma é bastante afetada a medida que se afasta do MC e do equador. - É conhecida também como Projeção Senoidal uma vez que as transformadas dos meridianos são

senoides. APLICAÇÕES

- Apesar das distorções pode ser utilizada na representação de grandes regiões (no sentido norte-sul) como a América do Sul e África. - Pode ser utilizada em atlas

APARÊNCIA DO RETICULADO PARA A

PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE SANSON-FLAMSTEED

INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO SANSON-FLAMSTEED (PROJEÇÃO SINUSOIDAL)



3.4.3 PROJEÇÃO DE WERNER

Esta projeção é um caso particular da Projeção de Bonne para o caso em que 0=90º

Fazendo 0=90o em

)(cosR

)(Rtg

R

0

00

)90(

cos)(

)90(R

0

(3.50)

Em coordenadas cartesianas:

como 00

sen)90(Ry

cos)90(Rx (3.51)

CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES

- Propriedade básica: equivalência. - Caso particular da Projeção de Bonne na qual 0=90o. - Apresenta a forma de um coração.

APARÊNCIA DO RETICULADO NA PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE WERNER


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE WERNER



Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana (Plate Carrée) e Projeção Cilíndrica Equivalente

A figura seguinte mostra um cilindro tangente à esfera modelo de raio R. Sobre a esfera é mostrado um quadrilátero infinitesimal delimitado pelos vértices A, B, C e D. A partir do centro da esfera os vértices A, B, C e D são projetados no cilindro, determinando o quadrilátero de vértices a, b, c e d.

d

d

a,b,c,d

A,B,C,D

Quadriláteros Infinitesimais

PS

R

b

PN

a

a

b c

d

+d

dx

dy

+d

x

y

B

A

C

D

Quadrilátero infinitesimal sobre a esfera

Quadrilátero projetado

Quadrilátero infinitesimal sobre a esfera e sobre o cilindro. Adaptado de Bakker (1962).

Quadrilátero infinitesimal na esfera: A, B, C, D. Quadrilátero infinitesimal na superfície de projeção: a, b, c, d.

}

Cilindro tangente no equador


ARCOS DE MERIDIANO E PARALELO NOS DOIS QUADRILÁTEROS

No quadrilátero projetado:

Lado ad (arco de paralelo)

dyad (1)

Como RddyR/dyd . (2)

Assim: Rdad . (3) Lado ab (arco de meridiano)

dxab (4)

No quadrilátero situado sobre a superfície de referência:

Arco AD (arco de paralelo)

dcosRArco

cosR

Arcod AD

AD (5)

Arco AB (arco de meridiano) RdArco

R

Arcod AB

AB (6)

COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO MERIDIANA (m0 ou em algumas referências)

AB0 Arco

abm (7)

Usando as Equações 4 e 6, o valor de m0 poderá ser calculado por:

Rd

dx

Arco

abm

AB0 (8)

COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (m90 ou em algumas referências)

AD90 Arco

adm (9)

Usando as Equações 3 e 5, o valor de m90 poderá ser calculado por:

cos

1

dcosR

Rdm90 (10)


COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO SUPERFICIAL (m0m90 ou = em algumas referências)

dcosR

dxmm 900 (11)

------------------------------------------

PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MERIDIANA (Projeção Plate Carrée)

cRxRddx1Rd

dx1m IntegraçãoApós

0

Para =0 (Equador), x=0 c=0.

Síntese

0Ry

Rx

cos/1m1m 900

PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE DE LAMBERT

cRsenxdcosRdx1dcosR

dx1mm IntegraçãoApós

900

Para =0 (Equador), x=0 c=0.

Síntese

0Ry

Rsenx

cos/1mcosm 900


PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE COM UM PARALELO PADRÃO No caso da Proj. Cilíndrica Equivalente de Lambert o cilindro é tangente ao equador do modelo adotado como superfície de referência. Num caso mais geral onde se tem um paralelo padrão, o cilindro deixa de ser tangente ao equador e passa a ser secante a um paralelo de latitude φ0, como ilustra a próxima figura.

PS

R

0

PN

Com esta consideração e assumindo que o ângulo diedro seja dλ, o valor de dy no paralelo padrão poderá ser obtido por:

dcosRdyr

dyd 0 , (12)

onde r é o raio do paralelo, calculado por Rcos(φ0). Deste modo, os novos valores de m0, m90 e m0.m90 serão:

Rd

dxm0

cos

cosm 0

90

cos.d.R

cos.dxm.m 0

900 (13)

Aplicando a condição 1mm 900 obtêm-se:

ccos

senRxd

cos

cosRdx1

dcosR

cosdx1mm

0

IntegraçãoApós

0

0900

Para =0 (Equador), x=0 c=0 0cos

senRx

Integrando a Eq. 12 e usando a condição de que para λ0 o valor de y será nulo, obtêm-se:

00cosRy (14)

Síntese

00

0

cos..Ry

cos

sen.Rx

cos

cos

m

1m 0

900 (15)


PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE COM UM PARALELO PADRÃO As Equações 15 são válidas para diferentes valores de φ0. Para o caso particular em que φ0=0o tem-se a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert. Para outros valores de φ0 tem-se outras projeções também equivalentes.

O fato de ser adotado outro valor de φ0, que não seja φ0=0o, não modifica a propriedade principal da projeção (equivalência). Como no paralelo padrão φ0 tem-se que m0=m90=1, significa que nas proximidades de φ0 a forma será pouco alterada. Na tabela abaixo são apresentadas algumas projeções, baseada no mesmo modelo matemático, mas com diferentes valores de φ0.

Projeção Paralelo Padrão (φ0)

Autor

Cilíndrica Equivalente de Lambert

φ0 = 0o Johann Heinrich Lambert (1772)

Projeção de Gall (Gall’s Ortographic Proj.)

φ0 = 45o James Gall (1855)

Projeção de Behrmann φ0 = 30o Walther Behrmann (1910) Projeção de Trystan Edwards φ0 = 37o Trystan Edwards (1953) Projeção de Peters φ0 = 45 o - 47o Arno Peters (1967) Fonte: Snyder (1987).

Os dados da tabela anterior foram baseados em Snyder (1987). No entanto, é possível observar que existe uma divergência nos valores da latitude do paralelo padrão, ao utilizar outras referências, como por exemplo Bugayevskiy e Snyder (1995), para as projeções de Trystan Edwards e Peters. A partir desta tabelas pode-se observar que o valor adotado na Projeção de Peters é similar ao usado na Projeção de Gall e pode-se ver na literatura que algumas controvérsias são observadas em relação a esta projeção. Uma se refere à autoria e outra ao aspecto destacado abaixo, com base em Snyder (1997, p. 165):

“The other controversial claim was that the less developed countries of the

world were finally presented in a fair manner on a world map, rather than

on a “Euro-centered” Mercator projection with severe distortion” Pode-se notar também que algumas referências utilizam a denominação Projeção de Gall-Peters para esta projeção.

Na sequência são mostradas a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, a Projeção da Gall-Peters e a Projeção de Mercator.



Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES / APLICAÇÕES

- As escalas sobre o equador e meridianos são verdadeiras. - Sobre os paralelos a ampliação é proporcional a sec. - Pólos: são representados por linha retas. - Aplicação: navegação marítima (antes da projeção de Mercator). - É uma das projeções mais antigas (100 DC) - Outras denominações: Plate carrée (pelos Franceses), Plane Chart. Equirectangular Projection

Obs.: Pode-se considerar também o caso em que se têm outros paralelos, que não sejam o

equador, representados em verdadeira grandeza.

APARÊNCIA DO RETICULADO DA PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MERIDIANA (PLATE CARRÉE)

INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO PLATE CARRÉE



Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II

Parte 3

Prof. Mauricio Galo I) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica

Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se: a) Quais os limites em latitude que você faria este mapeamento de modo que a máxima

ampliação não ultrapasse 2%. (Resposta em graus, minutos e segundos). b) Qual a máxima distorção angular, em valor absoluto, nas latitudes obtidas no item anterior?

(Resposta em graus, minutos e segundos). II) Diferente das projeções conformes, onde a distorção angular é nula, nas projeções equivalentes a

distorção angular máxima pode ser escrita em função das componentes m0 e m90. Deste modo pergunta-se:

a) Considerando a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, caso normal, qual é o máximo intervalo em que você faria o mapeamento de uma região equatorial, de modo que a distorção angular não ultrapasse 1o?

b) Considerando a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, caso polar, qual é o intervalo em latitude que você faria o mapeamento de modo que a distorção angular não ultrapasse 1o?

c) Utilizando o aplicativo Gnuplot faça os gráficos mostrando as curvas que relacionam a distorção angular máxima em função da latitude, para os itens (a) e (b) desta questão e verifique se existe coerência entre os gráficos gerados, com as respostas obtidas.

III) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica

Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se: - Sabendo que o erro angular tolerável, em graus, seja expresso por ang, obtenha a expressão

que permite o cálculo da latitude limite L para esta projeção? IV) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região polar com uma projeção que preserva as áreas e

você foi encarregado de projetar este produto. A projeção escolhida foi a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert. Uma vez que esta projeção possui a propriedade de equivalência, deseja-se que o produto gerado atenda, simultaneamente, às seguintes características:

I) Deformação angular menor ou igual a 0,5o (meio grau). II) Erro relativo linear máximo: 1/1000.

Perguntas:

a) Quais são os limites (em coordenadas geográficas) que pode ser representado, usando a

projeção Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), mantendo as características especificadas?

b) Sabendo que você dispõe de uma área útil de 1mx1m para imprimir este produto, qual será a máxima escala que você conseguiria fazer a impressão deste produto, mostrando toda a área determinada em (a). Adote R=6.371.000m.


Respostas de alguns dos exercícios:

Ia) Os limites em que faria o mapeamento seria: da latitude 11o 21’ 53’’ S até 11o 21’ 53’’ N. Ib) A máxima distorção angular seria: =1o 8’ 4’’. IIa) O intervalo em que faria o mapeamento seria entre 10o 40’ 27’’ S e 10o 40’ 27’’ N. IIb) O intervalo em que faria o mapeamento seria entre 68o 39’ 06’’ N e =90o N. III) Resp.: )180/1/()180/1(arccos angangL .

IVa) Os limites em que faria o mapeamento seriam: do paralelo 84o 52’ 38’’ N até =90o N. IVb) A escala máxima seria aproximadamente 1 / 1.138.874.


Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Classificação de cartas/Reticulado/Quadriculado/CIM


Assuntos

- Definições, Classificação de Cartas

- Carta Internacional ao Milionésimo

- Articulação do Mapeamento Sistemático

- Lista de Exercícios


Definições / Classificação / CIM / Articulação CARTOGRAFIA

É a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de mapas e cartas, o conhecimento humano da superfície da Terra

(BAKKER, 1965)

‘The art, science and technology of making maps, together with their study as scientific

documents and works of art. In this context maps may be regarded as including all types

of maps, charts and sections, three dimensional models and globes representing the Earth

or any celestial body at any scale.’ (International Cartographic Association-ICA, 1973)

MAPA

É a representação da Terra nos seus aspectos geográficos naturais ou artificiais que se destina a fins culturais ou ilustrativos. Não tem caracter científico especializado e geralmente é construído em escala pequena cobrindo um território mais ou menos extenso.

(BAKKER, 1965)

"Is a symbolized image of geographical reality, representing selected features or

characteristics, resulting from the creative effort of it's author's execution of choices, and

is designed for use when spatial relationship are of primary relevance." (International Cartographic Association-ICA, 1995)

CARTA

É a representação dos aspectos naturais ou artificiais da Terra, destinadas a fins práticos da atividade humana, permitindo a avaliação precisa de distâncias, direções e a localização geográfica de pontos e detalhes. É portanto uma representação similar ao mapa, mas de caráter especializado, construído com uma finalidade específica e, geralmente em escalas grandes.

(BAKKER, 1965)


CLASSIFICAÇÃO DE CARTAS EM FUNÇÃO DA ESCALA

1/25.0001/500.000 Escala

Escalaspequenas

Escalasmédias

Escalasgrandes

1/5.000Cadastro (urbano)

Escala pequena - igual ou inferior a 1/500.000 Escala média - maior que 1/500.000 e menor que 1/25.000 Escala grande - maior que 1/25.000

(OLIVEIRA, 1993)

Obs.: Estes limites não são exatos. A escalas médias correspondem às escalas do mapeamento sistemático (1/250.000 a 1/25.000).

CLASSIFICAÇÃO DAS CARTAS (Segundo a ABNT) 1) Cartas Geográficas6

Topográficas: São cartas confeccionadas mediante um levantamento topográfico regular, ou compiladas de cartas topográficas existentes e que incluem os acidentes naturais e artificiais, permitindo facilmente a determinação de altitudes.

Planimétricas: É o mesmo que cartas topográficas, entretanto, não faz parte de suas características fundamentais a representação das altitudes.

2) Cartas Cadastrais e Plantas

São aquelas, geralmente em escala grande, usadas para mostrar limites verdadeiros e usos das propriedades, podendo omitir elevações e detalhes naturais ou artificiais desnecessários.

3) Cartas Aeronáuticas

São as que representam a superfícies da Terra com sua cultura e relevo, de maneira a satisfazer, especificamente, as necessidades da navegação aérea.

4) Cartas Náuticas

São cartas que resultam de levantamentos dos mares, rios, canais e lagoas navegáveis e que se destinam à segurança da navegação.

6 A carta geográfica quando representa toda a superfície da Terra é denominada mapa-mundi ou planisfério.


5) Cartas Especiais

São as cartas, mapas ou plantas em qualquer escala, que geralmente se preparam para fins específicos: Cartas Geológicas / Geomorfológicas / Meteorológicas / de Vegetação / de Uso da Terra / Geofísicas / Globo.

ESCALA

Relação entre uma distância na esfera modelo (ou na carta) e a correspondente na superfície terrestre.

R

r

R

r

AB

abE

R

AB

ab

r

Arco (AB) na superfície de referência

e na esfera modelo (ab).

= ângulo central correspondente aos arcos ab e AB, na esfera modelo e na sup. terrestre, respectivamente.

Esta escala não é constante sobre um produto cartográfico, devido às distorções.

ESCALA PRINCIPAL

Escala da esfera modelo, representativa da superfície terrestre. Escala Nominal (é válida apenas para alguns pontos ou ao longo de certas linhas).

Escala Particular: é múltipla da escala nominal ou principal.


Reticulado e Quadriculado

Reticulado (Graticule)

Conjunto de curvas formadas pelas transformadas dos Paralelos e Meridianos.

Quadriculado (Grid)

Associado ao sistema de Coordenadas da Projeção, por ex.: (X,Y) na TM e (E,N) na UTM.

Obs.: Algumas referências no Brasil não consideram esta diferença de denominação.

O Reticulado e o Quadriculado em função da escala (MALING,1992)

Escala Separação do Quadriculado

(Grid)

Separação do Reticulado (Graticule)

1/2.500 e > 0,1 km -

1/10.000 1,0 km 1'(na margem)

1/25.000 1,0 km

1/50.000* 1,0 km 1' (margem) 5' (cruzes)

1/250.000** 10,0 km 1'(m) e 30'(cruzes)

1/1.000.000 - 1o e 1' (m)

1/2.000.000 - 1o

1/100.000.000 - 10-20o

< 1/100.000.000 - 15-20o

* - 2km / 05' margens e cruzes (no Brasil) ** - 10km / 15' (marcas 1') IBGE

- 10km / 15' (DSG)


Exemplo de Reticulado

Regiões do Brasil. (Reticulado de 10o x 10o).

Exemplo de Quadriculado (na projeção UTM)

Canto de uma folha na projeção UTM.

Notar que os cantos de uma folha são especificados em coordenadas geodésicas.


Exemplos de trechos de duas cartas do mapeamento sistemático, na escala 1/50.000 do IBGE.

Obs.: - Canto superior direito das cartas (em coordenadas geodésicas);

- O quadriculado (em coordenadas UTM).


a)

b) Exemplos de trechos de duas cartas do mapeamento sistemático, na escala 1/50.000 do IBGE. Em (a)

primeira edição e em (b) segunda edição Obs.: - Canto inferior esquerdo das cartas (em coordenadas geodésicas);

- O quadriculado (em coordenadas UTM). - Verificar as diferenças no modo em que são mostradas as coordenadas UTM.


Trecho de uma carta na escala 1/50.000, mostrando o quadriculado na projeção UTM, bem como um dos cantos. Notar a presença dos “tics” nas bordas e uma cruz, determinando onde passam as transformadas dos paralelos e dos meridianos, neste produto.

Trecho de uma carta na escala 1/50.000, mostrando o quadriculado na projeção UTM, bem como um dos cantos. Notar a presença dos “tics” nas bordas e uma cruz, determinando onde passam as transformadas dos paralelos e dos meridianos, neste produto. Verificar os detalhes mostrados de forma ampliada.


Produto na escala 1/100.000. Pode-se ver no quadrante superior esquerdo uma cruz (tic).

Fonte: (IBGE, 1999) http://www.ibge.gov.br/home/geografia/decar/manual_nocoes/indice.htm


Trecho de uma CAP – Carta Aeronáutica de Pilotagem. Escala 1:250.000 SE – 22 – Z – D 1ª Edição – Novembro de 1982 Produto elaborado pelo IBGE, responsabilidade do DEPV – Diretoria de Eletrônica e Proteção ao Vôo. Observar neste produto a presença simultânea do reticulado (15` x 15`) e do quadrilulado (10km x 10km).

Detalhe do reticulado e quadriculado.


Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo

Conjunto de cartas parciais ou folhas componentes da carta geral do mundo, na escala 1:1000000.

ESPECIFICAÇÕES DA CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO

Dimensões: 6o de longitude x 4o em Latitude Nomenclatura: LL-No (Onde L representa uma letra e No é um número)

Primeira letra: Relacionado com hemisfério (N ou S) Segunda letra: Designa a faixa (em latitude). Por exemplo:

- de 0o a 4o: A - de 4o a 8o: B, C, D, ...

Número do fuso (ou da zona de projeção): corresponde ao número do fuso de 6o de amplitude.

Origem: meridiano de longitude =180º. fuso no 1: 180o a 174oW fuso no 2: 174oW a 168oW ... fuso no 60: 174oE a 180o

=6o

=0o

180o 174oE

6oE6oW 12oE12oW

174oW 168oE168oW12

3129 30

60 59

Fusos:{1, 2, ..., 60}


NUMERAÇÃO DOS FUSOS / LIMITES DOS FUSOS E MERIDIANOS CENTRAIS PARA O BRASIL

54

o48

o42

o78

o72

o66

o60

o36

o

Longitudes do limitesdos fusos

SF

SG

SH

SB

SC

SD

SE

SA

NA

NB

20o

24o

28o

4o

8o

12o

16o

0o

32o

4o

8o

51o

45o

39o

75o

69o

63o

57o

Longitudes dos meridianoscentrais dos fusos


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS DE 6O X 4O DA CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO

Fonte: http://www.ibge.gov.br


CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO - CIM Projeção Cônica Conforme de Lambert (2PP)

Limite ao Norte: 84oN.

Limite ao Sul: 80oS.

Ao sul do paralelo 80oS e ao norte do paralelo 84oN a projeção utilizada é:

Projeção Estereográfica Polar Fonte: IBGE(1993)


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/25.000) DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO (DECRETO-LEI 243/67)

V X

Y Z

1/1.000.0001/500.000

1/100.0001/250.000

A B

C DIV

I II III

V VI

II

1/250.0001/100.000

1/50.0001/25.000

1

I III

IV V VI2

3 4NO NE

SO SE

1 2

3

Escala 1/1.000.000 6o 4o 1/500.000 3o 2o 1/250.000 1,5o 1o 1/100.000 0,5 o (30') 0,5 o (30') 1/50.000 15' 15' 1/25.000 7,5' 7,5'


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/25.000)

1 / 500.000 (3o x 2o)

1 / 250.000 (1,5o x 1o) 1/100.000 (0,5ox0,5o , 30'x30')

1/50.000 (0,25ox0,25o , 15'x15') 1/25.000 (0,125ox0,125o , 7,5'x7,5')

1/10.000 (3,75'x2,5')

V XY Z

A BC D

I II IIIIV V VI

1...23 4

1 / 1.000.000 (6ox4o)

NO NESO SE

A BC DE F

Nomenclatura das folhas hachuradas mostrada acima Escala Dimensões (,) Nomenclatura Número de folhas dentro

da carta ao milionésimo 1 / 1.000.000 60 x 40 SF-22* 1 1 / 500.000 30 x 20 SF-22-X 4 1 / 250.000 1,50 x 10 SF-22-X-C 4x4=16 1 / 100.000 0,50 x 0,50 / 30' x 30' SF-22-X-C-V 4x4x6=96 1 / 50.000 0,250 x 0,250 / 15' x 15' SF-22-X-C-V-1 4x4x6x4=384 1 / 25.000 0,1250 x 0,1250 / 7,5' x 7,5' SF-22-X-C-V-1-SO 4x4x6x4x4=1536 1 / 10.000 3,75' x 2,5' SF-22-X-C-V-1-SO-F 4x4x6x4x4x4x6=9216


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/10.000)

Escala Amplitude Nomenclatura

(,)

1/1.000.000 6º x 4º LL-NN 1/500.000 3º x 2º V X Y Z 1/250.000 1,5º x 1º A B C D 1/100.000 30’ x 30’ I II III IV V VI 1/50.000 15’ x 15’ 1 2 3 4 1/25.000 7,5’ x 7,5’ NO NE SO SE 1/10.000 3,75’x 2,5’ A B C D E F

1/25.000 para 1/10.000


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE

Além da nomenclatura usada na articulação de folhas do mapeamento sistemático, um outro sistema também é utilizado, baseado no uso de um número para cada uma das cartas. Estes números são denominados MI (Mapa Índice), segundo o IBGE (1999), e mudam conforme a escala:

Folhas na escala 1:1.000.000 – Numeração de 1 a 46

Folhas na escala 1:250.000 – Numeração de 1 a 550

Folhas na escala 1:100.000 – Numeração de 1 a 3036

Exemplo: A folha SD-23-Y-C-IV corresponderá ao número MI 2215.

ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE PARA ESCALAS 1/100.000

Para as escalas maiores que a 1/100.000 pode-se usar o número MI seguido de 1, 2, 3 ou 4, para as escalas 1/50.000 e depois NO, NE, SO e SE para as escalas 1/25.000, conforme a localização das folhas nos respectivos quadrantes, de acordo com a articulação do mapeamento sistemático.


ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE

Para as escalas maiores que a 1/100.000 pode-se usar o número MI seguido de 1, 2, 3 ou 4, para as escalas 1/50.000 e depois NO, NE, SO e SE para as escalas 1/25.000, conforme a localização das folhas nos respectivos quadrantes, de acordo com a articulação do mapeamento sistemático.

Considerando o exemplo da folha SD-23-Y-C-IV (ou MI 2215), algumas folhas derivadas poderão ser referenciadas por:

SD-23-Y-C-IV-1 SD-23-Y-C-IV-2

SD-23-Y-C-IV-3 SD-23-Y-C-IV-4

Folhas 1/50.000, segundo a articulação convencional.

MI 2215-1 MI 2215-2

MI 2215-3 MI 2215-4

Folhas 1/50.000, segundo a articulação considerando o MI.

MI 2215-1-NO MI 2215-1-NE

MI 2215-1-SO MI 2215-1-SE

MI 2215-2-NO MI 2215-2-NE

MI 2215-2-SO MI 2215-2-SE

MI 2215-3-NO MI 2215-3-NE

MI 2215-3-SO MI 2215-3-SE

MI 2215-4-NO MI 2215-4-NE

MI 2215-4-SO MI 2215-4-SE

Folhas 1/25.000, segundo a articulação usando o MI – Mapa índice.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas, DH21-1, 1965. IBGE Manual de normas, especificações e procedimentos técnicos para a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo – CIM 1/1.000.000. Manuais Técnicos em Geociências No 2, Rio de Janeiro, 1993. 63p. IBGE Noções Básicas de Cartografia. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Diretoria de Geociências – DGC, Departamento de Cartografia – DECAR. 1999. Disponível em: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/manual_nocoes/indice.htm. Acesso: Agosto de 2008. MALING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992. OLIVEIRA, C. de Curso de Cartografia Moderna. IBGE, Rio de Janeiro, 1993.


Lista de exercícios de Projeções Cartográficas II

Prof. Mauricio Galo

1) Para planejar um trabalho de campo, buscou-se o auxílio de um Mapa Índice (MI) referente ao mapeamento sistemático brasileiro, mostrado na figura ao lado. Considerando o valor de erro gráfico como 0,2 mm na escala da carta, responda as perguntas a seguir (Enade, 2008).

a) Para o erro gráfico correspondente a 24 m no terreno, qual

o valor mínimo de escala do mapeamento sistemático em que a carta deverá ser solicitada? Apresente os cálculos.

b) Qual o índice de nomenclatura da folha, na escala 1:100.000, que contém o ponto P?

c) Quais os índice das folhas, na escala 1:100.000, enquadradas pelas coordenadas Leste=-56º, Oeste=-57º, Norte=-8º,Sul=-9º?

http://www.inep.gov.br/superior/enade/


Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Classificação de cartas/Reticulado/Quadriculado/CIM


Assuntos

- Projeção Policônica

- Projeção Pseudo-Azimutal

- Escolha da Projeção Cartográfica

- Regra de Young

- Constante de Kavraisky


Projeção Policônica

Na projeção cônica pode-se ter o cone tangente ou secante, tendo-se respectivamente um ou dois paralelos-padrão, como mostrado abaixo.

Cone tangente (1 pp) Cone Secante (2 pp)

Na Projeção Policônica têm-se uma série de cones, cada um tangente ao modelo geométrico (esfera ou elipsoide), em um paralelo diferente.

Princípio da projeção policônica Dois cones tangentes.

PROJEÇÃO PSEUDO-CÔNICA

Nesta projeção os paralelos são arcos circulares concêntricos e os meridianos são curvos, diferente das projeções cônicas.

Ex.: Projeção de Bonne.


Projeção Policônica

Natureza: polisuperfical (uma série de cones) Antes da Projeção Cônica Conforme de Lambert esta projeção era utilizada na CIM.

Princípio da construção da projeção policônica. Adaptado de IBGE (1999)*.

CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES Cada um dos paralelos possui a curvatura equivalente à produzida pelo desenvolvimento de um cone tangente ao respectivo paralelo. Paralelos: arcos de circunferência não concêntricos. Centros dos arcos de circunferências: localizadas sobre a reta definida pelo Meridiano Central. Distorções: dependem de e de . As curvas de mesma distorção são simétricas em relação ao MC. Ao longo do MC as distorções são nulas. Paralelos são representados em VG, sendo portanto Equidistante Transversal. * IBGE; Noções Básicas de Cartografia. Manuais Técnicos em Geociências No 8, Rio de Janeiro, 1999. 130p.


Equações de Mapeamento - Projeção Policônica* Dados Iniciais: Coordenadas da Origem do Sistema Local

0 - Latitude 0 - Longitude do Meridiano Central

Coordenadas de um ponto genérico: ( , )

Caso Esférico (Raio R) Caso Elipsoidal (a, e)

0paracot.Ecos1Ry

Esen.cot.Rx

0para.Ry

.Rx

0

0

com

sen.E , 0

Dist. ao longo dos meridianos (p./ esfera):

Dcos.sen

Ecos.cos1h

2

2

c/

Ecossec

EcosEartgD

2

Dist. ao longo dos paralelos: k=1

0paraEcos1cot.NBBy

Esen.cot.Nx

0paraBy

.ax

0

0

com

sen.E , 0

2/122 sene1aN

B - comprimento de arco de meridiano.

Aparência do reticulado para a Projeção Policônica para (0, 0) = (0o, -54º) e modelo esférico.

* SNYDER, J. P.; Map Projections Used by the U. S. Geological Survey – Geological Survey Bulletin 1532, United States Government Printing Office, Washington, 1982. 313p.


INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO POLICÔNICA



Projeção Pseudo-azimutal

São projeções azimutais nas quais os paralelos são arcos circulares e os meridianos são curvos.

Exemplo do reticulado de uma projeção azimutal (a esquerda) e de uma projeção pseudo-azimutal (a direita), para o caso polar.

Projeção Pseudo-cilíndrica

Nas projeções pseudo-cilíndricas os paralelos são representados por linhas retas e os meridianos são curvos.

Exemplo de uma projeção cilíndrica (a esquerda) e de uma pseudo-cilíndrica (a direita).


Projeção Pseudo-azimutal

No aspecto polar os paralelos são representados por arcos circulares concêntricos e os meridianos são mostrados como curvas (ou linhas retas) convergindo para o centro. Algumas projeções:

- Projeção Equivalente Pseudo-azimutal (Wiechel) - descrita em 1879 - Projeção TsNIIGAiK (Ginzburg ) - descrita em 1952 (apenas no aspecto obliquo) (Projeção com isolinhas ovais)

Exemplo:

Projeção Pseudo-azimutal Equivalente de Wiechel Aspecto polar Desenvolvida em 1879 por H. Wiechel, na Alemanha.

Trecho do script usado para geral a projeção de Wiechel (Bugayevskiy e Snyder, 1995)

set title "SISTEMAS DE PROJEÇÃO EM CARTOGRAFIA\n\ Projeção Equivalente Pseudo-azimutal de Wiechel" Y(lat,lon)=r*( sin(lon)*cos(lat) - (1-sin(lat))*cos(lon) ) X(lat,lon)=-r*( cos(lon)*cos(lat) + (1-sin(lat))*sin(lon) ) plot 'world.dat' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 8 8 rep 'world.mer' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 3 3 rep 'world.par' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 1 1 pause -1 " Fechar janela ? "


Projeção de Mollweide

Projeção Homolográfica* de Mollweide Características da projeção, conforme Snyder (1987):

- Propriedade preservada: área (é equivalente); - Pseudo - cilíndrica; - O meridiano central (MC) é uma linha reta e os meridianos nas longitudes 90º E e W

são circunferências, enquanto todos os demais são elipses; - Os paralelos são igualmente espaçados; - A escala é verdadeira ao longo dos paralelos 40º 44’ 12’’ N e S; - O equador, na projeção, possui o dobro do comprimento do MC.

Foi apresentada por C. B. Mollweide em 1805. Em 1857 J. Babinet reapresentou esta projeção como o nome de Projeção Homalográfica, sendo também conhecida como Homolográfica. * Homolográfica ou Homalográfica: do grego homalos ou homos (mesmo) e graphos (escrita)

(SNYDER, 1987), sendo sinônimo de equivalente.


PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE Projeções cilíndricas e pseudo-cilíndricas

Projeção de Mollweide

Fonte: http://interactiva.matem.unam.mx/, 2010.


MAPEAMENTO (Φ,Λ) → (X,Y) PARA A PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE

Conversão (φ,λ) → (x,y)

sen.R.2y

cos..R.22

x 0 (1)

sendo θ um ângulo auxiliar que pode ser calculado a partir de φ pela equação abaixo:

sen2sen2 . (2) A Equação 2 é uma equação Transcendental uma vez que não existe uma solução direta (e exata) para θ, devendo ser usada uma solução iterativa.

SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO TRANSCENDENTAL

sen2sen2

Etapa 1) Adote um valor para ε, em radianos, que será usado como uma tolerância para o valor estimado de θ.

Etapa 2) Faça k=0 e determine um valor inicial para θ(k), que pode ser:

θ(0)=π.sin(φ)/4.

Etapa 3) Determinar θ(k+1) por:

)k()1k( 2sensen.2

1

Etapa 4) Se )k()1k(

Se Sim: Vá para Etapa 5 Se Não: Faça k=k+1 Vá para Etapa 3

Etapa 5) O valor procurado é θ(k+1).


SOLUÇÃO (MAIS EFICIENTE) DA EQUAÇÃO TRANSCENDENTAL

sen2sen2

Uma solução mais rápida para este problema pode ser dada usando o método de Newton-

Raphson, como pode-se ver em Snyder (1987). Na sequência o algoritmo é detalhado.

Etapa 1) Adote um valor para ε e fazer θ’= φ

Etapa 2) Calcular uma correção para θ’ por

'cos1

''sensen'

Etapa 3) Atualizar θ’ fazendo

θ’= θ’+Δθ’

Etapa 4) Se '

Se Sim: Vá para Etapa 5 Se Não: Vá para Etapa 2

Etapa 5) O valor procurado é θ=θ’/2.

COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO

sen2sen2

Cálculo para 3 latitudes diferentes Tolerância ε=0.000001”

Solução sem usar

Newton-Raphson

Solução por

Newton-Raphson

φ=-2º

θ calculado -1.57087089º -1.57087089º Número de iterações 9879 3

φ=-45º


φ=-88º



PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE

EXEMPLO 1

Fonte: http://interactiva.matem.unam.mx/, 2010.

EXEMPLO 2

Fonte: Wikimedia Commons (http://commons.wikimedia.org/wiki), 2010.


EXEMPLO 3

Fonte: http://www.mapsanddirections.us, 2010.


PROJEÇÕES DESCONTÍNUAS (OU INTERROMPIDAS)

A maior parte das projeções vistas representam as áreas de interesse de forma contínua, ou seja, sem que haja quebra de continuidade nos continentes e sobre os oceanos.

No entanto, algumas projeções apresentam descontinuidades. A motivação para representar a superfície com descontinuidades é minimizar algumas distorções. A seleção das regiões de descontinuidades depende do que se deseja representar. Por exemplo, caso a ideia seja representar os continentes pode-se fazer as descontinuidades sobre os oceanos e o contrário, caso o interesse seja representar os oceanos.

Como exemplo tem-se a Projeção de Equivalente de Goode, também conhecida como Projeção Descontínua de Goode, ou Projeção Equivalente Homolosina de Goode.

Esta projeção foi proposta por John Paul Goode (1862 – 1932) sendo obtida a partir da

combinação da Projeção Homolográfica de Mollweide com a Projeção Sinusoidal (ou Projeção Equivalente de Sanson-Flamsteed). Deste modo, a Projeção de Descontínua de Goode tem como propriedade principal a equivalência, sendo uma projeção pseudocilíndrica.

APARÊNCIA DA PROJEÇÃO DESCONTÍNUA DE GOODE

Fonte: Snyder e Voxland (1989).


PROJEÇÃO DESCONTÍNUA DE GOODE

Fonte: Homolosine Projection, Map/Still, from Britannica Online for Kids. Acesso: Set./2017. URL: http://kids.britannica.com/comptons/art-166521.

PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência Clássica)

Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot7.

7 Ver http://www2.fct.unesp.br/docentes/carto/galo/web/gnuplot/fct.htm.


PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência com descontinuidade)

Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot. Para cada uma das partes tem-se um meridiano central diferente, o possibilita reduzir as

deformações nas longitudes limites em cada região.


Longitudes limites: -180º, -30º, 60º e 180º. Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot.



Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot. Longitudes limites: -180º, -130º, -20º, 60º e 180º.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS / BIBLIOGRAFIA

BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas. DH21-1, 1965. 242p.

BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping. New York: Springer-Verlag, 1979.

BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995.

GALO, M. Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e

formulação. Notas de aula do curso de Graduação em Eng. Cartográfica, Departamento de Cartografia, UNESP, Presidente Prudente, 2017.

MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992.

SNYDER, J. P. Map Projections – A Working Manual. U. S. Geological Survey - Professional Paper 1395. Washington, 1987.

SNYDER, J. P.; VOXLAND, P. M. An Album of Map Projections. U. S. Geological Survey - Professional Paper 1453. Denver, 1989.

SNYDER, J. P. Flattening the Earth - Two Thousand Years of Map Projections. Chicago: The University of Chicago Press, 1997.


Escolha da Projeção Cartográfica Adequada INTRODUÇÃO

No. de projeções teoricamente possível. No. de projeções descritas na literatura. 400 No. de projeções construídas. 200 No. de projeções comumente utilizadas. < 50 No. de projeções utilizadas para todos os propósitos (menos para atlas).

< 30

Fonte (MALING, 1992)

Dependendo do trabalho em questão pode-se ter uma grande liberdade de escolha da projeção.

Por exemplo: Atlas

Neste caso o objetivo é a construção de mapas que normalmente possuem escala pequena. Região de abrangência: um país inteiro, continente, hemisfério ou todo o planeta.

No caso de algumas aplicações específicas (navegação, mapeamento topográfico, etc.) a liberdade de seleção fica limitada.


Exemplos de Projeções “não convencionais”

Projeção Azimutal Logarítmica (Logarithmic

Azimuthal Projection), baseada no princípio apresentado por Hägerstrand (1957). A região central ampliada é centrada em Estocolmo.

Fonte: Snyder (1997).

Projeção Azimutal Equivalente “Magnifying-Glass” (”Magnifying-Glass”

Azimuthal Equal-area

Projection), centrada nas coordenadas (φ, λ)=(45º N, 85º W).



Exemplos de Projeções “não convencionais”

Projeção Craig Mecca (The

Craig Mecca Projection ou

Mecca Projection). Projeção retroazimutal centrada em Mecca, desenvolvida por James I. Craig (1868-1952) em 1909. Uma projeção retroazimutal preserva o azimute verdadeiro medido a partir do centro a qualquer outro ponto.



FATORES QUE INFLUENCIAM A ESCOLHA DA PROJEÇÃO ADEQUADA Todas projeções tem distorção (independente da magnitude e do tipo)

Partindo deste fato, pode-se usar como objetivo principal o seguinte critério:

"Selecionar a projeção na qual a distorção extrema seja a menor possível, dentre todas as possíveis projeções que podem ser usadas para mapear a mesma área."

Este é um critério bem objetivo, no entanto outros elementos podem ser considerados.

A finalidade do mapa

A finalidade a que se destina o mapa. e um certo conhecimento de como ele será utilizado.

Pode e geralmente determina a propriedade especial.

Exemplo 1:

Necessidade: Mapa que preserve a forma de um país. Pode-se fazer a escolha de uma projeção (conforme) na qual o aumento das áreas na fronteira do país seja o mínimo possível, ou seja, na qual o exagero em área seja o menor.

Exemplo 2:

Necessidade: Mapa que preserve a área de um país. Pode-se fazer a escolha de uma projeção (equivalente) na qual a deformação angular (na forma) seja a menor possível.


Se nenhuma propriedade específica for

definida.

Pode utilizar uma representação de erro-mínimo.

Neste tipo de projeção não é atendida necessariamente nenhuma propriedade específica (eqüidistância equivalência ou conformidade) mas sim o fato de que os erros decorrentes das projeção são minimizados sobre a região a ser mapeada. Exemplo de função* a ser minimizada:

dz.senz.b1a1z

0z

22

,

onde: a, b - Fatores de escala;

z=0o - Centro da área a ser mapeada; z=β - Determina o afastamento de um ponto genérico da borda da região de interesse em relação ao centro da projeção.

* Fonte: Maling (1992) e Bugayevskiy e Snyder (1995). Este critério foi proposto inicialmente por G. B. Airy em 1861, dando origem à Projeção azimutal de erro-mínimo de Airy.


Projeções para o mapeamento de pequenas áreas ou países pequenos

Para áreas de pequenas dimensões as possibilidades são inúmeras (a projeção utilizada não importa muito).

- Isto ocorre quando o erro provocado pela projeção é menor do que o erro gráfico admissível (0,2mm).

- Nesta situação as medidas feitas sobre o mapa não são afetadas pela projeção.

Relação entre a dimensão a ser mapeada e as tolerâncias admissíveis, para alguns países e continentes (Fonte: MALING, 1992)

O mapa de todo o Oeste da Europa pode ser preparado considerando as seguintes tolerâncias:

- 2% para erro relativo em área. - 1o para o erro máximo angular.

Para o caso do Canadá, URSS, as tolerâncias seriam:

- 3% para erro relativo em área. - 3-5o para o erro máximo angular.

Deste modo pode-se considerar que para áreas maiores, as tolerâncias admissíveis devem ser maiores.

Alguns outros exemplos:

Mapa equivalente da Ásia:

- distorção angular máxima de 15o Mapa equivalente da África e América do Sul:

- distorção angular máxima da ordem de 6o a 8o.


A escolha da origem, aspecto e classe da projeção

Num estágio preliminar do processo de escolha da projeção pode-se considerar a posição da origem.

- Normalmente o ponto de distorção nula é escolhido nas proximidades do centro da área a ser mapeada. - As linhas de distorção nula (LDZ) devem ser orientadas ao longo da maior extensão do país ou região.

A escolha da origem e a seleção da direção das linhas de distorção nula já determina o aspecto8 da projeção.

A forma da região tem influência na seleção de um ponto de distorção nula ou linhas de distorção nula (que tem relação com a classe9).

Estes três elementos (origem, aspecto, classe) estão intimamente relacionados e devem ser considerados juntos.

Na abordagem tradicional, para a escolha das classes, três regras são comumente apresentadas* :

- Se o pais a ser mapeado se localiza na região tropical

Considera-se as projeções cilíndricas.

- Se o pais a ser mapeado se localiza em latitudes temperadas

Considera-se as projeções cônicas.

- Se o pais a ser mapeado se localiza nas regiões polares

Considera-se as projeções azimutais.

*Estas regras NÃO são rígidas.

8 Aspecto: normal, obliquo e transverso. Richardus e Adler (1972) não usam o termo aspecto mas sim posição (da superfície de projeção). 9 Classe: plano, cone ou cilindro. Richardus e Adler (1972) não usam o termo classe mas sim natureza (da superfície de projeção).


Regra de Young para a seleção da classe

Utiliza os seguintes elementos (ver figura)

z - máxima distância radial (em graus). - mínima "largura" ou separação dos círculos "paralelos" (em graus).

z

Parâmetro utilizado na Regra de Young: razão z/.

z/ < 1,41 Projeção azimutal z/ 1,41 Projeção Cônica (ou cilíndrica)

Critérios utilizados na Regra de Young (MALING, 1992).

Chile z=16o =7o

z/=2,3 Indica que a projeção mais indicada dever ter da classe cônica ou cilíndrica.

Austrália z=19o =30o

z/=0,63 Indica que a projeção mais indicada deve ser da classe azimutal.

Exemplos para o Chile e Austrália.


Escolha dos paralelos padrão para as projeções cônicas - Constante de Kavraisky

Existem diversas possibilidades, uma delas é o uso da constante de Kavraisky.

Sendo N e S as latitudes limites norte e sul da área a ser mapeada, as latitudes dos paralelos padrão podem ser obtidas por:

2 = N - 1 = S +

= (N - S )/K onde: K é um fator que depende da forma da região a ser mapeada (constante de Kavraisky).

N

S

0

K=7 N

S

0

K=5

N

S

0

K=4 N

S

0

K=32

2

2

2

11

11

Constante de Kavraisky (K) para diferentes formatos.

Adaptado de (MALING,1992). Outros critérios podem ser considerados.

Por ex.: Condição de Chebyshev

"A soma dos quadrados dos erros em escala sobre a região deve ser mínima." REFERÊNCIAS MALING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford : Pergamon Press, 1992. RICHARDUS, P., ADLER, R. K. Map Projections. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1972.


Aparência de Algumas Projeções


Imagem gerada a partir de um mosaico de imagens em cor natural, adquiridas com o sensor MISR

(Multi-angle Imaging SpectroRadiometer) da NASA.

A região mostrada é limitada pelos paralelos 48º N e 32º N e pelos meridianos de longitude 16º W e 8º E, que corresponde a uma parte da Europa e África.

Projeção: Cônica Equivalente de Albers. Fonte: http://earthobservatory.nasa.gov/

Acesso: Novembro de 2007.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS / BIBLIOGRAFIA

BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas. DH21-1, 1965. 242p.

BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping. New York: Springer-Verlag, 1979.

BOMFORD, G. Geodesy. Oxford: Oxford University Press, 1952.

BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995.

CARVALHO, F. R. de Cadastro Geoambiental Polivalente / Projeção TM (Conforme de Gauss). Informativo COCAR, ano VI, Número especial CGP-04, Dezembro, 1984.

CHAGAS, C. B. Teoria e Prática do Sistema UTM da Projeção Conforme de Gauss. Diretoria do Serviço Geográfico, 1959.

DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO Manual Técnico - Coordenadas planas sistema UTM,

1a parte. Rio de Janeiro, 1959.

GALO, M. Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e

formulação. Notas de aula do curso de Graduação em Eng. Cartográfica, Departamento de Cartografia, UNESP, Presidente Prudente, 2017.

ILIFFE, J. C. Datums and map projections for Remote Sensing, GIS and Surveying. Bristol: Whittles Publishing, 2002. 150p.

KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, Seventh Edition. Singapore: John Wiley & Sons, 1993.

MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992.

RICHARDUS, P., ADLER, R. K. Map Projections. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1972. 174p.

SNYDER, J. P. Map Projections – A Working Manual. Washington: United States Government Printing Office, 1987. U. S. Geological Survey Professional Paper 1395.

VANICEK, P., KRAKIWSKY, E. J. Geodesy, the concepts. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986.


Relação de Exercícios Sugeridos (sobre diferentes projeções)

I) Considerando a Projeção Plana Polar Estereográfica (caso esférico), no qual o fator de escala linear

(m), ou coeficiente de deformação linear seja

2/45cos

1m

2 ,

pede-se:

a) Mostre que a equação dada é equivalente a sen1/2m .

b) Qual é o erro linear relativo nos paralelos =70o N e =60o N? c) A partir de (a) faça uma análise da deformação para esta projeção. d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo em Área (ou Superfície)? e) Qual o intervalo, em latitude, que é possível fazer o mapeamento, usando esta projeção, de modo que o erro relativo em área não ultrapasse 1%? f) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar, nesta projeção, uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E? g) Qual é a taxa de variação de m com a latitude?

sen.sencos.coscos

cos.sencos.sensen

m

22 sencos2cos

cos.sen22sen

II) Deseja-se construir uma carta utilizando a Projeção Gnomônica Polar. Admitindo que o erro relativo máximo tolerável no produto seja 10% e sabendo que a carta deverá ser construída em uma folha quadrada, como mostra a figura ao lado, pergunta-se:

a) Dado o erro máximo tolerável, qual é a maior dimensão angular admissível? (Resp. em graus e minutos)

b) Qual a máxima deformação angular nesta carta, em valor absoluto? (Resp. em graus e minutos)

c) Qual a máxima deformação em área nesta carta? (Resp. em %)

Considere R=6.371.000,0 m e que o ponto de tangência esteja no centro da folha.

Área útil

R

Da lista de exercícios.


III) Você foi encarregado de planejar um produto na Projeção de Mercator (Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme). O contratante deseja fazer o mapeamento de uma certa região, utilizando esta projeção e considerando o modelo esférico para a superfície terrestre (R=6371km). Admitindo que o centro da área a ser mapeada esteja sobre o Equador, pergunta-se:

a) Quais são os valores limites em latitude (S-latitude sul e N-latitude norte) do produto a ser gerado, de modo que o erro relativo linear (r) seja no máximo 1% ? (Resposta em graus e minutos) b) Qual é a extensão máxima (Emax) desta área (em latitude), expressa em km? c) Obtenha uma equação que permite obter o valor de Emax como função do erro relativo (r), para este problema. d) A partir desta equação obtenha o valor de Emax para r=1/100. Compare este valor com o obtido em (a). e) Considerando uma área de 1000 km2, situada na latitude obtida em (a), pergunta-se: Qual será a área correspondente na superfície de projeção ? (em km2)


PN

PS

Cilindro tangente ao Equador Projeção de Mercator

IV) Pretende-se construir em uma folha de dimensão 1m x 1m de lado uma carta na escala 1/1.000 na

Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana, cujos fatores de escala linear são m0=1 e

m90=δ/senδ. Sabendo que o erro gráfico seja 0,2mm, deseja-se que a deformação linear no produto

seja menor ou igual ao erro gráfico. Com base nestes dados pergunta-se: até que valor de δ é

possível mapear?

1m

1m


V) Pretende-se construir em uma folha de dimensão 1m x 1m de lado uma carta na escala 1/1.000 na

Projeção Gnomônica. Sabendo que os fatores de escala linear sejam m0=(secδ)2 e m90=secδ e que

o erro gráfico seja 0,2mm, pergunta-se: até que valor de δ é possível mapear de modo que a

deformação linear no produto seja inferior ao erro gráfico?

1m

1m

VI) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica

Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se:

a) Quais os limites em latitude que você faria este mapeamento de modo que a máxima

ampliação não ultrapasse 2%. (Resposta em graus, minutos e segundos).

b) Qual a máxima distorção angular, em valor absoluto, nas latitudes obtidas no item anterior?

(Resposta em graus, minutos e segundos).


VII) Deseja-se fazer o mapeamento nas proximidades da cidade de Rio Grande – RS, mais

especificamente na latitude 32º 11’ 47’’ S, com uma projeção que preserva a área. Das projeções

Cilíndrica Equivalente de Lambert e Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), qual

delas você escolheria, considerando que se deseja que a deformação angular máxima seja a menor

possível? Justifique a escolha.


VIII) Diferente das Projeções Conformes, onde a distorção angular é nula, nas Projeções Equivalentes

a distorção angular máxima pode ser escrita em função das componentes m0 e m90. Deste modo

pergunta-se:

a) Considerando a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, caso normal, qual é o

máximo intervalo em que você faria o mapeamento de uma região equatorial, de modo que

a distorção angular não ultrapasse 3o?

b) Considerando a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, caso polar, qual é o

intervalo em latitude que você faria o mapeamento, de modo que a distorção angular não

ultrapasse 3o?


IX) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região polar com uma projeção que preserva as áreas e

você foi encarregado de projetar este produto. A projeção escolhida foi a Projeção Azimutal

Equivalente de Lambert. Uma vez que esta projeção possui a propriedade de equivalência,

deseja-se que o produto gerado atenda, simultaneamente, às seguintes características:

I) Deformação angular menor ou igual a 0,5o (meio grau).

II) Erro relativo linear máximo: 1/1000.

Pergunta:

a) Quais são os limites (em coordenadas geográficas) que pode ser representado, usando a

projeção Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), mantendo as características

especificadas?

b) Sabendo que você dispõe de uma área útil de 1mx1m para imprimir este produto, qual será a

máxima escala que você conseguiria fazer a impressão deste produto, mostrando toda a

área determinada em (a). Adote R=6.371.000m.


X) Deseja-se fazer o mapeamento com a Projeção Cônica Equivalente de Albers em uma região do

hemisfério sul. Considerando R=6371 km e que o paralelo padrão possua latitude igual a -22º

pergunta-se:

a) Qual é o intervalo em latitude que é possível mapear, com esta projeção, de modo que a

redução limite seja 1/1000?


XI) Foi medida uma distância numa carta na Projeção UTM, entre dois pontos que estão próximos ao

meridiano central (MC) de um fuso UTM. Sabendo que a distância medida entre eles seja 2000m,

que a altitude média e a latitude média da região sejam 450m e 0o, respectivamente, pergunta-se:

a) Qual é a distância correspondente na superfície de referência?

b) Qual é a distância na superfície física?

c) Qual é o erro cometido (em ppm) ao não considerar o efeito da correção do nível do mar

(efeito da altitude), no cálculo da distância na superfície física?

d) Com base no que foi obtido no item (c) e face ao erro de medida de algumas estações totais

(que você conhece), comente sobre a significância (ou não) do valor obtido.

Obs.: Considere o modelo esférico, com R=6371km.

XII) Você está em um local onde a altitude geométrica é da ordem de 430m e situado a

aproximadamente 42km do MC de um fuso UTM. Considerando estas informações, que a

ondulação do geóide é aproximadamente nula nesta região e que a superfície de referência adotada

seja o modelo esférico com R=6371km pergunta-se:

a) Qual seria o fator de escala linear que você adotaria para o MC do fuso, de modo que as

distâncias obtidas num produto cartográfico na Projeção UTM, do local mencionado, sejam

aproximadamente iguais às respectivas distâncias medidas na superfície física?

b) Quais as vantagens e desvantagens em adotar o valor do fator de escala linear obtido no

item (a)?

c) O que representa geometricamente adotar o valor de escala obtido em (b)?

assuntos ii artogrÁficas c rojeÇÕes p ula a otas de n · elipse de tissot para as projeÇÕes...

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