ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Material Digital Audiovisual

Título: Otimização

Formato: Vídeo

Descrição:Nos problemas de otimização não basta encontrar uma solução, é preciso garantir que ela seja a melhor. Nesta entrevista, o professor Nilson Machado exemplifica como usamos a Álgebra para representar um problema da vida real. O tempo total do vídeo é de 14 min 42 s.

Objetivos: Relacionar situações da vida cotidiana com equações e inequações. Representar no plano cartesiano as soluções de uma equação cujo gráfico é uma reta. Discutir de forma simples o conceito de otimização.

Conteúdos abordados:

Equações de 1o grau com duas incógnitas. Inequações de 1o grau com duas incógnitas. Gráficos que representam equações ou inequações de 1o grau com duas incógnitas.

Habilidade: (EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo que

possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando inclusive o plano cartesiano como recurso.

Sugestões de uso

Esse vídeo auxilia o professor a complementar e a ampliar o conteúdo do Capítulo 9 do livro do 8o ano, que apresenta um estudo sobre equações e sistemas de equações, proporcionando um momento de reflexão sobre a determinação da melhor solução para um problema, quando ela existe, além de apresentar o uso da Álgebra para representar o problema com um contexto da realidade para aprofundar esse conteúdo.Providencie um aparelho que reproduza áudio e vídeo adequadamente para a turma toda.Sugerimos as seguintes estratégias que favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA08.

Coletivo ou individual

1) Antes de apresentar o vídeo para a turma, realize com ela os estudos do Tópico 1 do Capítulo 9 do livro do 8o ano, que apresenta um estudo sobre equação do 1o grau com duas incógnitas. Então, converse um pouco com os alunos perguntando se sabem o que é otimização.Explique que alguns problemas estudados poderiam envolver o conceito de otimização se desejássemos saber, por exemplo, como representar o contorno do retângulo de maior área com certo comprimento de fio de arame. Apesar de podermos representar contornos de muitos retângulos com esse pedaço de arame, há uma representação que é a adequada à resposta, pois corresponde ao contorno do retângulo de maior área.Comente que o vídeo ao qual vão assistir apresentará mais informações sobre como equacionar e compreender a Matemática envolvida nesse tipo de problema.

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2) Diga aos alunos que fará uma reprodução de um vídeo com algumas pausas para comentários e questionamentos e que, após essa reprodução, poderá fazer outras reproduções para demais questionamentos e comentários que acharem importantes.Sugestões de pausas e questionamentos (você pode escrever no quadro de giz):

Em 1 min 40sPergunte aos alunos se eles já pensaram em equações como perguntas, como foi dito pelo professor Nilson. Escreva as seguintes equações no quadro de giz e, com os alunos, procure “transformá-las” em perguntas.

3x = 15 → Exemplo de resposta: Qual é o número que multiplicado por 3 dá 15?2x – y = 3 → Exemplo de resposta: Quais são os números cuja diferença entre o dobro

do primeiro e o segundo resulta em 3?Certifique-se de que entenderam a “transformação” e depois peça a cada aluno que escreva duas equações e faça a “transformação” delas para a forma de pergunta.

Em 6 min 35 sQuando o professor Nilson diz que a equação x + y = 8 dá uma reta no plano cartesiano, ele está admitindo que x e y podem assumir quaisquer valores reais. Para o contexto da otimização do plantio de milho e de cana, nós temos que x e y são maiores ou iguais a zero.Pergunte aos alunos como seria a representação gráfica da equação x + y = 8, no plano cartesiano, sabendo que x, y ≥ 0.Espera-se que os alunos percebam que o gráfico é um segmento de reta porque, com esse contexto, não há valores negativos para x ou para y.

Em 8 min 35 sVerifique se os alunos entenderam o significado da inequação 20.000x + 10.000y ≤ 120.000. Caso tenham dificuldade, comente que 20.000x indica quantidade de litros de água usada para plantar x alqueires de milho e que 10.000y indica quantidade de litros de água usada para plantar y alqueires de cana, e que a soma dessas quantidades não deve exceder 120.000 litros de água, que foi o estoque máximo de água considerado. Comente com os alunos que a quantidade de água no estoque foi uma escolha aleatória, poderia ser inferior ou superior a 120.000 litros.

Em 9 min 58 sQuestione os alunos sobre o significado da sentença algébrica R = 20.000x + 15.000yOs alunos devem perceber que nessa sentença algébrica R indica o rendimento, em real, ou seja, o valor recebido pela venda dos produtos plantados nos alqueires. Já 20.000x indica, valor recebido, em real, pelo número de alqueires de milho plantados, e 15.000y, o valor recebido, em real, pelo número de alqueires de cana plantados.Chame a atenção deles para o fato de que o objetivo é encontrar o rendimento máximo. No entanto, seria necessário levar também em consideração os custos da produção que, nesse caso, devem ser mínimos. Haveria, então, pelo menos mais uma equação. Comente que nesse exemplo os custos de produção não serão levados em consideração.

Em 10 min 10 sEm conjunto com os alunos, encontre a solução ótima para o problema proposto, ou seja, encontre o número de alqueires de milho (x) e de cana (y) que devem ser plantados de modo que o rendimento seja máximo.Primeiro, reproduza no quadro de giz o sistema de duas inequações com duas incógnitas a seguir:

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Depois, divida ambos os membros da inequação 20.000x + 10.000y ≤ 120.000 por 10.000 e obtenha o seguinte sistema que é equivalente ao anterior:

Em seguida, peça aos alunos que tentem encontrar o rendimento máximo por tentativa e erro. Para isso, eles devem escolher valores para x e y que satisfaçam as inequações do sistema acima e substituí-los em R = 20.000x + 15.000y. A ideia é que encontrem diferentes valores para R até encontrar o maior valor possível. Assim: Para x = 8 e y = 0, temos que R = 160.000 (não dá, pois se plantarmos tudo de milho, faltará água) Para x = 0 e y = 8, temos que R = 120.000 Para x = 1 e y = 7, temos que R = 125.000 Para x = 2 e y = 6, temos que R = 130.000 Para x = 3 e y = 5, temos que R = 135.000 Para x = 4 e y = 4, temos que R = 140.000 (solução ótima) Portanto, concluímos que o rendimento máximo é de R$ 140.000,00 e é obtido quando são plantados4 alqueires de milho e quatro alqueires de cana.

Em 11 min 5 s Comente com os alunos que se x, y ≥ 0, não temos uma reta. Temos um segmento de reta.

Em 11 min 27 s Mostre aos alunos como eles podem representar as duas inequações do sistema em um plano cartesiano. Eles devem perceber que, nesse caso, a representação gráfica das equações x + y = 8 e 2x + y = 12 são segmentos de reta, uma vez que x e y só podem assumir valores reais positivos. Feito isso, peça que conversem com os colegas e encontrem graficamente a solução ótima do problema. Espera-se que eles percebam que essa solução corresponde ao ponto de intersecção dos segmentos de reta que representam as equações x + y = 8 e 2x + y = 12.

3) Após a apresentação do vídeo, discuta com os alunos sobre as afirmações feitas pelo professor Nilson de que a parte teórica é importante para a visão dos problemas e a possibilidade de achar as melhores soluções. Pergunte como eles veem isso no cotidiano, incluindo outros conhecimentos teóricos que não apenas a Matemática. Peça que citem outras situações em que a teoria ajuda a prática. Alguns exemplos:

orçamento doméstico; compras de ingredientes para determinada receita, considerando as quantidades usadas, as quantidades

nas embalagens e os custos; planejamento de custos e receitas de um negócio.

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