pêndulo duplo e pêndulo impulsionado em html5 e javascriptmac/db/2014-1s-097254.pdf · um...

Pêndulo Duplo e Pêndulo Impulsionado em

HTML5 e JavaScript

Jelther Gonçalves

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí�ca

Universidade Estadual de Campinas

Curso de Matemática Aplicada e Computacional

E-mail: [email protected]

26 de Fevereiro de 2014

mailto:[email protected]

Resumo

Este trabalho visa fornecer uma simulação computacional do pêndulo duploe do pêndulo impulsionado em seu pivô.

As simulações são construídas utilizando a tecnologia HTML5 e Javascript,facilitando sua visualização em diferentes dispositivos e plataformas sem a ne-cessidade de componentes extras.

Conteúdo

1 Pêndulo Impulsionado 2

1.1 Dedução das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Adequando para o método de Runge-Kutta de 4a Ordem . . . . . 51.3 Mudança do ponto estável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Movimento caótico do pêndulo impulsionado . . . . . . . . . . . 10

2 O Pêndulo Duplo 12

2.1 Dedução das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Adequando para o método de Runge-Kutta de 4a Ordem . . . . . 152.3 Movimento caótico do pêndulo duplo . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Conclusões 20

Apêndice A - Método de Runge-Kutta de 4a Ordem 21

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Generalizando para várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Apêndice B � Frameworks Utilizados 23

Apêndice C � Links para as simulações 24

Bibliogra�a 25

1

Capítulo 1

Pêndulo Impulsionado

1.1 Dedução das equações

Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô quepermite sua movimentação livremente.

No pêndulo impulsionado, partiremos do princípio que o pivô irá se moverde forma oscilatória verticalmente ou horizontalmente. Vamos iniciar com opêndulo impulsionado verticalmente:

2

Pêndulo Duplo e Pêndulo Impulsionado Pág. 3

No esquema acima utilizamos x e y como coordenadas generalizadas parao pêndulo.Como podemos ver, o pivô se move verticalmente em função de umcosseno e uma amplitude.

Para obtermos a equação do movimento, devemos utilizar os conceitos demecânica lagrangiana. Ou seja, devemos ter L = T - U, onde T é a soma dasenergias cinéticas e U a soma das energias potenciais do sistema.Portanto, T �ca:

T = 12m(ẋ2 + ẏ2)

Onde o ponto denota a derivada temporal. Os valores x e y serão as somasdos encontrados no esquema acima, então:

ẋ = lθ̇ cos θ

ẏ = −lθ̇ sin θ −Aωd sin(ωdt)

ẋ2 + ẏ2 = l2θ̇2 cos2 θ + l2θ̇2 sin2 θ +A2ω2d sin2(ωdt) + 2lθ̇Aωd sin(ωdt)

Simpli�cando esta última, obteremos T:

T =m

2(l2θ̇2 +A2ω2d sin

2(ωdt) + 2lθ̇Aωd sin(ωdt))

O próximo passo é encontrar a energia potencial U:

U = −mgy = −mg(l cos θ +A cos(ωdt))

Portanto, a Lagrangiana será:

L =m

2(l2θ̇2 +A2ω2d sin

2(ωdt) + 2lθ̇Aωd sin(ωdt)) +mg(l cos θ +A cos(ωdt))

Vamos notar que existe uma força de atrito proporcional a velocidade daesfera. Esta força pode ser generalizada da seguinte forma:

Qθ = Fatx∂x

∂θ+ Faty

∂y

∂θ

Jelther Oliveira Gonçalves


Portanto, vamos encontrar Fatx e Faty:

Fatx = −bẋ = −bl cos θθ̇

Faty = −bẏ = −bl sin θθ̇ +Abωd sin(ωdt)∂x

∂θ= l cos θ ,

∂y

∂θ= l sin θ

Então, Qθ �ca:

Qθ = −bθ̇l2 cos2 θ − bθ̇l2 sin2 θ +Ablωd sin θ sin(ωdt)

Qθ = −bθ̇l2 +Ablωd sin θ sin(ωdt)

Finalmente, podemos determinar a equação de θ̇ a partir da de�nição daLagrangiana:

d

dt

(∂L

∂θ̇

)− ∂L∂θ

= Qθ

∂L

∂θ̇= ml2θ̇ +mlAωd sin θ sin(ωdt)

d

dt

(∂L

∂θ̇

)= ml2θ̈ +mlAωdθ̇ cos θ sin(ωdt) +mlAω

2d sin θ cos(ωdt)

∂L

∂θ= mlAωdθ̇ cos θ sin(ωdt) −mgl sin θ

Chegamos então em:

θ̈ = − sin θ[Aω2d cos(ωdt) + g

l

]+

Qθml2

Esta equação é a que descreve o movimento da massa ao redor do pivô.



1.2 Adequando para o método de Runge-Kutta

de 4a Ordem

Claramente, a equação do movimento não possui uma solução analítica.Pararesolver esta equação, devemos utilizar um método numérico.

O método utilizado para o desenvolvimento do applet é o de Runge-Kuttade 4a Ordem.No apêndice A descrevemos como o método funciona para casosgerais.

Realizando uma mudança de variáveis �camos com o seguinte sistema deequações diferenciais de primeira ordem:

θ̇ = ω

ω̇ = − sin θ[Aω2d cos(ωdt) + g

l

]+

1

ml2(−bl2ω +Ablωd sin θ sin(ωdt)

)t = 1

Ou seja, θ̇ = f(t, θ, ω)ω̇ = g(t, θ, ω)t = l(t, θ, ω)

Onde f ,g e k são as funções acima representadas.Utilizaremos parâmetrosextras ao escrever as funções (como t para função f) para que não haja confusãona construção do método numérico.



Portanto, a implementação em Javascript do método numérico é:

1 function f(tempo ,theta ,vel_angular) {temp = -(gravidade + Amp*omegad*omegad*Math.cos(omegad*tempo))*Math.sin(

theta);3 temp = temp/( comprimento_pendulo1);

temp = temp -(( b_damping/massa1)*vel_angular) + (Amp*b_damping*omegad*Math.sin(theta)*Math.sin(omegad*tempo))/( massa1*comprimento_pendulo1);

5 return temp;}

7

function g(tempo ,theta ,vel_angular) {9 return vel_angular;

}11

function k(tempo ,theta ,vel_angular) {13 return 1;

}15

function rungeKuttaPendulo(timediff) {17 var h = timediff /1000;

var a = [];19 var b = [];

var c = [];21 var d = [];

23 a[1] = g(tempo_n , theta_n_1 , vel_angular_n_1);a[2] = f(tempo_n , theta_n_1 , vel_angular_n_1);

25 a[3] = k(tempo_n , theta_n_1 , vel_angular_n_1);

27 b[1] = g(tempo_n + (h/2)*a[3] , theta_n_1 + (h/2)*a[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*a[2] );

b[2] = f(tempo_n + (h/2)*a[3] , theta_n_1 + (h/2)*a[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*a[2] );

29 b[3] = k(tempo_n + (h/2)*a[3] , theta_n_1 + (h/2)*a[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*a[2] );

31 c[1] = g(tempo_n + (h/2)*b[3] , theta_n_1 + (h/2)*b[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*b[2] );

c[2] = f(tempo_n + (h/2)*b[3] , theta_n_1 + (h/2)*b[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*b[2] );

33 c[3] = k(tempo_n + (h/2)*b[3] , theta_n_1 + (h/2)*b[1] , vel_angular_n_1 + (h/2)*b[2] );

35 d[1] = g(tempo_n + h*c[3] , theta_n_1 + h*c[1] , vel_angular_n_1 + h*c[2] );d[2] = f(tempo_n + h*c[3] , theta_n_1 + h*c[1] , vel_angular_n_1 + h*c[2] );

37 d[3] = k(tempo_n + h*c[3] , theta_n_1 + h*c[1] , vel_angular_n_1 + h*c[2] );

39 theta_n_1 = theta_n_1 + (h/6)*(a[1] + 2*b[1] + 2*c[1] + d[1]);vel_angular_n_1 = vel_angular_n_1 + (h/6)*(a[2] + 2*b[2] + 2*c[2] + d[2]);

41 tempo_n = tempo_n + (h/6)*(a[3] + 2*b[3] + 2*c[3] + d[3]);

43 delete a;delete b;delete c;delete d;}



1.3 Mudança do ponto estável

Podemos perceber (experimentalmente) que o pêndulo muda seu comporta-mento quando escolhemos ângulos iniciais diferentes.

A mudança principal é o seu ponto estável : quando colocado a partir de umângulo o mesmo �ca estável acima do eixo Y.

Vamos tomar como exemplo os valores :

Massa = 13 Kg

Coef. Amortecimento = 1 Kg/s

Vel. Angular Inicial = 0 rad/s

Frequência de Vibração = 5 Hz

Amplitude do Impulso = 0.3 m

Comprimento do Pêndulo = 3 m

Gravidade = 9.8 m/s2

Com estes valores, vemos que o pêndulo se mantem estável na vertical a partirde ±136o = ±2.374 rad em relação ao eixo Y.

Figura 1: Traço do pêndulo após 14s de movimento em um ângulo inicial de135o



Figura 2: Grá�co do pêndulo após 14s de movimento em um ângulo inicial de135o

Figura 3: Traço do pêndulo após 14s de movimento em um ângulo inicial de136o



Figura 4: Grá�co do pêndulo após 14s de movimento em um ângulo inicial de136o



1.4 Movimento caótico do pêndulo impulsionado

Este pêndulo apresenta comportamento caótico dependendo dos parâmetrosiniciais que utilizamos, isto é, é impossível determinar seu movimento.

Vamos tomar como exemplo os seguintes parâmetros iniciais e comparar ostraços e grá�cos gerados:

Massa = 13 Kg

Coef. Amortecimento = 0 Kg/s

Vel. Angular Inicial = 0 rad/s

Frequência de Vibração = 0.79π rad/s = 0.39 Hz

Amplitude do Impulso = 0.7 m

Comprimento do Pêndulo = 3 m


Comparando os traços, grá�cos e diagramas:

Figura 5: Traço dos pêndulos após 60s de movimento em um ângulo inicial de−108o



Figura 6: Grá�co dos pêndulos após 60s de movimento em um ângulo inicialde −108o

Figura 7: Diagramas de fase após 60s de movimento em um ângulo inicial de−108o

Através disso, podemos con�rmar o movimento caótico que pode ser causadoa partir de mesmos valores iniciais.


Capítulo 2

O Pêndulo Duplo

2.1 Dedução das equações

O pêndulo duplo consiste em um pêndulo acoplado a outro pêndulo atravésde sua massa.Em nosso caso, ilustraremos estes pêndulos como sendo simples.

Para certas condições, este sistema apresenta um comportamento caóticotambém. Vamos iniciar então com a dedução das equações do movimento destesistema através da mecânica Lagrangiana.

12


Portanto, vamos calcular as energias envolvidas:Massa 1:

ẋ1 = l1θ̇1 cos θ1 e ẏ1 = l1θ̇1 sin θ1

ẋ21 + ẏ21 = l

21θ̇

21

Massa 2:

ẋ2 = l1θ̇1 cos θ1 + l2θ̇2 cos θ2

ẏ2 = l1θ̇1 sin θ1 + l2θ̇2 sin θ2

ẋ22 + ẏ22 = l

21θ̇

21 + 2l1l2θ̇1θ̇2 cos(θ1 − θ2) + l22θ̇22

Então, T �ca:

T =m12

(ẋ21 + ẏ21) +

m22

(ẋ22 + ẏ22)

T =m12

(l21θ̇21) +

m22

(l21θ̇21 + 2l1l2θ̇1θ̇2 cos(θ1 − θ2) + l22θ̇22)

T =(m1 +m2)

2(l21θ̇

21) +m2l1l2θ̇1θ̇2 cos(θ1 − θ2) +

m22

(l22θ̇22)

A energia potencial U depende somente de y, então:Massa 1:

U = −m1gl1 cos θ1

Massa 2:

U = −m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2)

Então a energia U total será:

U = −m1gl1 cos θ1 −m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2)

U = −(m1 +m2)gl1 cos θ1 −m2gl2 cos θ2

A Lagrangiana será:

L = T − U

L =(m1 +m2)

2l21θ̇

21 +

m22

(l22θ̇

22

)+m2l1l2θ̇1θ̇2 cos (θ1 − θ2) +

(m1 +m2) gl1 cos θ1 +m2gl2 cos θ2



Para obter a equação para θ1, devemos calcular os termos:

∂L

∂θ̇1= (m1 +m2) l

21θ̇2 +m2l1l2θ̇2 cos (θ1 − θ2)

d

dt

(∂L

∂θ̇1

)=

(m1 +m2) l21θ̈1 +m2l1l2θ̈2 cos (θ1 − θ2) +m2l1l2θ̇2 sin (θ1 − θ2)

(θ̇1 − θ̇2

)∂L

∂θ1= −l1g (m1 +m2) −m2l1l2θ̇1θ̇2 sin (θ1 − θ2)

Então, �camos com:

(m1 +m2) l21θ̈1 +m2l1l2θ̈2 cos (θ1 − θ2) +m2l1l2θ̇22 sin (θ1 − θ2) +

l1g (m1 +m2) sin (θ1) = 0

Que simpli�cando por l1, �ca:

(m1 +m2) l1θ̈1 +m2l2θ̈2 cos (θ1 − θ2) +m2l2θ̇22 sin (θ1 − θ2) +g (m1 +m2) sin (θ1) = 0

De forma análoga para θ2:

∂L

∂θ̇2= m2l

22θ̇2 +m2l1l2θ̇1 cos (θ1 − θ2)

d

dt

(∂L

∂θ̇2

)= m2l

22θ̈2 +m2l1l2θ̈1 cos (θ1 − θ2) −m2l1l2θ̇1 sin (θ1 − θ2)

(θ̇1 − θ̇2

)∂L

∂θ2= m2l1l2θ̇1θ̇2 sin (θ1 − θ2) − l2m2g sin θ2

Então, �camos com:

m2l22θ̈2 +m2l1l2θ̈1 cos (θ1 − θ2) −m2l1l2θ̇21 sin (θ1 − θ2) + l2m2g sin θ2 = 0

Que simpli�cando por l2,�ca :

m2l2θ̈2 +m2l1θ̈1 cos (θ1 − θ2) −m2l1θ̇21 sin (θ1 − θ2) +m2g sin θ2 = 0

Ambas as equações devem ser resolvidas em termos de θ̈1 e θ̈2 para serem uti-lizadas no método numérico. Ficamos então com:

θ̈1 =−g (2m1 +m2) sin θ1 −m2g sin (θ1 − 2θ2) − 2 sin (θ1 − θ2)m2

(θ̇22l2 + θ̇

21l1 cos (θ1 − θ2)

)l1 (2m1 +m2 −m2 cos (2θ1 − 2θ2))

θ̈2 =2 sin (θ1 − θ2)

(θ̇21l1 (m1 +m2) + g (m1 +m2) cos θ1 + θ̇

22l2m2 cos (θ1 − θ2)

)l2 (2m1 +m2 −m2 cos (2θ1 − 2θ2))



2.2 Adequando para o método de Runge-Kutta

de 4a Ordem

Conforme visto, as 2 equações do movimento para o pêndulo duplo nãopossuem uma solução analítica.

Vamos escrevê-las de forma que seja fácil utilizar o método de Runge-Kutta.Fazendo a seguinte mudança de variáveis obteremos 4 equações diferenciais

de primeira ordem:

θ̇1 = ω1

θ̇2 = ω2

Então:

ω̇1 =−g (2m1 +m2) sin θ1 −m2g sin (θ1 − 2θ2) − 2 sin (θ1 − θ2)m2

(ω22l2 + ω

21l1 cos (θ1 − θ2)

)l1 (2m1 +m2 −m2 cos (2θ1 − 2θ2))

ω̇2 =2 sin (θ1 − θ2)

(ω21l1 (m1 +m2) + g (m1 +m2) cos θ1 + ω

22l2m2 cos (θ1 − θ2)

)l2 (2m1 +m2 −m2 cos (2θ1 − 2θ2))

Que podemos escrever na forma de funções da seguinte forma:ω̇1 = f1 (θ1, θ2, ω1, ω2)ω̇2 = f2 (θ1, θ2, ω1, ω2)

θ̇1 = ω1 = f3 (θ1, θ2, ω1, ω2)

θ̇2 = ω2 = f4 (θ1, θ2, ω1, ω2)

Onde em f3 e f4 realizamos o abuso de notação em relação aos parâmetros dasfunções.



Portanto, a implementação em Javascript do método numérico é:

function f1 (theta_1 , theta_2 ,vel_angular1 ,vel_angular2) {2 temp = -gravidade *(2* massa1 + massa2)*Math.sin(theta_1) - massa2*gravidade*

Math.sin(theta_1 - 2* theta_2);temp = temp - 2*Math.sin(theta_1 - theta_2)*massa2 *( Math.pow(vel_angular2

,2)*comprimento_pendulo2 + Math.pow(vel_angular1 ,2)*comprimento_pendulo1*Math.cos(theta_1 -theta_2) );

4 temp = temp / (comprimento_pendulo1 *(2* massa1 + massa2 -massa2*Math.cos(2*theta_1 - 2* theta_2) ));

return temp;6 }

8 function f2 (theta_1 , theta_2 ,vel_angular1 ,vel_angular2) {temp = 2*Math.sin(theta_1 - theta_2);

10 temp = temp * ( Math.pow(vel_angular1 ,2)*comprimento_pendulo1 *( massa1 +massa2) + gravidade *( massa1 + massa2)*Math.cos(theta_1) + Math.pow(vel_angular2 ,2)*comprimento_pendulo2*Math.cos(theta_1 - theta_2) );

temp = temp / (comprimento_pendulo2 *(2* massa1 + massa2 - massa2*Math.cos (2*theta_1 -2*theta_2) ));

12 return temp;}

14

function rungeKuttaPendulo(timediff) {16 var h = timediff /1000;

18 var a = [];var b = [];

20 var c = [];var d = [];

22

a[0] = f1(theta_n_1 ,theta_n_2 ,vel_angular_n_1 ,vel_angular_n_2);24 a[1] = f2(theta_n_1 ,theta_n_2 ,vel_angular_n_1 ,vel_angular_n_2);

a[2] = vel_angular_n_1;26 a[3] = vel_angular_n_2;

28 b[0] = f1(theta_n_1 + (h/2)*a[2] ,theta_n_2 + (h/2)*a[3] ,vel_angular_n_1 +(h/2)*a[0] ,vel_angular_n_2 + (h/2)*a[1] );

b[1] = f2(theta_n_1 + (h/2)*a[2] ,theta_n_2 + (h/2)*a[3] ,vel_angular_n_1 +(h/2)*a[0] ,vel_angular_n_2 + (h/2)*a[1] );

30 b[2] = vel_angular_n_1 + (h/2)*a[0];b[3] = vel_angular_n_2 + (h/2)*a[1];

32

c[0] = f1(theta_n_1 + (h/2)*b[2] ,theta_n_2 + (h/2)*b[3] ,vel_angular_n_1 +(h/2)*b[0] ,vel_angular_n_2 + (h/2)*b[1] );

34 c[1] = f2(theta_n_1 + (h/2)*b[2] ,theta_n_2 + (h/2)*b[3] ,vel_angular_n_1 +(h/2)*b[0] ,vel_angular_n_2 + (h/2)*b[1] );

c[2] = vel_angular_n_1 + (h/2)*b[0];36 c[3] = vel_angular_n_2 + (h/2)*b[1];

38 d[0] = f1(theta_n_1 + h*c[2] ,theta_n_2 + h*c[3] ,vel_angular_n_1 + h*c[0] ,vel_angular_n_2 + h*c[1] );

d[1] = f2(theta_n_1 + h*c[2] ,theta_n_2 + h*c[3] ,vel_angular_n_1 + h*c[0] ,vel_angular_n_2 + h*c[1] );

40 d[2] = vel_angular_n_1 + h*c[0];d[3] = vel_angular_n_2 + h*c[1];

42

theta_n_1 = theta_n_1 + (h/6)*(a[2] + 2*b[2] + 2*c[2] + d[2]);44 theta_n_2 = theta_n_2 + (h/6)*(a[3] + 2*b[3] + 2*c[3] + d[3]);

46 vel_angular_n_1 = vel_angular_n_1 + (h/6)*(a[0] + 2*b[0] + 2*c[0] + d[0]);vel_angular_n_2 = vel_angular_n_2 + (h/6)*(a[1] + 2*b[1] + 2*c[1] + d[1]);

48

delete a; delete b; delete c; delete d;50 }



2.3 Movimento caótico do pêndulo duplo

Este pêndulo também apresenta um movimento caótico com os mesmosparâmetros iniciais em lançamentos diferentes.

Vamos tomar os seguintes parâmetros iniciais e comparar os traços, grá�cose diagramas de fase de cada um:

Massa 1 = 13 Kg

Massa 2 = 13 Kg

Vel. Angular Inicial 1 = 0 rad/s

Vel. Angular Inicial 2 = 0 rad/s

Comprimento do Pêndulo 1 = 1 m

Comprimento do Pêndulo 2 = 1 m

Ângulo Inicial 1 = 90o

Ângulo Inicial 2 = 125o


Figura 8: Traços dos pêndulos duplos após 30s de movimento com osparâmetros iniciais de�nidos.



Figura 9: Grá�cos dos pêndulos duplos após 30s de movimento com osparâmetros iniciais de�nidos.



Figura 10: Diagramas de fase dos pêndulos duplos após 30s de movimento comos parâmetros iniciais de�nidos.

Através destes grá�cos, podemos con�rmar o movimento caótico que podeser causado a partir de mesmos parâmetros iniciais.


Conclusões

De fato, os 2 tipos de pêndulos apresentados mostram resultados interes-santes e que são mais fáceis de analisar do que um modelo real.

O primeiro, o pêndulo impulsionado, apresenta a mudança de ponto estávelconforme variamos os parâmetros de oscilação do pivô. Em outros parâmetrospodemos avaliar o movimento caótico que este apresenta.

Já o pêndulo duplo nos dá momentos interessantes de avaliação de como ocaos age em sistemas relativamente simples.

Finalmente, estes applets desenvolvidos em HTML5 conseguem ser uma novaferramenta de estudo e ensino por sua fácil utilização em dispositivos diferentese por possuir uma melhor facilidade de desenvolvimento.

20

Apêndice A - Método de

Runge-Kutta de 4a Ordem

Apresentação

Em análise numérica, os métodos de Runge-Kutta formam uma importantefamília de métodos iterativos implícitos e explícitos para resolução numérica desoluções de equações diferenciais ordinárias.

Neste projeto utilizamos o método de 4a ordem, sendo este o mais utilizado.Existem os métodos de ordem inferiores e superiores, mas para nossos propósitoso de 4a ordem é o su�ciente.

Vamos considerar uma EDO com PVI:{y

′= f(t, y)

y(t0) = y0

Com um passo h > 0, devemos calcular:

kn1 = f(tn, yn)

kn2 = f(tn +h

2, yn +

h

2kn1)

kn3 = f(tn +h

2, yn +

h

2kn2)

kn4 = f(tn + h, yn + hkn3)

Para então, obter:

yn+1 = yn +h

6(kn1 + 2kn2 + 2kn3 + kn4)

Este é, então, o método mais utilizado em simulações físicas.

21


Generalizando para várias variáveis

Conforme visto em nossas deduções, as nossas equações não dependem desomente uma variável e sim várias.

O método de Runge-Kutta pode ser ampliado para estas equações, bastaque haja uma transformação de variáveis para obter um sistema de equaçõesdiferenciais.

Então, suponha que tenhamos m variáveis com m equações:x

′

1 = f1 (x1, x2, ..., xm)

x′

2 = f2 (x1, x2, ..., xm)...

x′

m = fm (x1, x2, ..., xm)

Note que do lado direito não temos derivadas e que do lado esquerdo temossomente derivadas de primeira ordem.Estas equações podem ser resumidas naforma vetorial:

x̄′

= f̄ (x̄)

onde x̄ = (x1, x2, ..., xm) é o vetor das variáveis e f̄ = (f1, f2, ..., fm) o "vetor"dasfunções.Então, vamos de�nir o vetor de variáveis no passo n e n+ 1:

x̄n = (x1,n, x2,n, ..., xm,n)x̄n+1 = (x1,n+1, x2,n+1, ..., xm,n+1)

O método �ca, então:

ān = f̄ (x̄)

b̄n = f̄

(x̄+

h

2ān

)c̄n = f̄

(x̄+

h

2b̄n

)d̄n = f̄ (x̄+ hc̄n)

Então, o vetor x̄n+1 será:

x̄n+1 = x̄n +h

6

(ān + 2b̄n + 2c̄n + d̄n

)O vetor x̄n+1 dará o estado das variáveis após o passo h.

Fica então fácil utilizar qualquer linguagem de programação para progra-mar applets ou mesmo simulações numéricas e obter resultados para inúmerosproblemas físicos que não possuem soluções analíticas.


Apêndice B � Frameworks

Utilizados

Nos applets desenvolvidos e utilizados para obter os resultados foram uti-lizados alguns frameworks para facilitar o desenvolvimento.

O primeiro framework foi para organizar o documento HTML, sendo este oBootstrap CSS Framework.

Já o utilizado para desenvolvimento em Javascript foram os seguintes:

1. JQuery - http://jquery.com2. Kinetic JS - http://kineticjs.com

Foi utilizado também o framework CanvasJS Charts (http://canvasjs.com/)para mostrar grá�cos das animações em tempo real.

Não é necessário utilizar estes frameworks para desenvolver o que foi visto,entretanto a utilização deles facilita muito o desenvolvimento além de gerar umaorganização no código.

23

Apêndice C � Links para as

simulações

Aqui estão os endereços para os applets que foram apresentados aqui:

Pêndulo Impulsionado:http://www.ime.unicamp.br/ ra097254/penduloimpulsionado.htmlPêndulo Duplo:http://www.ime.unicamp.br/ ra097254/penduloduplo-rk.html

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http://www.ime.unicamp.br/~ra097254/penduloimpulsionado.htmlhttp://www.ime.unicamp.br/~ra097254/penduloduplo-rk.html

Bibliogra�a

[1] S. T. Thornton e J. B. Marion, Classical Dynamics. Thomson Brooks/Cole,5a ediçao, 2004.

[2] W.E Boyce, R.C. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemasde Valores de Contorno. LTC Books, 8a ediçao, 2005.

[3] M.A.G. Ruggiero, V.L.R Lopes, Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos eComputacionais. Pearson Makron Books, 2a ediçao, 2006.

[4] Halliday e Resnick, Fundamentos da Física, Volume II, Gravitação, Ondase Calor. LTC Books, 8a ediçao, 2010.

[5] W3Schools � The world largest web development database, emhttp://www.w3schools.com/.

[6] JQuery - Javascript Framework, em http://www.jquery.com/.

[7] Kinetic JS � Javascript Framework, em http://kineticjs.com/.

[8] CanvasJS Charts � Javascript Charts Framework, em http://canvasjs.com/.

[9] Bootstrap - CSS Framework, em http://getbootstrap.com.

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http://www.w3schools.com/http://www.jquery.com/http://kineticjs.com/http://canvasjs.com/http://getbootstrap.com

Pêndulo ImpulsionadoDedução das equaçõesAdequando para o método de Runge-Kutta de 4ª OrdemMudança do ponto estávelMovimento caótico do pêndulo impulsionado

O Pêndulo DuploDedução das equaçõesAdequando para o método de Runge-Kutta de 4ª OrdemMovimento caótico do pêndulo duplo

ConclusõesApêndice A - Método de Runge-Kutta de 4ª OrdemApresentaçãoGeneralizando para várias variáveis

Apêndice B – Frameworks UtilizadosApêndice C – Links para as simulaçõesBibliografia

pêndulo duplo e pêndulo impulsionado em html5 e javascriptmac/db/2014-1s-097254.pdf · um...

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