poligonos inscritos

COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos Carneiro barroso 4. TEOREMA DE TALES

a

b

c

e

d

f

f

c

e

b

d

a ==

TEOREMA DE TALES: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais

COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos carneiro barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

5.1. TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO QUALQUER:

h

b2

.hbA =

TRIÂNGULO EQUILÁTERO:

4

3.2lA =

l

l l

FÓRMULA DE HERON:

cb )).().(.( cpbpappA −−−=a

*p = semi-perímetro

COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

5.1. TRIÂNGULOS

DADO UM ÂNGULO:

senCbaA ...2

1=cb

a

A

C B

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5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

5.1. TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:

R

cbaA

.4

..=



5.1. TRIÂNGULOS

TRIÂNGULO QUALQUER CIRCUNSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:


rpA

rcba

A

rcrbraA

rcrbraA

.

.2

)(2

...2

.

2

.

2

.

=

++=

++=

++=



5.2. PARALELOGRAMOS

Retângulo

Quadrado

Paralelogramo

hbA .= Losango

2dD

A.=



hbB

A .)(

2+=

5.3. TRAPÉZIOS

Trapézio

h

OBSERVAÇÃO:

Em qualquer polígono regular, a área é dada por:

A = p.a*p = semi-perímetro a = apótema

COLÉGIO Estadual Dinah Gonçalves GEOMETRIA PLANA

Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 5. ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

5.3. TRAPÉZIOS

OBSERVAÇÕES:

Trapézio Escaleno Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo

a) Tipos de Trapézios



5.3. TRAPÉZIOS

OBSERVAÇÕES:

b) Base Média

c) Mediana de Euler

A B

CD

M NE F

2

CDABEF

−=



5.3. TRAPÉZIOS

OBSERVAÇÕES:

d) DiagramasQuadriláteros

Trapézios

Paralelogramos

Losangos RetângulosQuadrados


6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS

6.1. Triângulo Eqüilátero

INSCRITOS



6.2. Quadrado

2lS

2

la

2

2l.r

=

=

=

INSCRITOS



6.3. Hexágono regular

4

3.R.6S

2

3.Ra

2=

=

INSCRITOS



CIRCUNSCRITOS


rpA .=

oDC 180ˆˆ =+


Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso 6. POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS

OBSERVAÇÕES:

a) Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares.



OBSERVAÇÕES:

b) Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

a

b

c

d

a + c = b + d


QUESTÕES

Questão 2:

Determine a medida y, na figura abaixo, sabendo que x + z = y e que r//s//t//u.a) 8b) 9c) 10d) 12e) 14


QUESTÕES

Solução:

y – 3 = 9 y = 12


Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso QUESTÕES

Questão 4:

(UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo retângulo DEF abaixo é:a) 42,25cm2

b) 36cm2

c) 46,24cm2

d) 39,32cm2

e) 49cm2


QUESTÕES

Solução:

6

150.25

.15150.10

15

10

10

==

−=

=−

l

l

llll

2

2

2

36

6

cmA

A

lA

===



Questão 5:

A figura abaixo mostra uma circunferência de raio 6cm inscrita em um trapézio retângulo. Calcule a área desse trapézio.a) 110cm2

b) 120cm2

c) 130cm2

d) 140cm2

e) 150cm2


QUESTÕES

Solução:

r = 6cm

12cm

10cm

2150

12.2

)1015(

.2

)(

cmA

A

hbB

A

=

+=

+=


QUESTÕES

Questão 8:

(UFBA/95) Num triângulo ABC, o lado AB mede 1 u.c., o lado BC u.c. e o ângulo B mede 30º. Assim, pode-se afirmar: 0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede u.c.

3



Solução:

A

B C

1

√3

30o

x

11

331

2

3.3.231

30cos.3.1.231

2

2

2

222

=∴=−+=

−+

−+=

xx

x

x

x

CossenosdosLei

o

1

0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é √3/4 u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede √2/2 u.c.

XXX

1/2

4

3

221.3

2

.

=

=

=

A

A

hbA

X

2

3

2

.1

4

3

2

.

=

=

=

h

h

hbA

X


QUESTÕES

Questão 9:

(COVEST/2005) Uma propriedade rural tem a forma do triângulo ABC representado na figura. A região cultivada corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se que AD = AB e AE = AC, que porcentagem da área da propriedade rural é cultivada?

a) 50%b) 60%c) 66%d) 75%e) 1/2.(2/3 + 3/4).100%



Solução:

x

y

3/4.x

2/3.y

θsenyxAprop ...2

1. =

θ

θsenyxAcult ..3

2..

4

3.2

1. =

θsenyxAcult ...4

1. =

.. .%50 propcult AA =



Questão 12:

(UPE 2003) 0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.2 2 O apótema de um hexágono regular de lado λ é λ.√3 3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.√3 u.c.4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.


QUESTÕES

Solução:

0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.

2

..84,0

2

.7,0..2,12

.

' hbhbA

hbA

==

=

X



Solução:

1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.

61100

3625100

6510 222

⟩+⟩+⟩

X


QUESTÕES

Solução:

2 2 O apótema de um hexágono regular de lado λ é λ.√3 X

ap

l

2

3.lap =


QUESTÕES

Solução:

3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.√3 u.c.

X

2 2


QUESTÕES

Solução:

4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.X

A

B CPPC

AC

BP

AB =

Teorema da Bissetriz Interna



Questão 13:

(COVEST 2003) A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, ilustrados na figura abaixo, é:

π

π

π

π

π

1)e

4)d

18)c

6)b

12)a


QUESTÕES

Solução:

62

3.42

.

=

=

=

t

t

t

A

A

hbA

1

.2

)543(6

.

=

++=

=

r

r

rpAt

πππ

==

=

c

c

c

A

A

rA2

2

1.

.

π6=

c

t

A

A



Questão 14:

(U.F.Uberlândia-MG/adaptada) Calcule a área de um triângulo retângulo em que um dos catetos mede 5 cm e o raio da circunferência inscrita mede 2cm.a) 20cm2

b) 25cm2

c) 30cm2

d) 40cm2

e) 50cm2


QUESTÕES

Solução:

2 cm

3 cm

3 cm

2 cm

x

x

cmxx

xxxx

xx

1020.2

.4425.69

)2(5)3(22

222

=∴=+++=++

++=+

230

2

5.122

.

cmA

A

hbA

=

=

=


QUESTÕES

Questão 15:

(UFAC) A figura representa um trapézio cujas bases AB e DC medem 6dm e 10dm. Sendo M e N pontos médios dos lados AD e BC, conclui-se que a medida do segmento PQ é:a) 3dm b) 2dm c) 3,1dm d) 2,8dm e) 3,2dm



Solução:

dmPQ

PQ

EulerdeMediana

22

)610(

=

−=


QUESTÕES

Questão 16:

Em um triângulo retângulo ABC a hipotenusa BC mede 15cm e o cateto AB mede 9cm. Calcule a distância do baricentro G à reta AC.a) 1cmb) 2cmc) 3cmd) 4cme) 5cm



Solução:

15 cm

9 cm

12 cm

4,5 cm

cmd

d

3

5,4.3

2

=

=


QUESTÕES

Questão 18:

(UFMT) No hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de raio 4cm, a medida da diagonal FB é:

cm15)e

cm26)d

cm34)c

cm8,6)b

cm6)a

oi xnS 180)2( −=


QUESTÕES

Solução:

oi

oi

S

xS

720

180)26(

=

−=120o 4 cm

4 cm

2 cm

30o

2.√ 3

2.√ 3

4.√ 3



Questão 19:

Um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero EFG estão inscritos na mesma circunferência de raio 6 cm de modo que AB//EF, conforme a figura. Calcule a distância entre os lados AB e EF.

)32.(3)e

)32.(2)d

)33.(3)c

)23.(2)b

)22.(3)a

−

−

−

−

−


QUESTÕES

Solução:

cmap

ap

apr

q

q

q

6

2.2.6

2.

=

=

=


QUESTÕES

Solução:

cmr 2.6=

tap cm2.3=

)22.(3

2.36

−=

−=

−=

d

d

apapd tq

poligonos inscritos

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