aula elipse hi per bole
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GEOMETRIAANALTICA ECLCULOVETORIALGEOMETRIAANALTICABSICA
03/01/2013 - GGM - UFFDirce Uesu Pesco
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CNICAS
Equao geral do segundo grau a duas variveis x e y
onde A, B e C no so simultaneamente nulos
Se A=B=C=0, ento Dx + E y + F = 0 , equao dareta no plano.
Caso I : B=0 Caso II :
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ELIPSE
CNICAS
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
Elipsedefinicao.ggb
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http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggbhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/elipsedefinicao.ggb -
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
Seja 2c a distncia entre (distncia focal)
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
Seja 2c a distncia entre (distncia focal)Se P um ponto qualquer, ento:
(desigualdade triangular)
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
Seja 2c a distncia entre (distncia focal)Se P um ponto qualquer, ento:
(desigualdade triangular)
Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c, a equao de uma elipse defocos :
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Definio:Uma elipse o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais quea soma das distncias de P a dois pontos fixos, ,situados no mesmo plano, constante.
Seja 2c a distncia entre (distncia focal)Se P um ponto qualquer, ento:
(desigualdade triangular)
Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c, a equao de uma elipse defocos :
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Para determinar a equao da elipse, considere a elipse nosistema de coordenadas cartesiano.Se a>c > 0 , P(x,y) ponto da elipse e os focos e
, ento o centro da elipse C(0,0) e substituindo em
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Como a > c > 0 existe um nmero real b,tal que
ou
forma cannica ou reduzida
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, forma cannica ou reduzida da elipse
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, forma cannica ou reduzida da elipse
Elipse de centro C(0,0)
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, forma cannica ou reduzida da elipse
Elipse de centro C(0,0)
focos
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, forma cannica ou reduzida da elipse
Elipse de centro C(0,0)
focos
Vrtices :
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, forma cannica ou reduzida da elipse
Elipse de centro C(0,0)
focos
Vrtices :
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De maneira anloga, determine a equao da elipse cujosfocos so e a soma dos raios focais 2a .Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c,
a equao de uma elipse defocos :
Faa figura no Geogebra
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De maneira anloga, determine a equao da elipse cujosfocos so e a soma dos raios focais 2a .Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c,
a equao de uma elipse defocos :
Faa figura no Geogebra
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De maneira anloga, determine a equao da elipse cujosfocos so e a soma dos raios focais 2a .Se 2a > 2c >0 , ou seja, a>c,
a equao de uma elipse defocos :
Faa figura no Geogebra
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:
Qual o valor de a? e b?
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:
Qual o valor de a? e b?O eixo focal est no eixo x ou no eixo y? Como identificar?
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Exemplos:1) Dada a equao da elipse
de centro na origem, encontre os vrtices e focos da elipse.Soluo:Dividindo por 36, obtemos:
Qual o valor de a? e b?O eixo focal est no eixo x ou no eixo y? Como identificar?
Faa figura usando Geogebra
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Encontre as coordenadas dos- vrtices :
- focos:
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Exerccios:2) Determine a equao da elipse de focos
e eixo maior .
3) Determine a equao da elipse cujos focos so
e a soma dos raios focais 7.
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Exerccios:2) Determine a equao da elipse de focos
e eixo maior .
3) Determine a equao da elipse cujos focos so
e a soma dos raios focais 7.
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Exemplos:4) Mostre que a equao da elipse e determine seus vrtices e focos.
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Exemplos:4) Mostre que a equao da elipse e determine seus vrtices e focos.
Faa a figura no Geogebra
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Teorema: O centro de uma elipse est no ponto (h,k) e adistncia do centro a cada um dos focos igual a c.i) Se o eixo focal da elipse paralelo ao eixo x, ento suaequao
ii) Se o eixo focal da elipse paralelo ao eixo y, ento suaequao
Para cada uma das elipses, a o comprimento do semi-eixomaior, b o comprimento do semi-eixo menor e
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Exemplos:Os vrtices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1)e tal que . Determine as equaes das elipses,seu centro, vrtices e focos.
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Exemplos:Os vrtices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1)e tal que . Determine as equaes das elipses,seu centro, vrtices e focos.
Resposta:(I) Se eixo focal paralelo ao eixo y.
(II) Encontre a equao se o eixo focal paralelo ao eixo x.
Sol_duas_elipses.ggb
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Exerccio:Considere a equao da elipse:
Determine as coordenadas do centro, vrtices,focos, ocomprimento do eixo maior e do eixo menor.
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Exerccio:Considere a equao da elipse:
Determine as coordenadas do centro, vrtices,focos, ocomprimento do eixo maior e do eixo menor.Resposta:
Encontre as coordenadas dos pontos pedidos.
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HIPRBOLE
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Definio:Uma hiprbole com focos em o conjunto dospontos P(x,y) do planos tais que
constante.
Tomando , ento
se
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Escolha eixos coordenados para determinar a equaocannica ou reduzida da hiprbole com focos em
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Resolvendo
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Resolvendo
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Resolvendo
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Resolvendo
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Resolvendo
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Resolvendo
Como e
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Resolvendo
Como e
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Como e
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Resolvendo
Como e
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Forma cannica ou reduzida da hiprbole de focos no eixo x.
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OBS:1) A hiprbole simtrica em relao aos eixos x e y. Isto :se (x,y) um ponto da hiprbole, ento (-x,y),(x,-y) e (-x,-y)
tambm pertencem hiprbole.
2) O eixo y no intercepta a hiprbole:
3) A excentricidade e,
e > 1 pois a=c> a
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Reciprocamente, podemos determinar a forma cannica oureduzida da hiprbole de focos no eixo y.
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Exemplo:1) Os vrtices de uma hiprbole so os pontos (0,3) e (0,-3) eseus focos so (0,5) e (0,-5). Determine a equao da hiprbole,
O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excen-
tricidade .
Soluo:
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Exemplo:1) Os vrtices de uma hiprbole so os pontos (0,3) e (0,-3) eseus focos so (0,5) e (0,-5). Determine a equao da hiprbole,
O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excen-
tricidade .
Soluo: eixo focal no eixo y
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Exemplo:1) Os vrtices de uma hiprbole so os pontos (0,3) e (0,-3) eseus focos so (0,5) e (0,-5). Determine a equao da hiprbole,
O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excen-
tricidade .
Soluo: eixo focal no eixo y
Comprimento eixo transverso 2a=6,
e = c/a = 5/3 > 1
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