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TC 071 – PONTES E ESTRUTURAS ESPECIAIS II 7ª AULA (09/09/2.010) Vamos analisar o comportamento das longarina e o caminhamento das cargas

através da estrutura em grelha, para:

a) cargas aplicadas na longarina em estudo,

b) cargas aplicadas na transversina,

c) cargas aplicadas em outra longarina e

d) cargas aplicadas na laje do tabuleiro.

a) Cargas aplicadas na própria longarina

a.1) Diagrama de momentos fletores e de forças cortantes da V1 devidos a

uma carga uniformemente distribuída aplicada na V1

Para uma carga uniformemente distribuída g = 1,0 tf/m, o momento fletor

máximo no meio do vão da longarina sem o apoio da transversina,

resultaria:

mtfxLgM o .508200,1

8. 22

===

Com o apoio da transversina o momento máximo resulta igual a 39,41 tf.m.

Diagrama de momentos da V1 devido a uma carga de 1tf/m aplicada na V1.

Mmáx = 39,41 tf.m.

Percebe-se uma redução no valor do momento máximo de 21,18% (“efeito

grelha”)

Diagrama de forças cortantes da V1 devido a uma carga de 1tf/m aplicada na V1.

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a.2) Diagrama de momentos fletores e de forças cortantes da V2 devidos a

uma carga uniformemente distribuída aplicada na V2

Para uma carga uniformemente distribuída g = 1,0 tf/m, o momento fletor

máximo no meio do vão da longarina sem o apoio da transversina,

resultaria:

mtfxLgM o .508200,1

8. 22

===

Com o apoio da transversina o momento máximo resulta igual a 21,79 tf.m.

Diagrama de momentos da V2 devido a uma carga de 1tf/m aplicada na V2. Mmax

= 21,79 tf.m.

Percebe-se uma redução no valor do momento máximo de 56,48% (efeito

grelha”).

Diagrama de forças cortantes da V2 devido a uma carga de 1tf/m aplicada na V2.

O “efeito grelha” nas vigas internas (V2 e V3) é mais pronunciado que nas

vigas externas (V1 e V3).

Quanto maior a rigidez transversal do tabuleiro mais uniforme éa

distribuição das cargas entre as diversas longarinas.

A rigidez transversal é proporcionada pelas transversinas de vão e pela laje

do tabuleiro. Obviamente a contribuição da laje é bem menor que a das

transversinas.

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b) Cargas aplicadas na transversina

Considere-se uma carga concentrada qualquer, p. ex. P = 4 tf, aplicada em

um ponto qualquer da transversina. Para exemplificar consideremos em x =

3 m.

Essa carga para chegar até aos apoios da estrutura será transferida

primeiramente da transversina para as longarinas. A parcela dessa carga

que cada longarina vai absorver é dada pelas reações dos apoios elásticos

da transversina. Essas reações se transferem como cargas para as

longarinas.

V2V3

V4

V1

L

L/2

L/2

a a

a

P=4 tf

1,5491,767

0,8180,134

0,1340,818

1,767

1,549

x=3 m

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Cada longarina deve ser analisar com a parcela da carga que lhe cabe,

sem a consideração dos apoios elásticos.

Longarina V1:

Longarina V2:

Diagrama de momentos fletores

Diagrama de forças cortantes

δ=0,172 cmLinha elástica

δ=0,197 cmLinha elástica

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Para as longarinas V3 e V4 se tem resultados análogos.

c) Cargas aplicadas em outra longarina

c.1) Esquema do carregamento

Vamos considerar agora atuando simultaneamente as cargas distribuídas

q1 = 1 tf/m na V1 e q2 = 1 tf/m na V2.

Diagrama de momentos fletores

Diagrama de forças cortantes

V2

V3V4

V1

L/2

a a

a

Transversina

q1=1tf/m q2=1tf/m

L/2

L

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Os dois diagramas vistos anteriormente, para a V1 e para a V2, serão

adicionados de outros dois diagramas. Na V1 se terá a influência da carga

q2 aplicada na V2, resultando em um segundo diagrama de momentos na

V1. Da mesma forma, na V2 se terá a influência da carga q1 aplicada na V1,

resultando em um segundo diagrama de momentos na V2.

c.2) Obtenção dos diagramas finais da longarina V1

Os diagramas (momentos fletores e força cortante) da V1 devidos à carga

atuando na própria V1 são os mesmos vistos anteriormente

Da carga aplicada na V2 se tem uma ação sobre a transversina, que com o

programa FTOOL se obteve igual a 6,774 tf:

Essa reação aplicada como carga sobre a transversina produz uma ação

sobre as outras longarinas. A reação de apoio da V1 resulta igual a R1 =

3,376 tf (ver figura abaixo). É de se reparar que a transversina nessa

situação deve ser considerada sem a mola representativa da rigidez da V2.

Isso por que a carga veio da V2.

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Na longarina V1 essa reação R1 = 3,376 tf atua como uma carga no

cruzamento com a transversina. A essa carga corresponde um segundo

diagrama de momentos fletores e outro de forças cortantes. Como a carga

de 3,376 tf vem da transversina para a V1 não se considera a mola

representativa da rigidez da transversina.

Diagrama de momentos na V1 devido a uma carga distribuída de 1 tf/m na V2

Diagrama de forças cortantes na V1 devido a uma carga distribuída de 1 tf/m na V2

Somando os dois diagramas se obtém:

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 15,76 27,51 35,27 39,03 38,78 39,03 35,27 27,51 15,76 0

0 3,38 6,75 10,13 13,50 16,88 13,50 10,13 6,75 3,38 0

0 19,14 34,26 45,40 52,53 55,66 52,53 45,40 34,26 19,14 0

Diagrama de momentos fletores na V1 devidos a uma carga distribuída de 1 tf/m

na V1 e outra, também de 1 tf/m, na V2.

c.3) Obtenção dos diagramas finais da longarina V2

Da carga aplicada na V1 se tem uma ação sobre a transversina, que

com o programa FTOOL se obteve igual a 2,243 tf:

Essa reação aplicada como carga sobre a transversina produz uma ação

sobre a longarina V2 igual a R2 = 3,376 tf.

19,14 19,14

34,26 34,26

45,40 45,4052,53 52,53

55,66

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Na longarina V2 essa carga (R2 = 3,376 tf) leva à um segundo diagrama de

momentos fletores e outro de forças cortantes:

Diagrama de momentos na V2 devido a uma carga distribuída de 1 tf/m na V1

Diagrama de forças cortantes na V2 devido a uma carga distribuída de 1 tf/m na V1

Somando os dois diagramas se obtém:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 11,23 18,45 21,68 20,90 16,13 20,90 21,68 18,45 11,23 0

0 3,38 6,75 10,13 13,50 16,88 13,50 10,13 6,75 3,38 0

0 14,61 25,20 31,81 34,48 33,01 34,48 31,81 25,20 14,61 0

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Diagrama de momentos na V2 devido a uma carga distribuída de 1 tf/m na V2 e

outra, também de 1 tf/m, na V1.

Obs.: Na construção dos diagramas acima não foi considerada a rigidez das

lajes. As lajes atribuem mais uma parcela de rigidez transversal. Essa maior

rigidez transversal leva a uma distribuição mais uniforme dos momentos

fletores e das forças cortantes entre as diversas longarinas.

d) Cargas aplicadas na laje do tabuleiro

d.1) Distribuição da carga sobre a laje entre as longarinas

Considerando uma faixa da laje de 1,0 m de largura e que a laje tenha

espessura de 0,2 m, é com se tivéssemos uma transversina com seção

transversal de base 1,0 m e altura 0,2 m. A distribuição da carga entre as

longarinas resulta:

14,61 14,61

25,20 25,2031,81 31,8134,48 34,4833,01

V2

V3V4

V1

L/2

a a

a

Transversina

L/2

L

1 m 3 m

1 tf

3 m

1 m

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R1 = 0,231 tf R2 = 0,762 tf R3 = 0,033 tf R4 = 0,026 tf

Não se erra muito se, neste caso, considerarmos o trecho da laje entre as

longarinas V1 e V2 como se fosse uma viga bi-engastada.

R1 = 0,25 tf R2 = 0,75 tf R3 = 0,0 tf R4 = 0,0 tf

d.2) Esforços solicitantes na longarina V1 devidos à parcela R1

A força R1 = 0,25 tf carrega diretamente a longarina V1. Os esforços

solicitantes na V1 devidos à R1 resultam:

Diagrama de momento fletores na V1 devido à parcela R1 da carga na laje

Diagrama de forças cortantes na V1 devido à parcela R1 da carga na laje

d.3) Transferência de carga da V2 para a V1 através da transversina

M5 = 0,68 tf.m

1 m 3 m

1 tf

R1 R2

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A força R2 = 0,75 tf carrega diretamente a longarina V2. Parte dessa carga

passa para a transversina.

Reações de apoio da V2 devidas à parcela R2 da carga na laje

A transversina recebe a carga de 0,357 tf no cruzamento com a longarina V2:

Reações de apoio da transversina devidas à parcela R2 da carga na laje

A longarina V1 recebe a reação de 0,141 tf no cruzamento com a transversina:

Diagrama de momentos fletores na V1 devidos à parcela R2 da carga na laje

Diagrama de forças cortantes na V1 devidos à parcela R2 da carga na laje

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d.4) Esforços finais na V1 devidos à carga de 1 tf aplicada na laje

Os esforço solicitantes finais devidos à carga de 1 tf aplicada na laje do

tabuleiro, resultam da somas dos diagramas dos item (d.2) e (d.3) acima

Para os momentos fletores, se tem:

Seção 1 2 3 4 5 6 61/2 7 8 9

d.2 0,14 0,27 0,41 0,54 0,68 0,89 1,00 0,86 0,57 0,29

d.3 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,56 0,49 0,42 0,28 0,14

soma 0,28 0,55 0,83 1,10 1,38 1,45 1,49 1,28 0,85 0,43

Para as forças cortantes, se tem:

Seção 1 2 3 4 5 6 61/2 7 8 9

d.2 0,068 0,068 0,068 0,068 0,068/

0,107

0,107 0,107/

-0,143

-0,143 -0,143 -0,143

d.3 0,070 0,070 0,070 0,070 0,070/

-0,070

-0,070 -0,070/

-0,070

-0,070 -0,070 -0,070

soma 0,138 0,138 0,138 0,138 0,138/

0,037

0,037 0,037/

-0,213

-0,213 -0,213 -0,213

M

0,138 0,037

-0,213

V

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CONCLUSÕES IMPORTANTES

1) Para as cargas aplicadas diretamente na longarina em estudo, os esforços

solicitantes assim como as reações de apoio, devem ser obtidos considerando

os apoios elásticos produzidos pelas transversinas.

2) Para as cargas provenientes das transversinas, os esforços solicitantes

assim como as reações de apoio, devem ser obtidos considerando a longarina

em estudo sem os apoios elásticos das transversinas.