EEA-05: Síntese de Redes Elétricas e FiltrosAula 6
1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
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Síntese de bipolos LCSíntese de bipolos RC
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 2 / 34
Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Vamos mostrar inicialmente que a impedância de um bipolo LC (e,portanto, sem perdas) é sempre a razão entre um polinômio par por umímpar (ou o inverso).Temos
ZLC (s) =m1(s) + n1(s)
m2(s) + n2(s)(1)
m1 e n1: partes par e ímpar do numeradorm2 e n2: partes par e ímpar do denominador
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
ZLC (s) =m1 + n1
m2 + n2
m2 − n2
m2 − n2(2)
m1m2 −m1n2 + n1m2 − n1n2
m22 − n2
2(3)
(m1m2 − n1n2) + (m2n1 −m1n2)
m22 − n2
2(4)
Portanto, a parte par da impedância Z (s) é dada por
EvZLC (s) =m1m2 − n1n2
m22 − n2
2(5)
e a parte ímpar é dada por
OdZLC (s) =m2n1 −m1n2
m22 − n2
2(6)
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Temos que< [ZLC (jω)] = [EvZLC (s)]s=jω (7)
Se ZLC (s) é a impedância de um bipolo LC (e portanto sem perdas),devemos ter
< [ZLC (jω)] = 0 (8)
para todo ω real. Para isso,
[EvZLC (s)] = 0 (9)
Com isso,m1m2 − n1n2 = 0 (10)
de onde se pode mostrar que ZLC (s) será dado porm1(s)
n2(s)(caso n2 não
seja identicamente nulo) ou porn1(s)
m2(s)(caso n2 seja identicamente nulo).
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Desta forma, ZLC (s) terá no denominador um polinômio par ou umpolinômio ímpar.
No primeiro caso, as raízes do denominador terão simetria quadrantal (ses0 é raiz, s0, −s0 e −s0 também são raízes).
No segundo caso, o denominador será dado por um polinômio par vezes s.Assim, também neste caso haverá simetria quadrantal.
As mesmas considerações valem para o numerador de ZLC (s).
Em ambos os casos, ZLC (s) será a impedância de uma rede passiva eportanto seus polos não podem estar localizados no SPD aberto. Portanto,ZLC (s) terá polos e zeros simples e situados no eixo imaginário (aos parescomplexo-conjugados).
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Desta forma há quatro possibilidades para a imitância de uma função derede LC:
H(s2 + ω2
1)(s2 + ω2
3) . . . (s2 + ω2
n+1)
s(s2 + ω22)(s
2 + ω24) . . . (s
2 + ω2n)
H(s2 + ω2
1)(s2 + ω2
3) . . . (s2 + ω2
n−1)
s(s2 + ω22)(s
2 + ω24) . . . (s
2 + ω2n)
Hs(s2 + ω2
2)(s2 + ω2
4) . . . (s2 + ω2
n+1)
(s2 + ω21)(s
2 + ω23) . . . (s
2 + ω2n)
Hs(s2 + ω2
2)(s2 + ω2
4) . . . (s2 + ω2
n−1)
(s2 + ω21)(s
2 + ω23) . . . (s
2 + ω2n)
em que 0 < ω1 < ω2 < ω3 < . . . e H > 0.
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Para que possamos entender porque os polos e zeros se alternam,consideremos a seguinte expansão em frações parciais de uma função derede F (s) (impedância ou admitância):
F (s) = k∞s +k0
s+
n∑i=1
2ki ss2 + ω2
i
(11)
Com isso,
F (jω) = jk∞ω − jk0
ω+
n∑i=1
2ki jω−ω2 + ω2
i
(12)
e então,
=[F (jω)] = k∞ω −k0
ω+
n∑i=1
2kiω−ω2 + ω2
i
(13)
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Desta forma, temos que
d
dω=[F (jω)] = k∞ +
k0
ω2 +n∑
i=1
2ki (ω2 + ω2i )
(−ω2 + ω2i )
2 (14)
o que mostra que
d
dω=[F (jω)] > 0 (15)
para todo valor de ω (exceto nos polos).Pelo fato de a parte imaginária ser sempre crescente, não é possível quedois polos ou dois zeros fiquem lado a lado no eixo das frequências e entãoos polos e zeros devem se alternar.
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Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Figura: Forma possível para o gráfico da reatância de um bipolo LC.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 10 / 34
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Figura: Forma possível para o gráfico da reatância de um bipolo LC.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 11 / 34
Síntese de bipolos LC
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Figura: Forma possível para o gráfico da reatância de um bipolo LC.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 12 / 34
Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Figura: Forma possível para o gráfico da reatância de um bipolo LC.1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 13 / 34
Síntese de bipolos LC
Síntese de bipolos LC
Vamos agora ver algumas formas canônicas de implementar bipolos LCcom indutores e capacitores:
1a forma canônica de Foster2a forma canônica de Foster1a forma canônica de Cauer2a forma canônica de Cauer
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Síntese de bipolos LC
1a forma canônica de Foster
Expandir ZLC (s) na forma
ZLC (s) = k∞s +k0
s+
n∑i=1
2ki ss2 + ω2
i
(16)
e implementar por meio de uma associação série, sendok∞s a impedância de um indutork0
sa impedância de um capacitor
2ki ss2 + ω2
i
a impedância de um LC paralelo
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Síntese de bipolos LC
1a forma canônica de Foster
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos LC
2a forma canônica de Foster
Expandir YLC (s) na forma
YLC (s) = k∞s +k0
s+
n∑i=1
2ki ss2 + ω2
i
(17)
e implementar por meio de uma associação paralelo, sendok∞s a admitância de um capacitork0
sa admitância de um indutor
2ki ss2 + ω2
i
a admitância de um LC série
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Síntese de bipolos LC
2a forma canônica de Foster
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos LC
1a forma canônica de Cauer
Caso o numerador de ZLC (s) tenha grau maior que o denominador, fazer aexpansão em fração continuada
ZLC (s) = k1s +1
k2s +1
k3s +1
k4s + . . .
(18)
Desta forma, a rede será da forma de uma escada LC, em que cada braçosérie ou paralelo será alternadamente um indutor ou um capacitor.Se o numerador de ZLC (s) tiver grau menor que o denominador, executar oprocedimento de forma análoga com YLC (s).
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Síntese de bipolos LC
1a forma canônica de Cauer
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos LC
2a forma canônica de Cauer
Caso coloquemos o numerador e o denominador segundo ordem crescentedas potências de s antes de executar a divisão de polinômios, temos aexpansão em fração continuada
ZLC (s) =1k1s
+1
1k2s
+1
1k3s
+1
1k4s
+ . . .
(19)
A forma do circuito será novamente de uma escada LC. Se o numerador deZLC (s) tiver grau menor que o denominador, executar o procedimento deforma análoga com YLC (s).
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Síntese de bipolos LC
2a forma canônica de Cauer
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos RC
Síntese de bipolos RC
Pode-se mostrar que propriedades similares às apresentadas para redes LCexistem para redes RC.Em particular, podemos afirmar que uma função racional real é aimpedância de um bipolo RC se e somente se seus polos e zeros sãosimples, estão situados no eixo real negativo de forma alternada e aprimeira frequência crítica é um polo.Desta forma, temos
ZRC (s) = H(s + σ1)(s + σ3) . . .
s(s + σ2)(s + σ4) . . .(20)
com 0 ≤ σ1 < σ2 < σ3 < σ4 < · · · < σn.Para a impedância de um bipolo RC,
dZRC (σ)
dσ< 0 (21)
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Síntese de bipolos RC
Síntese de bipolos RC
Figura: Gráfico de ZRC (σ) em função de σ.
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Síntese de bipolos RC
1a forma canônica de Foster
Expandir ZRC (s) na forma
ZRC (s) = k∞ +k0
s+
n∑i=1
kis + σi
(22)
e implementar por meio de uma associação série, sendok∞ a impedância de um resistork0
sa impedância de um capacitor
kis + σi
a impedância de um RC paralelo
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Síntese de bipolos RC
1a forma canônica de Foster
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos RC
2a forma canônica de Foster
ExpandirYRC (s)
sna forma
YRC (s)
s= k∞ +
k0
s+
n∑i=1
kis + σi
(23)
tal que
YRC (s) = k∞s + k0 +n∑
i=1
ki s
s + σi(24)
e implementar por meio de uma associação paralelo, sendok∞s a admitância de um capacitork0 a admitância de um resistor
ki s
s2 + ω2i
a admitância de um RC série
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Síntese de bipolos RC
2a forma canônica de Foster
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
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Síntese de bipolos RC
1a forma canônica de Cauer
Caso o numerador de ZRC (s) tenha grau maior que o denominador, fazer aexpansão em fração continuada
ZRC (s) = k1 +1
k2s +1
k3 +1
k4s + . . .
(25)
Desta forma, a rede será da forma de uma escada RC, em que cada braçosérie ou paralelo será alternadamente um resistor ou um capacitor.Se o numerador de ZRC (s) tiver grau menor que o denominador, executar oprocedimento de forma análoga com YRC (s).
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Síntese de bipolos RC
1a forma canônica de Cauer
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 30 / 34
Síntese de bipolos RC
2a forma canônica de Cauer
Caso coloquemos o numerador e o denominador segundo ordem crescentedas potências de s antes de executar a divisão de polinômios, temos aexpansão em fração continuada
ZRC (s) =1k1s
+1
1k2
+1
1k3s
+1
1k4
+ . . .
(26)
A forma do circuito será novamente de uma escada RC. Se o numerador deZRC (s) tiver grau menor que o denominador, executar o procedimento deforma análoga com YRC (s).
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Síntese de bipolos RC
2a forma canônica de Cauer
O circuito relativo à esta forma canônica é dado por:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-05 32 / 34
Exercícios
Exercícios
1) Realizar por meio de uma forma canônica de Foster e por meio de umaforma canônica de Cauer, a impedância
Z (s) =2s5 + 40s3 + 128ss4 + 10s2 + 9
(27)
1) Realizar por meio de uma forma canônica de Foster e por meio de umaforma canônica de Cauer, a impedância
Z (s) =s2 + 6s + 8s2 + 4s + 3
(28)
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Bibliografia
Bibliografia
Chen, Wai-Kai. Passive and active filters: theory andimplementations. New York: Wiley, 1986 (Capítulo 3).
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