poliedrospoliedros colÉgio decisivo matemática geometria espacial professor wilen 11/9/2014
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POLIEDROS
COLÉGIO DECISIVOCOLÉGIO DECISIVO
MatemáticaMatemáticaGEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL
Professor WilenProfessor Wilen11/04/23
Superfície PoliédricaSuperfície Poliédrica
Entendemos por superfície poliédrica a figura formada por polígonos planos consecutivos (possuem um lado comum) não-coplanares, de modo que cada lado seja comum a apenas dois polígonos.
PoliedrosPoliedros
Poliedros são sólidos limitados por polígonos planos tais que cada um dos lados desses polígonos pertença a dois e somente dois deles.
PoliedrosPoliedros
Elementos dos poliedrosElementos dos poliedros
Poliedros ConvexosPoliedros Convexos&&
Poliedros Não-ConvexosPoliedros Não-Convexos
Quando o segmento de reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado de Poliedro Convexo, caso contrário ele será classificado como Poliedro Não-Convexo
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Poliedro não-convexo >>
Classificação dos PoliedrosClassificação dos Poliedros
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Teorema Teorema de Eulerde Euler
Em qualquer poliedro convexo a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas aumentado de duas unidades.
V + F = A + 2
Teorema de EulerTeorema de EulerV = número de vérticesF = número de facesA = número de arestas
Teorema
A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo vale tantas vezes quatro ângulos retos quantos são os vértices, menos duas unidades.
Si = 4r.(V – 2) Si = 360º(V – 2)ou
Teorema de EulerTeorema de EulerCuidado!!!!
n.F = 2 A
O número arestas é igual a metade da soma do número de lados de todas as faces. (uma aresta pertence a duas faces distintas, exatamente duas)
Si = 4r.(V – 2) Si = 360º(V – 2)ou
ExercíciosExercícios
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01 – Um poliedro convexo de 20 arestas tem o 01 – Um poliedro convexo de 20 arestas tem o número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces e vérticesnúmero de faces e vértices
Solução:A = 20F = V
V + F = A + 2V + V = 20 + 22V = 22
V = 11
Como F = V, então:
F = 11
02 – Calcular o número de faces de um poliedro 02 – Calcular o número de faces de um poliedro convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das medidas dos ângulos das faces é 3600º.medidas dos ângulos das faces é 3600º.
Solução:
Si = 360º.(V – 2)3600 = 360 . (V – 2)10 = V – 2
V = 12
V + F = A + 212 + F = 21 + 2F = 23 – 12
F = 11
03 – A soma dos ângulos internos das faces de 03 – A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcular o número de um poliedro convexo é 720º. Calcular o número de faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas.faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas.
Solução:
Si = 360º.(V – 2)720 = 360 . (V – 2)2 = V – 2
V = 4
3
2
.3
2
AF
AF
V + F = A + 24 + 2A/3 = A + 212 + 2A = 3A + 6
A = 6
F = 12/3
F = 4
Testes - 05Testes - 05Um poliedro convexo tem Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares15 faces triangulares, , 1 face 1 face quadrangularquadrangular, , 7 faces pentagonais7 faces pentagonais e e 2 faces 2 faces hexagonaishexagonais. O número de vértices desse poliedro é:. O número de vértices desse poliedro é:
Solução:- Encontrar o número de faces
F = 15 + 1 + 7 + 2F = 25
- Encontrar o número de arestas
45 + 4 + 35 + 12 = 96
Lembrete:
n.f = 2A96 = 2AA = 48
15 x 3 = 451 x 4 = 4
7 x 5 = 35
2 x 6 = 12
Aplicar a fórmula
V + F = A + 2V + 25 = 48 + 2
V = 25
Para casa Páginas 18 e 19
Exercícios:1 ao 12
http://pessoal.utfpr.edu.br/wilensilva