28 CAPITULO 1

requerimentos é que nenhuma dessas técnicas pode ser usada retornaremos a ela no Capítulo 3. para estudar células vivas. Ape.sar dessas l imitações, a micros- Tal discussão é resumida pelo primeiro postulado da mecâ-copia eletrônica é muito útil em estudos da estrutura interna de nica quântica.

células (Fig. 1.8). ^ Postulado I O estado do sistema fica descrito, tão completa­

mente quanto possível, pela função de onda y/(r,, r2, . . . ) .

Os postulados Vimos que a física clássica foi incapaz de explicar os resultados de vários experimentos que envolvem radiação e le t romagnét ica e part ículas tão pequenas quanto elétrons e á tomos . Embora o trabalho de Einstein e de Broglie tenha explicado com sucesso alguns desses fenómenos , logo se tornou claro que o desenvol­vimento de uma nova teoria da matér ia se fazia necessário, para se entender o comportamento de todas as formas conhecidas da matér ia , inclusive elétrons, á tomos e moléculas . A nova teoria da matér ia que se desenvolveu é chamada de mecânica quân­tica. No sistema de mecânica que estamos prestes a apresentar, não deve ser tão surpreendente que a constante de Planck de­senvolva u m papel importante, dada a sua presença na condição de frequência de Bohr (Eq. 1.1), no efeito fotoelétrico (Eq. 1.2) e na relação de Broglie (Eq. 1.3).

Há duas abordagens para a in t rodução formal da mecânica quântica. Uma é ver a teoria surgir gradualmente do trabalho de Planck, Einstein, Heisenberg, Schrõdinger e Dirac, na qual o experimento e a intuição, juntos, determinam a forma da teoria. A outra abordagem é procurar u m ponto no tempo no qual a teoria já tenha sido bem desenvolvida e olhar para sua estrutura subjacente. Adotamos a segunda abordagem aqui e mostramos como a mecânica quânt ica pode ser expressa e desenvolvida em termos de u m pequeno conjunto de princípios ou postulados básicos.

1.4 Postulado I: a função de onda

A mecânica quânt ica reconhece a dualidade onda-par t í cu la da matér ia admitindo que, em vez de se deslocar ao longo de uma trajetória definida, uma part ícula se distribui pelo espaço como uma onda. Esta observação, que pode parecer misteriosa, é interpretada e desenvolvida mais completamente a seguir. A representação matemát ica da onda, que na mecânica quânt ica substitui o conceito clássico de trajetória, é denominada fun­ção de onda, f (psi). Uma premissa fundamental da mecânica quânt ica é de que a função de onda con tém informação sobre todas as propriedades do sistema que estão sujeitas à determi­nação experimental.

A função de onda depende das coordenadas espaciais (r,, r 2 , . . . ) de todas as part ículas (1, 2, . . . ) que constituem o sistema e, em geral, do tempo t. A função de onda f ( r 1 ; r 2 , í) é cha­mada de função de onda dependente do tempo. Quando não estamos preocupados com a evolução do sistema ao longo do tempo, usamos a função de onda independente do tempo \j/ (r,, r 2 , . . . ) . Ao longo deste capítulo, iremos considerar somente as funções de onda independentes do tempo e a dependênc ia da função de onda com o tempo será discutida no Capítulo 4. A função de onda pode t a m b é m depender dos estados de spin das part ículas , p o r é m ignoraremos esta propriedade por ora e

Precisamos saber como calcular a função de onda de qualquer sistema e como extrair informações dela. Trataremos primeira­mente da úl t ima questão.

1.5 Postulado II: a interpretação de Born

A função de onda con tém toda a informação sobre a d inâmi ­ca do sistema que ela descreve. Vamos nos concentrar aqui na informação que ela carrega a respeito da localização das par­tículas^ Para simplificar, vamos considerar inicialmente que o sistema seja composto de uma única part ícula e que a função de onda seja simplesmente y/(r) ou, abreviadamente, y/.

A in terpre tação da função de onda baseia-se em uma suges­tão feita por Max Born, que fez uma analogia com a teoria on­dulatória da luz. Nesta teoria, o quadrado da amplitude de uma onda eletromagnét ica, em uma certa região do espaço, é inter­pretado como sua intensidade e, portanto (em termos quânt i ­cos), como medida da probabilidade de se encontrar u m fóton nessa região do espaço. A interpretação de Born da função de onda opera com o quadrado da função de onda (ou o quadrado do módu lo , | i / / | 2 = yf*y/, se y/for uma função complexa):

Postulado I I ' Para u m sistema descrito pela função de onda y/(r), a probabilidade de encontrar a par t ícula no elemento de volume df em r é proporcional à 11//'21 d r.

(O Postulado I I ' , que é relevante para u m sistema composto por uma ún ica par t ícu la , é u m caso especial do Postulado I I , mais geral, apresentado a seguir.) Assim, | y/ | 2 é a densidade de probabilidade e, para se obter a probabilidade, é preciso m u l ­tiplicá-la pelo volume da região infinitesimal àx (Fig. 1.9). A função de onda y/é chamada de amplitude de probabilidade. No final desta seção, o apóstrofo no n ú m e r o desse postulado será descartado quando o generalizarmos para mais de uma par t ícula .

Fig. 1.9 A interpretação de Born da função de onda em um espaço tridimensional implica que a probabilidade de encontrar a partícula no elemento de volume dr = dxàydz, em uma certa posição r, é proporcional ao produto de dr e o valor de | i / | 2 naquela posição. \