portal do professor - onde está a matemática na engenharia civil

8/17/2019 Portal Do Professor - Onde Está a Matemática Na Engenharia Civil

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23/08/2015 Portal do Professor - Onde Está a Matemática na Engenharia Civi l?

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MODALIDADE / NÍVEL DE ENSINO COMPONENTE CURRICULAR TEMA

Ensino Fundamental Final Matemática Espaço e formaEnsino Médio Matemática GeometriaEnsino Fundamental Final Matemática Grandezas e medidas

O que o aluno poderá aprender c om esta aula

Perceberá a importância da matemática numa obra de engenharia civil.

Duração das atividades

2 aulas de 50 minutos

Conhecimentos prévios tra balhados pelo professor com o aluno

Operações básicas e noções de geometria

Estratégias e recursos da aula

A matemática e, em especial, a geometria, são poderosas ferramentas na construção civil. Não estou falando apenas dos complexos cálculos presentes nos projetosde alta engenharia. A matemática está presente na vida profissional de pedreiros, carpinteiros e demais profissões relacionadas com a execução de uma obra. O queirei propor nesta aula são atividades onde os alunos poderão perceber a importância da matemática nesta temática.

Vou dividir as atividades em três etapa s:Pr oblemas relacionados com:

1. O terreno da construção;2. A alvenaria, pisos e escadas;3. E o telhado da construção.

Vamos primeiro analisar atividades relacionadas ao terreno. Existem diversos fatores que influenciam na escolha do local mais adequado da construção. Um deles é ainclinação do terreno. Normalmente as pessoas preferem áreas mais planas, ou seja, com inclinações menores. Através das curvas de nível de uma planta topográficaé possível determinar o relevo do terreno.

Retirada de (http://geographicae.files.wordpress.com/2007/06/topo7.gif )Para se construir maquetes a planta topográfica também é utilizada:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://geographicae.files.wordpress.com/2007/06/topo7.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000014231.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000014231.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000009539.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000009539.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027364.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000008517.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000014231.jpghttp://geographicae.files.wordpress.com/2007/06/topo7.gifhttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027365.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000000836/0000009539.jpg


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Retirada de (https://reader015.{domain}/reader015/html5/0720/5b51d47c7f194/5b51d47e38a97.jpg)Este tipo de maquete pode render um excelente trabalho interdisciplinar com o professor de geografia. Imagine um trabalho onde, com o mapa topográfico dePetrópolis, os alunos construam com camadas de papelão, a representação do relevo em escala. Agora observe a planta hipotética abaixo. Observe que as curvastêm alturas equidistantes e que, entre os pontos B e C (de 5 a 10 m de altura do lado esquerdo), é onde o terreno se encontra mais plano. Observe também que entreos pontos J e K, o terreno é muito íngreme. Conclua que, numa área da planta, quanto mais afastadas as curvas, mais plano será o terreno.

Imagem do autor Após a compre ensão d a leitura dessas pla ntas o professor p ode ap licar dive rsas atividade s. Por exemplo: Dispo nibili ze uma cópi a para cada al uno com a s atividadesabaixo. Peça para os alunos relacionarem a primeira coluna com a segunda:

Imagem do autor O professor deve orientar os alunos, mostrando como cada correspondência pode ser feita. Já nessa outra, peça para os alunos marcarem na planta a área maisplana e o ponto mais alto. Peça também para que eles desenhem o perfil do terreno no corte indicado (linha vermelha)

Imagem do autor Os alunos devem encontrar algo parecido com isso:

http://www.santino.tv/work/1992/contour2.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027370.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027366.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027367.jpg


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Imagem do autor É muito comum usar retângulos para demarcar a base da construção no terreno. O primeiro questionamento que o professor pode fazer a turma é: Como vocês fariampara marcar, com uma linha de nylon, um grande retângulo perfeito num terreno? É comum alunos fazerem sugestões bem interessantes. Explore-as e argumente aviabilidade das sugestões.Um método muito usado por pedreiros é o das diagonais. O pedreiro marca com estacas um esboço do retângulo respeitando as medidas dos lados.

Imagem do autor Alguns aj udantes mede m as diago nais e reposicio nam as estacas. Até que as diago nais tenha m medidas ig uais:

Imagem do autor Ressalte para os alunos que essa congruência das diagonais é uma característica do retângulo.Simule esse experimento no piso da sala de aula usando barbante e giz.Petrópolis é uma cidade da região serrana com um relevo bastante oscilante. É muito comum observarmos casas construídas em terrenos íngremes. Uma dasrecomendações de segurança feita pelos engenheiros é quanto à profundidade das colunas das “sapatas” (os pés da casa). Se as sapatas tiverem profundidadesdiferentes, a sapata mais alta não poderá interferir na sapata mais baixa. A região de maior pressão da sapata mais alta (A) está representada (em cinza) na figuraabaixo. Repare que a linha vermelha (a 45° do vetor peso) não passa pela sapata mais baixa (B), logo a norma de segurança foi cumprida.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027380.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027381.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027372.jpg


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Imagem do autor Com base no desenho acima, proponha o seguinte problema para os alunos:Se a largura da casa mede 6 m e sapata mais alta está a 2 m da base da construção, até que profundidade a sapata mais baixa poderá avançar (em relação à base dacasa)?Os alunos podem encontrar diversas maneiras de solucionar este problema. Mostre essa simples solução:

Imagem do autor A sapata mais ba ixa pode ter profundida de de 8 m no máximo.

Durante a construção de uma casa, constantemente os profissionais envolvidos precisam fazer cálculos de áreas para orçar materiais. Um exemplo simples é ocálculo da alvenaria. Quantos tijolos precisarei para concluir a minha obra? Sugiro uma atividade em grupos. Os alunos deverão responder a pergunta acimaconsiderando o desenho abaixo:

Imagem do autor Dados:

Dimensões da porta: 2,20 x 0,80 m;Dimensões da janela: 2,00 x 1,50 m;Dimensões dos tijolos:

Imagem do autor

Acrescentar 10% d o total calcula do; Arredonda r sempre pa ra “cima”.

Monitore cada grupo e interaja nas estratégias adotadas pelos alunos. Os grupos devem encontrar algo em torno de 1013 tijolos. Explique ainda o porquê dasdiferenças nos resultados encontrados.

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Outra atividade, bastante interessante, mostra a aplicação da matemática no cotidiano do pedreiro. Quando um pedreiro precisa construir uma parede, perpendicular aoutra parede, ele usa o seguinte método:

Ele marca (com dois pregos) uma distância de 60 cm na parede já construída;Com duas linhas, uma de 80 cm e outra de 1m (cada uma presa num prego), ele determina o ponto de encontro entre as extremidades;Por fim ele traça uma linha entre o este ponto de encontro com o primeiro prego.

Veja na figura:

Imagem do autor Antes de expo r este método, lance o desafio para os g rupos:Como poderíamos construir uma nova parede perpendicular a uma parede já construída?Discuta as estratégias manifestadas.

Após a de monstração do método acima, faça os seg uintes que stionamentos aos g rupos:Como podemos garantir, com este método, que a nova parede será perpendicular a outra?Que outros valores inteiros o pedreiro poderia usar?Por que o pedreiro não usa valores menores, 30, 40 e 50 cm, por exemplo?

A colocação de piso s gera o utros proble mas matemáticos. Proponha o seguinte pro blema.Considere o desenho abaixo e calcule:

Imagem do autor

1. A área do piso de cerâmica (acrescentar 10% do total);2. A área de grama (acrescentar 10% do total);

3. O custo de materiais (grama e cerâmica), considerando R$ 5,00 o m2 da grama e R$ 15,00 o m2 da cerâmica.

Os alunos devem encontrar como respostas:

1. 39,6 m2;

2. 41,65 m2;

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3. R$ 802,25

Discuta com os alunos o motivo de se acrescentar 10% nos cálculos. Para finalizar vamos abordar um problema na construção de escadas. Consideremos A como oafastamento horizontal e H como a altura. Para um degrau teremos:

Imagem do autor Vamos, primeiramente, a um problema simples (ainda em grupos). Um carpinteiro construirá uma escada de madeira. Considere uma altura a vencer de 3 m, edegraus de 15 cm de altura e 28 cm de afastamento.

1. Quantos degrau s serão necessários?2. Qual será o afastamento horizontal total?3. Qual será o ângulo de inclinação (em relação ao solo) da escada?

Os alunos deverão encontrar o seguinte resultado:

Imagem do autor Agora vamos a umentar a compl exidade , e usar a ferra menta Solver do Microsoft Excel . No laboratório de informática, peça para os alunos criarem a planilha abaixo:

Imagem do autor Com a planilha pronta vamos analisar o problema: Com uma escada, queremos “vencer” 3 m de altura. Vamos imaginar que o engenheiro exigiu que a altura dosdegraus ficasse entre 15 e 20 cm e o afastamento de cada degrau entre 20 e 30 cm. Por conta de uma porta, o afastamento total não deve ultrapassar 4,32 m. Quaisseriam as alturas e afastamentos ideais dentro dessas condições? Poderia existir mais de uma opção? Quantos degraus a escada teria? Deixe que os alunosmodifiquem a planilha em busca de valores ideais. Depois, com ajuda da macro Solver , vamos resolver o problema. Veja:

Imagem do autor A célula destino é a I9, que deve atingir o valor 432 cm, variando a s células E9 e F9, com as restrições listadas. A última restrição é J9 = 0. J9 armazen a o re sto dadivisão da altura total a ser vencida pela altura do degrau. O resultado desta divisão nos dará o número de degraus. Como queremos um número inteiro, o resto destadivisão deverá ser zero. Explore esta estratégia com os alunos.Veja que a macro Solver pode encontrar mais de uma solução:

Imagem do autor Discuta com os alunos as vantagens e desvantagens de cada solução. Ainda podemos usar a macro Solver para determinar as dimensões dos degraus tendo umafastamento total mínimo. Para isso basta marcar a opção Minna macro Solver .Veja:

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Imagem do autor Repare que com uma altura de 15 cm, e um afastamento de 20 cm em cada degrau, conseguimos um afastamento total de apenas 3,60 m.Outra discussão que o professor pode propor é quanto à estrutura de andaimes construídos por pedreiros. Discuta com os alunos qual dos andaimes abaixo apresentamaior estabilidade.

Imagem do autor Relacione as formas usadas nesses andaimes com as propriedades de rigidez que o triângulo apresenta. Esta propriedade pode ser testada com réguas articuladas.Veja:

Imagem do autor Mostre a importância dessa propriedade dos triângulos nas estruturas das construções:

Disponível em (http://www.lem.ep.usp.br/pef2309/antigo/2002.1/2002pontes/Pontes%20-%20Estradas%20de%20Ferro.htm)

Vamos agora analisar problemas na construção de telhados. Antes de prop or as ativid ades vamos co nhecer u m pouco mais sobre os telhados. As partes pl anas do telhado, por onde a água d esliza, são co nhecida s como água sdo telhado. Um telhado pode ter:

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Imagem do autor Ou mais.

Algumas madei ras importantes na estrutura de um telh ado:

Frechal: Madeira horizontal, mais baixa, que serve de apoio para caibros e espigões;Pontalete: Madeira vertical que serve de apoio para as terças e cumeeira;Terça: Madeira horizontal, intermediária entre o frechal e a cumeeira, que serve de apoio para caibros e espigões;Cumeeira: Madeira horizontal que fica no cume do telhado;Espigão: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e nos vértices do frechal.Caibros: Madeira inclinada que fica apoiada nas terças e no frechal. Servem de apoios as ripas;Ripas: Madeira horizontal que serve para fixação das telhas.

Exiba o vídeo abaixo para que todos compreendam melhor essa nomenclatura usada na estrutura dos telhados:

Disponível em: (http://www.youtube.com/watch?v=KZaSTHikg08)Beiral é outro termo muito usado. Beiral é a distância horizontal entre a parede externa e a extremidade do caibro. Veja:

Imagem do autor É muito comum, profissionais do ramo da construção civil, indicar a inclinação de um telhado em porcentagem.Por exemplo, um engenheiro fala para o carpinteiro:

_Vamos construir u m telhado com i nclinaçã o de 30 %.

Isto quer dizer que, a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 30 cm.Com essas informações já podemos propor nossa última atividade. Reúna os alunos em grupos. Informe-os sobre as informações e nomenclaturas citadas acima. Osalunos terão que fazer uma estimativa da quantidade de madeira que será necessária para construir um telhado de duas águas.Veja as orientações do engenheiro:

http://www.youtube.com/watch?v=KZaSTHikg08http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027401.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027402.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027390.jpg


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Imagem do autor Os alunos podem ser orientados a criar uma vista superior do telhado.

Imagem do autor É importante o aluno perceber quais madeiras estão em verdadeira grandeza (alinhadas com o plano horizontal) e quais necessitarão de cálculos trigonométricospara serem determinadas.Por exemplo:Para o cálculo do comprimento de um caibro:Se a inclinação do telhado está a 57%, quer dizer que a cada 100 cm de afastamento horizontal o telhado “subirá” 57 cm.

Imagem do autor Logo A é o arco tangente de 0,57 , ou seja, aproximadamente 30°. Observe a figura:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027418.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027415.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000002295/0000027416.jpg


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/ f % C % % % % % ( % C% % C% )% % f f % % % C% /

Imagem do autor O tamanho de um caibro (x) é de aproximadamente 5,77 mO mesmo questionamento pode ser feito para o cálculo dos pontaletes. Veja:

Imagem do autor Repare que o comprimento do pontalete maior é o dobro do menor. Faça uma argumentação sobre este fato tendo como base o teorema de Tales ou por semelhançade triângulos. O resultado final pode ser visto na tabela:

Imagem do autor

Estas são apenas algumas ideias que relacionam uma obra de construção civil com a matemática da educação básica. Explore outros fatos. Converse com pedreiros,carpinteiros, engenheiros e arquitetos. Sem dúvida a matemática é de grande relevância para esses profissionais.

Recursos Complementares

Para saber mais de coberturas (telhados): (http://www.youtube.com/watch?v=OYimxbInnow&feature=related)

Avaliação

Em todas as três atividades, a avaliação é relevante. O professor poderá observar a postura dos alunos diante dos problemas encontrados em cada etapa. O problemado telhado é mais desafiador e é um bom momento para avaliar os alunos.
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